部编版2020 年中学生高一数学竞赛初赛试题(扫描版)
2020年全国高中联赛山东赛区预赛试卷
∴ D 0,1 是一系列Δ ABC 的外接圆所经过的定点．
9．设 OABC 是边长为 1 的正四面体，E、F 分别为 AB 与 OC 的中点，
则异面直线
OE
与
BF
的距离是
．
__________________________________________________________________
2．已知 a 0 ，函数 f x ax2 bx c, g x ax b 满足：
当 x 1时， f
x
1，且 g x 有最大值 2，则 f
x
．
__________________________________________________________________
【解析】将盒子任意翻动时，小球达不到的空间有两类： 一是正方体 8 个角处的空间，二是正方体 12 条棱处的空间．
其中 8 个角处的空间可以合并为棱长为 2 的正方体挖掉半径为 1 的小球，其体积为 8 4 ； 3
12 条棱处的空间合并为 3 个空心正四棱柱(底边长 2 高 4 的正四棱柱挖去一底半径 1 高 4 的圆柱)，
又a
b ,c q
bq 代入上式得： bx
xd
bq①,
b q
b②,bqxd
b③， q
②×③再代入①得： b2 b2xq2d bq 2 q2d =b2q2d 2 ，∴ q2d3 1，
q
又 q 1，∴ 2d 3 0 ，∴ d 3 ． 2
法二：记 lg a x, lg c y ，则 lg b x y ，且 x y ， 2
∴ da cos A ，同理可得： db cos B , dc cos C ，
db cos B
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
2020高中奥林匹克数学竞赛试题
2020高中奥林匹克数学竞赛试题高中奥林匹克数学竞赛是一项具有挑战性和刺激性的数学竞赛，旨在提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2020年的高中奥林匹克数学竞赛试题是一系列复杂而有趣的数学问题，要求学生能够运用所学的数学知识和技巧来解决问题。
以下是几个典型的试题，我们将逐一探讨解题思路。
第一道题目要求我们证明对于任意正整数n，存在一个正整数x使得3^x - 2^n= 1。
我们可以从两个数的奇偶性入手，首先考虑3^x的奇偶性，显然它是奇数。
然后我们考虑2^n的奇偶性，当n为偶数时，2^n是偶数，而当n为奇数时，2^n是奇数。
因此，我们可以将问题分为两种情况来讨论。
当n为偶数时，2^n是奇数，此时3^x - 2^n是偶数，但是1是奇数，所以此时不成立。
当n为奇数时，2^n是奇数，此时3^x - 2^n是偶数，我们可以令x=1，此时3^x - 2^n = 3 - 2^n = 1，成立。
因此，对于任意正整数n，存在一个正整数x使得3^x - 2^n = 1。
第二道题目要求我们证明当n为奇数时，n^2 - 1可以被8整除。
我们可以利用数学归纳法来证明这个结论。
首先，当n=1时，n^2 - 1 = 1 - 1 = 0，显然可以被8整除。
假设当n=k时，n^2 - 1可以被8整除，即k^2 - 1可以被8整除。
我们来证明当n=k+1时，n^2 - 1也可以被8整除。
首先，我们可以将n^2 - 1拆分为(n+1)(n-1)。
由于n为奇数，所以n+1和n-1都是偶数，而且它们之间相差2，所以n+1和n-1中必然有一个能被4整除。
因此，(n+1)(n-1)可以被8整除，所以n^2 - 1也可以被8整除。
综上所述，当n为奇数时，n^2 - 1可以被8整除。
第三道题目要求我们求解一个方程，该方程为(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 1 = 0。
我们可以利用代数的方法来求解这个方程。
首先，将方程中的x^2 - 2x看成一个整体，设为y，那么方程可以变为y^2 - 2y - 1 = 0。
2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷
2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷试题参考答案及评分标准〔B 卷〕讲明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕A ．3B ．2C ．1D ．0[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ⊆，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕A ．[0,3)B ．[0,3]C ．[1,2)-D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 〔 C 〕A.670243 B. 27481 C. 26681D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为22215()()339+=．假设该轮终止时竞赛还将连续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，现在，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有阻碍．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局竞赛中获胜，那么k A 表示乙在第k 局竞赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．假设三个棱长均为整数〔单位：cm 〕的正方体的表面积之和为564 cm 2，那么这三个正方体的体积之和为〔 D 〕A. 586 cm 3B. 586 cm 3或564 cm 3C. 764 cm 3D. 764 cm 3或586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分不为,,a b c ，那么有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．假设9c =，那么22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 假设8c =，那么22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．假设5b =，那么25a =无解，假设4b =，那么214a =无解．现在无解．假设7c =，那么22944945a b +=-=，有唯独解3a =，6b =．假设6c =，那么22943658a b +=-=，现在222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，现在2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 〔 C 〕 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1[解] 假设0z =，那么00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，假设0z ≠，那么由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，那么sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范畴是〔 B 〕A. )+∞B.C. D. (0,)+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，那么2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范畴．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩q <<，因此所求的取值范畴是． 二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，假设7()128381f x x =+，那么2(2)f = 17 . [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =．因此 2222121(2)28317121a f ab a --=+⋅=+⋅=--． 8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，那么a=2-．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-+2a =-舍去)．9．将24个理想者名额分配给3个学校，那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的间隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分不有4，18，2个名额．假设把每个〝*〞与每个〝|〞都视为一个位置，由于左右两端必须是〝｜〞，故不同的分配方法相当于24226+=个位置〔两端不在内〕被2个〝｜〞占据的一种〝占位法〞．〝每校至少有一个名额的分法〞相当于在24个〝*〞之间的23个间隙中选出2个间隙插入〝｜〞，故有223C 253=种． 又在〝每校至少有一个名额的分法〞中〝至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分不为123,,x x x ，那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===． 又在〝每校至少有一个名额的分法〞中〝至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，那么n S =1112nn -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，答12图1有112n n b b +=，故12n n b =，因此)1(121+-=n n a n n ． 因此 11111()(1)2(1)12n n n n S n n n n n -=--=-+++．11．设()f x 是定义在R 上的函数，假设(0)2009f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，那么)2008(f =200822008+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822008=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，那么2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，因此200820082008(2008)(2008)2(0)222008f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46那么该小球永久不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情形，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，那么小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅答13图答12图 2111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记现在小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，那么222211(3)22PP PO OP r r r=--=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情形，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有113cos 226PM PP MPP r r =⋅==，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为〔如答12图2中阴影部分〕1PAB P EF S S ∆∆-223(26))a a r =--23263ar r =-． 又1r =，46a =124363183PAB PEF S S ∆∆-= 由对称性，且正四面体共4个面，因此小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 三、解答题〔此题总分值60分，每题20分〕13．函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，因此sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++<+．即 1210864353210x x x x x +++--<． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++-<，864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<， …10分因此 4210x x +->，22(0x x -<． …15分因此2x <，即x <<故原不等式解集为(． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++<+． …5分即题15图6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+>+++++=+++， 32322211()2()(1)2(1)x x x x+>+++， …10分 令3()2g t t t =+，那么不等式为221()(1)g g x x>+， 明显3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x>+， …15分 即222()10x x +-<，解得251x -<， 故原不等式解集为5151(,)22---． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22210y x y -+-=上的动点，点B C ,在直线1x =-上，圆22(1)1x y ++=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值． [解] 设00(,),(1,),(1,)P x y B b C c --，不妨设b c >．直线PB 的方程:00(1)1y by b x x --=++， 化简得 0000()(1)0y b x x y x b y --+++=．又圆心(0,1)-到PB 的距离为1，000220011()(1)x x b y y b x +++=-++ ， …5分故222200000000()(1)(1)()2(1)()y b x x x b y x x b y -++=++++++，展开得22000000(1)2(1)()2(1)0x b x x y b y x -+++++=，易知01x >，故20000(1)2()20x b x y b y -+++=，同理有20000(1)2()20x c x y c y -+++=． …10分 因此0002()1x y b c x -++=-，0021y bc x =-，2222000000022004()8(1)448()(1)(1)x y y x x y y b c x x +--++-==--．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有20002210y x y -+-=，即2000221y y x +=+，那么222200000044844(21)4(1)x y y x x x ++=++=+，故220204(1)()(1)x b c x +-=-，0002(1)4211x b c x x +-==+--． …15分 因此0000002(1)12()(1)(1)(1)1211PBC x S b c x x x x x ∆+=-+=++=++--0000443(1)44811x x x x =++=-++≥=--． 当20(1)4x -=时，上式取等号，现在003,1x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分。
2020年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)
2020年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 试题参考答案及评分标准〔A卷〕 讲明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕
1．函数254()2xxfxx在(,2)上的最小值是 〔 C 〕 A．0 B．1 C．2 D．3 [解] 当2x时，20x，因此21(44)1()(2)22xxfxxxx12(2)2xx
2，当且仅当122xx时上式取等号．而此方程有解1(,2)x，因此()fx在(,2)
上的最小值为2． 2．设[2,4)A，2{40}Bxxax，假设BA，那么实数a的取值范畴为 〔 D 〕 A．[1,2) B．[1,2] C．[0,3] D．[0,3) [解] 因240xax有两个实根 21424aax，22424aax，
故BA等价于12x且24x，即 24224aa且24424aa，
解之得03a． 3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数的期望E为 〔 B 〕 A. 24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243 [解法一] 依题意知，的所有可能值为2，4，6. 设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为 22215()()339．
假设该轮终止时竞赛还将连续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，现在，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有阻碍．从而有 5(2)9P，
高一数学竞赛题
.高一数学竞赛试题班级 姓名一、选择题1、集合A+{x|x=2K,k ∈z}，B={x|x=2k+1 k ∈z} C{x|x=4k+1 k ∈z}又a ∈A ，b ∈B 则有（ ）A 、a+b ∈AB 、a+b ∈BC 、a+b ∈CD 、a+b 不属于A 、B 、C 中任何一个 —1)(x —3)>—22、若x 是不等式组 的解，则点P(x+2,x —2)在（ ） 1365)2(2-+<+x x A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、化简)21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++的值为（ ） A 、)21(21321-- B 、1321)21(21--- C 、1321)21(--- D 、32121--4、若f(x)的值域是[21，3]则)(1)()(x f x f x F +=的值域是（ ） A 、（2，310） B 、[2，25] C 、[310,35] D 、[2，+∞] 5、y=f(x)是偶函数又x<0时f(x)是增函数，且x 1<0，x 2>0时|x 1|<|x 2|则（ ）A 、f(—x 1)<f(—x 2)B 、f(—x 1)=f(—x 2)C 、f(-x 1)>f(—x 2)D 、f(—x 1)与f(—x 2)大小关系不能确定6、函数y=f(x)和y=ϕ(x)互为反函数，则y=f(-x)的反函数是（ ）A 、ϕ（x ）B 、y= —ϕ(x)C 、y=ϕ(—x)D 、y= —ϕ(—x)7、已知0<a<1，b>1且ab>1则下列各不等式中成立的是（ ）A 、b b b a a b 1log log 1log <<B 、bb b b a a 1log 1log log <<C 、b b b a b a 1log 1log log <<D 、b bb a a b log 1log 1log << 8、已知x ≠y 且两个数列x 、a 1、a 2…a m 、y, x 、b 1、b 2…b n 、y 各自都成等差数列，则1212b b a a --等于（ ）A 、n mB 、11++n mC 、m nD 、11++m n 9、S n =1-2+3-4+…+(-1)n+1n ，则S 100+S 200+S 301=（ ）A 、1B 、—1C 、51D 、5210、ac b =是a 、b 、c 成等比数列的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分，也不必要条件二、填空题1、集合A={x|x=3n+2,n ∈N} B={y|y=4n+1 n ∈N}，则在A ∪B 中，100以下的元素个数是 个.2、32)1|23(|--=x y 的定义域是 . 3、31)93186293142842421(n n n n n n ⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅ = . 4、数列{a n }这项公式为：1)2(1)2(22-+=n n a n 则前n 项和S n = . 5、已知数列前五项为：6、9、14、21、30则它的通项公式为a n = .三、解答题1、已知A={a 1，a 2，a 3，a 4，a 5},B={a 12，a 22，a 32，a 42，a 52}, a i ∈N （i=1,2,3,4,5）设a 1<a 2<a 3<a 4且A ∩B={a 1,a 4}，a 1+a 4=10，又A ∪B 元素之和为224，求：（1）a 1、a 4 （2）A2、设0<a<1，)1()1()(log 22--=a x x a x f a （1）求f(x);（2）求证f(x)是奇函数；（3）求证f(x)在R 上的增函数；3、设a n 是正数组成的数列；其前n 项和为S n ，且对所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求数列{a n }的通项公式。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
Tn 是 Mn 中元素的个数， Sn 是 Mn 中所有元素的和，则 nl→im∞ Tn=
．
【答案】 1 18
【解析】由于
a1， a2，…， an－1 中的每一个都可以取
0 与 1 两个数， Tn=2n－1．
在每一位 ( 从第一位到第 n－1 位) 小数上，数字 0 与 1 各出现 2n－ 2 次．第 n 位则 1 出现
．
5－ 1
5－ 1
【答案】 ( － 3，－ 2 ) ∪ ( 2 ， 3) ．
【解析】即 | x| 3－ 2| x| 2－ 4| x|+3<0 ，
(| x| － 3)(| x| －
5－1 )(| x|+
5+1 )<0 ．
| x|<
2
2
5+1
5－ 1
－ 2 ，或 2 <| x|<3 ．
5－ 1
5－ 1
【解析】当 3l 、 3m、 3n 的末四位数字相同时，
l
m
n
3 104
=
3 104
=
3 104
．
即求满足 3l 3m≡ 3n( mod 10 4) 的 l 、 m、 n．∴ 3 n(3 l －n－ 1) ≡ 0 (mod 10 4) ． ( l － n>0) 但 (3 n， 104) =1，故必有 3l －n≡ 1(mod 10 4) ；同理 3m－ n≡1(mod 10 4) ．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
2020高中数学联赛新疆维吾尔自治区初赛试题与参考答案
7.已知函数
f
(x)
sin( x
)(
0)
，若
f
(0)
f
(
)
，且 (0,
)
上有且仅有三个零点，则
6
2
2
____________ .
【答案】 14 或 6 3
【解析】因为
f
(0)
f
(
)
，所以
1
sin(
) .即
2k
或
5
2k ，
2
2
2 6 2 66
2 66
即
2 3
4k
或
2 4k,(k
的长度，又球心到顶点的距离为 3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为 6 ，故容器棱长的最小值为 3
4 23 6 4 2 6 3
9.已知集合 A={1，2，3，…，2020}，对于集合 A 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.
则所有这些倒数的和为____________ .
【答案】2020
由 ab bc cd da 1，可得 a2 b2 c2 d 2 1.
而 ab ac ad bc bd cd 1 ac bd 1 1 (a2 c2 ) 1 (b2 d 2 ) 3 (a2 b2 c2 d 2 )
2
2
2
故 (a2 b2 c2 d 2 )2 a2 b2 c2 d 2 2 (ab ac ad bc bd cd ) . 3
6.由集合{1,2,3,4，…，10}中选出 5 个数，组成该集合的子集，从这些子集中任取一个，则取出的子集 满足该子集中的 5 个数中任意两个数的和都不等于 11 的概率为________. 【答案】 8
63
2020年全国高中数学联赛安徽初赛试卷(无附参考答案)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2020-2021学年高一上学期(12月)数学竞赛试题
2020-2021学年高一上学期12月竞赛数学试题姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设函数()'f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________. 2．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.3．将正整数1，2，，n ，按第k 组含1k +个数分组：(1,2)，(3,4,5)，(6,7,8,9)，.那么2016在第__________组.4．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________. 5．设函数2()1x f x e x ax =---当0x ≥时单调递增，则a 的取值范围为__________.6．从m 个男生和n 个女生（104m n >≥≥）中任选2个人当班长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同，如果A 的概率和B 的概率相同，则(,)m n 可能为__________.7．已知锐角α，β满足条件：4422sin cos 1cos sin ααββ+=，则αβ+=__________. 8．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，与其准线交于点M ，且3FM FP =，则FP =__________．9．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a （如图2-②），则图2-①中的水面高度为 .10．棱长均为1的三棱锥，其一个面水平放置，则它的侧视图的面积的最小值为__________.11．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5积为___．12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________.二、解答题13．如图1，直角梯形ABCD ，112AB AD DC ===，将ABD △沿BD 折起来，使平面ABD ⊥平面BCD .如图2，设G 为AD 的中点，2AH HC =，BD 的中点为O .（1）求证：AO ⊥平面BCD .（2）求平面GHB 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值.2-①2-②（3）在线段BC 上是否存在点E ，使得//DE 平面GBH ，若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a+=>>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：（1）直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值22a b-. （2）若l 过点(,)b a ，延长线段OM 与C 交于点P ，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线l 的斜率1a k b=. 15．设m ，n 是正整数，满足22|1mn m n ++.证明：2213m n mn ++=. 16．如图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），底座是正四棱台．（1）求这个奖杯的体积V ；（计算结果保留π）（2）求这个奖杯底座的侧面积S 底座侧．17．已知两个边长为a 的正三角形ABC 与ABD .（1）当CD 的距离为多少时，三棱锥ABCD 的体积最大？ （2）求三棱锥ABCD 的体积最大时的表面积.三、单选题18．棱台上、下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A ．1:7B ．2:7C ．7:19D ．5:16 19．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（ ）A ．3 B ．3 C ．23 D ．4320．如图:直三棱柱ABC A B C '''-的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA '和CC '上，AP C Q '=，则四棱锥B —APQC 的体积为( )A ．2VB ．3VC ．4VD ．5V。