微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
椭圆中斜率之积为定值的问题
椭圆中斜率之积为定值的问题
哎呀，啥是椭圆中斜率之积为定值的问题呀？这对我这个小学生来说，简直就像一个超级大怪兽！
我们先来看看椭圆是啥吧。
椭圆就像一个被压扁的圆，它有两个焦点，就像两个小眼睛盯着你。
那斜率又是什么呢？想象一下，你在山坡上往上爬，山坡的陡峭程度就是斜率。
那在椭圆里，斜率之积为定值，这可太神奇啦！比如说，有两个点在椭圆上，它们连接起来的线的斜率相乘，结果居然是一个不变的数！这难道不像魔法吗？
我就想啊，这和我们平常玩的游戏有啥不一样？比如说跳皮筋，每次跳的高度都不一样，可在椭圆里，这斜率之积居然就固定啦！
老师给我们讲的时候，我瞪大眼睛，心里直犯嘀咕：“这咋就这么难理解呢？”同桌也一脸迷茫，小声跟我说：“这比数学作业还难！”
我们一起努力思考，互相讨论。
我问他：“你说这是不是就像我们跑步，速度和时间的乘积是路程，在椭圆里就是斜率和啥啥的乘积是个定值？”他摇摇头说：“我也不太清楚呢！”
后来，老师又给我们举了好多例子，画了好多图，慢慢地，好像有点懂啦。
我觉得吧，这椭圆中斜率之积为定值的问题，虽然一开始让人头疼，但只要我们不放弃，努力去想，还是能搞明白的。
就像爬山，虽然过程很累，但爬到山顶看到美景的那一刻，一切都值得啦！所以呀，遇到难题别害怕，加油冲就对啦！。
椭圆中斜率乘积为定值引出的直线过定点问题
点P为椭圆：C：x2a2+y2b2=1的左顶点左顶点，过点P的两条直线分别与C交于两点、A、B , 两点；直线、PA、PB的斜率之积为t(t≠b2a2)，则直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;图一证明：证明：法一：法一：设直线AB为x=my+n .则{x=my+nx2a2+y2b2=1⇒(b2m2+a2)⋅y2+2mnb2y+b2n2−a2b2=0 .则由题得：Δ=(2mnb2)2−4⋅(b2m2+a2)⋅(b2n2−a2b2)=4a2b2⋅(a2+b2m2−n2)>0 ; 由根与系数的关系得：{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2;设A(my1+n,y1) , B(my2+n,y2) , 又P(−a,0), kPA⋅kPB=t ,所以kPA⋅kPB=y1−0my1+n+a⋅y2−0my2+n+a=t⇔(tm2−1)⋅y1y2+tm(n+a)⋅(y1+y2)+t(n+a)2=0 ;代入{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2得：(tm2−1)⋅b2n2−a2b2b2m2+a2+tm(n+a)⋅(−2mnb2b2m2+a2)+t(n+a)2=0 ,化简得：(a2t−b2)n2+2ta3n+ta4+a2b2=0 ,因式分解得：[(a2t−b2)n+a(a2t+b2)]⋅(n+a)=0 ,(t≠b2a2)解得：n=a⋅b2+a2tb2−a2t ,或者n=−a（此时直线过点，不符合题意，舍去）（此时直线AB过点P，不符合题意，舍去）因此直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;法二：法二：椭圆：C：x2a2+y2b2=1向右平移a个单位长度，即将椭圆C的左顶点P平移到原点O，如图二；图二则此时椭圆方程为(x−a)2a2+y2b2=1 ,化简为x2a2−2xa+y2b2=0；设平移后直线AB为mx+ny=1 .联立{mx+ny=1x2a2−2xa+y2b2=0得：x2a2−2xa⋅(mx+ny)+y2b2=0；化简得：(1a2−2ma)⋅x2−2na⋅xy + +1b2⋅y2=0 ,等式两边同时除以x2齐次化得：1b2⋅(yx)2−2na⋅(yx)+1a2−2ma=0 ;设平移后A(x1,y1) , B(x2,y2) ,又平移后的直线、PA、PB的斜率之积依然为t(t≠b2a2)，则kPA⋅kPB=t=y1x1⋅y2x2 .由根与系数的关系得：y1x1⋅y2x2=1a2−2ma1b2=t，解得：m=b2−a2t2ab2 ,所以平移后直线AB为b2−a2t2ab2⋅x+ny=1，过定点(2ab2b2−a2t,0) ,再平移回去即可得原直线过定点(2ab2b2−a2t−a,0) ,化简即可得直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;注：如果点P为椭圆C右顶点右顶点，则直线AB过定点(a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;对于法一法一，因式分解是一个难点，想必到这里会劝退了一波人，不过这里有巧可钻；从图一可知，当点A或点B在无限靠近点P时，直线AB也无限接近点P，所以在解关于n的方程时，必有一增根n=−a；因此在因式分解(a2t−b2)n2+2ta3n+ta4+a2b2=0时，可以借助这一点，利用多项式除法化简即可得[(a2t−b2)n+a(a2t+b2)]⋅(n+a)=0；对于法二法二，则是利用齐次化的方法，对于解决斜率之和与斜率之积问题，齐次化的方法不失为一种简单而又巧妙的方法；。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究微专题：解析几何中斜率之积为定值的问题探究教学重点】掌握椭圆中斜率之积为定值的运算设计和化简。
教学难点】如何理性判断问题的路径探寻及成果运用。
活动一：斜率之积为定值的路径探寻假设AB是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的一条不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP和AB的斜率都存在，求$K_{AB} \cdot K_{PO}$。
解析】设点$P(x,y)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{a^2-b^2}$（代点作差）。
将$AB$的斜率$k_{AB}$表示为$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，$OP$的斜率$k_{OP}$表示为$\frac{y}{x}$，则有：begin{aligned} K_{AB}&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{(y_1-y)+(y-y_2)}{(x_1-x)+(x-x_2)} \\ &=\frac{y_1-y}{x_1-x} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x-x_2}{y-y_2} \\ K_{PO}&=\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1-x_2}{y_1-y} \end{aligned}$$因此，$K_{AB} \cdot K_{PO}=\frac{b^4}{a^4} \cdot\frac{(x-x_2)(x_1-x_2)}{(y-y_2)(y_1-y)}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
结论形成总结】结论1】若$AB$是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的非直径的弦，点$P$是弦$AB$的中点，且直线$OP$和$AB$的斜率都存在，则$K_{AB} \cdot K_{PO}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
kADkPB＝ab22k1kPB＝ab22·xBy＋B a·xBy－B a＝ab22·x2B－y2B a2＝ab22－ba22＝－1，所以 PB ⊥AD，又 PD⊥AD.所以三点 P，B，D 共线，即直线 BD 过定点 P(a,0)．
7．已知椭圆x32＋y22＝1，过点 P(1,1)分别作斜率为 k1，k2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点．若 k1＋k1，求证 直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
y＝kx＋ 2－3 2k
3x62 ＋y42＝1
，
整理得(9k2＋1)x2＋18 2k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0， 得 x1＝18 92k23＋k21－k－3 2， 所以 x2＝18 92k23＋k21＋k－3 2， 整理得 x2－x1＝93k62＋2k1，
x2＋x1＝190k82＋21k2－6 2.
2．已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.则直线 OM 的
斜率与 l 的斜率的乘积为 －9
.
解析：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM
＝x1＋2 x2＝－k2k＋b 9，易得 yM＝k29＋b 9， 从而 kOM·k＝－9.
3．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭
圆上，且异于点 A，B 的直线 AP，BP 与直线 l：y＝－2 分别交于点
M，N.当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆经过的定点是
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
椭圆中一类斜率之积为定值 高考数学
主讲人：某某某老师
某某学校
一、教材习题变式构建模型
二、高考解题析游刃有余
试卷讲评课件
椭圆是高考考查的难点之一，椭圆中一类斜率之积问题早有出现.
本文从教材出发，通过一系列的变式，转化和化归达到高考考查要求，
体现出试题源于教材且高于教材的理念，同时，找到在椭圆中一类斜
−′
=
′
=
，则
=
−
= ，则′ = −
−
−
−′
′
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
=
........②
′
− ，
........③
试卷讲评课件
x2
[变式3]：已知椭圆Γ： 2
率之积问题的通性.
一、教材习题变式构建模型
试卷讲评课件
典型习题：(人教A版选修2-1)设点A，B的
坐标分别为 −5,0 、 5,0 ，直线AM，BM相交
4
于点M，且他们的斜率之积为− ，求点M的轨
9
迹方程。
试卷讲评课件
解：如图1，设点 , ，由已知得， =
⋅ =
⋅ =
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
试卷讲评课件
【评析】此题也属于斜率之积为定值，但此解法与变式1、2、3有所不
同，直线与椭圆有一个交点，联立两直线方程得出点的坐标，继
而得出 ∗ 式，再联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个变量，得出
关于另一变量的一元二次方程，再利用一元二次方程有一个实数解
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微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。
过圆222r y x =+上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值1-=•PB PA K K类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化令';'y b y x a x == 则有 ()1')'()0(1222222=+⇒>>=+y x b a b y a x ()⎪⎭⎫⎝⎛⇒b y a x P y x P 0000,',； 点P,A,B 为椭圆上点()⎪⎭⎫⎝⎛⇒b y a x A y x A 1111,', 点p ’,A ’,B ’为新圆上点()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⇒--b y a xB y x B 1111,', 由圆上的1-''''=•B P A P k k 的关系过渡到PA,PB 上22212021202121202120'''')()()()(1)()a ()()b (a b x x y y k k a x x b y y k k B P A P -=--=•⇒-=--=•【方法小结】解法2运用类比联想的方法；由圆的结论过渡到椭圆，学生易于理解，但通过伸缩变换将椭圆圆化的过程对于学生的能力具有一定的要求。
这也正是我们要加强训练的地方。
【结论形成总结】【 结论2】 已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心弦，点P 是椭圆上任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K PBPA ．活动二：2221ab k k -=•结论的应用【例1】（1）已知椭圆C ：13622=+y x ，直线m 与椭圆C 相交于A,B 两点，且AB 的中点为P(1,1) 则直线m 的方程为【解析】本题具有弦中点的特征所以应用结论121-22=-=•a b K K POAB因为P(1,1)易求1=PO K 的，所以21-=AB K所以直线m 的方程为：x+2y-3=0（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆1b4222=+y x 的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为. 若21cos 21=∠BF F ，则直线的斜率为 . 【解析】观察图形易发现BC 具有中心弦的特征选用结论2因为21cos 21=∠BF F 所以02160=∠BF F 所以0230=∠OBF ;在2BOF Rt ∆中易知22=BFb OB ==3260=∠O BF所以直线BD 的倾斜角为0120所以直线BD 的斜率为3-K BD =;由结论可知43-22=-=•a b K K CDBD所以43=CD K【方法小结】通过两道小题强化结论的应用；并让学生能够通过图形自主发现中点弦，中心弦的特征，从而合理巧妙的应用结论。
【例2】如图，椭圆13422=+y x 中，A,B 分别为椭圆的左右顶点，2l 是椭圆的右准线， P 是椭圆上的动点，直线AP,BP 分别交2l 于M,N ，求线段MN 的最小值。
【解析】【设K 法】设直线AP 的斜率为K （k>0），则直线AP 的方程为：y=k(x+2); 又MN 的方程为x=4.易求M(4,6K);DCD()012161643134)2(222222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k x k x k y x x k y 又A(-2,0);设()00,y x P 22022043864312162-k k x k k x +-=⇒+-=）（204312kk y +=易得)4312,4386(222k k k k P ++-∴又点B （2,0）；所以k K PB43-=；所以直线PB 的方程为：)2(43y --=x k；令x=4得 )23,4(k N -；所以时等号成立）当且仅当21(6236=≥+=k k k MN解法二：【利用中心弦结论43-22=-=•a b K K PBPA 】设直线AP 的方程为：y=k(x+2);因为kK a b K K PB PBPA 43-43-22=⇒=-=•所以直线PB 的方程为：)2(43y --=x k ；易得M(4,6K)；)23,4(kN - 所以时等号成立）当且仅当21(6236=≥+=k k k MN解法三：【设点法】设M(4,m)(m>0);N(4,n)(n<0);A(-2,),B(2,0)26nK m K PB PA==；9)(43-1222=-⇒=-==•∴n m a b mn K K PBPA时等号成立）当且仅当3)((6)(2)(=-==-≥-+=n m n m n m MN 【点评】三种方法两个角度：显然从设点和设K 的角度处理问题结合中心弦的结论能够快速计算找到解题的突破口。
【拓展延伸】在平面直角坐标系xOy 中，设A,B 为椭圆1222=+y x 上异于顶点的两点。
（1）若OA,OB 的斜率之积为21-，求证：22OB OA +为定值； （2）若OA,OB 的斜率之积为21-，求证：线段AB 的中点C 在某个定椭圆上。
【解析】第一小问设),();,(2211y x B y x A ；;212121-==•x x y y K K OBOA 22212221212142x x y y x x y y =⇒-=∴；又因为点A,B 在椭圆上 222221212-22-2y x y x ==∴；代入上式得：12-22-242221222122212221=+⇒•==y y y y x x y y ）（）（3)(42-22-22221222221212222212122=+-=+++=+++=+∴y y y y y y y x y x OB OA ）（）（（2）设),(00y x C ;因为C 为AB 中点⎩⎨⎧++=++=⇒⎩⎨⎧+=+=)2(24)1(24222221212022212120210210y y y y y x x x x x y y y x x x 平方因为;212121-==•x x y y K K OB OA 0240221212121=+⇒=+∴x x y y x x y y ；所以（1）+（2）×2可得1211124228420202020222221212020=+⇒=+⇒=+++=+yx y x y x y x y x【探究形成结论】在平面直角坐标系xOy 中，设A,B 为椭圆)012222>>=+b a by a x （上异于顶点的两点。
（1）若OA,OB 的斜率之积为;22ab K K OBOA -=•2222b a OB OA +=+则；【解析】设),();,(2211y x B y x A ；;222121ab x x y y K K OBOA -==• 2221422214212212a x x b y y a x x b y y =⇒-=∴；又因为点A,B 在椭圆上 2222222222212212a b a b b a y x b a y x =+=+∴；移项得：）（）；（2-b a -1-b -a 2222222222212212b a x y b a x y ==∴由（1）⨯（2）得： 2222122214222221422214--a a x x x x b a x a x b y y =+⇒=•=）（）（由（1）+（2）得：2222122222221222212a b 2a -b -a b y y b x x y y =+⇒-=+=+∴）（）（ 222222212122a b y x y x OB OA +=+++=+∴(2)若OA,OB 的斜率之积为22a-b ，求证：线段AB 的中点C 在某个定椭圆上。
设),(00y x C ;因为C 为AB 中点⎩⎨⎧++=++=⇒⎩⎨⎧+=+=)2(24)1(24222221212022212120210210y y y y y x x x x x y y y x x x 平方因为;a222121b x x y y K K OBOA -==• 0a 212212=+∴x x b y y ；所以22)2(b 1a ⨯+⨯）（可得 2220220222221221220222221221220224b 4)2(24)1(2b 4b a y a x y a y y a y a y a x b x x b x b x =+⇒⎩⎨⎧++=++=122a 22220=+∴b y x AB 的中点轨迹方程为：【小结】伴生结论：2222122221y b y a x x =+=+；【巩固练习】1.（2011江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意k>0，证明：PB PA ⊥法一：运用点差法求解；主要应用上述结论推导过程中设点作差的思想方法。