苏教版高中数学必修一对数函数教案(4)

对数函数 教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； （2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； （3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法． 教学重点：掌握对数函数的图象和性质． 教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程： 一、引入课题 1．（知识方法准备） ○1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质． ○2 对数的定义及其对底数的限制． 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备． 2．（引例） 教材P81引例 处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系Pt215730log，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进

而引入对数函数的概念） 二、新课教学 （一）对数函数的概念

1．定义：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数（logarithmic function） 其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy2log2，

5log5xy 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制：0(a，且)1a． （二）对数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： ○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）

（1） xy2log （2） xy21log

（3） xy3log （4） xy31log ○2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 图象特征 函数性质 1a 1a0 1a 1a0 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11



自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log,1xxa 0log,10xx

a

第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 0log,10xx

a 0log,1xx

a

○3 思考底数a是如何影响函数xyalog的．（学生独立思考，师生共同总结） 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 三、例题导析

例1．求函数141log21xxy的定义域． 解：01log01421xxx 即02141xxx ∴函数的定义域为}.41210\{xxx且 点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式． 例2．比较下列各组数的大小，并说明理由．

（1）8.0log7.0log3131与． （2）.3loglog88与 （3）.3log41log8.06.0与

解：（1）xy31log,1310是减函数，.8.0log7.0log3131 （2）xy8log,81是增函数，.3loglog88 （3）.3log41log,03log,041log8.06.08.06.0 教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函 数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三个数以上比较大小，0和1 是两把尺度。

例3．求函数)65(log22xxy 定义域、值域、单调区间． 解：定义域为.230652xxxx或 41)25(6522xxxu （x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略）

0＜u＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）． 原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）． 学生演板：

（1）已知f（x）的图象g（x）=x)41(的图象关于直线y=x对称，求)2(2xxf的单调减

区间．（先求g（x）=x)41(的反函数),2(log)2(,log)()(2412411xxxxfxxgxf 单调减区间为（0，1]）

例4．设函数.11lg21)(xxxxf （1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明； （2）若f（x）的反函数为)(1xf，证明方程)(1xf=0有唯一解． 分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断．（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数．

解：（1）由02011xxx 解得函数f（x）的定义域为（-1，1）．

设,1121xx则)11lg11(lg)2121()()(11222121xxxxxxxfxf =)1)(1()1)(1(lg)2)(2(21212121xxxxxxxx 又,0)2)(2(,0,0)2)(2(21212121xxxxxxxx 又（1+,0)1)(1(,0)1)(2121xxxx .0)1)(1()1)(1(lg111)1)(1()1)(1(02121211221212121xxxxxxxxxxxxxx

xx

,0)()(12xfxf即).()(12xfxf 故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数． （2）这里并不需要先求出f（x）的反函数)(1xf，再解方程.0)(1xf

,0)21(,21)0(1ff即21x是方程0)(1xf的一个解．

若方程0)(1xf还有另一解,210x则.0)(01xf又由反函数的定义知21)0(0xf 这与已知矛盾． 故方程0)(1xf有唯一解． 教师点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握．可先用数字试探 一下，以便做到心中有数．（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反 函数） （2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数 定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我 们甚至可以求解不等式；

.21)]21([xxf请读者自己完成．

例5．若函数)1(log)(221axxxf （1）若函数的定义域为R，求a的取值范围． （2）若函数的值域为R，求a的取值范围．

（1）若函数在)31,(上是增函数，求a的取值范围．

解：（1）定义域为R，是指不等式012axx的解集为R，即042a .22a

（2）值域为R，是指12axxu能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需 042a即2a或.2a

（3）1)(2axxxu在)31,(上为减函数且大于0，由图象可知： .2331)31(2312101)31()31(2aa

a

教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R．值域为R指对数函数的真数 能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负 数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细

研究．在（3）中特别要注意在区间)31,(上函数大于0．

例6．已知函数2222log)1(xxxfm )1,0(mm且 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）解关于x的方程;1log)(xxfm

（3）解关于x的不等式：)13(log)(xxfm 解：（1）设,12tx则,11log)1(21log)(,12tttttftxmm ,11log)(xxxfm它的定义域为（-1，1）．),1,1(),1,1(xx

),()11(log11log)(1)(1log)(1xfxxxxxxxfmmm∴f（x）为奇函数．

（2）由f（x）=,1logxm即,1log11logxxxmm得102101011111xxxxxxxx .21x （3）由)13(log)(xxfm即)13(log11logxxxmm得：

（a）当m＞1时，0131311xxxx解得：.131031xx或

（b）当10m时，0111311xxxxx 解得：.310x 由（a）、（b）知，当m＞1时，原不等式解集为}131031|{xxx或