离心率的值和范围(答案-)
高中数学人教A选择性必修一第三章 微专题4 圆锥曲线的离心率
反思 感悟
求离心率范围的常用思路 (1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心 率的取值范围. (2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围.
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四、求离心率的取值范围
例 4 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于
255a，其离心率 e 的取值范围为
A.[ 3，＋∞) C.(1， 3]
B.[ 5，＋∞)
√D.(1， 5]
解析 依题意，点(a，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离不大于255a， ∴ |bba2＋＋0a|2≤255a，解得 e≤ 5. 又∵e>1，∴1<e≤ 5，故选 D.
A. 147
B.
7 7
√C.2 7 7
D.3147
解析 因为△F1MF2是等边三角形，
故 M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即 4b2＋c2＝2c，
即 4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝ac22＝74，
故
e＝2
7
7 .
(2)设 F1，F2 分别为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一 点 P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝49ab，则该双曲线的离心率为__53___.
则 e＝ac＝ 3|2PF2|·3|P2F2|＝ 33.
(2)设F1，F2是双曲线C：ax22－by22 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点.若 |PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为___3__.
解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限， 则||PPFF11||＋－||PPFF22||＝＝62aa，， 解得||PPFF21||＝＝24aa，. 又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得4a2×2＋44ac×2－2c4a2＝cos 30°， ∴2 3ac＝3a2＋c2. 等式两边同除以 a2，得 e2－2 3e＋3＝0，解得 e＝ 3.
第6讲 离心率(解析版)
第6讲离心率一．焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sine(正弦定理)。
12122sin sin()2sin sin sin sinF Fc cea a PF PFθαβαβαβ+=====+++222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2PF PF P c c a a e θθθθθθ-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sine。
12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎩（4）两个交点在双曲线的右支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩三．焦点弦与离心率关系λ=，则有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，12tan FMF ∠=E 的离心率为（ ） A ．B ．2CD （2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若在椭圆E 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭ B ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．,12⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】（1）C （2）A【解析】（1）不妨设(,),0M c y y ->代入双曲线方程得22,(,)b b y M c a a =∴-21212222,tan 0,c F F c F MF ac ba=∠==-= 2220ac e --=--=，()10,e e -+=∴=故答案选：C（2）12PF PF ⊥，2221212PF PF F F ∴+=()()()()222212122212121212222PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +++=+-⋅≥+-=（当且仅当12PF PF =时取等号），()2122122PF PF F F +∴≥，由椭圆定义知：122PF PF a +=，又122F F c =，2242c a ∴≥，212e ∴≥，2e ∴≥，又1e <，∴离心率e的取值范围为,12⎫⎪⎪⎣⎭.故选：A . 【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b+=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ）A ．12BC．2D【答案】B【解析】12PF F △中，()()12121212||||||||||||sin sin sin sin sin sin PF PF F F PF PF F F αβαβαβαβ+==∴=+++ 所以()1212sin ||2sin sin ||||22F F c c PF PF a a αβαβ+=====++故选：B 2．（2020·全国高三专题练习）已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，1212tan 2PF PF F PF ∠==，122PF PF ∴=， 122PF PF a +=，可得143a PF =，223a PF =， 由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即222049a c =，2259ca ∴=，因此，该椭圆的离心率为3e =. 故选：A.3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F 、2F是椭圆的两个焦点，P 是圆上一动点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ） A ．13- B ． C ．1-D ．0【答案】A【解析】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，即2223c a =.122PF PF a +=≥212PF PF a ⋅≤，当12PF PF a ==时等号成立.根据余弦定理：()222221211212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅22222124444111223a c a c PF PF a --=-≥-=-⋅.故选：A .技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（ ） A ．23B．3C ．1112D．6（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为() A．3BC ．23D【答案】（1）B （2）D【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由直线AB 的斜率为16-可得121216y y x x ， 由线段AB 的中点为()1,2M 可得1212x x +=，1222y y+=， 由点,A B 在椭圆上可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()121222240x x y y a b --+=，所以()212212213y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：B.（2）由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ． 【举一反三】1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， 所以2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======. 故选：B.2．（2020·全国高三专题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A ．1(0)2， B ．(02， C ．1(22， D ．1)2【答案】B【解析】∵120MF MF ⋅=，∴12MF MF ⊥，∴点M 在以12F F 为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c b <，∴2222<=-c b a c ，即222c a <，∴2212c a <，即c a <0e >，∴02e <<，故选：B.3．（2020·全国高三专题练习）若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．3C 1D ．2【答案】C【解析】依题意可知1290F PF ∠=︒，12||2F F c =，1230PF F ∠=︒，112PF F F ∴==，21212PF F F c ==，由椭圆定义可知1221)PF PF a c +==，1ce a∴==.故选：C. 技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】由题意，圆心到直线的距离2d ==，解得k =圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，所以b a >22214b e a=+>，所以2e >.故选：D.【举一反三】1．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线y x =无公共点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(]1,2D ．()1,2【答案】A 【解析】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y x =无公共点，∴等价为双曲线的渐近线b y x a =的斜率1ba，即b a ，即22b a ，即222c a a -，即222c a ， 则2ca ，则2e ，1e >，∴离心率满足12e<，即双曲线离心率的取值范围是(，故选：A ．2．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3b a，离心率22224a b e a +=，2e ∴，故选A ．3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点O的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ） AB1CD【答案】D【解析】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得1F A =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，即222220AF AF c ⋅-=，解得22AF c=.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.技巧4 焦点弦与离心率【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为12,F F，过1F作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两点，且112F B AF=，则椭圆的离心率=（）A．3B．2C．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为12F F、，过1F c-（，）且斜率为1k=的直线为y x c=+联立直线与椭圆方程22221x ya by x c⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b+++-=（）因为直线交椭圆于A，B，设1122A x yB x y（，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y,y ycb c b a ba b a b-+=-=++且112F B AF=，可得212y y=-，代入韦达定理表达式可得2222221122222,2cb c b a by ya b a b--=--=++即222222222222cb c b a ba b a b⎛⎫--=⎪++⎝⎭化简可得229c2a=所以cea==故选：D．【举一反三】1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】B【解析】设B 到右准线距离为d ，则BF ed =，因为2AF FB =，则2AF ed =，所以 A 到右准线距离为2d ，从而3AB ed= 倾斜角为4π，cos 433d e ed π∴=∴=，选B. 2．（2020·全国高三专题练习）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3或33B ．6或3C 或D 【答案】B【解析】（1）当2213AF F B =时，设2F OA α∠=，则2AOB α∠=，设1a =，由题意可知1OA a ==，2OF c e ==，2AF b =，23BF b =，则4AB b =，tan b b a α==，4tan 24b b a α==， 代入得222tan 2tan 241tan 1bb b ααα===--，即2244b =-，解得b =2e c ====，（2）当2213F A F B =时，设2F OA α∠=，AOB β∠=，设1a =，则2F OB αβ∠=+，1()FOB παβ∠=-+， 由题意可知1OA a ==，2OF c e ==，2AF b =，23BF b =， 则2AB b =，tan b b a α==，2tan 2b b aβ==， 则1tan tan[()]tan()tan FOB παβαβα∠=-+=-+=， 则tan tan tan()tan 1tan tan αβαβααβ++==--⋅，代入得212b bb b b+=--⋅，即2321b =-，解得b =则e c === 故选：B .3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43BC D ．2【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则e =B ．1．已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ） A BC ．32D 【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则2e =，故选：D2．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C.3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知1F ，2F 分别是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为12F PF △直角三角形，则这样的点P 有（ ）.A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】C【解析】由题意2,a b ==，则c =P 为椭圆短轴顶点时，122PF PF ==，12F F =2221212PF PF F F +=，即12PF PF ⊥，短轴顶点有2 个，过1F 或2F 作x 轴垂直与椭圆相交的点P 在4个，12PF F ∆都是直角三角形，因此共有6个． 故选：C.4．（2020·广东广州市）已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】设椭圆的上顶点为0A b （，），则∵椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角, 121212904511bF AF AF F tan AF F c∠>︒∴∠<︒∴∠<∴≤2220112a c e e e ∴∴∴<＜＜＜故答案为A 5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为 A ．2 B ．2C ．D ． 【答案】A【解析】由题意00M a N a -（，），（，）． 设00H x y （，） ，则222202 ()b y a x a．=- 2222202000222220000()1,02MH NHb a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⎛⎫∴=⋅===-∈- ⎪+---⎝⎭可得：22221 1(0)1)22c a e e a -=-∈-∴∈，， 故选A ．6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B．12CD1【答案】D【解析】设F （－c ,0＋y ＝0的对称点为A （m ，n ），则(1022nm c m c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，解得m ＝2c ，n =，代入椭圆方程可得22223441c c a b +=化简可得 e 4－8e 2＋4＝0， 又0＜e ＜1，解得e1. 故选：D .7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点．PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°<PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（0）【答案】B 【解析】由题意可得，即，所以，又，则，所以，则，即．故答案选B ．8．（2020·广东肇庆市）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B的一点，若直线PA 的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D．2【答案】D【解析】依题意可知()(),0,,0A a B a -.设()00,P x y ，代入椭圆方程得2222002b y x b a=-+.代入1·4PA PBk k =-得000014y y x a x a ⋅=-+-，即22200144a y x =-+，与2222002b y x b a =-+对比后可得2214b a =，所以椭圆离心率为2c e a ====.故选D. 9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c，直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D1【答案】D【解析】由题意，直线)y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为60°，12212MF F MF F ∠=∠∴1260MF F ∠=︒，2130MF F ∠=︒，∴1290F MF ∠=︒，即12F M F M ⊥ ∴11212MF F F c ==，∴212sin 60MF F F ︒==，双曲线定义有212MF MF c a -=-=，∴离心率e 1ca==. 11．（2020·全国）若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为______【解析】设()M x y ，、()N x y -，，因为(),0A a -，(,0)B a ， 所以2222222222214AM BNb x b y y y b a k k x a x a x a x a a ---⋅=⋅====+---， 所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以e =故答案为：212．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B 两点（A 在第一象限），则AF BF=________.【答案】35【解析】 因为离心率为12，所以2,a c b ==, 设直线AB的方程)y x c =-代入椭圆方程：2222143x y c c+=得：2580x cx -=，又∵点A 在第一象限，故8c 50A B x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8|||3.||5c c AF BF -==13．（2020·全国高三专题练习）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.【答案】(]1,3【解析】由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==， 又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，1e >，所以，13e <≤.因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3.14．（2020·台州市书生中学高三其他）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为【答案】3【解析】如图，点P 在椭圆上，所以12+2PF PF a =，由1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入上式得，123,22a aPF PF == 在1APF △，222222111133122cos 32322a a a AF AP PF PAF a AF APa ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，又2111cos 12sin 3PAF OAF ∠=-∠=，所以1sin 3OAF ∠=，即1sin 3c OAF e a ∠===， 15．（2020·开鲁县第一中学）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12(0,)3PF F π∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】11(,)32【解析】由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a-PF 2=2a-2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1,1cos 32πθπθ<<∴-<<，△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos θ=22222ac c a c+- 由-1＜cos θ 可得 3e 2+2e-1＞0，e ＞13，由cos θ＜12，可得 2ac ＜a 2，e= 12c a <，综上1132e << 16．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为【答案】3【解析】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==17．（2020·河北省高三）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -，过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12//l l ，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为【解析】如图，不妨设1l ，2l 两条直线的斜率大于零时，连结OM ，由题意知2216PM MQ PM MQ ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2PM =，MQ =PM =2MQ =（舍）2PM =，MQ =在PMQ 中，因为2OM PM PO ===，所以60BPO POM ∠=∠=︒，故此时tan 30AB k =︒=tan150OM k =︒=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=， 即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2213AB OM b k k a⋅=-=-， 因此离心率22222213c b e a a ==-=，所以e ． 18．（2020·广东省高三月考）已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为【解析】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a = 由余弦定理可得 ()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-， 即2222974444c a a a =-=，∴椭圆的离心率e ===。
人教版高中数学选修2-1《求取离心率问题》
e 的取值范围
例4：已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M，若 ，求该椭圆离心率的 取值范围．
y
B
M
A
o
F
x
《3》根据曲线方程列出含参数的关系式，求
e 的取值范围
例4：已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M，若 ，求该椭圆离心率的 1 ， 1) 取值范围．[ 2－
(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点， 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两 点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率 e 的取值范围是( B ) A．(1，＋∞) C．(1,1＋ ) B．(1 , 2 )
D．(2,1＋
)
三．归纳小结
1.注意椭圆与双曲线的离心率取值范围. 2.求离心率解题步骤。 3.求离心率的关键。 4.求离心率的题型有两类（1）求值 （2）求取值范围
3 或 D 2
5
例2： 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的— 个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) (A)
《2》构建关于a，c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
5 1 2
B
F
例2： 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的— 个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( D ) (A)
《2》构建关于a，c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
罗贤旭离心率
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的值或取值范围求圆锥曲线离心率的值或取值范围是浙江高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何如何列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.1、常见题型：求离心率的值（浙江省9年考了求值）；求离心率的取值范围2、常用方法:（1）直接求出a,c（2）构造a,c 的齐次式或a,b 齐次式的等式或不等式 （3）利用圆锥曲线相关性质建立a,c 不等关系求解 （4）利用平面几何性质求解离心率的相关问题 (5) 运用数形结合建立a,c 关系求解一、直接求出a ，c例1：过双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A.10 B. 5 C.310 D.25 变式练习1、已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），点P （-3，1）在直线2a x c =-上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a,c 的齐次式或a 、b 齐次式的等式或不等式根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2、设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 变式练习1设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.17变式练习2、设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.332 变式练习3、(2014浙江理科16，文科17)设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________三、利用圆锥曲线相关性质建立a,c 关系求解.例3、(2013浙江，文理9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A ．2B ．3C ．32D ．62变式练习1、设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 变式练习2、（2010浙江理科第8题）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=变式练习3、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为四、利用平面几何性质求解离心率的相关问题例4、已知双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线交21,l l 于B A ,两点。
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种
备考指南离心率是圆锥曲线的重要性质之一,用e=c a来表示.抛物线的离心率为1，椭圆离心率的范围为（0,1），双曲线离心率的范围为（1，+∞），因而圆锥曲线离心率问题主要是指椭圆与双曲线的离心率问题.圆锥曲线离心率的范围问题比较常见，这类问题的难度不大，侧重于考查圆锥曲线的方程、定义、几何性质以及a、b、c之间的关系.本文主要谈一谈求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路.一、利用一元二次方程的判别式求解利用一元二次方程的判别式求圆锥曲线离心率的范围，需先将直线与圆锥曲线的方程、两条圆锥曲线的方程联立，通过消元，得到一元二次方程；然后根据一元二次方程有解，建立关于判别式△≥0的不等式，即可得到关于a、b的不等式；再根据椭圆方程中a、b、c之间的关系a2=b2+c2，双曲线方程中a、b、c之间的关系c2=a2+b2，得到关于a、c的不等式；最后根据圆锥曲线的离心率公式e=c a将不等式转化为关于e的不等式，解该不等式即可求得离心率的范围.例1.已知双曲线C:x 2a2-y2=1()a＞0与直线l:x+y=1相交于A、B两点，则双曲线C的离心率e的取值范围_____.解：联立直线和双曲线的方程得ìíîïïx2a2-y2=1，x+y=1，消去y整理可得()1-a2x2+2a2x-2a2=0，由于直线l与双曲线C相交于两个不同的点，则ìíî1-a2≠0，Δ=4a4+8a2()1-a2＞0，解得0＜a＜2且a≠1，而e，且e≠2，所以双曲线离心率e的取值范围为èöø÷，2⋃()2,+∞.首先联立直线和双曲线的方程，消去y得到含有参数a的一元二次方程；然后根据直线与曲线相交于不同的两点，建立关于判别式的不等式，并将其转化为关于离心率e的不等式，即可解题.在求双曲线的离心率问题时，要注意隐含条件:双曲线离心率的范围为（1，+∞）.例2.点M是椭圆E:x2a2+y2b2=1()a＞b＞0上的一点，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若||MF1∙||MF2 =2b2，求椭圆E离心率的范围.解：根据椭圆的定义知，||MF1+||MF2=2a，∵||MF1∙||MF2=2b2，∴||MF1、||MF2分别是方程x2-2ax+2b2=0的两个不等实数根，∴Δ=()-2a2-4×2b2≥0，解得a2≥2b2，∵a2=c2+b2，∴a2≥2()a2-c2，将上式两边同除以a2，可得e2≥12，即e≥，∴椭圆E离心率的范围为ëöø÷.解答本题，要根据直线与椭圆有两个交点，将问题转化为一元二次方程x2-2ax+2b2=0有两个根，据此建立关系式△≥0，得到关于a、c的不等式，再根据圆锥曲线的离心率公式e=c a进行求解.二、利用几何图形的性质求解利用几何性质求解圆锥曲线离心率的范围问题，关键要根据圆锥曲线的定义以及几何图形的性质建立关于a、c的不等式.常用的几何图形性质有：①三角形的两边之差小于第三边；②三角形的两边之和大于56备考指南第三边；③圆的切线到圆心的距离最短；④三角形的内角的范围为（0,180o ）；⑤双曲线无限趋近于渐近线.例3.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1()a ＞0,b ＞0的左、右焦点分别为F 1()-c ,0,F 2()c ,0,若双曲线上存在一点P ,使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线离心率的取值范围为______.解：设||PF 1=m ，||PF 2=n ，如图所示：由正弦定理可得m n =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2，因为sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=e ，所以mn =e ，即m =en ①，而e ＞1，则点P 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得m -n =2a ②，由①②式可得，m =2ae e -1，n =2a e -1，因为m +n ≥2c ，所以2ae e -1+2a e -1≥2c ，化简得e 2-2e -1≤0，解得-2+1≤e ≤2+1，故双曲线离心率的取值范围为(]1，2+1.由于点P 和双曲线的左右焦点构成三角形，所以可运用三角形的性质：三角形两边之和大于第三边，即||PF 1+||PF 2＞||F 1F 2，建立关系式，再根据双曲线的定义得到关于a 、c 的不等式,即可求得离心率的范围.例4.已知F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，满足 MF 1∙MF 2=0的点M 在椭圆的内部，求椭圆离心率的取值范围.解：由题意可知，点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，∵点M 在椭圆的内部，∴c ＜b ，可得c 2＜b 2=a 2-c 2，即e 2＜12，∵e ∈()0,1，∴椭圆离心率e 的取值范围为æèçø0.由题意可知MF 1⊥MF 2，则满足条件的M 点的集合是圆，根据圆的性质：圆()x -a 2+()y -b 2=r 2内所有的点需满足关系式()x -a 2+()y -b 2<r 2，据此建立关于a 、c 的不等式，即可求得e 的取值范围.三、根据三角函数的有界性求解三角函数具有有界性，如||sin α≤1()α∈R 、||cos α≤1()α∈R 、tan α≥0æèöø0≤α<π2.在求解圆锥曲线离心率的取值范围问题时，可引入参数，将圆锥曲线中的变量x 、y 用sin α、cos α、tan α表示出来，并求得离心率e =c a的表达式，便可利用三角函数的有界性来求得离心率的取值范围.例5.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1()a ＞b ＞0上有一动点A ，点B 与点A 关于原点对称，点F 1、F 2是椭圆的左、右焦点.若AF 2⊥BF 2，∠ABF =α，α∈éëùûπ12，π4，则椭圆离心率的取值范围是_____.解：由题意可得点B 在椭圆上，∵AF 2⊥BF 2，点B 和点A 关于原点对称，∴四边形AF 1BF 2是矩形，∴AO =BO =OF 1=OF 2=c ,AB =2c ，∵AF 1=BF 2,AF 1+AF 2=2a ，∴2c sin α+2c cosα=2a ，可得e =c a =1sin α+cos α=12sin æèöøα+π4，∵α∈éëùûπ12，π4，∴≤2sin æèöøα+π4≤2，即≤e ≤，∴椭圆离心率的取值范围为ëû.用α表示椭圆方程中的参数a 和c ，借助椭圆的定义和离心率公式，即可将问题转化为三角函数最值问题，利用正弦函数的有界性求得最值，就能顺利求得问题的答案.可见，求解圆锥曲线离心率的取值范围问题，可以从方程、几何图形、三角函数入手，利用一元二次方程的判别式、几何图形的性质、三角函数的有界性建立与圆锥曲线离心率e ，或a 、c 有关的不等式，即可顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省淮安市洪泽湖高级中学）57。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
求解离心率的范围问题
求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解； （2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率 的范围.【例1】 已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++， 又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。
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离心率的值和范围(答案-)
本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 圆锥曲线的离心率的求值或取值范围(答案) 【高考地位】 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】 方法1 定义法 解题模板：第一步 根据题目条件求出,ac的值
第二步 代入公式cea，求出离心率e. 例1. 若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（ ）
A. 43 B. 32 C. 21 D. 4
1
【答案】C
设椭圆E：22221(0)xyabab的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是 【答案】13 【解析】 试题分析：如图3，设AC中点为M，连接OM，则OM为ABC△的中位线，于是
OFM△AFB∽△
，且||1||2OFFA，即1123ccaca．
【变式1】已知1F和2F分别是双曲线22221xyab(0a,0b)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以1||OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2FAB是等边三角形,则该双曲线的离心率为 ( ).
A.312 B.31 C. 31 D.2 【答案】C
考点：双曲线的简单性质【变式2】双曲线12222byax（0a，0b）的左右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则2e（ ）
A. 221 B. 224 C. 225 D. 223 【答案】C
考点：双曲线的定义. 【变式3】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．(1，2＋1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(2＋1，＋∞) 【答案】A
【变式4】若双曲线22221xyab (0,0)ab上存在一点P满足以||OP为边长的正方形的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．5(1,]2 B．7(1,]2 C．5[,)2 D．7[,)2 【答案】C 【变式5】如图，1F、2F是双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为
B.7 C.332 D.3
【答案】B
【变式6】若椭圆经过点2,3，且焦点为），（），，（020221FF，则这个椭圆的离心率等于________． 【答案】21 【解析】 试题分析：aPFPF2821，所以4a，2c，离心率21ace. 考点：椭圆的定义和性质 【变式7】如图,等腰梯形ABCD中, 2ABDC,32AEEC.一双曲线经过C,D,E三点,且以A,B为焦点,则该双曲线离心率是 ________. 【答案】7 【变式8】过双曲线22221(0)xybaab的左焦点(,0)(0)Fcc作圆222xya的切线，切点为E，延长FE交抛物线24ycx于点P，O为坐标原点，若1()2OEOFOP，则双曲线的离心率为 . 【答案】152
方法2 方程法 解题模板：第一步 设出相关未知量； 第二步 根据题目条件列出关于,,abc的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.
例2. 已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且
12PFPF，124PFPFab，则双曲线的离心率是（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．3
【变式1】 已知双曲线22221xyab的渐近线方程为3yx，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ） A.12 B. 22 C. 32 【答案】A
考点：求椭圆的离心率 【变式2】设双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y＝x＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ） （A）3 （B）2 （C）5 （D）6 【答案】C
【变式3】 已知0ba，椭圆1C的方程为12222byax，双曲线2C的方程为22221xyab，1C
与2C的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为（ ） A.02yx B.02yx C.02yx D.02yx【变式4】已知双曲线22221(0,0)xyabab与函数(0)yxx的图象交于点P. 若函数yx在点P处的切线过双曲线左焦点(1,0)F，则双曲线的离心率是（ ） A.512 B. 522 C.312 D.32 【答案】A
【变式5】已知双曲线22ax-22by=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为 A.2+1 B.3+1 C.3+ 2 D.2 【答案】A
考点：双曲线的离心率. 【变式6】已知21,FF分别是双曲线C：22221(0,0)xyabab的左右焦点，以21FF为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则21cosPFF等于( ). A．35 B．34 C．45 D．56 【变式7】设双曲线12222byax(a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若),(ROBOAOP，
163，则该双曲线的离心率为（ ）
A．332 B．553 C．223 D．89 【答案】A 【解析】 试题分析：
试题分析：设双曲线右焦点坐标为)0,(c，由已知易得),(abccA，),(abccB，),(2abcP，由
【变式8】过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 . 【变式9 】如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
【答案】275e 【变式10】已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21. （1）求双曲线E的离心率； （2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,分别在第一， 四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公 共点的双曲线E若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由. 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy.以下证明:当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：221416xy也满足条件.
]方法3 借助平面几何图形中的不等关系 解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系， 第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,abc进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围. 例3.已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.1,22 B.23,0 C.1,23 D.22,0
【答案】A 【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.
【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.
x y M F O
l 【变式1】已知12,FF分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A.1,3 B. 1,3 C.3,3 D.3, 【答案】A
考点：双曲线离心率。 【变式2】已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C上存在点P，使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（ ） A．1[,1)2 B．23[,]22 C．2[,1)2 D．3[,1)2
方法4 借助题目中给出的不等信息 解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等； 第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
例4.已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点，若
,AFBF设,ABF且,,124则椭圆离心率的取值范围是 .