九年级数学中考专题复习教学案——分式方程及其应用全国通用

分式方程及其应用
◆ 课前热身
1．方程121xx的解是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．请你给x选择一个合适的值，使方程2112xx成立，你选择的x____________．

3.解方程2223321xxxx时，若设21xyx，则方程可化为 ．
4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计
划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设
计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 （ ）

A．18%)201(400160xx B．18%)201(160400160xx

Ｃ．18%20160400160xx Ｄ．18%)201(160400400xx
【参考答案】
1. C 2.3 3.2 y－y3=2 4.Ｂ
◆考点聚焦
知识点:
分式方程及其应用
大纲要求:
1．了解分式方程的概念。
2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。
3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。
考查重点与常见题型:
考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分习
题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。
◆备考兵法
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0
的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，
求出参数的值.
◆考点链接
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是
原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得
到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，
求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
◆典例精析
例1（2009年湖北孝感）关于x的方程211xax的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0
C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
【分析】把分式方程化为整式方程，得21xax，解得1xa，因关于x的方程
211xax



的解是正数，所以0x，即10a，∴1a，但2a时，

22211xx



，所以2a.

【答案】D
例2(2009年陕西省)解方程：431222xxx．
【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──
去分母法，并且在解此方程时必须验根．
解：去分母得：(x－2)2－(x2－4)=3．
－4x＝－5．
x＝45．
经检验，x＝45是原方程的解．
【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公
分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要
漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
例3（2009年广西桂林）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测
算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24
天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计
划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还
是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
解：（1）设乙队单独完成需x天
根据题意，得11120()2416060x
解这个方程，得x=90
经检验，x=90是原方程的解
∴乙队单独完成需90天
（2）设甲、乙合作完成需y天，则有11()16090y
解得36y（天）
甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）
乙单独完成超过计划天数不符题意．
甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x•的值是否是方程的解，再检验是
否符合题意．
◆迎考精炼
一、选择题
1.（2009年湖北襄樊）分式方程131xxxx的解为（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
2.(2009年上海)用换元法解分式方程13101xxxx时，如果设1xyx，将原方程
化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A．230yy B．2310yy
C．2310yy D．2310yy
3.(2009年浙江嘉兴）解方程xx22482的结果是（ ）
A．2x B．2x C．4x D．无解
4.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，
乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划
完成此项工作的天数是（ ）
A．8 B.7 C．6 D．5
5.（2009年广西柳州）分式方程3221xx的解是（ ）
A．0x B．1x C．2x D．3x
二、填空题
1.（2009年四川宜宾）方程xx527的解是 .
2.（2009年浙江杭州）已知关于x的方程322xmx的解是正数，则m的取值范围为______．
3.（2009年浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已
知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 ．
4.（2009年山西太原）方程2512xx的解是 ．
5．（2009年黑龙江牡丹江）若关于x的分式方程311xaxx无解，则a ．
三、解答题
1.（2009年广东清远）解分式方程：132xx
2.（2009年北京）解分式方程：6122xxx
3．（2009年广东省）解方程22111xx．
4.（2009年湖北十堰）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技
术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少
个零件？

5．（2009年山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，
就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种
运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售
价至少是多少元？（利润率100%利润成本）
【参考答案】
一、选择题
1. D 分析：方程两边同乘31xx，得113xxxx，解得3x，经检验
3x
是原分式方程的解，故选D。
2. A 3.D 4.B 5.B
二、填空题
1.5 2.46mm或 3.xx9020120
4.5x 解析：本题考查分式方程的解法，方程两边同乘21xx，得455xx，解得
5x
5.1或－2
三、解答题
1.解：去分母，得36xx
解得：3x
检验：把3x代入原方程得：左边=右边
所以3x是原方程的解
2.解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)xxxxx
解得1x
经检验1x是原方程的解
所以原方程的解是1x.
3.方程两边同时乘以11xx，
2=1x，
3x
，

经检验：3x是方程的解．
4.解：设该厂原来每天加工x个零件，
由题意得：72500100xx
解得 x=50
经检验：x=50是原分式方程的解
答：该厂原来每天加工50个零件。
5.解：（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得：
6800032000
102xx
，

解这个方程，得200x．
经检验，200x是所列方程的根．
22200200600xx
．

所以商场两次共购进这种运动服600套．
（2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：
600320006800020%3200068000y

≥
，

解这个不等式，得200y≥，
所以每套运动服的售价至少是200元．