HL方法
HL
§11．2．4 直角三角形全等的判定条件（HL ）姓名 学号一、探讨直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”定理：（HL ）1、画一个Rt △ACB ，使∠C ﹦90°，直角边BC=4㎝，斜边AB=5 ㎝剪下你所画的三角形，和同学的对比一下，能重合吗？它们全等吗？2、直角三角形全等的判定定理： 两个直角三角形全等，简写为 或 。
3、“HL ”定理的几何语言表达方式：二、判定定理“HL ”的应用举例：三、巩固练习： 1、如图，AB=CD, BF ⊥AC,DE ⊥AC,AE=CF 。
求证：BF=DE2、【变式训练1】如图，AB=CD, BF ⊥AC,DE ⊥AC,AE=CF 。
求证：BD 平分EFA C BDE F例1:如图，AC ⊥BC ， BD ⊥AD ， AC ﹦BD ，求证：BC ﹦AD3、【变式训练2】如图，AB=CD, BF ⊥AC,DE ⊥AC,AE=CF 。
想想：BD 平分EF 吗?四、联系实际 综合应用如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？五、小结六、课堂小测：1、已知： BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：△BEC ≌△DAE2、如图，AD ，A ′D ′分别是锐角三角形ABC 和锐角三角形A ′B ′C ′中BC ，B ′C ′边上的高，且AB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′．若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件________.（填写一个你认为适当的条件即可）并加以证明。
A B C D A ′ B ′ D ′C ′。
新人教版十二章全等三角形的判定hl课件
拓展习题
1 2 3
结论
全等。根据题目给出的条件，两个三角形满足 ASA（角边角）原则，因此全等。
拓展题2
给定两个三角形，它们的两边对应相等，且夹角 相等，但第三边和夹角中的一个量不等，请判断 这两个三角形是否全等。
三角形1
AB=AC，AD=AE，BC=EC，∠B=∠C≠90°。
拓展习题
三角形2
AB=AC，BC=EC， BD≠DC≠AC,∠B=∠C>90°。
结论
不全等。根据题目给出的条件，两个三角形 满足ASA（角边角）原则和SSS（边边边） 原则的组合条件，但是第三边和夹角中的一 个量不等，因此不全等。
05
CATALOGUE
小结与回顾
重点回顾
01
02
03
重点1
全等三角形判定的四种方 法及其对应的条件和结论 。
重点2
如何根据已知条件选择合 适的判定方法。
重点3
全等三角形在几何证明题 中的应用。
课堂小结
课堂小结1
回顾全等三角形判定的四 种方法，强调每种方法的 条件和结论。
课堂小结2
总结全等三角形在几何证 明题中的应用，强调证明 过程中的逻辑严密性。
课堂小结3
再次强调全等三角形的性 质和判定在几何问题中的 重要性。
进阶几何证明
在进阶几何中，全等三角形判定被广泛应用于各种复杂的证明题中。例如，在圆 的性质、多边形的内角和、三角形的重心等证明中，我们都需要利用全等三角形 判定来确定两个三角形全等。
03
CATALOGUE
全等三角形的判定方法HL
定义HL定理
总结词
HL定理是全等三角形判定定理的一种，全称是“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” 。
12.2全等三角形的判定方法(HL)
例4如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.
例5如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.
第二步：互动探究——“自助、求助、互助”，整合资源，探索技能一、
合作探究，展示提升：
1.如图，已知AD为ΔABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD.
求证：BE⊥AC
求证：DE=AD+BE.
6.如图10，已知AB=AD,AC=AE,∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F.
求证：CF=EF．
第三识与情感。学生“再助”查漏补缺，复习巩固.
9．如图，在△ABC中，∠ACB= ，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
3.极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
【学习重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【学习难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
A
例1如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系.
B
1、已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD∥BC.
宝箴塞初中“三步六助”助学案
学科：数学年级：八年级课题：12.2全等三角形的判定方法（HL））
hl全等的书写格式
hl全等的书写格式HL全等（HL congruence），是数学中一个重要的概念，通常用于证明等价的几何图形。
HL全等的概念是基于两个三角形之间的三个相等或相似条件。
在本文中，将介绍HL全等的定义、性质、证明方法以及一些例题。
1. HL全等的定义：在平面几何中，如果两个三角形的一个对应的边长相等，而另外一个对应的边长和夹角相等，则这两个三角形是HL全等的。
2. HL全等的性质：- HL全等是三角形全等的一个重要条件，说明两个三角形的对应的边长和夹角相等。
- 由HL全等可推出两个三角形的三个对应的边长和三个对应的夹角都相等，即两个三角形是全等的。
- HL全等是三角形全等中较常用的一个条件，尤其适用于右三角形的证明。
3. HL全等的证明方法：证明两个三角形全等通常是通过两个三角形的对应的边长和夹角的相等性来实现的。
以下是一种常用的HL全等证明方法：- 首先，通过给定条件找到两个对应的边长相等的边，并标记为AB和DE。
- 其次，找到两个对应角度相等的角，并标记为∠A、∠D。
- 然后，使用给定的条件或已知的性质，得到两个对应的边长相等的边，并使用∠A、∠D的等于性质得出两个对应的角度相等的角。
- 最后，根据两个三角形的两个对应的边长和一个对应的角度相等，得出两个三角形是HL全等的。
4. HL全等的例题：以下是一个使用HL全等证明的例题：已知：△ABC，△EDF是直角三角形，AB=DE，∠B=∠E。
证明：△ABC ≌△EDF。
解法：根据已知条件，我们可以得到AB=DE，∠B=∠E。
接下来，根据右三角形的性质，可以得到∠A=∠D。
因此，根据HL全等的定义和证明方法，我们可以得出△ABC ≌△EDF。
总结：HL全等是数学中用于证明等价的几何图形的一个重要概念。
它基于两个三角形的对应的边长相等和一个对应的角度相等的条件。
通过应用HL全等的定义和证明方法，可以推导出两个三角形是全等的。
HL全等特别适用于证明右三角形的全等关系。
直角三角形全等的判定(HL)课件2021-2022学年北师大版八年级数学下册
双基巩固
练习2：如图，点B、E、C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
A
D
B
CE
F
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
分析：要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，
只要证△ABC≌△DEF， 由AC⊥BF，DF⊥AF， BE=CF ， B E 可得∠ACB=∠DFE=90°BC=EF ， 又AB=DE，根据“HL”可证ABC≌△DEF. 请你将证明过程规范化写出来。
AD CF
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上，
求证：AC=DC。
E
证明：∵△BCE为等腰直角三角形，
A
∴∠BCA=∠ECD=90°，BC=EC，
∵在Rt△BCA与Rt△ECD中
BA ED
BC EC
∴Rt△BCA≌Rt△ECD
(HL)．B
C
D
∴AC=CD.
问1：△ACD是什么特殊三角形？ △ACD是等腰直角三角形.
问2：若将“BA=ED”与“AC=DC”互换，结论成立吗？
SSS
B. AB=DE， AC=DF，∠A=∠D SAS
C. AB=DE， AC=DF，∠B=∠E SSA D. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E ASA
A
D(D)
E
F
B
C
(E)
探究新知
当AC、DF分别变为与BC、EF分别垂直（即两边 分别相等及其中一组等边所对的角为直角时）
A
D
B
CCE
人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定(四)(HL)优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性，使学生感受到数学的趣味性和实用性。
2.通过对HL判定方法的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养学生的应用意识。
3.鼓励学生在学习过程中克服困难，培养学生的自信心和毅力，使学生养成良好的学习习惯。
（三）学生小组讨论
在讲授完HL判定方法后，我组织学生进行小组讨论。我提出问题：“你们认为HL判定方法与之前学过的SAS、ASA、SSS判定方法有什么区别和联系？”让学生分组讨论并汇报讨论结果。通过小组讨论，学生可以深入理解HL判定方法的特点和应用，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
（四）总结归纳
在学生小组讨论结束后，我进行总结归纳。我强调HL判定方法的条件和步骤，让学生明确判断三角形全等时需要满足的四个条件：两个直角三角形、两个直角相等、斜边和一个直角边相等。同时，我还指出HL判定方法与其他判定方法的区和联系，帮助学生建立完整的知识体系。
人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定（四）（HL）优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定（四）（HL）”，是在学生已经学习了三角形全等的判定方法SAS、ASA、SSS后，引入的第四种判定方法HL。学生在之前的学习中，已经掌握了三角形全等的概念，以及判定三角形全等的方法，但对于HL判定方法的理解和运用还较为模糊。因此，本节课的教学重点是让学生理解HL判定方法，并能运用HL判定方法证明三角形全等。
在导入新课后，我开始讲授HL判定方法。我通过讲解和示例，让学生理解HL判定方法的判定步骤和条件。首先，我讲解HL判定方法的原理，让学生明白为什么通过两个直角三角形的斜边和一直角边可以判断两个三角形全等。然后，我给出HL判定方法的定义和判定步骤，让学生明确HL判定方法的操作流程。在讲解过程中，我注重引导学生思考，让学生在理解的基础上，能够独立判断三角形是否全等。
7课时全等三角形判定(HL)
所以BD=CD
练习:
1． 如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC， E、F为垂足，DE＝DF，求证： △BED≌△CFD．
第19章 全等三角形
19.2 三角形全等的判定
教学目标
• 1、通过画图、操作等教学活动，探索直角 三角形全等的判定方法 • 2、掌握直角三角形全等的特殊判定方法 （HL) • 3、能灵活地运用所学的判定方法判定两个 直角三角形全等，从而解决线段或角相等 的问题
自学指导
• 1、动手操作：P78“做一做”并思考其后 问题 • 2、直角三角形的判定定理是： • 3、HL判定定理，应用时要注意先决条件， 即必须在 直角 三角形中才能应用。
（第 6 题）
△ADE≌△ADF（H.L.）
判定直角三角形全等的5种 方法：
SAS，ASA，AAS，SSS， HL
《课课练》P48-P49 第4课时斜边直角边
全做
根据 ASA （用简写法）
（2）若 ∠ A= ∠ D，BC=EF，
A C
F E D
则 △ABC与 △DEF 全等 （填“全等” 或“不全等”）根据 AAS （用 B 简写法） （3）若AB=DE，BC=EF，
则 △ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或 SAS “不全等”）根据 （用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 △ABC与△DEF 全等 （填“全等”或 SSS “不全等”）根据 （用简写法）
例4 如图19．2．18，已知AC＝BD， ∠C＝∠D＝90°， 求证Rt△ABC≌Rt△BAD．
12.2全等三角形的判定第四课时HL
B
B＇ C＇ 注意：“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
“HL”判定方法的运用
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD． 求证：BC =AD． 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， D C ∴ ∠C 和∠D 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB =BA， A AC =BD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）． ∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）．
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和 （2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？ 斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两 个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
学习目标
1、探究直角三角形全等的条件；
2、会用HL去证明直角三角形全等.
实验操作探索“HL”判定方法
问题2 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个 Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC， A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪 下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？ A
创设情境引出“HL”判定方法
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决 这个问题吗？
创设情境引出“HL”判定方法
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
人教版数学八年级上册第12章课时4 三角形全等的判定方法-HL(18页)
B
D
C
课堂小结
内容
“斜边、
直角边”
前
提
条
件
使用方法
斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等.
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即
可（两个条件中至少有一个条
件是一对对应边相等）
BE＝CF.求证：AE＝DF.
证明：∵BE＝CF
∴BE＋EF＝CF＋EF
即BF＝CE
∵AE⊥BC，DF⊥BC
∴∠AEC＝∠DFB＝90°
在Rt△AEC和Rt△DFB中，
∴Rt△AEC ≌ Rt△DFB (HL)
=
=
∴AE＝DF
当堂检测
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ）
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL)
先斜边，
后直角边
典例分析
例1
如图2，AC⊥BD，DE交AC于点E，AB＝DE，AC＝DC.
求证：△ABC≌△DEC.
证明：∵AC⊥BD
∴∠ACB＝∠DCE＝90°
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
=
=
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEC (HL)
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，
AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH的长为
（ A ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
线切割HL系统同步点编程方法【图文教程】
线切割在画图的的时候，我们经常看见有一个叫同步点的设置，这个设置有什么用呢？线切割同步点一般是用在切割变锥时使用。
那么HL怎么设置同步点呢？
首先小编很明确的说，HL是没有说设置同步点这么一个说法，HL画变锥需要在编程的时候将代码输入进去。
首先我们在HL的画图界面画出加工图形，小编在这里画了一个方形便于理解。
接着我们需要生成加工路径将这个图形保存起来，这里小编给这个图形取名叫“10”。
然后我们返回HL的主页面选着“文件调入”，找到我们刚刚画的图纸，会发现刚刚画的图纸已经变成3B文件。
将文件调入界面键盘按一下“B”,一定要注意选择文件调入，选择好需要的3B文件后按B。
接着我们就会跳到这个图形的3B代码编程页面。
在这里会把每一条线段的3b代码展现出来。
接着设置同步点我们需要在设置同步点线段的前面输入“DEG=X”X是我们需要变锥的角度。
设置好后我们我们把图形导入到加工界面，这样我们就可以看到刚刚我们设置好的图形已经变成一个变锥图形了。
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s A 和Vab W、Vab 随R的变化示意图如下：
Born-Oppenheimer方法
玻恩–奥本海默近似（Born-Oppenheimer approximation，是 一种普遍使用的解包含电子与原子核的体系的量子力学方程的近 似方法。 在用量子力学处理分子或其他体系时，需要通过解薛定锷方程 或其他类似的偏微分方程获得体系波函数。这个过程往往由于体 系自由度过多而非常困难，甚至无法进行。据玻恩－奥本海默近 似中，考虑到原子核的质量要比电子大很多，一般要大3-4个数量 级，因而在同样的相互作用下，原子核的动能比电子也小得多， 这一速度的差异的结果是使得电子在每一时刻仿佛运动在静止原 子核构成的势场中，而原子核则感受不到电子的具体位置，而只 能受到平均作用力。由此，可以实现原子核坐标与电子坐标的近 似变量分离，将求解整个体系的波函数的复杂过程分解为求解电 子波函数和求解原子核波函数两个相对简单得多的过程
轨道波函数应满足能量本征方程
分子轨函法：在原子核a,b库仑场的共同作用下形成的 单电子状态，也就是氢分子离子的电子轨道态。 原子轨函法：孤立原子的单电子状态，依次为基础， 设法计算两个原子的相互作用。
考虑分子的形成过程如下：两个孤立的原子逐渐靠近，由于相 互作用而结合成分子。以两个波函数的积作为分子波函数的零级 近似，两个原子的相互作用当做微扰。电子与原子核的配对有两 种可能，以及相应的轨道波函数如下：
而氢分子的结合能实验值是-4.72eV，键长R=0.07395nm。 结构于实验值不符。由此可见，如果不考虑波函数的交换 对称性就不能解释氢分子的形成。
考虑波函数的交换对称性：对称和反对称轨道波函数分别 为 s ab Cs [ a(1) b(2) a(2) b(1)]
A ab
与氢分子的结合能实验值（-4.73eV）量级符合。由此 可知，波函数的交换对称性及“交换能”对氢分子的形成 起了关键作用。共价键分子的形成是与全同性原理相关的 一种量子效应，不可能在经典物理或波尔量子论的基础上 给予解释。 A 由于 J W ，J<0，所以Vab >0，亦即反对称轨道态不能 使两个原子结合成分子。所以氢分子中两个电子的自旋态 必为反对称态S=0.
其中
以此类推，将总能量H分为H0和H’。H0是与两个氢原的 构成有关的算符，H’是两个原子的相互作用能。
显然
对于第二个波函数
H0和H’ 分别为
显然
不考虑波函数的交换对称性：以波函数 作为 分子的近似波函数，以H’的平均值作为分子的结合能， 记为W
W的值显然与R有关，计算结果为
当R取1.87a0时W取最小值
氢分子 Heitler-London方法
1927年，Heitler-London用量子力学方法研究氢分 子结构获得成功，开创了量子化学。
氢分子包含两个原子核（a,b）以及两个电子（1,2）如果 略去原子核的运动就可以将分子当做二电子体系。
体系的总能量可以表示为：
其中包含6项库伦作用势 和氦原子相仿，二电子体系总波函数可以表示成轨道波函数和 自旋波函数的积，
C A [ a(1) b(2) a(2) b(1)]
Cs 和 C A 是归一化常数。
定义重叠积分
则
用本节方法处理氢分子结构，所得键长R=1.518a0 D=0.72 计算H’的平均值
其中W的表示跟前面相同，J由下式表示
W的意义是两个电子各自占用确定的原子轨道时两 个原子间的库伦作用平均值，。J的意义是“交换能 ”，她仍然来自于两原子间的库仑作用，是电子波函 数交换对称的产物。 s A s 和Vab 数值计算表明 Vab 都是R的函数， 在R=1.518a0 Vab 处有极小值W与J均为负值，但 J W ,数值为
在玻恩－奥本海默近似下，体系波函数可以被写为电子 波函与原子核波函数的乘积 适用性:
玻恩-奥本海默近似只有在所在电子态与其他电子态能量都足够 分离的情况下才有效。当电子态出现交叉或者接近时，玻恩－奥本 海默近似既失效。
最低值原理:
对于基态，不加其他近似的情况下通过玻恩－奥本海默近似得 出的体系总能量一定小于体系真实能量，因而给出了真实能量的 下限。与此相对，另一绝热近似方法玻恩－黄近似则给出体系真 实能量的上限。