3.简单绝对值函数的图像与性质
数的绝对值知识点
数的绝对值知识点数的绝对值是数学中一个基本的概念，它可以用来表示一个数与零的距离，而不考虑这个数的实际取值是正数还是负数。
在数学中，数的绝对值常常和绝对值函数一起讨论。
本文将介绍数的绝对值的定义、性质以及在不同数学领域中的应用。
一、数的绝对值的定义数的绝对值的定义非常简单，即一个数的绝对值等于这个数的绝对值函数所得到的值。
当一个数为正数或者零时，它的绝对值等于本身；当一个数为负数时，它的绝对值等于它的相反数。
绝对值可以用一个竖线 "|" 来表示。
例如：-5的绝对值为|-5| = 50的绝对值为|0| = 07的绝对值为|7| = 7二、数的绝对值的性质数的绝对值有以下几个基本的性质：1. 非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即对于任意实数x，|x| ≥ 0。
2. 正数的绝对值为本身：对于任意正数x，|x| = x。
3. 负数的绝对值为相反数：对于任意负数x，|x| = -x。
4. 零的绝对值为零：|0| = 0。
5. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|xy| = |x| |y|。
三、数的绝对值的应用1. 绝对值的意义：绝对值可以用来衡量一个数与零的距离，而不考虑这个数的符号。
在实际应用中，我们常常使用绝对值来表示误差、距离、温度差等概念。
2. 绝对值的运算：绝对值也可以进行加减乘除运算。
当进行加减运算时，只需考虑数的绝对值，不用考虑它们的符号。
当进行乘除运算时，需要将数的绝对值进行运算，并根据原数的符号来确定结果的符号。
3. 不等式的解：绝对值在不等式的求解中经常出现。
当我们需要求解一个绝对值不等式时，可以将它转化为两个简单的不等式来求解，分别考虑被绝对值函数包围的正负部分。
4. 函数的图像：绝对值函数的图像可以帮助我们更直观地理解绝对值的性质。
绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的折线，当自变量为正数时，函数值等于自变量；当自变量为负数时，函数值等于自变量的相反数。
5. 复数的模：复数的模也是一种绝对值的概念。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
数的绝对值知识点
数的绝对值知识点在数学中，绝对值是一个重要的概念。
它可以帮助我们计算和描述数的大小，同时也有一些独特的性质和运算规则。
在本文中，我们将探讨数的绝对值的定义、性质以及一些常见应用。
一、绝对值的定义绝对值（也称绝对数）表示一个数离零点（原点）的距离，它忽略了数的正负号。
对于任意实数x，它的绝对值用符号“|x|”表示。
绝对值的计算方法是将给定的数去掉负号，如果该数本身就是正数或零，则绝对值与原数相等；如果该数是负数，则求其相反数作为绝对值。
例如，|-5| = 5，|3| = 3，|0| = 0。
二、绝对值的性质1. 非负性：对于任意实数x，|x| ≥ 0。
2. 保号性：对于任意实数x，如果x > 0，则|x| = x；如果x < 0，则|x| = -x。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，|x + y| ≤ |x| + |y|。
这个性质表示两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
4. 乘法性质：对于任意实数x和y，|xy| = |x|·|y|。
这个性质表示两个数的乘积的绝对值等于它们的绝对值的乘积。
5. 平方性质：对于任意实数x，|x^2| = x^2。
绝对值具有这些性质，方便我们进行数学计算和推理。
三、绝对值的应用绝对值在我们的日常生活和数学问题中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的应用：1. 距离计算：在几何学和物理学中，绝对值可用于计算两个点之间的距离。
通过将点的坐标代入坐标系中，可以得到两点间的横坐标和纵坐标差的绝对值之和，即得到两点间的距离。
2. 不等式求解：对于给定的不等式，绝对值可以帮助我们求解不等式的解集。
通过引入绝对值，可以把复杂的不等式转化为简单的不等式，从而更容易求解。
3. 取模运算：在计算机科学和密码学中，绝对值被广泛用于取模运算。
例如，对于一个整数x，可以利用绝对值计算x对某个正整数n的模。
4. 函数图像分析：绝对值函数y = |x|的图像是一个V字形状的折线，它在x = 0的左右两侧的函数值相等。
带绝对值的不等式解法
带绝对值的不等式解法带绝对值的不等式在数学中是一个常见的问题，它具有一定的挑战性和复杂性。
解决这类问题需要我们掌握一些特定的解法和技巧。
1. 引言带绝对值的不等式是一个重要的数学概念，它出现在许多实际问题中。
了解如何解决这类问题对我们在数学上的学习和解决实际问题上都有很大帮助。
2. 简单的绝对值不等式解法在简单的情况下，我们可以通过将带绝对值的不等式拆分成两个不等式来解决。
对于不等式|2x - 3| > 5，我们可以分别解得2x - 3 > 5和2x - 3 < -5的解。
3. 绝对值函数的图像和性质为了更好地理解带绝对值的不等式，我们需要对绝对值函数有一定的了解。
绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线，它的性质包括非负性和不等式性质。
4. 绝对值不等式的绝对值定义法当我们遇到更复杂的带绝对值的不等式时，可以使用绝对值的定义进行求解。
对于不等式|3x - 2| < 10，我们可以通过将绝对值展开为两个不等式，并结合这些不等式的解来得到原不等式的解。
5. 绝对值不等式的符号法在某些情况下，我们可以使用符号法来解决带绝对值的不等式。
符号法通过考虑绝对值的正负性和相对大小来进行推导和求解。
对于不等式|2x - 1| < |3x + 2|，我们可以通过考虑两个绝对值的正负情况，得到不等式的解集。
6. 绝对值不等式的绝对值最大最小法在解决带绝对值的不等式时，绝对值最大最小法可以帮助我们找到不等式的解集。
该方法通过求解不等式中绝对值的最大值和最小值来确定不等式的解集。
对于不等式|5x - 3| + 2 > 7，我们可以通过找到绝对值的最大值和最小值来得到不等式的解。
7. 深入理解带绝对值的不等式通过上述的解法和技巧，我们可以更深入地理解和解决带绝对值的不等式。
我们也可以应用这些思想和方法来解决更复杂的实际问题，例如在经济学、物理学和工程学等领域。
8. 总结带绝对值的不等式是数学中一个重要的概念，它在理论和实际问题中都有广泛的应用。
九年级数学下册第二单元知识点
九年级数学下册第二单元知识点第二单元知识点：函数与方程一、函数的概念函数是数学中一个很重要的概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数中，我们将输入称为自变量，输出称为因变量。
函数的定义通常写作f(x)，表示函数f对于自变量x的取值所对应的因变量的值。
二、函数的表示形式函数可以用多种方式表示，其中最常见的有函数的关系表达式、函数的图像以及函数的数据表。
1. 函数的关系表达式函数的关系表达式可以用一般方程、隐式方程或者参数方程来表示。
例如，y = 2x + 1就是一个一般方程表示的函数，x和y分别表示自变量和因变量。
2. 函数的图像函数的图像是用坐标系上的点来表示自变量和因变量之间关系的。
通常我们会用平面直角坐标系或者极坐标系来绘制函数的图像，例如y = x^2的图像就是一条抛物线。
3. 函数的数据表函数的数据表是将自变量和因变量的对应关系用表格形式展示出来。
这种方式通常适用于一些特殊函数，例如三角函数。
三、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其关系表达式可以写作y = kx+ b，其中k和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，其斜率k决定了直线向上还是向下倾斜的程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
四、二次函数二次函数的关系表达式可以写作y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是常数。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由系数a的正负决定。
五、绝对值函数绝对值函数的关系表达式可以写作y = |x|。
绝对值函数的图像是一个V字形，其最低点在原点处。
六、反比例函数反比例函数的关系表达式可以写作y = k/x，其中k是常数。
反比例函数的图像是一个超越x轴的一条曲线，当x趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于0。
七、函数的性质函数在数学中有许多的性质，这里我们介绍一些比较常见的。
1. 定义域与值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而函数的值域是指因变量的取值范围。
对于某些函数，其定义域和值域可能存在限制。
高中数学函数图像大全
高中数学函数图像大全1. 常用数学函数1.1. 直线函数直线函数是数学中最简单的函数之一。
它的特点是图像为一条直线，表达式为y=kx+b，其中k和b是常数。
直线函数的图像与直线的斜率和截距有关。
1.2. 平方函数平方函数的图像为抛物线，表达式为y=x2。
平方函数的特点是对称于y轴，并且开口向上。
1.3. 立方函数立方函数的图像为一条类似于S字形的曲线，表达式为y=x3。
立方函数的特点是对称于原点，并且开口向上。
1.4. 平方根函数平方根函数的图像为一条向右开口的抛物线，表达式为 $y = \\sqrt{x}$。
平方根函数的特点是定义域为非负实数集。
1.5. 绝对值函数绝对值函数的图像为一条折线，表达式为y=|x|。
绝对值函数的特点是对称于y轴，并且在原点处转折。
2. 复合函数复合函数是由两个或多个函数相互组合而成的函数。
其图像可以通过将各个函数的图像进行组合来得到。
3. 反函数反函数是与给定函数互为反函数的函数。
其图像可以通过将给定函数的图像关于直线y=x进行对称得到。
4. 常见函数图像的变换常见函数图像可以通过平移、伸缩、翻转等操作进行变换，从而得到新的函数图像。
4.1. 平移变换平移变换是将函数图像沿x轴或y轴方向移动的操作。
对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x−a)或y=f(x)+b。
4.2. 伸缩变换伸缩变换是将函数图像在水平或垂直方向进行拉伸或压缩的操作。
对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为 $y = a \\cdot f(bx)$。
4.3. 翻转变换翻转变换是将函数图像关于x轴或y轴进行翻转的操作。
对于函数y=f(x)，翻转变换的一般形式为y=−f(x)或y=f(−x)。
5. 实际应用数学函数图像在实际应用中起到了重要的作用。
例如，在物理学中，函数图像可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，函数图像可以用来描述经济变量之间的关系；在计算机科学中，函数图像可以用来进行数据的可视化等。
绝对值的概念与运算规则
绝对值的概念与运算规则在数学的广阔天地中，绝对值是一个十分基础且重要的概念。
它看似简单，却在解决各种数学问题时发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探索绝对值的奥秘，了解其概念与运算规则。
绝对值的定义可以简单地表述为：一个数在数轴上所对应点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。
用符号“｜｜”来表示。
例如，数字 5的绝对值写作｜5|，数字－5 的绝对值写作｜－5|，且｜5| ＝｜－5|＝ 5。
从几何角度理解，绝对值就是距离。
无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是非负的。
这就好像在一条数轴上，正数在原点的右边，负数在原点的左边，但它们到原点的距离，也就是绝对值，始终是一个非负数。
再从代数角度来看，绝对值的定义可以更精确地表述为：当一个数大于等于 0 时，它的绝对值就是它本身；当一个数小于 0 时，它的绝对值是它的相反数。
用数学式子表示就是：若a ≥ 0，则｜a| ＝ a；若 a ＜ 0，则｜a| ＝ a 。
例如，｜3| ＝ 3，因为 3 大于 0 ，所以其绝对值就是它本身 3 。
而｜－3| ＝ 3 ，因为－3 小于 0 ，所以其绝对值是它的相反数 3 。
了解了绝对值的概念，接下来让我们看看绝对值的运算规则。
首先是加法运算。
当两个数同号时（即同为正数或同为负数），它们绝对值的和等于它们和的绝对值。
例如，｜2| ＋｜3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 ，而｜2 ＋ 3| ＝ 5 ，两者相等。
当两个数异号时（即一个为正数，一个为负数），它们绝对值的差的绝对值等于它们和的绝对值。
例如，｜5| ｜－3| ＝ 5 3 ＝ 2 ，而｜5 ＋（－3)｜＝｜2| ＝ 2 。
然后是减法运算。
对于任意两个数 a 和 b ，｜a b| 的值等于 a 和 b差值的绝对值。
例如，｜7 2| ＝｜5| ＝ 5 。
乘法运算中，两个数乘积的绝对值等于它们绝对值的乘积。
假设 a和 b 是两个实数，那么｜a × b| ＝｜a| ×｜b| 。
含绝对值函数的图象
含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。
高中数学知识点总结不等式与绝对值函数
高中数学知识点总结不等式与绝对值函数高中数学知识点总结：不等式与绝对值函数在高中数学中，不等式与绝对值函数是重要的数学知识点之一。
本文将对不等式与绝对值函数的概念、性质以及解题方法进行总结与归纳。
一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等号描述数之间大小关系的表示方式。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
二、不等式的性质1.等式性质：不等式两边同时加上（或减去）相同的数，不等式的大小关系不变。
2.乘法性质：不等式两边同时乘以正数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时乘以负数，不等式的大小关系颠倒。
3.除法性质：不等式两边同时除以正数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时除以负数，不等式的大小关系颠倒。
4.倒置性质：不等式两边同时取反，不等式的大小关系颠倒。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次幂的不等式。
1.将一元一次不等式转化为等式：将不等式两边各加上或减去x，使得一边的系数为0，然后根据等式的性质求解。
例子：解不等式2x-5>3x+2。
解：将不等式转化为等式，得2x-3x=5+2。
化简得-x=7，因此x=-7。
答案：不等式2x-5>3x+2的解集为x<-7。
2.利用不等式的性质解决问题：根据不等式的性质，对不等式进行合理的变形，化简为已知形式，然后根据已知条件解不等式。
例子：已知不等式2x-5>3x+2，求x的取值范围。
解：将已知不等式化简得x<-7。
答案：x的取值范围是x<-7。
四、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次幂的不等式。
1.求解一元二次不等式的过程分为以下几个步骤：1）将不等式化为二次函数的标准形式：将不等式移项，使得不等式右边为0。
2）求二次函数的零点：将二次函数化为一元二次方程，并解得方程的根。
3）根据二次函数的凹凸性及图像与x轴的位置关系确定不等式的解集。
abs(absolute value) 绝对值函数 运算 解释说明
abs(absolute value) 绝对值函数运算解释说明1. 引言1.1 概述绝对值函数，又称为绝对值运算，是数学中常见且重要的一种函数运算。
通过计算数值的绝对值，我们可以得到一个非负数作为结果。
在实际问题中，绝对值函数具有广泛的应用，能够帮助我们解决距离、速度、不等式等各种问题。
本文将深入探讨绝对值函数的定义、性质、运算法则以及在实际问题中的应用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、绝对值函数的定义和性质、绝对值函数的运算法则、绝对值函数在实际问题中的应用以及结论。
以下将逐一介绍每个部分所涵盖的内容。
1.3 目的本文旨在阐述和详解绝对值函数这一基础而重要的数学概念。
通过深入理解绝对值函数的定义与性质，学习其运算法则以及掌握如何应用于实际问题中求解，读者能够进一步加强对这一概念的理解，并通过案例学习提高解决实际问题时使用该方法的能力。
同时，文章也会引导读者进一步探索相关领域的研究和实践应用，以便拓宽知识视野和增进学习效果。
以上是文章“1. 引言”部分的内容。
2. 绝对值函数的定义和性质2.1 定义绝对值函数是数学中常见且重要的一类函数，通常表示为| |符号。
对于任意实数x，绝对值函数将其映射为非负实数，即整数或零。
具体地说，绝对值函数的定义如下：如果x大于等于零，那么| x | = x。
如果x小于零，那么| x | = -x。
绝对值函数可以理解为一个数到其离原点的距离。
无论实数是正数、负数还是零，它们与原点的距离都为非负实数。
2.2 基本性质绝对值函数具有以下几个基本性质：性质1：非负性。
绝对值函数的取值范围始终为非负实数。
性质2：正定性。
当且仅当x等于零时，| x | 等于零，否则不等于零。
性质3：对称性。
对于任何实数x来说，| x | 等于|-x|，也就是说绝对值函数关于y轴是对称的。
性质4：三角不等式。
对于任意两个实数a和b来说，有| a + b | ≤| a | + | b | 成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
茅盾中学导学案 高一数学选修A 编写：姚根学 2014.10.26
3、简单绝对值函数的图像与性质
一、作图
1、作出下列各函数的图象．
（1）1|12|xy； （2）|2|xxy
2、已知函数32)(2xxxf，分别作出|)(|xfy，|)(|xfy 的图象
二、性质
3、函数qpxxxxf)(是奇函数的条件是___________．
函数f(x)＝x－1x＋1的单调递增区间为___________．
函数21)(2xaxxf在,0上单调递增，则a的取值范围是___________．
设函数f(x)＝1－1x(x>0)．若0
4、|1||1|xxy； 1|1|22xxy
5、已知函数1)(2xxf，|1|)(xaxg.
（1）若关于x的方程)(|)(|xgxf只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）求函数)(|)(|)(xgxfxh在区间[-2,2]上的最大值．
茅盾中学导学案 高一数学选修A 编写：姚根学 2014.10.26
3、简单绝对值函数的图像与性质
1、已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为 ( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) 3、函数y＝log2 |x|x的大致图象是( ) 4、已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m A．12，2 B．12，4 C．22，2 D．14，4 7、函数2xxy的递减区间是_ ______． 10、已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈13，2都有|f(x)|≤1成立，则a的 13、设函数2()|2|(,fxxxaxRa为实数).
2、已知函数f(x)＝||xa在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)
5、函数12xy关于直线___________对称．
6、函数baxxxf||)(是奇函数，则a________；b__ _．
8、若函数f(x)=a2bx在[0,+∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是 .
9、函数|1||1|yxx的值域为 ______．
取值范围是______ __．
11、已知t为常数，函数2|2|yxxt在区间[0,3]上的最大值为3，则实数t_____.
茅盾中学导学案 高一数学选修A 编写：姚根学 2014.10.26
12、设函数axaxxf||)(，其中a为常数.
（1）解不等式0)(xf；
（2）若函数)(xf存在最小值，求实数a的取值范围，并求出相应的最小值.
（1）若()fx为偶函数，求实数a的值；
（2）a=2时，讨论函数)(xf的单调性；
（3）设2a，求函数()fx的最小值.