11.3.1全等三角形
【实验基地】七下11.3探索全等三角形的条件(3)
11.3探索全等三角形的条件⑶【课后作业】班级 姓名 学号1. 已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2.如图，在ABC △与DEF △中，已有条件AB DE =，还需添加两个条件才能使ABC DEF △≌△，不能添加的一组条件是（ ）A ．B E ∠=∠，BC EF =B ．BC EF =，AC DF =C ．AD ∠=∠，BE ∠=∠D ．A D ∠=∠，BC EF =3. 如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组4 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠A B C DE F A C B D F E 图3 a c c a b α 50° 58° 72° 图1A BC D图4图5 A D F E C B5. 如图，ABC △中，D E F ，，分别是AB BC AC ，，上的点，已知DF BC ∥，EF AB ∥，请补充一个条件： ，使ADF FEC △≌△． 6. 如图，点B 、E 、F 、C 在同一直线上． 已知∠A =∠D ，∠B =∠C ，要使△ABF ≌△DCE ，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）．7. 如图，若111A B C ABC △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．8如图，在ΔABC 与ΔAED 中，AB=AE ，AC=AD ，请补充一个已知条件：____________(写一个即可)，使ΔABC ≌ΔAED. 试说明理由.9.如图，AD 、A /D /分别是ΔABC 与ΔA /B /C /中BC 、B /C /边上的高，且AB ＝A /B /，AD ＝A /D /．若使ΔABC ≌ΔA /B /C /，请你补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）并证明你的结论.A ′B ′C ′D ′ A B C D 图8 图9 A BEF C D A B C C 1A 1B 1。
11.3全等三角形判定——SAS
授课人： 班 级： 姓 名： 小 组：DCBA21【学习目标】学习内容：11、2全等三角形的判定学习重点：1、三角形全等的判定方法——SAS 学习难点：运用“SAS ”解决问题，理解“SSA ”不能证明三角形全等。
易误点：注意“SAS ”中的角必须是两组对应边的夹角。
※ 【活动方案】活动一 运用“SAS ”的判定方法解决填空选择题 对应练习一1、 如图2，AC 、BD 相交于O ，AO 、BO 、CO 、DO 的长度如图所标，△ABO 和△CDO 是否能完全重合呢？ （填能或不能）2、如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)。
3、如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE ，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是___________,二是____________还需要一个条件___________ (这个条件可以证得吗？)。
活动二 运用“SAS ”解决实际问题例一：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，试说明△ABD ≌△ACD 。
活动三 随堂测评（8—10分钟）1、 下列能判定△ABC 与△A ＇B ＇C ＇全等的条件是（ ）A 、 AB=A ＇B ＇,BC=B ＇C ＇, ∠C=∠C ＇B 、 ∠B=∠B ＇ ,AB = B ＇C ＇，BC= B ＇A ＇ C 、 A B=CA ，A ＇B ＇= C ＇A ＇，∠A=∠A ＇D 、AB = A ＇B ＇，AC = A ＇C ＇，∠B=∠B ＇2、下面说法错误的是（ ）A 、边长相等的两个等边三角形全等。
B 、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
C 、有两条边对应相等的两个等腰三角形全等。
全等三角形的学案11.2和11.3
11.2三角形全等的条件（1）班级 姓名 学号教学目标1．掌握“边边边”条件的内容2、能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等 教学重点“边边边”的条件。
教学难点探究三角形全等的条件。
． 教学过程一．创设情境，引入新课什么叫全等三角形？△ABC ≌△DEF,说出对应边及对应角全等三角形的性质： 二、实践与探索三组对应角、对应边分别相等的两个三角形全等。
满足这六个条件的一部分两个三角形能否全等呢？1.如果两个三角形有一条边相等，作出的两个三角形一定全等吗？2.如果两个三角形有两条边相等，作出的两个三角形一定全等吗？3.如果两个三角形有三条边相等，那么作出的三角形一定全等吗？全班同学都画一个三边为4cm 、5cm 、2cm 的三角形，这些三角形全等吗？你能得到什么规律？ 三、归纳总结全等三角形的条件： 四、【应用新知】例题 如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．【小试牛刀】练习1、如图, C 是BF 的中点，AB = DC ,AC=DF.求证: △ABC ≌ △DCFA BC FE D BC A DFAB CD【变式练习】练习2、已知: 如图,点B 、E 、C 、F 。
在同一直线上 ,AB = DE ,AC = DF , BE = CF .求证:（1）△ABC ≌△DEF（2）【夯实基础 】练习3、已知: 如图,AC=EF,BC=BF ，BA=BE 。
求证:△ABC ≌ △EBF【能力提高】已知: 如图, AB = DE ,AC = DF , 点B 、E 、C 、F 在同一直线上，BE = CF .求证: △ABC ≌△DEF五．课时小结本节课你有什么收获？B CA E F D A C BE F ∠A=∠DB CA EFDO DCBAE DCBA 11．2 全等三角形的判定（2）学习目标1．掌握边角边条件的内容2．能初步应用边角边条件判定两个三角形全等 探究：先任意画出一个ABC ∆，再画出一个///C B A ∆，使AB B A =//，AC C A =//，A A ∠=∠/（即使两边和它们的夹角对应相等）。
全等三角形ppt课件
斜边直角边定理
总结词
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
详细描述
斜边直角边定理是全等三角形的基本定理之一，它表明如果两个直角三角形的斜边和一条直角边相等 ，则这两个直角三角形全等。这个定理可以用于证明两个直角三角形全等，也可以用于构造全等直角 三角形。
03
全等三角形的证明方法
利用全等三角形的性质和判定方法证明
两线垂直等。
在几何中，全等三角形可用于解 决角度、长度等问题，为许多几
何定理的证明提供了工具。
通过全等三角形，我们可以证明 两个平面图形是否全等，这对于 研究几何形状的性质和面积、体
积的计算非常重要。
在代数中的应用
全等三角形在代数中也有广泛的 应用，主要体现在因式分解、解
方程等方面。
利用全等三角形的性质，可以将 一个复杂的式子通过恒等变形转 化为一个更易于处理的式子，从
02
全等三角形的基本定理和 推论
边边边定理
01
总结词
三边对应相等的两个三角形全等
02
详细描述
边边边定理是全等三角形的基本定理之一，它表明如果两个三角形的 三条对应边相等，则这两个三角形全等。这个定理可以用于证明两个 三角形全等，也可以用于构造全等三角形。
边角边定理
总结词
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
全等三角形在三角函数的应用中，可以帮助我们理解如何用三角函数解决实际问题 ，如测量不可直接测量的角度或长度。
05
全等三角形的拓展知识
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明 欧几里得证法：利用相似三角形的性质证明勾股定理。 毕达哥拉斯证法：利用正方形的性质证明勾股定理。
勾股定理的证明与应用
探索三角形全等的条件(HL)--
AD=BC （ BD=AC （ ∠ DAB= ∠ CBA（ ∠ DBA= ∠ CAB（
HL HL AAS AAS
D
） ） ） ）
C
A
B
（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行 走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB， EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为 什么？ D 实际问题 数学问题 求证：ＤＡ＝ＥＢ。
我们把直角△ABC记作Rt△ABC。
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
A B
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ） ∴ＡＥ＝ＤＦ
（4）如图：AD⊥BC，AB=AC，你能找出 其中的全等三角形吗？你有什么发现？
A
∟
B
D
C
(2)连结DC,交AB于点E,你又发现了哪
（5）如图，AC=AD，∠C=∠D=90° 试说明(1)BD=BC.
些三角形是全等，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF.
求证：AE=DF.
C ∵ＣＥ=ＢF ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。
D
F
A
E
B
（３）如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF.
求证：AE=DF.
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。 又∵ＣＥ=ＢF D C ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。 F E 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中 ＣＥ＝ＢＦ ＡＢ＝ＤＣ
八年级数学上册知识梳理(11—12章)
).(, ,, SAS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与).(, , ,ASA DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与 AC BFED图2八年级数学上册知识梳理第十一章 全等三角形11.1 全等三角形1.能够 的两个图形叫做全等形。
两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在位置无关。
2.能够 的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等三角形中互相重合的顶点叫做对应 ，重合的角叫做对应 ，重合的边叫做对应 。
3.全等三角形的表示：全等用符号 表示，读作 。
4.全等三角形的性质有：（1）全等三角形的 相等；（2）全等三角形的 相等。
5.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小 ，平移、翻折、旋转前后的两个图形 。
11.2 三角形全等的判定 三角形全等的识别方法 1.如图1，用文字表述“SSS ”： 。
2.如图1，用文字表述“SAS ”： 。
3.如图1，).(, , , SSS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与 A F E D C B 图1).(, , ,AAS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与用文字表述“ASA ”： 。
4.如图1，用文字表述“AAS ”： 。
5.如2，用文字表述“HL ”： 。
判断两个三角形全等的常见思路如下表：11.3角平分线的性质1.定义：角平分线是把一个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的尺规作图作法。
（见课本P19）3.角平分线的性质（1）性质：角的平分线上的点到两边的 相等。
（2）符号语言：如图3，).(, , HL DEF ABC DEF Rt ABC Rt ∆≅∆∴⎩⎨⎧==∆∆ 中，与ODCPBA图3).( D,OB PD C OP AOB 角平分线的性质于，于上，在射线，点平分∴⊥⊥∠OA PC P OP（3）应用角平分线性质解题的格式的两边的距离相等）。
11.3探索三角形全等的条件(HL)
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？ 三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不 直角三角形是特殊的三角形， 仅有一般三角形识别全等的方法:SAS、 仅有一般三角形识别全等的方法 、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 、 、 ， 的识别方法——“HL”. 的识别方法
具有下列条件的Rt△ 具有下列条件的 △ABC与Rt△A′B′C′ 与 △ 其中∠ ＝ （其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等 ＝ ° 是否全等?
斜边、 斜边、直角边公理 (HL)推理格式 推理格式
∵∠C=∠ ∵∠ ∠C′=90° ° ∴在Rt△ABC和Rt△ A ′ B ′ C ′ 中 △ 和 △ B
{
AB= A ′ B ′ BC= B ′ C ′ A C B′
∴Rt△ABC ≌ Rt△A ′ B ′ C ′ (HL) △ △ A ′
C ′
如图，已知AC＝ ， 例1 如图，已知 ＝BD， ∠C＝∠D＝90°，求证 ＝ ＝ ° Rt△ABC≌Rt△BAD． △ ≌ △ ． 证明∵ 证明∵ ∠C＝∠D＝90°， ＝ ＝ ° ∴在Rt△ABC与Rt△BAD中， △ 与 △ 中 AB＝BA， ＝ ， AC＝BD， ＝ ， ．）. ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．） △ ≌ △ （ ． ．）
BC=EF， （2）若 ∠ A= ∠ D，BC=EF， A ABC与 则△ ABC与△ DEF 全等 （填 全等” 不全等” “全等”或“不全等”）根据 B AAS ________(用简写法 用简写法） ________(用简写法）
F C
E D
全等 （3）若AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△ DEF_____ ABC与 AB=DE，BC=EF， SAS 全等” 不全等” （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写 法） AB=DE，BC=EF， （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF ABC与 全等” 则 △ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或 不全等” SSS “不全等”）根据 （用简写法） 用简写法）
人教版八年级上册数学全册教案
11.1全等三角形（1课时）教学目标通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形；能叙述全等三角形的定义及其相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；总结出全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。
教学重、难点重点：全等三角形的概念、性质。
难点：对应边和对应角的确定。
课时安排：1课时教学过程设计（一）生活导入我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如同一版面的记念邮票，同一版面的人民币、用两张纸叠在一起剪出的两张窗花等，请大家举出这类图形的例子。
（二）新课问题1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？（l）形状相同的两个图形叫全等形。
（2）大小相等的两个图形叫全等形。
（3）能够完全重合的两个图形叫全等形。
总结概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
做一做：请你用两张半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形．然后把它们叠放在一起，观察这两个图形是否完全重合．（提高学生的动手能力和观察能力）思考：课本图11.1、11.2、11.3中，各图中的两个三角形全等吗？总结出结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
小组讨论，得出全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
（三）练习课本课后的练习1、2。
（五）小结引导学生总结出本节的主要知识点。
（六）布置作业：创新作业11.2 三角形全等的条件 (共4课时)教学目标能叙述三角形全等的条件，体会三角形的稳定性；能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；提高动手能力。
教学重、难点重点：三角形全等的条件。
难点：利用三角形全等的条件解题。
课时安排:4课时教学过程设计第一课时（一）复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？（二）SSS定理的得出给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C ′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12.1全等三角形
一、创设情景，引入新课
现在来观察下面这些图形（出示投影片），（1）它们形状大小相同么？（2）放在一
起能完全重合么？
二、活动探究，探索新知
1.（1）全等形的定义
能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状大小都相同
（2）同学们观察下面三组图形，看看它们是不是全等图形？为什么？与你的
小伙伴交流一下你的想法。（课件）»如果两个图形全等，它们的形状一定相同 ，
大小一定相等！
（3）再出示2个课件—我们在来看 它们是全等形么？什么不同？
（4）同学们思考这样一个问题：一个图形在位置发生变化后所得到的图形与
原图形有什么关系？我们来看是不是这样————一个图形经过平移、旋转、
翻折后得到的图形一定与原图形全等
（5）下面考考大家的反应速度，你能快速找到圆中的头像与第几号全等吗？
2.全等三角形的定义
(1)全等三角形是全等图形的一种，刚才我们学习了全等形，哪位同学来
概括：什么是全等三角形？
定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.
(2)对应顶点、对应边、对应角
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫
做对应边，重合的角叫做对应角。
（3）全能三角形的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”
（注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上）
Eg：我们常用的工具三角板 如果它们规格相同 有30°角的三角板能完
全重合，有45°角的三角板也是一样
（4）易错点——对应点要写在对应位置上
能否记作∆ABC≌ ∆DEF?
区别∆ABC≌ ∆DEF和∆ABC与∆DEF全等 ∆ABC≌ ∆DEF隐含一一对应
关系.
（5）一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全
等。同学们看大屏幕
（6）利用自制模型尝试图形全等变换过程————同学们拿出昨天老师
让准备的图形在桌子上尝试下这三种变换。
（7）练习如果给你一组全等三角形你能找出对应边或对应角吗?
1题—两个全等三角形的公共边一定为对应边。
2、3题--两个全等三角形的公共角或对顶角一定为对应角
4题--两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，
小角与小角分别是对应角。
3全等三角形的性质
：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（我们来看全等三角形对应边，对应角有什么规律呢？
巩固练习
4总结
请同学们说一说这节课你有哪些收获和体会。
1、你理解了全等三角形的定义吗？
2、你掌握了全等三角形的性质吗？
3、你学会了找全等三角形的对应边、对应角吗？
两个全等三角形中，对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.
当我们表示三角形全等时对应点要写在对应的位置上