函数定义域总结

定义域的求法
一、常规型
注意根号,分式,对数,幂函数,正切
2、常见的定义域
①当fx 是整式时,定义域为R;
②当fx 是分式时,定义域为使分母不为零的x 的取值的集合;
③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合;
④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合;
⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合; ⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32
-x x 0
1求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域;2 求函数2x
161x sin y -+=的定义域; 复合函数定义域的求法
1已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域;
其解法是：已知)x (f 的定义域是a,b 求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域;
测试：设函数()f x 的定义域为[]0,1,求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域;
2已知)]x (g [f 的定义域,求fx 的定义域;
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,即所求fx 的定义域;
测试：已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数fx 的定义域;
2已知)]x (g [f 的定义域,求ftx 的定义域;
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,也就是tx 的值域,求出tx 的定义域
测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数(21)y f x =-的定义域;
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围;特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决;
例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围;
例2 已知函数3
kx 4kx 7kx )x (f 2+++=
的定义域是R,求实数k 的取值范围; 四 参数型
对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论;
例6 已知)x (f 的定义域为0,1,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域;
解：因为)x (f 的定义域为0,1,即1x 0≤≤;故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：
⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间－a,1－a 与a,1+a 的交集,比较两个区间左、右端点,知
1当0a 21≤≤-时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-；
2当2
1a 0≤≤时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；
3当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时Fx 不能构成函数; 五 对数有关定义域为R
1y =log 2
2c bx ax ++a ≠0的定义域为R,则满足 2当值域为R 则满足
定义域的作用分析
一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数
例1．判断函数2()lg f x x =与()g x =2lg x 是否同一函数
二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分
函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域,否则所求函数关系式就可能出错.另外,根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合,若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集,那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．
例1．把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料,求矩形面积S 与矩
形长x 的函数关系式.
解：设矩形的长为x cm,则宽为2250x -cm,由题意得： 2250x x S -=,故所求的函数关系式为：2250x x S -=.
如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x 的范围,解题思路还不够严密．因为当自变量x 取负数或不小于50的数时,S 的值是负数或零,即矩形的面积为非正数,这与实际问题相矛盾,故还要补上自变量x 的范围：500<<x ,所以函数关系式为：2250x x S -=500<<x .
评析：从此例可以看出,用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点,结果很有可能出错.
例3．判断式子
解：要使上面的式子有意义,则1-x 2≥0且x 2-1>0,其解集为空集,由函数定义
可知这个式子不表示函数关系式．
评注：解题时若忽视了定义域的作用,则很可能得到一个错误结果．
三．函数定义域对函数值域的限制作用
函数的值域是指全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定后,函数值也随之而定.因此在求函数值域时,应特别注意函数定义域.
其实以上结论只是对二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在R 上适用,而在指定的定义域区间],[q p 上,它的最值应分如下情况：
⑴当p a
b <-
2时)(x f y =在],[q p 上单调递增函数)()(),()(max min q f x f p f x f ==； ⑵当q a b >-2时,)(x f y =在],[q p 上单调递减函数)()(),()(min max q f x f p f x f ==； ⑶当q a
b p ≤-≤2时)(x f y =在],[q p 上最值情况是：a b a
c a b f x f 44)2()(2min -=-=, )}(),(m ax {)(max q f p f x f =．即最大值是)(),(q f p f 中最大的一个值;
例4．求函数32-+=x x y 的值域．
错解：令3,32+=-=t x x t 则
∴22)1(322)3(222≥++=++=++=t t t t t y ,故所求的函数值域是),2[+∞．
四．函数定义域对函数奇偶性的作用
例1．判断函数
错解∵21)(x x f --=,∴)()(x f x f =-,∴函数 例6：判断函数y=sinx,x ∈0,6π的周期性．
六．函数定义域对函数单调区间的作用
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,而函数的单调区间是函数定义域的子集,所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调区间．
例1．指出函数)3lg()(2x x x f +=的单调区间．
七．函数定义域对求反函数的影响
有些函数不存在反函数,但在其单调区间内存在反函数,在求这类函数的反函数时,除注意其值域外,也要注意定义域
例8．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．
错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为y ∈ 2 , 6,
又6)2(2+--=x y ,即y x -=-6)2(2,∴y x -±=-62,
∴所求的反函数为y=2 ±错误!2≤x ≤6．
八．函数定义域对解不等式、方程或求值的作用
有时巧用函数的定义域,可以避免复杂的变形与讨论,
例9．设x 、y 为实数,
且1y x
=+,试求lgx+y 之值． 解：x 应满足⎪⎩
⎪⎨⎧≠+≥-≥-01010122x x x ,即x ＝1,将其代入已知等式,得y ＝0,
故lgx+y=lg1=0．。