【2016年高考数学总复习】(第51讲)极坐标与参数方程(48页)
2016年高考极坐标参数方程试题
2016年高考极坐标参数方程试题1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程()2221x y a +-=．1C 是以()0,1为圆心，a 为半径的圆．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为：222sin 10a ρρθ-+-=．（2）曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，若0ρ≠，由方程组得：2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=， 可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得：1a =-（舍去），1a =． 1a =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上．所以1a =．2．【2016年北京理11】在极坐标系中，直线cos 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角方程：直线为：10x -=，圆为：()2211x y -+=，直线过圆心()1,0，故2AB =． 【考点】极坐标方程与直角方程的互相转化．【点评】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．3．【2016年江苏理21】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），椭圆C 的参数方程为：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【分析】利用三角消元将参数方程：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩化为普通方程：2214y x +=，再将直线l 的参数方程代入求解得：10t =，2167t =-，最后根据弦长公式或两点间距离公式求弦长． 【解析】椭圆C 的普通方程为：2214y x +=，将直线l的参数方程1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得：2211124t ⎫⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭，即27160t t +=，解得：10t =，2167t =-． 【考点】直线与椭圆的参数方程．【点评】将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法，加减消元法，三角恒等变换法；把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响；注意参数的几何意义．4．【2016年上海理16】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）A ．65cos ρθ=+B ．65sin ρθ=+C ．65cos ρθ=-D ．65sin ρθ=- 【答案】 D【解析】依次取0θ=，2π，π，32π，结合图形可知，只有65sin ρθ=-满足条件，故选D ．【考点】极坐标及其方程．【点评】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力，数形结合思想等．5．【2016年天津理14】设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，（t 为参数，0p >）的焦点F ，准线l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 ．【解析】抛物线的普通方程为：22y px =，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，7||322p CF p p =-=， 又||2||CF AF =，则3||2AF p =，由抛物线的定义得：3||2AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得：EF CF EA AB =，即2EF CF EA AF==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF ACE CFE S S S ∆∆∆=+=，所以132p ⨯=p = 【考点】抛物线的定义，抛物线的参数方程．【点评】凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．6．【2016年新课标2卷理23】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =求l 的斜率．【分析】（1）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（2）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110ρρθ++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．【解析】（1）圆的方程化为：2212110x y x +++=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入，得：212cos 110ρρθ++=；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θα=（R ρ∈），由A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得： 212cos 110ρρα++=，于是，1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，12||||AB ρρ=-==由||AB =得：23cos 8α=，tan α=，所以l 或 【考点】圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线的参数方程．【点评】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．7．【2016年新课标3卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立()||PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．【解析】（1）1C 的普通方程2213x y +=，2C 的直角坐标方程40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()23d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，当且仅当26k παπ=+（k Z ∈）时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【考点】椭圆的参数方程，直线的根坐标方程．。
2016届高考文科数学二轮复习配套作业专题8选修专题第二讲极坐标与参数方程
第二讲 极坐标与参数方程配套作业一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B .⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D .⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π32．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A .14B ．214C . 2D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________________________________．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.根据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.答案：ρ2＋4ρsin θ＋3＝06．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，π2三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22.8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB |的最小值．解析：圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1，0)，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42， 所以|AB |min ＝42－2.9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的普通方程；(2)P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y 23＝1， 直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P (2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π65 ＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋33)t－3＝0，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t2＝－3，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.。
2016高考真题分类汇编[二二]_极坐标和参数方程
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专题二十二 坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离. 2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为2d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α< π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
2016届高考文科数学二轮复习考点练习专题8选修专题第二讲极坐标与参数方程
第二讲极坐标与参数方程从历年高考题全国卷可知，极坐标与参数方程在选考题中相对容易，选此题同学较多，且重点考查参数方程与普通方程互化，极坐标与普通坐标的互化，另重点考几类曲线的参数方程与极坐标方程，应争取拿满分！极坐标的基本概念1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．几类曲线的极坐标方程及与直角坐标的互化2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcosθ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r 的圆的方程为ρ＝r ，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝2r cos _θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r 的圆的方程为ρ＝2r sin _θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρtan θ＝y x， 其中要结合点所在的象限确定角θ的值．参数方程的定义及几类曲线的参数方程1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2. (2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos θ，y ＝a sin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos α，y ＝y 0＋b sin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan θ，y ＝a sec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p (t 为参数，p>0) 注：sec θ＝1cos θ. 3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为6． 3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎪⎫θ－π6． 5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y 24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.答案：3。
历年高考数学真题精选51 坐标系与参数方程
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
解：（1）由题设得，弧 AB ， BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2 cos ， 2sin ，
2 cos ，
则 M1 的极坐标方程为
2 cos
，(0
4
1．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t2 t2
, (t
为参数）．以
y
1
4t t
2
坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
2．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中， O 为极点，点 M (0 ，0 )(0 0) 在曲线 C : 4sin
上，直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P ．
（1）当 0
3
时，求
0 及 l
的极坐标方程；
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（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
在 C3 上，求 a ．
16．（2015•湖南）已知直线
l
:
x
5
3t 2 (t 为参数）．以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为
y
3 1t 2
极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 2 cos ．
（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求 | MA || MB | 的值．
2016[高考总复习资料]数学二轮复习 专题8 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程 理
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专题八选修专题第二讲极坐标与参数方程1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρtan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ.中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p (t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.根据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcosθ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的普通方程；(2)P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
历年高考数学真题精选51 坐标系与参数方程
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题51 坐标系与参数方程（学生版）1．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221,1(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点0(M ρ，00)(0)θρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．3．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，B ，)4π，C ，3)4π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．4．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．5．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP =，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．6．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224πρθ+=（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．7．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :(sin x t C t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)t ≠，其中0απ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ=．（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．8．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．9．（2015•陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=． （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．10．（2013•辽宁）在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=（Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33(12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数），求a ，b 的值．11．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．12．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．13．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩，(t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．14．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩，(t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，(m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．15．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x a tt y a t =⎧⎨=+⎩为参数，0)a >．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=．（Ⅰ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．16．（2015•湖南）已知直线5:(12x l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB 的值． 17．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．18．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线22:149x y C +=，直线2:(22x t l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数） （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．19．（2012•新课标）选修44-；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题51 坐标系与参数方程（教师版）一．解答题（共19小题）1．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221,1(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．解：（1）由2221,1(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数），得22211221t x t y t t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 两式平方相加，得221(1)4y x x +=≠-，C ∴的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-，由2cos sin 110ρθθ++=，得2110x ++=．即直线l的直角坐标方程为得2110x +=； （2）法一、设C 上的点(cos P θ，2sin )()θθπ≠，则P到直线得2110x ++=的距离为：d ==．∴当sin()1θϕ+=-时，d 有最小值为7．2．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点0(M ρ，00)(0)θρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：（1）当03πθ=时，04sin233πρ==，在直线l 上任取一点(,)ρθ，则有cos()23πρθ-=，故l 的极坐标方程为有cos()23πρθ-=；（2）设(,)P ρθ，则在Rt OAP ∆中，有4cos ρθ=，P 在线段OM 上，[4πθ∴∈，]2π， 故P 点轨迹的极坐标方程为4cos ρθ=，[4πθ∈，]2π．3．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2B ，)4π，(2C ，3)4π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =P 的极坐标．解：（1）由题设得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，则1M 的极坐标方程为2cos ρθ=，(0)4πθ，2M 的极坐标方程为2sin ρθ=，3()44ππθ， 3M 的极坐标方程为2cos ρθ=-，3()4πθπ，（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知，若04πθ，由2cos 3θ=3cos θ=，得6πθ=， 若344ππθ，由2sin 3θ3sin θ=，得3πθ=或23π，若34πθπ，由2cos 3θ-=3cos θ=，得56πθ=， 综上P 的极坐标为3)6π或(3)3π或32)3π或(35)6π．4．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．解：（1）曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．转换为直角坐标方程为：22230x y x ++-=，转换为标准式为：22(1)4x y ++=．（2）由于曲线1C 的方程为||2y k x =+，则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点(0,2)．由于该射线与曲线2C 的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线2y kx =+的距离等于半径2．2=2=解得：43k =-或0，当0k =时，不符合条件，故舍去， 同理解得：43k =或0 经检验，直线423y x =+与曲线2C ．有两个交点． 故1C 的方程为：4||23y x =-+．5．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP =，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为：4x =，设(,)P x y ，0(4,)M y ，则04x y y =，04yy x∴=，||||16OM OP =，∴16=，即2222()(1)16y x y x++=，42242216x x y y x ∴++=，即2222()16x y x +=，两边开方得：224x y x +=，整理得：22(2)4(0)x y x -+=≠，∴点P 的轨迹2C 的直角坐标方程：22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）点A 的直角坐标为A ，显然点A 在曲线2C 上，||2OA =，∴曲线2C 的圆心(2,0)到弦OA 的距离d =AOB ∴∆的最大面积1||(23)22S OA =+=6．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．解：（1）曲线1C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），移项后两边平方可得2222cos sin 13x y αα+=+=，即有椭圆221:13x C y +=；曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=即有)ρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得40x y +-=，即有2C 的直角坐标方程为直线40x y +-=；（2）由题意可得当直线40x y +-=的平行线与椭圆相切时， ||PQ 取得最值．设与直线40x y +-=平行的直线方程为0x y t ++=，联立22033x y t x y ++=⎧⎨+=⎩可得2246330x tx t ++-=， 由直线与椭圆相切，可得△223616(33)0t t =--=， 解得2t =±，显然2t =-时，||PQ 取得最小值，即有||PQ =此时241290x x -+=，解得32x =， 即为3(2P ，1)2．7．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :(sin x t C t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)t ≠，其中0απ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ=．（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．解：()I 由曲线2:2sin C ρθ=，化为22sin ρρθ=，222x y y ∴+=．同理由3:C ρθ=．可得直角坐标方程：22x y +=，联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2C ∴与3C 交点的直角坐标为(0,0)，3)2． （2）曲线1cos :(sin x t C t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)t ≠，化为普通方程：tan y x α=，其中0απ，2πα≠；2πα=时，为0(0)x y =≠．其极坐标方程为：(,0)R θαρρ=∈≠，A ，B 都在1C 上，(2sin ,)A αα∴，,)B αα．|||2sin |4|sin()|3AB πααα∴=-=-，当56πα=时，||AB 取得最大值4． 8．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的 极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为：22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=，即2(222)40ρρ-++=，求得122ρ=，22ρ=，12||||2MN ρρ∴=-=，由于圆2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N =⨯⨯=．9．（2015•陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为132(3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23ρθ=．（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：()I 由C的极坐标方程为ρθ=．2sin ρθ∴=，化为22x y +=，配方为22(3x y +-=．()II设1(3)2P t +，又C ．||23PC ∴==，因此当0t =时，||PC 取得最小值．此时(3,0)P ．10．（2013•辽宁）在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=（Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33(12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数），求a ，b 的值． 解：()I 圆1C ，直线2C 的直角坐标方程分别为22(2)4x y +-=，40x y +-=，解22(2)440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得04x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，1C ∴与2C 交点的极坐标为(4,)2π．)4π．()II 由()I 得，P 与Q 点的坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=，由参数方程可得122b ab y x =-+，∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1a =-，2b =． 11．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：（1）O 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， O ∴的普通方程为221x y +=，圆心为(0,0)O ，半径1r =，当2πα=时，过点(0,且倾斜角为α的直线l 的方程为0x =，成立；当2πα≠时，过点(0,且倾斜角为α的直线l 的方程为tan 2y x α=-，倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点，∴圆心(0,0)O 到直线l的距离1d =<，2tan 1α∴>，tan 1α∴>或tan 1α<-，∴42ππα<<或324ππα<<，综上α的取值范围是(4π，3)4π．（2）l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数，3)44ππα<<，设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=，∴,A B P t t t αα+==， (,)P x y满足cos sin P p x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩， AB ∴中点P的轨迹的参数方程为：222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(α为参数，3)44ππα<<． 12．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解：（1）曲线C 的参数方程为2cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为：221164y x +=．直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：sin cos 2cos sin 0x y αααα-+-=或1x =． （2）把直线的参数方程1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数），代入椭圆的方程得到：22(2sin )(1cos )1164t t αα+++=整理得：222(4cos sin )(8cos 4sin )80t t αααα+++-=，则：12228cos 4sin 4cos sin t t αααα++=-+，（由于1t 和2t 为A 、B 对应的参数） 由于(1,2)为中点坐标，所以利用中点坐标公式120t t +=， 则：8cos 4sin 0αα+=， 解得：tan 2α=-， 即：直线l 的斜率为2-．13．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩，(t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．解：（1）曲线C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），化为标准方程是：2219x y +=；1a =-时，直线l 的参数方程化为一般方程是430x y +-=； 联立方程2219430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 和直线l 的交点为(3,0)和21(25-，24)25． （2）l 的参数方程4(1x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数）化为一般方程是：440x y a +--=， 椭圆C 上的任一点P 可以表示成(3cos ,sin )P θθ，[0θ∈，2)π，所以点P 到直线l 的距离d 为：d ==，ϕ满足3tan 4ϕ=，且的d①当40a --时，即4a -时， |5sin()4||54||54|17a a a θϕ+-----=++=解得8a =和26-，8a =符合题意． ②当40a -->时，即4a <-时 |5sin()4||54||1|17a a a θϕ+----=-=，解得16a =-和18，16a =-符合题意． 综上，8a =或16a =-．14．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩，(t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，(m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．解：（1）直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩，(t 为参数），∴消掉参数t 得：直线1l 的普通方程为：(2)y k x =-①；又直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，(m 为参数）， 同理可得，直线2l 的普通方程为：2x ky =-+②；联立①②，消去k 得：224x y -=，即C 的普通方程为224(0)x y y -=≠；（2）3l的极坐标方程为(cos sin )0ρθθ+-=，∴其普通方程为：0x y +=，联立224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩得：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 222182544x y ρ∴=+=+=． 3l ∴与C 的交点M的极径为ρ=15．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x a tt y a t =⎧⎨=+⎩为参数，0)a >．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=．（Ⅰ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．解：（Ⅰ）由cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，得cos 1sin x a ty a t=⎧⎨-=⎩，两式平方相加得，222(1)x y a +-=．1C ∴为以(0,1)为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：222210x y y a +-+-=．①由222x y ρ+=，sin y ρθ=，得222sin 10a ρρθ-+-=； （Ⅱ）2:4cos C ρθ=，两边同时乘ρ得24cos ρρθ=，224x y x ∴+=，②即22(2)4x y -+=．由30:C θα=，其中0α满足0tan 2α=，得2y x =，曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，2y x ∴=为圆1C 与2C 的公共弦所在直线方程，①-②得：24210x y a -+-=，即为3C ，210a ∴-=，1(0)a a ∴=>．16．（2015•湖南）已知直线5:(12x l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB 的值．解：（1）2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，故它的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；（2）直线5:(12x l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），普通方程为y x，在直线l 上， 过点M 作圆的切线，切点为T ，则22||(51)3118MT =-+-=， 由切割线定理，可得2||||||18MT MA MB ==．17．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．解：（1）由半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π，即22cos ρρθ=，可得C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=．可得C 的参数方程为1cos (sin x t t y t =+⎧⎨=⎩为参数，0)t π． （2）设(1cos D + t ，sin )t ，由（1）知C 是以(1,0)C 为圆心，1为半径的上半圆， 直线CD 的斜率与直线l的斜率相等，tan t ∴=3t π=．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2． 18．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线22:149x y C +=，直线2:(22x t l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数） （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．解：（Ⅰ）对于曲线22:149x y C +=，可令2cos x θ=、3sin y θ=， 故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）． 对于直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩①②，由①得：2t x =-，代入②并整理得：260x y +-=； （Ⅱ）设曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ．P 到直线l 的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-．则||5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角．当sin()1θα+=-时，||PA当sin()1θα+=时，||PA ． 19．（2012•新课标）选修44-；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π． （1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围．解：（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点A ，B ，C ，D 的直角坐标为1,1)--（2）设0(P x ，0)y ，则02cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数） 2222222||||||||44163220sin t PA PB PC PD x y ϕ=+++=++=+ 2sin [0ϕ∈，1][32t ∴∈，52]。
2016届高三数学二轮复习 专题三：极坐标01
专题三：坐标系与参数方程自学成才3-01坐标系与参数方程一.《说明》内容1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程,了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、直线和椭圆的参数方程.二.考情与观察2007年高考:①两圆极坐标方程；②两圆交点直线方程.2008年高考:①圆与直线参数方程;②线圆位置关系;③伸缩变换.2009年高考:①圆与椭圆方程；②点到线距离（转化为三角求最值）.2010年高考:①圆与直线参数方程;②线圆交点坐标;③轨迹方程.2011年高考:①直线参数方程,向量求曲线方程;②射线与两曲线产生极径长度.2012年高考:①参数方程,极坐标系极坐标点旋转产生新的点;(极坐标概念)②两点间距离转换为三角参最值.(人教A必修2133P B组2题改编)2013年新课标一卷：①参数方程与极坐标方程互换；②两圆相交交点极坐标.2014年新课标一卷:①参数方程与标准方程互换；②动态性问题求最值三.题型训练（一）直线和圆的问题1.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为几点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点,M N 的极坐标分别为23(2,0),(,)32π,圆C 的参数方程22cos32sinxyθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数).(Ⅰ)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l与圆C的位置关系. 2.已知圆C的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin23,cos21yx，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．（二）两圆问题3.在直角坐标xOy中，圆221:4C x y+=，圆222:(2)4C x y-+=.(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C的极坐标方程，并求出圆12,C C的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆12C C与的公共弦的参数方程.（三）最值问题4.在极坐标系中, A为曲线22cos30ρρθ+-=上的动点, B为直线cos sin70ρθρθ+-=上的动点, 求AB的最小值.5.已知在极坐标系下，圆C：p= 2cos（2πθ+）与直线l：ρsin（4πθ+）=2，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．6. 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
2016年高考选考内容：极坐标与参数方程
2016年高考选考内容：极坐标与参数方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．若曲线22=ρ上有n 个点到曲线2)4cos(=+⋅πθρ的距离等于2，则n=（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A．1(,2B ．31(,)42- C． D．(1 3．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．过点M （2,1）作曲线C ：4cos 4sin x y θθ=⎨=（θ为参数）的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的方程为（ ） (A)11(2)2y x -=-- (B)12(2)y x -=-- (C)12(1)2y x -=-- (D)22(1)y x -=-- 5．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离6．若点P的直角坐标为(，则它的极坐标可以是（ ）A ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．42,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭7．.直线1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)和圆2216x y +=交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)8．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤9．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 4332（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．54- B ．53- C ．53 D ．54 10．已知在极坐标系中，圆ρ=cos sin 0ρθρθ+=相交于,A B 两点，点P 是优弧．． AB 上的任一点，则APB ∠=（ ）A ．3πB ．4πC ． 6π D ．512π 11．下列参数方程（t 为参数）中，与方程2y x =表示同一曲线的是（ ）A. 2x t y t =⎧⎨=⎩ B ．2tan tan x t y t ⎧=⎨=⎩C. x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩2tan tan x t y t =⎧⎨=⎩ 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ-=.若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（ ） A .0 B.1 C.2 D.3二、填空题（题型注释）13． 直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
专题10+极坐标与参数方程-2016至2018新课标二高考理科数学汇编+Word版含解析
时， 的直角
坐标方程为
．（ 2）
【解析】分析： (1) 根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据代
入消元法将直线 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分
与
两种情
况.(2) 将直线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得
之间关
系，求得 ，即得 的斜率．
详解：（ 1）曲线 的直角坐标方程为
(t为参数
)
代入到
(x+
6)2 +
y2 =
25 得：
t 2 + 12t cosa
+ 11 =
0
设 A, B所对应的参数分别为 t1, t2 则 t1 + t2 = - 12cos a , t1t 2 = 11
所以 |AB |= | t 1- t2 |= (t1 + t2) 2 - 4t1t2 = 144cos 2 a - 4[ 选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]
在直角坐标系
中，曲线 的参数方程为
（ 为参数），直线 的参数方程为
（ 为参数） .
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为
，求 的斜率．
【答案】（ 1）当
时， 的直角坐标方程为
，当
（ 1） M为曲线 C1 上的动点，点 P在线段 OM上，且满足 | OM | | OP | 16 ，求点 P 的 轨迹 C2 的直角坐标方程；
（ 2）设点
A 的极坐标为
(2, ) ，点 3
B 在曲线 C2 上，求 △ OAB 面积的最大值．
2
【答案】（ 1） x 2
y2
4x