2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜率之积为定值问题
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
kADkPB＝ab22k1kPB＝ab22·xBy＋B a·xBy－B a＝ab22·x2B－y2B a2＝ab22－ba22＝－1，所以 PB ⊥AD，又 PD⊥AD.所以三点 P，B，D 共线，即直线 BD 过定点 P(a,0)．
7．已知椭圆x32＋y22＝1，过点 P(1,1)分别作斜率为 k1，k2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点．若 k1＋k1，求证 直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
y＝kx＋ 2－3 2k
3x62 ＋y42＝1
，
整理得(9k2＋1)x2＋18 2k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0， 得 x1＝18 92k23＋k21－k－3 2， 所以 x2＝18 92k23＋k21＋k－3 2， 整理得 x2－x1＝93k62＋2k1，
x2＋x1＝190k82＋21k2－6 2.
2．已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.则直线 OM 的
斜率与 l 的斜率的乘积为 －9
.
解析：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM
＝x1＋2 x2＝－k2k＋b 9，易得 yM＝k29＋b 9， 从而 kOM·k＝－9.
3．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭
圆上，且异于点 A，B 的直线 AP，BP 与直线 l：y＝－2 分别交于点
M，N.当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆经过的定点是
押题第34道 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题(原卷版)
【押题背景】定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.【押题典例】典例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：24x＋y2＝1，椭圆C2：22xa＋22yb＝1(a>b>0)，C2与C1∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C2的标准方程；(2) 设点P为椭圆C2上的一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：PAPB为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．【答案】(1)28x＋22y＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析【解析】(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝，1b=b，因此椭圆C2的标准方程为28x＋22y＝1.(2)①1°当直线OP斜率不存在时，P A－1，PB＋1，则PAPB＝3－.押题第34道椭圆中两直线斜率之积为定值的问题2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．所以222P A x x =，由题意，x P 与x A 同号，所以x Px A ，从而PA PB ＝p A p B x x x x --＝p A p A x x x x -+＝3－.所以PA PB ＝3－为定值．②设P (x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0，记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(421k ＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t )2－4(421k ＋1)(4t 2－4)＝0，即421k －t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整理得，2201(4)x k -－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理可得，2202(4)x k -－2x 0y 0k 2＋20y －1＝0，所以k 1，k 2为关于k的方程(20x－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝202014y x --.又点在P (x 0，y 0)椭圆C 2：28x ＋22y ＝1上，所以2200124y x =-，所以k 1·k 2＝20201211444x x --=--为定值． 典例2 已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a >b >0)的长轴长为4，两准线间距离为，设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D (1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为 k (k ≠0)，k ′，求证：k ·k ′为定值．【答案】(1)24x ＋22y ＝1；(2) x －y －1＝0和x ＋y －1＝0；(3) 证明见解析【解析】(1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离22a c ⋅=a ＝2，c，则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为24x ＋22y ＝1.(2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.因为D (1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22412k k +，x 1x 2＝222412k k-+. 故EF|x 1－x 2|.又点A到直线l 的距离d 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF＝12212k +＝212k+，则k ＝±1.综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(3) 设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝112y x + (x ＋2)，令x ＝3，得点M 1153,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得N 2253,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以点Q 的坐标为121255223,22y y x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭.直线QD 的斜率为k ′＝()()121255222231y y x x +++-＝12125()422y y x x +++， 而112y x +＋222y x +＝()1112k x x -+＋()2212k x x -+＝k ·()121212122424x x x x x x x x ++-+++，由(2)知x 1＋x 2＝22412k k +， x 1x 2＝222412k k -+，代入上式得112y x +＋222y x +＝k ·()22222248441224848k k k k k k-+-+-+++＝21218k k -＝－23k . 则有k ′＝－56k ，所以k ·k ′＝－56，为定值． 【押题匹配】（2020·江苏省海安高级中学高三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B ，记椭圆C 的离心率为e .（1）若12e =，12A B = ①求椭圆C 的标准方程；②求21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比. （2）若直线2PB 和直线2PA 的斜率之积为92-，求e 的值.【答案】（1）①22143x y +=.②5 ；（2）12e =. 【解析】（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪==+⎪⎪⎩2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；②由①知，()12,0A -、()22,0A ，()1,0F，(20,B ，所以直线2B F的方程为)1y x =-， 将其代入椭圆的方程，得()22114x x +-=，即2580x x ，所以0x =或85x =，所以点P的坐标为8,55⎛ ⎝⎭. 从而21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比：212135B A F PA FS S ∆∆⨯==； （2）因为2B 、F 在直线2PB 上，所以直线2PB 的方程为1x y c b +=-.联立方程22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，解得()2122221222a c x a c b a c y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩或220x y b =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.因为直线2PB 的斜率()200PB b b k c c--==-，直线2PA 的斜率()()()()()222222222222222PA b a c b a c b a c a ck a ca a c a c a a c aa c ---++===---+-+， 又因为直线2PB 和直线2PA 的斜率之积为92-，所以()()()()()()()()222292a c a cb ac b a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -++++-⨯=-=-=-=----，即1922e e ++=，化简得22520e e -+=，01e <<，解得12e =.因此，椭圆C 的离心率为12e =. 【押题变式】1、（2020·镇江高三）已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．2、（2020·苏州高三）如图所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．3、（2020·连云港高三）已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．4、（2020·南京市秦淮中学高三）如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅰ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.5．（2020·江苏省泰州中学高三）已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； ()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；()3若l 过点,3mm ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．6、（2020·江苏盐城高三）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。
椭圆中一类斜率之积为定值 高考数学
主讲人：某某某老师
某某学校
一、教材习题变式构建模型
二、高考解题析游刃有余
试卷讲评课件
椭圆是高考考查的难点之一，椭圆中一类斜率之积问题早有出现.
本文从教材出发，通过一系列的变式，转化和化归达到高考考查要求，
体现出试题源于教材且高于教材的理念，同时，找到在椭圆中一类斜
−′
=
′
=
，则
=
−
= ，则′ = −
−
−
−′
′
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
=
........②
′
− ，
........③
试卷讲评课件
x2
[变式3]：已知椭圆Γ： 2
率之积问题的通性.
一、教材习题变式构建模型
试卷讲评课件
典型习题：(人教A版选修2-1)设点A，B的
坐标分别为 −5,0 、 5,0 ，直线AM，BM相交
4
于点M，且他们的斜率之积为− ，求点M的轨
9
迹方程。
试卷讲评课件
解：如图1，设点 , ，由已知得， =
⋅ =
⋅ =
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
试卷讲评课件
【评析】此题也属于斜率之积为定值，但此解法与变式1、2、3有所不
同，直线与椭圆有一个交点，联立两直线方程得出点的坐标，继
而得出 ∗ 式，再联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个变量，得出
关于另一变量的一元二次方程，再利用一元二次方程有一个实数解
2020年山东省青岛市数学二模试卷与详细解析
18．试在① ，② ，③ 三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得 面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥 中， ，底ABCD为菱形，若__________，且 ，异面直线PB与CD所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
19．已知数列 的各项均为正数，其前n项和为 ， ， .
9．B【分析】根据 的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定 的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定 的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知 的正误.【详解】对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为椭圆，焦距 ， 错误；对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为双曲线，则 ， ， 离心率 ， 正确；对于 ，若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，解集为空集， 不存在实数 使得曲线 为焦点在 轴上的双曲线， 错误；对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，其渐近线方程为 ，则圆 的圆心到渐近线的距离 ， 双曲线渐近线与圆 不相切， 错误.故选： .
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以ABCD的面积 .
（2）在 中，由正弦定理知： ，所以 .
因为 ，所以 ， .在 中， ，
所以 ，所以 .
18．详见解析；余弦值为 【分析】先分析出只能选择①③，再进行证明和计算.【详解】若选②：由 平面ABCD知，又 ，所以 面PAC，所以 ，所以 ， ，这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.下面证明： 平面ABCD，因为四边形ABCD为菱形，所以 .因为 ， ，所以 平面APC.又因为 平面APC，所以 .因为 ，O为AC中点，所以 .又 ，所以 平面ABCD，因为 面ABCD，以O为坐标原点，以 ， ， 的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系 ，
山东省青岛市2020年(春秋版)中考数学二模试卷(II)卷
山东省青岛市2020年（春秋版）中考数学二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017七下·城北期中) 的平方根是（）．A .B .C .D .2. （2分）(2013·深圳) 下列计算正确的是（）A . （a+b）2=a2+b2B . （ab）2=ab2C . （a3）2=a5D . a•a2=a33. （2分）(2016·株洲) 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（）队员平均成绩方差甲9.7 2.12乙9.60.56丙9.70.56丁9.6 1.34A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁4. （2分）(2017·桂平模拟) 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣3x+2=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A . 5或4B . 4C . 5D . 35. （2分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .6. （2分）世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A . 0.76×10﹣7B . 7.6×10﹣8C . 7.6×10﹣9D . 76×10﹣107. （2分）(2017·商水模拟) 如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题 (共10题；共10分)9. （1分） (2019八下·安庆期中) 若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是________.10. （1分）(2017·青山模拟) 分解因式：a2b+2ab2+b3=________．11. （1分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π=________ .12. （1分）如图，直线l1∥l2 ，AB⊥EF，∠1=20°，那么∠2=________．13. （1分） (2012·湛江) 如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD 的长是________．14. （1分）(2020·长春模拟) 用举反例的方法，说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题，则m的值可以是________。
圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
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82
则
x1
椭圆斜率之积是定值专题
OxyPAB椭圆斜率之积为定值专题性质 如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a-．证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+by a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212by y a x x --=-， 所以22212212a b x x y y -=--， 所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22142x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明 设(2,)M y ，由性质知12PA PBk k ⋅=-，即12MA PB k k ⋅=- ③图1图2直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2MO y y k a ==， 所以12MA MO k k =④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知1222PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211ab a x y a x y -=-⋅+ ⑤1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122ab a x y a x y -=-⋅+ ⑥ 比较⑤与⑥得1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 23＝1上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．求证：直线MN 的斜率为定值．证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-，即12MA NB k k ⋅=-， 12DA DBk k ⋅=-，即12NA MB k k ⋅=-．所以111222N M M N y y x x +-⋅=--+，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦xy AOB CDMN 图4图3111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． 记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k P A k ＝－34，所以k P A ＝－34k .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－34k(x 2＋4)－y 2，因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2(x 2－1).所以y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2.因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2.又因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.图5由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．。
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2020年青岛二模题目例谈解析几何中斜
率之积为定值问题
定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。
关键词：斜率之积定值数学运算
一、斜率之积问题的课本溯源：
普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线相交于点 , 且它们的斜率之积是 , 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？
思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？
思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？
通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。
斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。
下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。
二、模拟题中的问题呈现及变式探究
（2020年青岛二模节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .
1.
求椭圆的标准方程；
2.
若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为
证明： .
解析：（1）椭圆方程为，过程略。
（2）设 ,则．设
由点在椭圆上，得:① ，②
两式相减并整理，得
即
模拟题的解题溯源：
椭圆 (a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?
解：设椭圆 (a＞b＞0)的任意一条直径为 ,
∵是直径∴点关于原点称．
设 ,则．由点在椭圆上，得:
① ②
两式相减并整理，得
即
点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。
对于双曲线，只需要把椭圆标准方程中的换成结论一致，仍为 .
..如果将圆理解为（或者）的椭圆，本结论对圆也是成立的.此定义可以理解为对两定点张角为直角的轨迹为圆的推广.对于今年的青岛二模题目，如果求证是定值，记住结论也可以验证答案。
结论：圆锥曲线上上三点，若点过于原点对称，即三点共线，
则。
变式一：若点为椭圆上的动点，直线的斜率分别为且证明：三点共线.
变式一解题溯源：
过椭圆 (a＞b＞0)上任意一点作两直线分别交椭圆于点（不是长轴的端点），为原点，若与的斜率分别为，且满足，则三点共线。
证明：设
则，两式相减得①
又∵②
由①②得即
故，设即
∴三点共线，
而在椭圆上∴与重合，
又与关于原点对称，∴弦过中心 ,即三点共线。
点拨：利用方程思想，建立起点的关系，其中点是点关于原点对称的点。
结论：圆锥曲线上上三点，若，则点过于原点对称，即
三点共线。
变式二：若是椭圆的左右顶点，是椭圆上除了的任意一点，求证为定值。
变式二解题溯源：已知椭圆的左右顶点为，点是椭圆上除了的任意一点，求证为定值。
解：设，∵
∴
∴
又∵点在椭圆上，故∴
②代入①得：
猜想：若把上题中改为上下顶点，上述结论是否还成立呢？
证
明：∵ .设
所以，直线的斜率，的斜率为 .
∴
又点在椭圆上，所以，从而有
②代入①得：
点拨：本类问题采用了代入消参，借助直线的斜率公式得出结论。
结论：我们可以总结为椭圆（或双曲线）上的两顶点（左右顶点或者上下顶点），与圆锥曲
线上除此之外的任意一点所形成的两条直线斜率之积为定值 .
变式三：若点为椭圆上的两个动点，点是弦的中点，直线的斜率分别为证明：为定值.
变式三解题溯源：已知椭圆，点为椭圆上的两个动点，
点是弦的中点，直线的斜率分别为，求证为定值。
解：设，，
=， = ,
∵点在椭圆上，故①②∴②—①得：即
∴ =即（*）
∵ =，则
设A、A′关于原点对称，由中位线定理知OM∥A′B，从而得到
点拨：“遇到弦中点，两式减一减”。
本类题目的解题手段为相减消参，借助直线的斜率公式得出结论，通过两式相减得到了圆锥曲线中弦的中点坐标与弦的斜率之间的关系式（*）.结论：与圆锥曲线相交直线斜率，相交弦中点与原点的直线斜率为， .
三、隐藏条件的问题
有的时候，斜率乘积为定值是隐藏在题干之中，作为解决问题的一个环节，比如下面的题目：
如图，若为椭圆的右顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于两点，直线交直线于
两点，求的最小值．
分析：求的最小值，将构建只含有一个参数的函数，点是变化运动的，而这两个动点与直线有关。
动态的直线斜率也是变化的，而斜率之积是一个静态的定值，从而找到解题的突破口。
解：设则 ,
所以
又∵在椭圆上，∴点
即 ,将②式代入①式得：
点拨：直线和直线斜率乘积是定值，因此二者斜率可以用一个字母表示。
设直线的斜率为，则直线的斜率为
所以直线的方程为：
直线的方程为：
令得
∴当且仅当时取
∴的最小值为
四、结束语：
我们发现，涉及到斜率乘积为定值的问题，证明过程中一般用到方法相减消参和代入
消参，然后利用直线的斜率公式得到我们所需要的结果。
另外，本文中的结论斜率乘积为定值，这作为圆锥曲线的统一结果是有前提条件的，需要圆锥曲线的焦点在轴上。
那
焦点在轴上的定值结论读者可以类比探究。
作者信息：田巍 1990年生 2013年工作山东省平度第一中学教师中学二级。