矩形菱形正方形四边形练习
矩形菱形正方形(共39题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编
矩形菱形正方形(39题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°D.80°【答案】C【分析】根据菱形的性质可得BD⊥AC,AB∥CD，则∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，进而即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC,AB∥CD，∴∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=90°-20°=70°,故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF,DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为()A.80°B.90°C.105°D.115°【答案】C【分析】首先根据正方形的性质得到∠OAD=∠ODA=45°，AO=DO，然后结合EF∥AD得到OE= OF，然后证明出△AOF≌△DOE SAS，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠OAD=∠ODA=45°，AO=DO∵EF∥AD∴∠OEF=∠OAD=45°，∠OFE=∠ODA=45°∴∠OEF=∠OFE∴OE=OF又∵∠AOF=∠DOE=90°，AO=DO∴△AOF ≌△DOE SAS∴∠ODE =∠FAC =15°∴∠ADE =∠ODA -∠ODE =30°∴∠AED =180°-∠OAD -∠ADE =105°故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3(2023·湖南常德·统考中考真题)下列命题正确的是()A.正方形的对角线相等且互相平分B.对角互补的四边形是平行四边形C.矩形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明△ABD 是等边三角形，由AC ⊥BD ，得到∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，即可得到OB =12AB =12，利用勾股定理求出AO 的长度，即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=AD，AC⊥BD，AO=OC=12AC，∵∠DAB=60°，且AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∵AC⊥BD，∴∠OAB=12∠BAD=30°，∠AOB=90°，∴OB=12AB=12，∴AO=AB2-OB2=12-12 2=123，∴AC=2AO=3，故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．5(2023·上海·统考中考真题)在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是()A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A：∵AB∥CD，AD∥BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故A不符合题意B：∵AD=BC，AD∥BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故B不符合题意C：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠B∴∠A=∠B=90°∵AB=CD∴ABCD为矩形故C符合题意D：∵AD∥BC∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠D∴∠D+∠B=180°∴ABCD不是平行四边形也不是矩形故D不符合题意故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE ，连结AE ,AD ，设△AED ，△ABE ，△ACD 的面积分别为S ,S 1,S 2，若要求出S -S 1-S 2的值，只需知道()A.△ABE 的面积B.△ACD 的面积C.△ABC 的面积D.矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG ∥BC ，交EB 的延长线于点F ，DC 的延长线于点G ，易得：FG =BC ,AF ⊥BE ,AG⊥CD ，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得S 1+S 2=12S 矩形BCDE ，再根据S =S △ABC +S 矩形BCDE -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE ，得到S -S 1-S 2=S △ABC ，即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG ∥BC ，交EB 的延长线于点F ，DC 的延长线于点G ，∵矩形BCDE ，∴BC ⊥BE ,BC ⊥CD ,BE =CD ，∴FG ⊥BE ,FG ⊥CD ，∴四边形BFGC 为矩形，∴FG =BC ,AF ⊥BE ,AG ⊥CD ，∴S 1=12BE ⋅AF ,S 2=12CD ⋅AG ，∴S 1+S 2=12BE AF +AG =12BE ⋅BC =12S 矩形BCDE ，又S =S △ABC +S 矩形BCDE -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE ，∴S -S 1-S 2=S △ABC +12S 矩形BCDE -12S 矩形BCDE =S △ABC ，∴只需要知道△ABC 的面积即可求出S -S 1-S 2的值；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到S 1+S 2=12S 矩形BCDE 7(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在矩形ABCD 中，AB >AD ，AC 与BD 相交于点O ，下列说法正确的是()A.点O 为矩形ABCD 的对称中心B.点O 为线段AB 的对称中心C.直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D.直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A【分析】由矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段AB的对称中心是线段AB的中点，矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意；线段AB的对称中心是线段AB的中点，故B不符合题意；矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故C，D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM=PC，则AM的长为()A.33-1B.333-2C.63-1D.633-2【答案】C【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出△ADM≅△CDM，根据全等三角形的性质可得∠DAM=∠DCM，再根据等腰三角形的性质可得∠CMP=∠DCM，从而可得∠DAM=30°，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°，在△ADM和△CDM中，DM=DM∠ADM=∠CDM=45°AD=CD，∴△ADM≅△CDM SAS，∴∠DAM=∠DCM，∵PM=PC，∴∠CMP=∠DCM，∴∠APD=∠CMP+∠DCM=2∠DCM=2∠DAM，又∵∠APD+∠DAM=180°-∠ADC=90°，∴∠DAM=30°，设PD=x，则AP=2PD=2x，PM=PC=CD-PD=6-x，∴AD=AP2-PD2=3x=6，解得x=23，∴PM=6-x=6-23，AP=2x=43，∴AM=AP-PM=43-6-23=63-1，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．9(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连结OE ．若AC =6，BD =8，则OE =()A.2B.52C.3D.4【答案】B【分析】先由菱形的性质得AC ⊥BD ，OC =12AC =12×6=3，OB =12BD =12×8=4，再由勾股定理求出BC =5，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OC =12AC =12×6=3，OB =12BD =128=4，∴由勾股定理，得BC =OB 2+OC 2=5，∵E 为边BC 的中点，∴OE =12BC =12×5=52故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．10(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ．若AB =2，BC =4，则四边形EFGH 的面积为()A.2B.4C.5D.6【答案】B【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形，FH =AB =2，GE =BC =4，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF ⊥GH ，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵FH =AB =2，GE =BC =4，∴菱形EFGH的面积为12FH⋅GE=12×2×4=4．故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE =OF．点E关于AD,AB的对称点为E1,E2；点F关于BC,CD的对称点为F1,F2．在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，∵OE=OF、OB=OD，∴DF=EB∵对称，∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2,DE=DE1∴E1F2=E2F1∵对称，∴∠F2DC=∠CDF=60°，∠EDA=∠E1DA=30°∴∠E1DB=60°，同理∠F1BD=60°，∴DE1∥BF1∴E1F2∥E2F1∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如图所示，当E,F,O三点重合时，DO=BO，∴DE1=DF2=AE1=AE2即E1E2=E1F2∴四边形E1E2F1F2是菱形，如图所示，当E,F分别为OD,OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，在Rt△ABD中，AB=2,AD=23，连接AE，AO，∵∠ABO=60°，BO=2=AB，∴△ABO是等边三角形，∵E为OB中点，∴AE⊥OB，BE=1，∴AE=22-12=3，根据对称性可得AE1=AE=3，∴AD2=12,DE21=9,AE21=3，∴AD2=AE21+DE21，∴△DE1A是直角三角形，且∠E1=90°，∴四边形E1E2F1F2是矩形，当F,E分别与D,B重合时，△BE1D,△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12(2023·重庆·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为()A.2B.3C.1D.2【答案】D【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB =BC =BE ，∠ABC =90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE =45°，再证明△ABF ≌△EBF ，求得∠AFC =90°，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BE =BC ，∠ABC =90°，AC =2AB =22，∴∠BEC =∠BCE ，∴∠EBC =180°-2∠BEC ，∴∠ABE =∠ABC -∠EBC =2∠BEC -90°，∵BF 平分∠ABE ，∴∠ABF =∠EBF =12∠ABE =∠BEC -45°，∴∠BFE =∠BEC -∠EBF =45°，在△BAF 与△BEF ,AB =EB∠ABF =∠EBF BF =BF，∴△BAF ≌△BEF SAS ，∴∠BFE =∠BFA =45°，∴∠AFC =∠BAF +∠BFE =90°，∵O 为对角线AC 的中点，∴OF =12AC =2，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE =45°是解题的关键．二、解答题13(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)证明：△BOF ≌△DOE ；(2)连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据矩形的性质得出AD ∥BC ，则∠1=∠2,∠3=∠4，根据O 是BD 的中点，可得BO =DO ，即可证明△BOF ≌△DOE AAS ；(2)根据△BOF ≌△DOE 可得ED =BF ，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【详解】(1)证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∵O 是BD 的中点，∴BO =DO ，在△BOF 与△DOE 中∠1=∠2∠3=∠4BO =DO，∴△BOF ≌△DOE AAS ；(2)∵△BOF ≌△DOE∴ED =BF ，又∵ED ∥BF∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ∥AC ,CE ∥BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若BC =3,DC =2，求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)先根据矩形的性质求得OC =OD ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；(2)根据矩形的性质求得△OCD 的面积，然后结合菱形的性质求解．【详解】(1)解：∵ DE ∥AC ,CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵矩形ABCD 中，OC =OD ，∴平行四边形OCED 是菱形；(2)解：矩形ABCD 的面积为BC ⋅DC =3×2=6，∴△OCD 的面积为14×6=32，∴菱形OCED 的面积为2×32=3．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．15(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点O ，OA =3,BD =8,AB =5．(1)△AOB 是直角三角形吗？请说明理由；(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)△AOB 是直角三角形，理由见解析．(2)见解析【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得BO =12BD =4，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．【详解】(1)解：△AOB 是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO =12BD =4，∵OA 2+OB 2=32+42=52=AB 2，∴△AOB 是直角三角形．(2)证明：由(1)可得：△AOB 是直角三角形，∴∠AOB =90°，即AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16(2023·新疆·统考中考真题)如图，AD 和BC 相交于点O ，∠ABO =∠DCO =90°，OB =OC ．点E 、F 分别是AO 、DO的中点．(1)求证：OE =OF ；(2)当∠A =30°时，求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)直接证明△AOB ≌△DOC ASA ，得出OA =OD ，根据E 、F 分别是AO 、DO 的中点，即可得证；(2)证明四边形BECF 是平行四边形，进而根据∠A =30°，推导出△BOE 是等边三角形，进而可得BC =EF ，即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】(1)证明：在△AOB 与△DOC 中，∠ABO =∠DCO =90°OB =OC∠AOB =∠DOC∴△AOB ≌△DOC ASA ，∴OA =OD ，又∵E 、F 分别是AO 、DO 的中点，∴OE =OF ；(2)∵OB =OC ，OF =OE ，∴四边形BECF 是平行四边形，BC =2OB ，EF =2OE ，∵E 为AO 的中点，∠ABO =90°，∴EB =EO =EA ，∵∠A =30°，∴∠BOE =60°，∴△BOE 是等边三角形，∴OB =OE ，∴BC =EF ，∴四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．17(2023·云南·统考中考真题)如图，平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线，且E 、F 分别在边BC 、AD 上，AE =AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若∠ABC =60°，△ABE 的面积等于43，求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)43【分析】(1)先证AD ∥BC ，再证AE ∥FC ，从而四边形AECF 是平行四边形，又AE =AF ，于是四边形AECF 是菱形；(2)连接AC ，先求得∠BAE =∠DAE =∠ABC =60°，再证AC ⊥AB ，∠ACB =90°-∠ABC =30°=∠EAC ，于是有33=AB AC，得AB =33AC ，再证AE =BE =CE ，从而根据面积公式即可求得AC =43．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠BAD =∠BCD ，∴∠BEA =∠DAE ，∵AE 、CF 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线，∴∠BAE =∠DAE =12∠BAD ，∠BCF =12∠BCD ，∴∠DAE =∠BCF =∠BEA ，∴AE ∥FC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：连接AC ，∵AD ∥BC ，∠ABC =60°，∴∠BAD =180°-∠ABC =120°，∴∠BAE =∠DAE =∠ABC =60°，∵四边形AECF 是菱形，∴∠EAC =12∠DAE =30°，∴∠BAC =∠BAE +∠EAC =90°，∴AC ⊥AB ，∠ACB =90°-∠ABC =30°=∠EAC ，∴AE =CE ，tan30°=tan ∠ACB =AB AC 即33=AB AC，∴AB =33AC ，∵∠BAE =∠ABC ，∴AE =BE =CE ，∵△ABE 的面积等于43，∴S △ABC =12AC ⋅AB =12AC ⋅33AC =36AC 2=83，∴平行线AB 与DC 间的距离AC =43．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线l 分别与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．(点E 不与点D 重合)(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当直线l ⊥BD 时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形EBFD 为菱形；理由见解析【分析】(1)根据AAS 证明△DOE ≌△BOF 即可；(2)连接EB 、FD ，根据△DOE ≌△BOF ，得出ED =BF ，根据ED ∥BF ，证明四边形EBFD 为平行四边形，根据EF ⊥BD ，证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】(1)证明：∵点O 为对角线BD 的中点，∴BO =DO ，∵AD ∥BC ，∴∠ODE =∠OBF ，∠OED =∠OFB ，在△DOE 和△BOF 中，∠ODE =∠OBF∠OED =∠OFB BO =DO，∴△DOE ≌△BOF AAS ；(2)解：四边形EBFD 为菱形，理由如下：连接EB 、FD ，如图所示：根据解析(1)可知，△DOE ≌△BOF ，∴ED =BF ，∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 为平行四边形，∵l ⊥BD ，即EF ⊥BD ，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连接EF(1)求证：AE =AF ；(2)若∠B =60°，求∠AEF 的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)60°【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE =AF ．(2)根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE 和∠DAF 度数，从而求出∠EAF 度数，证明了等边三角形AEF ，即可求出∠AEF 的度数．【详解】(1)证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ,∠B =∠D ，又∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．在△AEB 和△AFD 中，∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD，∴△ABE ≌△ADF (AAS )．∴AE =AF ．(2)解：∵菱形ABCD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =60°，∴∠BAD =120°．又∵∠AEB =90°,∠B =60°，∴∠BAE =30°．由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE =∠DAF =30°．∴∠EAF =120°-30°-30°=60°．∵AE =AF ，∴△AEF 等边三角形．∴∠AEF =60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)四边形AEFD是菱形，理由见解析【分析】(1)根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；(2)根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】(1)解：如图所示：(2)四边形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF，∵AE=AD，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21(2023·吉林长春·统考中考真题)将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结AF、CD．(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；(2)己知BC=6cm，当四边形AFDC是菱形时．AD的长为cm．【答案】(1)见解析；(2)18【分析】(1)由题意可知△ACB≌△DFE易得AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°即AC∥DF，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；(2)如图，在Rt△ACB中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得AB=2BC= 12cm，∠ABC=60°；由菱形得对角线平分对角得∠CDA=∠FDA=30°，再由三角形外角和易证∠BCD=∠CDA即可得BC=BD=6cm，最后由AD=AB+BD求解即可．【详解】(1)证明：由题意可知△ACB≌△DFE，∴AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°，∴AC∥DF，∴四边形AFDC地平行四边形；(2)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6cm，∴AB=2BC=12cm，∠ABC=60°，四边形AFDC是菱形，∴AD平分∠CDF，∴∠CDA=∠FDA=30°，∵∠ABC=∠CDA+∠BCD，∴∠BCD=∠ABC-∠CDA=60°-30°=30°，∴∠BCD=∠CDA，∴BC=BD=6cm，∴AD=AB+BD=18cm，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD=BC，AE= BF，CE=DF．(1)求证：AE∥BF；(2)若DF=FC时，求证：四边形DECF是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据题意得出AC=BD，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；(2)方法一：利用全等三角形的判定和性质得出DE=CF，又EC=DF，再由菱形的判定证明即可；方法二：利用(1)中结论得出∠ECA=∠FDB，结合菱形的判定证明即可．【详解】(1)证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD在△AEC和△BFD中，AC=BDAE=BFCE=DF，∴△AEC≌△BFD SSS∴∠A=∠B，∴AE∥BF(2)方法一：在△ADE和△BCF中，AE=BF∠A=∠BAD=BC，∴△ADE≌△BCF SAS∴DE=CF，又EC=DF，∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，∴▱DECF是菱形；方法二：∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA=∠FDB∴EC∥DF，又EC=DF，∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，∴▱DECF是菱形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．23(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；(2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；(2)设EF与AC交于点O，证明△AOE≌△COF ASA，得到OE=OF，得到四边形AFCE为平行四边形，根据EF⊥AC，即可得证．【详解】(1)解：如图所示，MN 即为所求；(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠CAE =∠ACF ，如图：设EF 与AC 交于点O ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，EF ⊥AC ，∵∠AOE =∠COF ，∴△AOE ≌△COF ASA ，∴OE =OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．【点睛】本题考查基本作图-作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．24(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，▱ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ，分别以点B ,C 为圆心，12AC ,12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ,CP ．(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？【答案】(1)平行四边形，见解析；(2)AC=BD且AC⊥BD【分析】(1)根据平行四边形的性质，得到BP=12AC=OC,CP=12BD=OB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．(2)根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．【详解】(1)四边形BPCO是平行四边形．理由如下：∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，∴AO=OC,BO=OD，∵以点B,C为圆心，12AC,12BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴BP=12AC=OC,CP=12BD=OB∴四边形BPCO是平行四边形．(2)∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴AC=BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．25(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：AF=BD；(2)连接BF，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【详解】(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△EDC中，∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，∴△EAF≌△EDC(AAS)；∴AF=CD，∵CD=BD，∴AF=BD；(2)证明：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．26(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．(1)你添加的条件是(填序号)；(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．【答案】(1)答案不唯一，①或②；(2)见解析【分析】(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；(2)通过证明△ABM≌△DCM可得∠A=∠D，然后结合平行线的性质求得∠A=90°，从而得出▱ABCD 为矩形．【详解】(1)解：①或②(2)添加条件①，▱ABCD为矩形，理由如下：在▱ABCD中AB=CD，AB∥CD，在△ABM和△DCM中AB=CD∠1=∠2 BM=CM ，∴△ABM≌△DCM ∴∠A=∠D，又∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A =∠D =90°，∴▱ABCD 为矩形；添加条件②，▱ABCD 为矩形，理由如下：在▱ABCD 中AB =CD ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中AB =CDAM =DM BM =CM，∴△ABM ≌△DCM ∴∠A =∠D ，又∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，∴∠A =∠D =90°，∴▱ABCD 为矩形【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法(有一个角是直角的平行四边形是矩形)是解题关键．27(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 为AB 边上任意一点(不与点A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，DF ∥AC ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，连接EF．(1)求证：四边形ECFD 是矩形；(2)若CF =2，CE =4，求点C 到EF 的距离．【答案】(1)见解析；(2)455【分析】(1)利用平行线的性质证明∠CED =∠CFD =90°，再利用四边形内角和为360°，证明∠EDF =90°，即可由矩形判定定理得出结论；(2)先由勾股定理求出EF =CF 2+CE 2=25，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】(1)证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形ECFD 为平行四边形，∵∠C =90°，∴四边形ECFD 是矩形．(2)解：∵∠C =90°，CF =2，CE =4，∴EF =CF 2+CE 2=25设点C 到EF 的距离为h ，∵S △CEF =12CE ⋅CF =12EF ⋅h ∴2×4=25h∴h=455答：点C到EF的距离为45 5．【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．28(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，BD为对角线．(1)证明：四边形ABCD是平行四边形．(2)已知AD>AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不要求写作法)．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)先证明∠ADB=∠CBD，再证明180°-∠ADB+∠A=180°-∠CBD+∠C，即∠ABD=∠CDB，从而可得结论；(2)作对角线BD的垂直平分线交AD于F，交BC于E，从而可得菱形BEDF．【详解】(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠A=∠C，∴180°-∠ADB+∠A=180°-∠CBD+∠C，即∠ABD=∠CDB．∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．(2)如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键．三、填空题29(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．【答案】AD∥BC(荅案不唯一)【分析】根据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD，可得四边形ABCD成为菱形．【详解】解：添加条件AD∥BC∵AD=BC，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件AB=CD∵AD=BC，AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件OB=OD∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠COB=90°∵AD=BC，OB=OD，∴Rt△AOD≌Rt△COB HL∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．添加条件∠ADB=∠CBD在△AOD与△COB中，∠ADB=∠CBD ∠AOD=∠COB AD=BC∴△AOD≌△COB∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD成为菱形．故答案为：AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．30(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC=60°, BD=10，点F为BC中点，则EF的长为．。
备战中考数学分点透练真题矩形、菱形、正方形(解析版)
第十九讲矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE 沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．6．（2021•嘉峪关）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝cm．【答案】6【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，∴AD＝2EF＝8cm，∵∠EAD＝30°，∴AE＝AD•cos30°＝8×＝4cm，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BEA＝∠EAD＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6（cm），故答案为：6．7．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．【答案】【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意知∠FOD＝2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，∴OE∥BC，∴∠DBC＝∠DOE＝30°，∴BC＝CD＝cm，故答案为．8．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD 于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．9．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB ＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）【答案】①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①③④．故答案为：①③④．10．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．11．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4 （2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．命题点2 菱形的相关证明与计算12．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．13．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故选：D．14．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．15．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD 方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，故选：C．16．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+B．2+2C．2+D．1+2【答案】A【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．17．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF ＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分别是AC的三等分点，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故选：A．18．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3，∴DE＝，设AH＝x，则HE＝2﹣x，∵AD＝BD，DH⊥AB，∴∠ADH＝∠ADB＝30°，∴AD＝2x，DH＝x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²，∴（x）²+（2﹣x）²＝（）²，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝2x＝1+，故选：C．19．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．20．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．【答案】【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝21．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【答案】（1）略（2）②【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．22．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，，∴△OBF≌△ODE（AAS），∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．（2）如图，∵AB•AD＝3，∴S△ABD＝AB•AD＝，∵ED＝2AE，∴ED＝AD，∴S△BDE：S△ABD＝2：3，∴S△BDE＝，∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，∴EF•BD＝4．命题点3 正方形的相关证明与计算23．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．24．（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．25．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．26．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值为2，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．27．（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF•sin60°＝4×＝2，∠F＝90°﹣∠ABF ＝30°，∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，∴EF＝DF•cos∠F＝（2）×＝3﹣，由题知，△ABB'是等边三角形，∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，故选：A．28．（2021•常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF 交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝AE B．PC＝PDC．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案】C【解答】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF＝BE，在△AFD和△BEA中，，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．29．（2021春•新吴区月考）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，5）C．（5，﹣2）D．（﹣1，5）【答案】D【解答】解：如图，过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C，得矩形ACBO，∴AC＝OB，AO＝CB，∵点E的坐标为（2，3），∴ED＝3，OD＝2，∵四边形OEFG是正方形，∴∠EOG＝∠FGO＝90°，∴∠EOD+∠GOB＝90°，∵∠GOB+∠OGB＝90°，∴∠EOD＝∠OGB，在△EOD和△OGB中，，∴△EOD≌△OGB（AAS），∴ED＝OB＝3，OD＝BG＝2，同理可证：△EOD≌△FGC（AAS），∴ED＝CG＝3，OD＝CF＝2，∴AO＝CB＝BG+CG＝3+2＝5，AF＝AC﹣CF＝OB﹣CF＝3﹣2＝1，∴F（﹣1，5）．故选：D．30．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH 于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．31．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．【答案】﹣1【解答】解：∵地毯面积被平均分成了3份，∴每一份的边长为＝，∴CD＝3×＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，又根据剪裁可知BD＝CK＝1，∴AB＝AD﹣BD＝﹣1．故答案为：﹣1．32．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．【答案】【解答】解：设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF＝5，∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13，∵cos∠ADE＝，∴，∴DO＝＝GO，∴EG＝13﹣2×＝，故答案为：．33．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为．【答案】【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．34．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝，故四边形BEDF的周长为8．。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(4) 同步练习
3．3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定⑷ 【新知导读】 讨论： 老师给孩子们一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。 小明剪出了一个正方形后，这样检验它：他比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务。这种检验可信赖吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的。小兵就认为他正确地剪出了正方形。这对吗？ 小英剪了正方形后，比较了由对角线互相分成的四条线段，发现它们都是相等的。按照小英的意见，这说明了剪出的四边形是正方形。你们的意见怎样？ 你们认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 【范例点睛】 例1 如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F，求证：AF—BF=EF． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90° ∵DE⊥AG，BF∥DE ∴∠AED=∠BFA=90° ∴∠BAF+∠EAD=90° ∠EAD+∠ADE=90° ∴∠BAF=∠ADE 在△ABF和△DAE中
BAFADEBFAAEDABAD
∴△ABF≌△DAE（AAS） ∴BF=AE∴AF—BF=AF—AE=EF．
例2 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG． ⑴观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论； ⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，请说明理由． 解：⑴BE=DG． 理由：∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形， ∴BC=DC，EC=GC， ∴∠BCE=∠DCG=90°， ∴△BCE≌△DCG，
GFEDCBA
EF
GD
CBA
怎么写怎么想要证AF-BF=EF只需证BF=AE只需证△ABF≌△DAE只需找两个三角形全等的条件
思考与表述 ∴BE=DG． ⑵由⑴证明的过程知，存在，是Rt△BCE和Rt△DCG． 将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG完全重合． （或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°，可与Rt△BCE完全重合） 【课外链接】
平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题
平行四边形练习 一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面 积相等的平行四边形有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图 （1） 图（2） 图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周 长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的 面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点， 且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。
平行四边形、矩形、菱形-正方形练习题
平行四边形、矩形、菱形、正方形1．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．~3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2．求证：AF＝CE．~4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：（1）AE＝AB；（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．5．如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且BE＝AB，DF＝CD．求证：四边形AECF是平行四边形．-6．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．）7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF 的面积为．！8．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．9．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．|求证：（1）AE＝CF；（2）AF∥CE．10．如图所示，▱ABCD中，E，F分别是AB、CD上的点，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点．（1）求证：四边形ENFM是平行四边形．、（2）若∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．11．在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，连接EF，BD．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；：（2）若∠C+∠ABE＝90°，求证：BD＝EF．12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．<13．如图，在△NMB中，BM＝6，点A，C，D分别在边MB、BN、MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．;14．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE ＝，EF＝|（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．15．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．"（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．）16．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．（1）求证：▱ABCD是矩形．（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求▱ABCD的面积．|17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD （1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．，18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC 延长线上一点，且CE＝3，连结DE．（1）求证：四边形ACED为矩形．（2）连结OE，求OE的长．|19．如图，▱ABCD中，点E在BC延长线上，EC＝BC，连接DE，AC，AC⊥AD于点A．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BD，交AC于点F．若AC＝2AD，猜想∠E与∠BDE的数量关系，并证明你的猜想．|20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝，求DE的长．|21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．/22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．]（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．"23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．24．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；}（2）若AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积．25．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．@（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．！26．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．|27．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．—28．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求OC的长．<29．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．#（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．30．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．（1）求证：四边形EFCD是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．{31．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．【32．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形《33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是正方形．\34．E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形证明你的结论．35．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．；36．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．>37．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．38．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．/39．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．>40．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．41．如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3：4，周长为40cm，求菱形的高及面积．,42．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，~（1）求证：∠DHO＝∠DCO．（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．】43．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，已知AC＝8cm，BD＝6cm，（1）求菱形ABCD的面积．（2）求OE的长度．44．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，DE⊥AB，对角线AC、BD交于点H．（1）求∠ABC的度数；（2）如果菱形的对角线AC＝2，求菱形的面积．<￥45．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．46．如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形（记作B）．（1）若A与B的面积均为Scm2，求S的值．（2）若A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．47．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形48．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ ＝AP．49．如图，已知正方形CDEF的面积为169cm2，且AC⊥AF，AB＝3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．50．如图，正方形ABCD中，AB＝AD，G为BC边上一点，BE⊥AG，于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，EF＝4，求四边形ABED的面积．。
九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析
九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。
16.2 矩形-菱形与正方形的性质同步练习
16.2矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练：1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，求对角线AC的长．(1) (2)4．如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求∠AFD的度数．5．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数．（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C•′位置，若AB=4cm，AD=12cm，求BE的长度．6．已知△ABC，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=6cm，D为AB边上的中点，求CD的长．7．•已知菱形的边长为10cm，•则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．8．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD为∠1，∠2，且∠1：∠2=1：2，AB=3cm，求AC的长．9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm，12cm，则菱形ABCD的面积为多少？10．对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？11．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，• 求证：BE=AE+CF．二、课外演练1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．对角线相等2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为（）A．56cm2 B．28cm2 C．14cm2 D．36cm23．如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，•且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15B．14C．13D．310（第3题）（第6题）（第8题）4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°5．菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______．6．如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长大8cm，矩形周长是80cm，求矩形ABCD的面积．7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°，那么（）A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定8．如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则S△ABE=（）A．60 B．100 C．150 D．2009．能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（） A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形10．如图16-2-21，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（）A．30° B．45° C．60° D．75°（第10题）（第14题）（第15题）11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm，此矩形周长为_____cm．12．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长是_____cm．13．菱形的周长是20cm，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．14．如图，若点P是正方形ABCD内任意一点，且正方形的边长为1，若S△ABP=0.4，则S△DCP =______．15．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如19．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？20．阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，•则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC•是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图16-2-28•②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．答案:一、课内训练：1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=12AC，OB=OD=12BD（矩形对角线相等且互相平分）．∴AO=CO=OB=OD．又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．即AO=BO=AB=4（cm）．∴AC=2×4=8（cm）．点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，若矩形的两条对角线的夹角中，如果有60°或120°的角，则必有等边三角形．2．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD．又∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形．∴AB=AD=BD=5．∴菱形的周长为4AB=5×4=20．点拨：根据菱形的特征，四条边都相等，所以AB=AD，结合∠A=60°，可得△ABD•为等边三角形，从而求得菱形的边长，进而求得菱形的周长．3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形．所以∠BOE=∠AOF=90°，OA=OB．又因为AM⊥EB，所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．所以∠MAE=∠OBE．所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．所以OE=OF．（2）OE=OF仍成立，说明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．因为AM⊥EB，所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．所以∠OEB=∠OFA．所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．所以OE=OF．点拨：要使OE=OF，只需证明△AOF和△BOE重合，根据已知条件和正方形的特征易得到，“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，•若题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立．4．解：∵四边形ABCD是正方形．∴AB=AD，∠BAF=∠DAF．∴△ABF与△ADF全等．∴∠AFD=∠AFB．∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB．∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，∴∠CBE=15°．∵∠ACB=45°，∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFD=60°．点拨：易得△ABF与△ADF全等，∠AFD=∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=45°，转化为求∠EBC的度数，在等腰△BCE中可求得．5．（1）解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∠1+∠2=180°．又∵∠EFG=55°，由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°．∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°．∴∠2=180°-∠1=110°．10．如图，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H，则得矩形BGHC．∴GH=BC=AB，BG=CH，∵∠HGF+∠AGE=90°，∠BAE+∠AGE=90°，∴∠BAE=∠HGF．解①②得 AD=24，AB=16．∴S矩形ABCD=24×16=384（cm2）．点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分．7．B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时，一定有等边三角形．8．B 点拨：S矩形=20×30=600，S△ABC =12×600=300．9．D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角，•而角平分线上的点到角两边的距离相等，因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点．10．B 点拨：由∠DAE=3∠BAE，得∠BAE=22.5°，18．如图19．解：由勾股定理得S A+S B+S C+S D=S最大正方形=49．20．解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边（2）题 (3)题）此时共有3个友好矩形，如图的及ABHK，其中的矩形ABHK证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为．∴L1-L2>0，即L1>L2，同理可得L2>L3．∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决．。
平行四边形、矩形、菱形、正方形综合培优训练
平行四边形、矩形、菱形、正方形综合培优训练1、如图所示，已知□ABCD 中，若AD=2AB ，AB=BF=AE ，则EC 与FD 垂直，试说明理由。
2、如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于H ，求证：CE=BH 。
3、如图所示，在□ABCD 中，AB=2BC ，M 为AB 的中点，求证：CM ⊥DM 。
4、如图所示，某市有一个呈四边形的休闲广场，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均有一颗古树，为了美化城市决定将广场面积扩大一倍，又必须保留这四颗古树，并要求扩建后的休闲广场呈平行四边形，则该市能否实现这一设想？若能，请设计并画出图形；若不能，请说明理由。
（画图要保留痕迹，不写画法）OD C F B AE BH E D A CC B AM DCDBA5、如图所示，在□ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别为AB 、CD 的重点，AB=2AD ，求证：BD=3EF 。
6、如图所示，AD 为△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连接BE ，交AD 于F ，且AE=FE ，试说明：BF=AC 。
7、如图所示，△ABC 为等边三角形，P 是△ABC 内任一点，PD//AB ，PE//BC ，PF//AC ，若△ABC 的周长为12，则PD+PE+PF= 。
8、如图所示，在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四条边上的点，且满足AE=CF ，BG=DH ，连接EF 、GH 。
求证：EF 与GH 互相平行。
9、如图所示，在四边形ABCD 中，AD//BC ，且AD>BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？C BEFDA ACED B F CE DA PB FC GBHDAD CA PBQ10、如图所示，E 为菱形ABCD 边AB 上一点，且AB=AE ，AE 交BD 于O ，且∠DAE=2∠BAE ，求证：EB=OA 。
矩形、菱形与正方形-专题训练(含答案)(可编辑修改word版)
3矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级姓名成绩一、选择题(每小题3 分，共30 分)1.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′ 处，若AE＝2，DE ＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD 的面积是( )A．12 B．24 C．12 D．16第1 题图第2 题图第3 题图第4 题图2.如图，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 与点C′重合．若AB＝2，则C′D 的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44.如图，在△ABC 中，AC＝BC，点D，E 分别是边AB，AC 的中点．将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE，则四边形ADCF 一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD 的周长为16 cm，AC，BD 相交于点O，OE⊥AC 交AD 于点E，则△DCE 的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6 题图第9 题图第10 题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶138.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9.如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910.如图，F 为正方形ABCD 的边AD 上一点，CE⊥CF 交AB 的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF 的面积为50，则△CBE 的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3 分，共24 分)11.如图所示，在菱形ABCD 中，∠ADC＝72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝度．第11 题图第12 题图第14 题图第15 题图12.如图，四边形ABCD 的两条对角线AC，BD 互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为．13.矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为-_，矩形的面积为．14.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是cm2.15.如图，矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，CD 的中点，连结DE 和BF，分别取DE，BF 的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2 2，BC＝2 3，则图中阴影部分的面积为．,第16 题图第17 题第18 题图16.如图，▱ABCD 的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使▱ABCD 是矩形．17.如图，正方形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，E 点在BC 上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5 的等腰三角形时，点P 的坐标为．三、解答题(共66 分)19．(6 分)如图，已知矩形ABCD 中，E是AD 上一点，F是AB 上一点，EF⊥EC 且EF＝EC，DE＝4 cm，矩形ABCD 的周长为32 cm，求AE 的长．20．(8 分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M，与BD 相交于点O，与BC 相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD 的长．21．(8 分)如图所示，矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO的度数．22．(10 分)如图，已知菱形ABCD 中，AB＝AC，E，F 分别是BC，AD 的中点，连结AE，CF. (1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD 的面积．23．(12 分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD 是菱形．24．(10 分)在四边形ABCD 中，AB＝CD，M，N，P，Q 分别是AD，BC，BD，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3 分，共30 分)1.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′ 处，若AE＝2，DE ＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD 的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1 题图第2 题图第3 题图第4 题图2.如图，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 与点C′重合．若AB＝2，则C′D 的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44.如图，在△ABC 中，AC＝BC，点D，E 分别是边AB，AC 的中点．将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE，则四边形ADCF 一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD 的周长为16 cm，AC，BD 相交于点O，OE⊥AC 交AD 于点E，则△DCE 的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6 题图第9 题图第10 题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9.如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910.如图，F 为正方形ABCD 的边AD 上一点，CE⊥CF 交AB 的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF 的面积为50，则△CBE 的面积为( B )A ．20B ．24C ．25D ．26二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)11. 如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ADC ＝72°，AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P ，垂足为点E ，连结 CP ，则∠CPB ＝ 72 度．第 11 题图 第 12 题图 第 14 题图 第 15 题图12. 如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 互相垂直，A 1，B 1，C 1，D 1 分别是四边形 ABCD各边中点，如果 AC ＝8，BD ＝10，则四边形 A 1B 1C 1D 1 的面积为 20 ．13. 矩形的对角线相交成的角中，有一个角是 60°，这个角所对的边长为 20 cm ，则其对角线长为40_cm ，矩形的面积为 400_cm 2 ．14. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，AC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则这个菱形的面积是 16 cm 2.15. 如图，矩形 ABCD 中，点 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，连结 DE 和 BF ，分别取 DE ，BF 的中点 M ，N ，连结 AM ，CN ，MN ，若 AB ＝2，BC ＝2，则图中阴影部分的面积为 2 ．,第 16 题图 第 17 题 第 18 题图16. 如图，▱ABCD 的对角线相交于点 O ，请你添加一个条件 AO ＝BO (答案不唯一)，使▱ABCD是矩形．17. 如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，E 点在 BC 上，EG ⊥OB ，EF ⊥OC ，垂足分别为点 G ，F ，AC ＝10，则 EG ＋EF ＝ 5 ．18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A ，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点 D是O A 三、解答题(共 66 分)19．(6 分)如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，F 是 AB 上一点，EF ⊥EC 且 EF ＝EC ，DE ＝4 cm ，矩形 ABCD 的周长为 32 cm ，求 AE 的长．解：∵∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠CED＝90°，∴∠AFE＝∠DEC.又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝EC，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.设AE＝x，则CD＝x，∴AD＋CD＝1×32，即x＋4＋x＝16，2∴x＝6.即AE＝6 cm20．(8 分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M，与BD 相交于点O，与BC 相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO＝DO，∠BON＝∠DOM＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠BNO＝∠DMO，∴△BON≌△DOM(AAS)，∴OM＝ON.∵OB＝OD，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN⊥BD，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD＝x，则MB＝x，MA＝8－x，在Rt△ABM 中，∵BM2＝AM2＋AB2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.∴MD 的长为521．(8 分)如图所示，矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求出∠BAE＝22.5°，而∠ABD＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO＝∠ABD＝67.5°，∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°22．(10 分)如图，已知菱形ABCD 中，AB＝AC，E，F 分别是BC，AD 的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE⊥BC(等边三角形三线合一)，∠AEC＝90°.同理，CF⊥AD.∵E，F 分别是BC，AD 的中点，∴AF＝1AD，EC＝1BC.2 2∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC，∴AF 綊EC，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形) (2)在Rt△ABE 中，∵AE＝＝4，∴S 菱形ABCD＝8×4＝3223．(12 分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△CDF(AAS) (2)由(1)知AD＝DC，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10 分)在四边形ABCD 中，AB＝CD，M，N，P，Q 分别是AD，BC，BD，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP，NQ，PN，MQ，∵PM 綊1AB，同理NQ 綊1AB，∴PM 綊NQ，∴四边形MPNQ2 2为平行四边形，又∵PN 綊1CD，而CD＝AB，∴PN＝PM，2∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。
专题19.1 矩形、菱形与正方形(基础篇)专项练习-2020-2021学年八年级数学下(华东师大版)
专题19.1 矩形、菱形与正方形（基础篇）专项练习一、单选题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．下列判断错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则菱形两邻角度数比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：1 4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为( )A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )A．(B．)2C．)D．(7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE ＝2,则四边形OCED 的面积为（）A．B．4C．D．88．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将∥BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到∥DCF，连接EF，若∥BEC=60°，则∥EFD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图，在∥ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B、C 两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC 于E、F 两点，下列说法正确的是（）A．若AD 平分∥BAC，则四边形AEDF 是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形C．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形D ．若 AD ∥BC ，则四边形 AEDF 是矩形10．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．485二、填空题 11．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 12．如图，在∥ABC 中，AD 是高，E 是AB 的中点，EF∥AD ，交AC 于点F ，若AC=6，则DF 的长为______.13．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，则CE 的长为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，∥DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使∥PBE 的周长最小，则∥PBE 的周长的最小值为________．15．如图：已知：AM MN ⊥，BN MN ⊥，垂足分别为M 、N ，点C 是MN 上使AC BC +的值最小的点．若3AM =，5BN =，15MN =，则AC BC +=________．16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∥EAF ＝45°，∥ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为_____．17．如图，在Rt∥ABC 中，∥ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD=_____cm ．18．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，PE AB ⊥于点E ，若5PE =，则点P 到AD 的距离为________．19．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．20．如图，在Rt∥BAC 和Rt∥BDC 中，∥BAC ＝∥BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．21．如图，在正方形ABCD，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接∠=︒，则CEFCE．若56BAE∠=______︒．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∥DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∥FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∥HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．三、解答题23．如图，∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∥ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在∥ABC 和∥DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：∥ABC∥∥DCB（2）过点C 作CN∥BD ，过点B 作BN∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．25．如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA (不包括端点)上运动，且满足AE CG =，AH CF =．(1)求证：AEH CGF ∆≅∆；(2)试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．在∥ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM．将∥ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM∥AB 时。
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天际线教育 1 矩形、菱形、正方形辅导练习题（一） 一、 复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。 二、 例题讲解
例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求：（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
例3、如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF = EF． (2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）． 天际线教育
2 三、 巩固提高 （一）选择题 1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）. A、 对角线相等 B、 对边相等 C、 对角相等 D、 对角线互相平分 2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（ ） A、3 个 B、4个 C、5个 D、6个 3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、对边平行且相等 B、对角线互相平分 C、内角和等于外角和 D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴 4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( ) A、对角线互相平分的四边形 B、对角线互相垂直且平分的四边形 C、对角线相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的四边形 5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( ) A、AB=CD B、AC=BD C、当AC⊥BD时，它是菱形 D、当∠ABC=90°时，它是矩形 6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。 A、对角线相等 B、对角线互相垂直平分 C、四条边相等 D、一条对角线平分一组对角 8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形 天际线教育 3 BE
DCFA
C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形 9、下列命题中，假命题是（ ）。 A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形 C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 10、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A、BDAC，CDAB// B、BCAD//，CA C、DOCOBOAO，BDAC D、COAO，DOBO，BCAB 11、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ）
A、6 B、5.8 C、2（1+3 ） D、5.2 12、如图，菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（ ）
A、4和2 B、1和23 C、2和23 D、2和3 13、如图，矩形ABCD的对角线AC的中垂线与AD、BC分别交于F、E,则四边形AFCE的形状最准确的判断是（ ） A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
14、如图，设F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延长线于E,若S正方形ABCD=64，S△CEF=50，
则S△CBE=（ ）
ABCD
O
第13题 第14题 第15题 第12 天际线教育
4 A、20 B、24 C、25 D、26 15、如图，在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,则PE+PF的值为（ ）
A、125 B、135 C、52 D、2 （二）填空题 16、已知一个菱形的面积为83 ㎝2，且两条对角线的比为1∶3 ，则菱形短的对角线长为_________。 17、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为____________________。 18、在Rt△ABC中,斜边AB上的中线长为3,则AC2+BC2+AB2= ______________________。 19、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4，则它的各内角度数为___________________。 20、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论①△ODC是等边三角形；
②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是 ___________________。 21、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为 ______________。
22、点M为矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,且PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、AD满足条件__________时,四边形PEMF是矩形。 23、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE= _______________。 （三）解答题 24、已知：如图，在□ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．求证：□ABCD是矩形．
25、已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=030,菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.
A B C
D O
E 第20题图
第21题图
9 4 A B C D
E
第23题图 第22题
ABCD
O
BACD
O 天际线教育
5 矩形的习题精选 一、性质 1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行 2.在矩形ABCD中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _ 3.已知矩形的一条对角线长是8cm，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______ 4.矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm， 对角线是13cm，那么矩形的周长是____________ 5.如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_____ 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___ 7、已知，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。 8、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证：BE=CF.
9.如图，△ABC中，∠ACB=900，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形；
10.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90° ∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB.
11、在△ABC中，∠C=90O，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E， PF⊥BC于点F。求证：DE=DF
A B C D E F O 天际线教育
6 二、判定 1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平
分
C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角 D．用曲尺测量对角线，是否互相
垂直
2、平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形
3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求
证：四边形AFCE是矩形
4、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形
5、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求
证：四边形 EFGH为矩形．
6、如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠
BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， (1)求证：OE=OF； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是