函数的定义域和值域知识点总结
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
函数和值域知识点总结
函数和值域知识点总结一、函数的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了一个自变量与一个或多个因变量之间的对应关系。
一般来说，函数表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数的定义可以通过几何、代数、集合、映射等方式来表述，其中最常见的定义是代数上的定义，即函数是一个集合X到集合Y的映射，其中每个元素x ∈ X对应一个唯一的元素y ∈ Y。
二、函数的图像函数的图像是函数的一个非常重要的性质，它能够直观地反映函数的自变量与因变量之间的对应关系。
对于一元函数f(x)，它的图像通常表示为在直角坐标系中的曲线或者直线。
通过函数的图像，我们可以观察函数的增减性、奇偶性、周期性等性质，从而更好地理解函数的特点。
三、函数的性质函数具有很多重要的性质，包括增减性、奇偶性、周期性、最值等。
其中，增减性是指函数在定义域上的变化趋势，奇偶性是指函数的对称性，周期性是指函数在一定区间上的重复性，最值是指函数在某个区间上的极大值和极小值。
四、值域的求解方法值域是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的取值范围。
值域的求解方法主要有代数法、图像法、极值法等。
其中，代数法是指通过对函数的表达式进行分析来求解值域，图像法是指通过函数的图像来观察函数的取值范围，极值法是指通过函数的极值来确定函数的值域。
五、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等领域。
在物理学中，函数被用来描述物体的运动规律、力学原理等；在工程学中，函数被用来优化设计、模拟运行等；在经济学中，函数被用来描述市场供求关系、经济增长规律等。
综上所述，函数和值域是数学中非常重要的概念，它们在代数、微积分、几何等数学领域中均有重要的应用。
通过对函数和值域的学习，我们可以更好地理解数学中的各种概念和方法，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文的总结能够帮助读者更好地理解函数和值域的相关知识，从而更好地应用到实际问题中去。
大学函数重要知识点总结
大学函数重要知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，通常表示为f: X -> Y，其中X为定义域，Y为值域。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有定义在函数上的自变量的集合，值域是所有函数值的集合。
（2）单值性：每个自变量对应唯一的函数值。
（3）奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
（4）周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
（5）上下界：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值都在一个范围内，则称函数有上下界。
（6）单调性：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值随着自变量x的增大而增大（或减小），则称函数具有单调性。
二、基本初等函数1. 常数函数常数函数的表达式为f(x)=C，C为常数。
2. 一次函数一次函数的表达式为f(x)=kx+b，k为斜率，b为截距。
3. 幂函数幂函数的表达式为f(x)=x^a，a为实数。
4. 指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，a为正实数且不等于1。
5. 对数函数对数函数的表达式为f(x)=log_a(x)，a为正实数且不等于1。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
三、函数的运算1. 基本初等函数的四则运算（1）加法和减法：f(x)=g(x)±h(x)（2）乘法：f(x)=g(x)·h(x)（3）除法： f(x)=g(x)/h(x)，其中h(x)≠02. 复合函数如果存在函数u(x)和v(x)，则复合函数为：f(x)=u(v(x))。
3. 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么f和g互为反函数，且g=f^-1。
4. 函数的求导对函数进行求导可以得到函数的导数，导数表示函数在某一点的变化速度。
5. 函数的积分对函数进行积分可以得到函数的不定积分和定积分，不定积分是函数的原函数，定积分表示函数在一定范围内的面积或体积。
函数的定义域和值域知识点总结
函数定义域的几种求法：一、已知复杂函数，求f（x）例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域总结：二、已知简单函数f(x)，求复杂函数例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域总结：三、综合一和二，求函数的定义域例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域四、当定义域为R时，求未知数的取值范围例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围²总结：函数值域基本初等函数的定义域和值域1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]函数值域的常用方法：一、利用简单函数值域求复杂函数值域例1．求函数y=-1的值域解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域二、配方法例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)例8.求函数y=的值域²三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定例9．求函数y=²的值域²解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0当y=0时，显然不成立；当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)所以函数y=²的值域为[-,2）²。
高一值域和定义域的知识点
高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。
理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。
一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。
首先，定义域指的是自变量的取值范围。
也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。
1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。
例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。
所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。
例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。
1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。
其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。
最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。
二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。
值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。
2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。
例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。
在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。
2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。
对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。
例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。
中考知识点函数的定义域与值域
中考知识点函数的定义域与值域函数是数学中常见的一种数学工具，用来表示一种两个数集之间的对应关系。
在函数中，我们经常会涉及到两个重要的概念，即定义域和值域。
本文将介绍中考中关于函数定义域和值域的一些基础知识。
1. 函数的定义域函数的定义域是指能够使函数有意义的输入值的全体。
换句话说，定义域就是函数的自变量可以取值的范围。
在定义函数的时候，我们需要明确指定函数的定义域，以确保函数在这个范围内有良好的定义。
以一个简单的例子来说明，考虑函数y = x^2，这是一个求平方的函数。
在这个函数中，x 可以取任意实数作为输入值。
因此，函数的定义域是整个实数集，即定义域为(-∞, +∞)。
然而，并不是所有函数的定义域都涵盖了整个实数集。
例如，考虑函数y = 1/x，这是一个表示倒数的函数。
这个函数的定义域需要满足一个条件，即 x 不等于 0，因为不能除以零。
因此，函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)。
需要注意的是，在有些情况下，定义域可能会受到其他限制。
例如，考虑函数y = √x，这是一个表示平方根的函数。
在这个函数中，x 必须大于等于零，否则平方根就没有定义。
因此，函数的定义域为[0, +∞)。
2. 函数的值域函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
换句话说，值域就是函数的因变量可以取值的范围。
了解一个函数的值域有助于我们对函数的性质有更深入的理解。
对于简单的函数来说，值域可能很容易确定。
例如，考虑函数y = x^2，这是一个求平方的函数。
由于平方的结果总是非负的，所以函数的值域为[0, +∞)。
对于有些函数而言，值域可能受到一些限制。
例如，考虑函数y = sin(x)，这是一个正弦函数。
正弦函数的值域是[-1, 1]，因为正弦函数的值在这个范围内波动。
有时候，确定函数的值域可能并不容易。
例如，考虑函数y = x^3，这是一个立方函数。
立方函数的值域是整个实数集，因为对于任意一个实数，都可以找到一个实数的立方等于它。
函数初高中总结知识点
函数初高中总结知识点一、初中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念函数是一种对应关系，它将每一个自变量的取值都对应唯一的一个因变量的取值。
数学上通常用字母来表示一个函数，比如y=f(x)。
其中y是因变量，x是自变量，f(x)表示函数关系的表达式。
2. 函数的性质（1）定义域和值域函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。
在初中阶段，我们通常研究的是一元函数，也就是函数的自变量只有一个。
（2）奇函数和偶函数当函数f(x)满足f(-x)=-f(x)时，称函数f(x)为奇函数；当函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，称函数f(x)为偶函数。
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
（3）单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递增的；如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递减的。
3. 函数的图像初中阶段，我们接触到的函数的图像，一般是一元一次函数、一元二次函数和一元绝对值函数的图像。
一元一次函数的图像是一条直线；一元二次函数的图像是一个抛物线；一元绝对值函数的图像是一个V形。
以上就是初中阶段的函数知识点总结，接下来我们来看一下高中阶段的函数知识点。
二、高中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念在高中阶段，我们将学习更多种类的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数都是我们在高中数学中要重点学习的内容。
2. 函数的性质（1）函数的奇偶性除了初中阶段学习的奇函数和偶函数外，高中阶段还要学习更多类型的奇偶函数，如正弦函数、余弦函数等。
这些函数的奇偶性对于函数的图像和性质具有很大的影响。
（2）周期性在高中阶段，我们还要学习到周期函数的性质。
高一函数定义域和值域知识点
高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。
这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。
因此，这个函数的定义域是所有非负实数。
我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。
同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。
因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。
另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。
我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。
二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。
因此，该函数的值域是所有非负实数。
我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。
同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。
因此，该函数的值域是[-1, 1]。
另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。
因此，该函数的值域是大于0的所有实数。
我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。
总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
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函数定义域的几种求法：
一、已知复杂函数，求f（x）
例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域
例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域
总结：
二、已知简单函数f(x)，求复杂函数
例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域
总结：
三、综合一和二，求函数的定义域
例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域
四、当定义域为R时，求未知数的取值范围
例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=
的定义域为R，求实数a的取值范围
²
总结：
函数值域
基本初等函数的定义域和值域
1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R
2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]
函数值域的常用方法：
一、利用简单函数值域求复杂函数值域
例1．求函数y=-1的值域
解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]
例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域
例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域
二、配方法
例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1
所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)
例8.求函数y=
的值域
²
三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定
例9．求函数y=²
的值域
²
解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0
当y=0时，显然不成立；
当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，
即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0
所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)
所以函数y=²
的值域为[-,2）
²。