高中数学 (3.1.2 两条直线平行与垂直的判定)示范教案 新人教A版必修2
高中数学必修2：3.1 两条直线平行与垂直的判定 教案1
“两条直线平行与垂直的判定”教学设计一、教材分析.本节课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的3.1.2介绍的两条直线平行与垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别。
值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明。
新课改对必修课程最突出的要求是：“力求体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系，体现数学知识的发生、发展过程和实际应用”.而解析几何本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想.对于本节内容是在学习直线的倾斜角与斜率的基础上，重点是通过代数方法得到两条直线的平行与垂直的几何结论，正体现了用代数方法研究几何问题的思想。
本节的知识结构是↓二、课标的分析<<普通高中数学课程标准>>明确指出将直线的倾斜角代数化，在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线的几何要素；能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
从课标中这部分内容标准的要求，可看出：在教学中，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时应注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力。
三、教学对象的分析学生在学习本节课之前，已经在初中学过平面内两条直线平行的判定，在前面也学过了空间中直线与直线平行的判定，为本节课的学习奠定了一定的基础。
因此，学生学习本节课的困难不是很大，但是也该预见到学生的基础参差不齐，并且没有形成良好的学习习惯，不愿意动手、动脑，这也给教学带来了一定的难度。
四、教学目标的设计1．知识与技能：掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件；能用解析法解决平面几何问题。
2．过程与方法：在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上，本节将从新的角度来研究平面内两条直线的平行或垂直关系，理解数形结合的数学思想。
教案高一数学人教版必修二 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
双峰一中高一数学必修二教案
科目：数学
课题
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定
课型
新课
教学目标
(1)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(2)通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. (3)通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学过程
教学内容
备注问
三、
问题探究
四、
课堂检测
五、
小结评价
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件1 新人教A版必修2
或k1，k2都不存在 两条直线平行，它们的斜率相等吗？
前提:两条直线不重合,斜率都存在
L1// L2 k1=k2
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么
L1∥L2 k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
y
D
COABiblioteka xB当L1// L2时，有k1=k2。 L1⊥ L2时，
k1与k2满足什么关系？
y
1
2
x
(1) 1 450
2 1350
k1 1 k 2 1
Y
(2) 1 300
2 1200
k1
3 3
k2 3 Y
(3) 1 600
2 1500
k
k
1 2
3 3
3
Y
1
2 X
(1)
1
2X
(2)
练习：
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）， Q（6，6），试判断直线BA与PQ的位置关系.
k 解：直线AB的斜率 2 ,
AB 3
k 直线PQ的斜率 3 .
PQ
2
k k 由于
2 （ 3） 1
3 AB PQ
2
所以直线AB PQ.
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
一、知识内容上
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，
缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
数学3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件(新人教A版必修2)
C
A
O
x
B
练习1: 设点A(3,6),B(3,9),C(7,6),D(x,10), 当直线AB与CD平行时,x=__7_____
问题：L1⊥ L2时，k1与k2满足什么关
系？
y
l2
l1
2= 1+90
O
α1
α2
x
前提条件：两不条等直于线零都. 有斜率，并且都
L1⊥ L2 k1k2= -1
k不存在Biblioteka 90 a 180 k tan a 0
4、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
问题：如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满
足什么关系？ 它们的斜率呢？
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合 L1// L2 L1// L2
例3、已知A（-6，0），B（3，6）， P（0，3） Q（6，-6）， 判断直线AB与PQ的位置关系。
例4、已知A（5，-1），B（1，1）， C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。
y
C
B
O
x
A
练习2
试确定m的值,使过点A(m,1), B(1, m)
的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线
直线倾斜角相等
k1=k2 或k1，k2都不存在
前提:两条直线不重合,斜率都存在
L1// L2 k1=k2
例1、已知A（2，3），B（-4，0），
P（-3，1），Q（-1，2），
试判断直线BA与PQ的位置关系，
并证明你的结论。
y
A Q
P
B
O
【数学】3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定课件(人教A版必修2)1
(２)当AD∥BC时,由于CD⊥BC x则 k =k , 且 k k =-1 AD BC BC CD 解得：a＝3，b＝3 此时ＡB与CD不平行。
小结
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2.
条件：不重合、都有斜率
垂直：如果两条直线l1、l2都有斜率，且 分别为k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
复习
直线的倾斜角
斜率
k tan ( 90 )
斜率公式
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
定义
三要素
范围
0,180
k ,
k ,
情境导入
y
己知直线l1过点A(0,0) 、B(2,-1),直线l2过点C l2 (4,2) 、D(2,-2),直线l3过点M(3,-5) 、N(-5,-1), 你 能在同一个坐标系内画出这三条直线,并根据 O x 图形判断三直线之间的位置关系吗?它们的斜 l1 率之间又有什么关系?
x
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且 分别为k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
(√)
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
(×)
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?
(×)
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2 (2)
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8
2．两条直线垂直的判定 (1)当两条直线l1与l2斜率都存在时，有k1·k2＝－1⇒l1⊥l2； 当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，也有l1⊥l2. (2)若l1⊥l2，则有k1·k2＝－1或一条直线斜率不存在，同时 另一条直线的斜率为零． 3．如何判断两条直线的平行与垂直 判断两条直线平行或垂直时，要注意分斜率存在与不存在 两种情况作答．
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9
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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10
典例剖析 一 直线平行问题
【例1】 下列说法中正确的有( )
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1
＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的 斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则
两直线平行．
校 对 k1·k2＝－1 k1·k2＝－1
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7
名师讲解 1.两条直线平行的判定
(1)l1∥l2，说明两直线l1与l2的倾斜角相等，当倾斜角都不
等于90°时，有k1＝k2； 当倾斜角都等于90°时，斜率都不存在；这时两直线平行
或重合． (2)当k1＝k2时，说明两直线l1与l2平行或重合．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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11
【解析】 当k1＝k2时，两直线平行或重合，所以①不成 立．
在②中，斜率可能不存在，所以不成立． 在④中，直线也可能重合，所以不成立． 因此，只有③正确．
【答案】 A
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12
规律技巧 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊 情况，如两直线重合，斜率不存在等.一般情况都成立，只有一 种特殊情况不成立，则该命题就是假命题.
高中数学312两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修2
两条直线平行的判定 [例1] 根据以下给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平 行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8， －7)； (2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB＝
4－2 －2m－4－－m－3
＝
2 －m＋1
，kCD＝
3m＋2－m 3－－m
＝2mm＋＋31.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1. 综上，m的值为1或－1.
[随堂即时演练] 1．以下说法正确的有( ) ①假设两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行； ②假设l1∥l2，那么k1＝k2； ③假设两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线
条直线垂直，所以③错；④正确．
答案:A
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，那么l1与
l2的
位置关系是( )
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
解析：设l1，l2的斜率分别为k1，k2，那么k1·k2＝－1.
答案：D
3．△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的
[类题通法] 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，假设相等， 那么直线的斜率不存在，假设不相等，那么进展第一步．
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进展判断．尤其是点的坐标中 含有参数时，应用斜率公式要对参数进展讨论． 总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1 与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2
1．经过两点 A(2,3)，B(－1，x)的直线 l1 与经过点 P(2,0)且斜 率为 1 的直线 l2 平行，求 x 的值．
【解析】设直线 l1 的斜率为 k，则 k＝3－3 x. ∵l1∥l2，∴k＝1＝3－3 x，∴x＝0.
第十三页，共25页。
题型二 两条直线的垂直问题 【例 2】 判断下列各题中的直线 l1，l2 是否垂直： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(1,2)，l2 经过点 P(－2，－1)，Q(2,1)； (2)l1 经过点 A(3,4)，B(3,6)，l2 经过点 P(－5,20)，Q(5,20)． 思路点拨：利用斜率直接证明，当 k1·k2＝－1 时，两直线垂直．
课堂总结 1．判断两条不重合的直线 l1 与 l2 平行，即判断两直线的斜率 k1＝k2，也可判断两直线的倾斜角相等．在利用 k1＝k2 来判断 l1 与 l2 平行时，一定要注意斜率的存在与否，但利用倾斜角相等来判断 两直线平行，则无需讨论． 2．判断两直线 l1 与 l2 垂直，即判断两直线的斜率 k1 与 k2 之积 为－1 或其中一条直线的斜率不存在并且另一条直线的斜率为 0. 3．无论是判断两条直线平行或垂直，都需注意特殊情况的讨 论，即注意分类讨论思想方法的运用．
第三页，共25页。
自主探究 探究 1：若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 【答案】不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
第四页，共25页。
探究 2：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1 吗？ 【答案】不一定，如果两条直线 l1，l2 中的一条与 x 轴平行(或 重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中 一条的倾斜角为 0°，另一条的倾斜角为 90°，从而一条直线的斜率 为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
高中数学 第三章 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与 过点 C(－4,3)，D(0,5)的直线平行． 解 由题意得：kAB＝－5－m－m0＋1＝－6m－m，
kCD＝0－5－－34＝12. 由于 AB∥CD，即 kAB＝kCD， 所以－6m－m＝12，所以 m＝－2.
2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是 否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若 一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在，则两直 线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积 是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线 平行.
跟踪训练 3 已知 A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系． 解 直线 AB 的斜率 kAB＝23，直线 PQ 的斜率 kPQ＝－32.
由 kAB·kPQ＝23×－32＝－1，所以直线 AB⊥PQ.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．已知点 A(1,2)，B(m,1)，直线 AB 与直线 y＝0 垂直，则
问题 4 对任意两条直线，如果 l1⊥l2，一定有 k1·k2＝－1 吗？ 为什么？
答 不一定，因为如果直线 l1 和 l2 分别平行于 x、y 轴，则 k2 不存在，所以 k1·k2＝－1 不成立． 小结 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们 的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直，即 k1k2＝－1⇒l1⊥l2.
是零，那么 l1 与 l2 的位置关系是垂直 ．
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境] 为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜 率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问 题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率 来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个 问题．
高中数学人教a版必修二课件：3.1.2《两直线平行与垂直的判定》
两直线垂直的判定
1.如果两直线垂直，这两条直线
用几何画板演示两直线垂直
的倾斜角可能相等吗？
y
2.如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1
l2
l1
与α2，且α1<α2，若l1⊥l2，则α1与α2
之间有什么关系？
O
α1 α2
x
已知
前提: 两条直线斜率都存在
直线l1与l2的斜率k1、k2之间的关系是
特别地：两直线的倾斜角一条为0° ，另一条为90°，
问题引入：
平面内常见的两条直线位置关系是平行与垂直，斜
率反映了直线相对于x轴的倾斜程度，能否用斜率判
断两条直线之间的平行和垂直关系呢？
两直线平行的判定
用几何画板演示两直线平行
1.若两条直线平行,则它们的倾斜角有什么关系？
斜率有什么关系？反之成立吗？
y
l1
前提:两条直线不重合
α1
若两条直线平行，则它们的倾斜角 O
互相垂直.
结论： 或 k1, k2中一个为0, 另一个不存在.
y
l2
l1
O
x
例3.已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3), Q(6，-6)，判 断直线AB与PQ的位置关系。
例4.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，
试判断△ABC的形状。
y C
B
O
x
A
练习2. 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2 经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝ 5或－6 .
相等，斜率相等或都不存在。
反之，两条不同直线的斜率相等，
倾斜角就相等，则它们平行。
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1 / 4
张喜林制
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
整体设计
教学分析
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间
的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以
便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，
容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
三维目标
1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条
件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.
2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考
要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.
重点难点
教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.
教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相
等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条
件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?
思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂
直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？
③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？
④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？
⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？
⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？
活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交
的特例.
②数形结合容易得出结论.
③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.
④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
2 / 4
图1
充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,
∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.
⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.
讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.
③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.
④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.
⑤l1∥l2k1=k2.
⑥l1⊥l2k1k2=-1.
应用示例
例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置
关系，并证明你的结论.
解:直线BA的斜率kBA=)4(203=0.5,
直线PQ的斜率kPQ=)3(112=0.5,
因为kBA=kPQ.所以直线BA∥PQ.
变式训练
若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m的值为( )
A.21 B.-21 C.-2 D.2
分析：kAB=kBC,32122332m,m=21.
答案：A
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四
边形ABCD的形状，并给出证明.
解：AB边所在直线的斜率kAB=-21,
CD边所在直线的斜率kCD=-21,
BC边所在直线的斜率kBC=23,
DA边所在直线的斜率kDA=23.
3 / 4
因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
变式训练
直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，
k2.
（1）a=_____________时，α1=150°；
（2）a=_____________时，l2⊥x轴；
（3）a=_____________时，l1∥l2；
（4）a=_____________时，l1、l2重合；
（5）a=_____________时，l1⊥l2.
答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5
知能训练
习题3.1 A组6、7.
拓展提升
问题：已知P（－3，2），Q（3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的
延长线相交，试分别求出a的取值范围.（图2）
图2
解：直线l：ax+y+3=0是过定点A（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知PQ、AQ、AP、
l的斜率分别为：kPQ=31，kAQ=37，kAP=35，k1=-a.
若l与PQ延长线相交，由图,可知kPQ＜k1＜kAQ，解得-37＜a＜-31；
若l与PQ相交，则k1＞kAQ或k1＜kAP，解得a＜-37或a＞35；
若l与QP的延长线相交，则kPQ＞k1＞kAP，解得-31＜a＜35.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.
2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.
3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括
能力.
4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.
作业
习题3.1 A组4、5.
设计感想
本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,
4 / 4
以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，
合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发
现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.