双重二次根式
复合二次根式【知识要点】
1．二次根式
()
()
a a
a a
≥
?
=?
-<
?
2．重二次根式：如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做重二
次根式。如
3．化简重二次根式
x、y（x＞y）使x y a
+=，xy b
=，则
==
【典型例题】
例1 （1）化简a
（2）设0
x<，0
y<，化简--
例2 （1）设a=1
b=，c=a、b、c的大小。
（2）设M=-N=,
M N的大小．
例3 （1）设a ，b ，c 均为不小于31+的最小值是 。
（2）代数式+的最小值是 。
例4（1= 。 （2= 。
（3= 。 （4= 。
（5= 。 （6= 。
（7= 。 （8= 。
（9= 。 （10= 。
（11= 。 （12= 。
（13= 。 （14= 。
例5 若
x =，则+的值是 ．
例6
复合二次根式练习
1．当13x << ）
A ．42x -
B ．2
C ．24x -
D ．4
2．5x =，则x 的取值范围为 。
4．x 、y 为实数，设a =，2y b =，134142
c +=-，则a 、b 、c 的大小关系是（
）。
A ．a b
c <<
B ．b a
c <<
C ．b c a <<
D ．a b c =< 5．已知+<<+，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A ．a b c >>
B ．a b c <<
C ．b c a >>
D ．c a b <<
6．化简
）
。 A
．
B ．
C D
7
．
=
。
8
．根式
(
的值是 。
9．计算
++=
10
．设M =++++ 123456N =-+-+-+
19931994+- ，则2(1)
N M =+ 。
11，最后得 。
12．已知a ≥3,b ≥4，c ≥52的最小值。
13．计算15216157---所得的结果是 。
14．设
x =
的值是 。
15．的算术平方根等于 。
复合二次根式作业
1．若0x <，则x x
-的结果是（ ） A ．0 B ．－2 C ．0或－2 D ．2
2．2=x 的取值为（ ） A ．12x = B ．12x =- C ．12
x ≥- D ．x 为任意实数
3．等式=-a 、b 取值是（ ）
A ．0a ≥，0b <
B ．0a <，0b ≥
C ．0a ≤，0b ≥
D ．0a <，0b <
4．设x =y =x 、y 的大小关系是（ ）
A ．x y >
B ．x y =
C ．x y <
D ．无法确定的
5．已知()21989P =+-，那么P 的值是（ ）。
A ．1987
B ．1988
C ．1989
D ．1990
6．的值为（ ）。
A ．
B
C ．12
D ．1
7．代数式+ ）。
A ．
B
C ．
D ．
8． ）。
A ．
B ．1
C
D 1
9．如果x y +=x y -=xy 的值是（ ）
A ．+
B ．
C ．
D ．
10．若12x <<1
1x x -+-的值等于 。
11= 。
12．求
13．化简
= 。
14．计算= 。
二次根式拓展提高讲义及答案
二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法
例1.计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为 a 与 b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式： ()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将 b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()() )(( 2 -=-+-=+-++ --= 二、适当配方法。 例2．计算：32163223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有321-+其分子必有含321-+的因式，于是可以发现() 2 21223+=+，且() 21363+=+ ，
二次根式的双重非负性来解题电子教案
精品文档 精品文档 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）121 3-+-x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式的化简与计算 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====?? 二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18 ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35 部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案） 二次根式的非负性 【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性： （1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0. （2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0. 一、利用二次根式的非负性求范围 1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 . 2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 . 二、利用二次根式的非负性化简 3. 若a>2，则 =+---12)2(22a a a . 4.化简：y y 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： x x x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+ 三、利用二次根式的非负性求值 7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是 8. 311+=-+-a a a 求a 值。 9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值. 10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值. b -2-112 参考答案 1.∵ x-4≥0 ∴x ≥4 2.∵ 0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--2 1 5.∵x<0时 x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+- 6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0 ∴ a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 , 0102≥+-y x ∴ | x+y-1|＝0 且 0102=+-y x ∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0 解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是5 8. 由，1≥a , 有321111+==-+-=-+-a a a a a a 3=a 9. 由 433+---=x x y 得4,3==y x O x b a -2 -112 二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 2．7二次根式 第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1．理解二次根式概念及性质． 2．会用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)进行二次根式的化简运算． 【学习重点】 二次根式乘除法法则． 【学习难点】 二次根式乘除法法则的灵活运用． 学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 说明：学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导．情景导入生成问题 观察下列代数式： 5，11，7.2，49 121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)． 这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？ 【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点，为给二次根式下定义做好准备．【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数． 二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！ 自学互研生成能力 知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根 先阅读教材第41页“做一做”的内容，然后完成下面的问题． 做一做： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ 4×9＝________，4×9＝________； 4 9＝________，4 9 ＝________； 25 49＝________，25 49 ＝________； (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流． 6×7与6×7，6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)．即积的算术平方根，等于各个因式算术平 方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根．注意：a、b的取值范围不能忽略． 知识模块二二次根式的化简 先独立完成下面例1的化简，然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解．例1：化简： (1)81×64；(2)25×6；(3)5 9. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算1 术平方根是一个非负数。） 2 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、3 12+x ； D 、1-x 4 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 5 （1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）121 3-+-x x 6 (6). 7 （7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1313++=++x x x x ，8 则x 的取值范围是 。 9 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正10 整数，则正整数m 的最小值是________． 11 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 12 5. 若20042005a a a --=，则22004a -=_____________；若13 433+-+-=x x y ，则=+y x 14 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 15 7．若m 35223199199x y m x y m x y x y +--+--+--求16 m 的值． 17 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范18 围是 19 9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △20 为（ ） 21 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 第八讲 二次根式的化简求值 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式． 有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形． 例题求解 【例l 】已知21=+ x x ，那么 1 91 322++- ++x x x x x x 的值等于 ． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛题) 思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x x 1 +的代数式表示． 【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化． 【例4】 已知：a a x 1 += (0 【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 3．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x （4）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （5）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 6.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 7.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 9．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 10. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点． 做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ??? 二次根式的非负性（北师版） 试卷简介:考查学生对于二次根式双重非负性的理解，培养学生初步的数学结合意识. 一、单选题(共10道，每道8分) 1.下列说法正确的是( ) A.若,则a<0 B.若,则a>0 C. D.5的平方根是 答案：C 解题思路： 解： 若，则 ∴a≦0， ∴故A选项错误 若，则 ∴a≧0， ∴故B选项错误 5的平方根是， ∴故D选项错误 由算术平方根的定义，可知C选项正确 故选C 试题难度：三颗星知识点：二次根式的非负性 2.已知a<0,那么可化简为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 解：∵a<0 故选C 试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简 3.若x≦0,则化简的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 解：∵x≦0 ∴-x≧0 ∴1-x>0 故选D 试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简 4.已知,则的取值范围为( ) A.x<1 B.x≦1 C.x>1 D.x≧1 答案：B 解题思路： 解：整理条件，可得 x-1+|x-1|=0 ∴|x-1|=-(x-1) ∴x-1为负数或零 即x-1≦0 ∴x≦1 故选B 试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简 5.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简的结果为( ) A.0 B.-2a C.2b D.-2a-2b 答案：B 解题思路： 解：由图可知：a＞b，且 ∴a-b＞0，a+b<0 故选B 试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简 6.已知a,b均为负数,c为正数,且,化简 的结果为( ) A.-2a+2b+2c B.-2a C.-2b D.2b 答案：C 解题思路： 根据题意，先在数轴上画出a，b，c的大致位置，如下图所示 ∴b+c<0，a-c<0，b-a<0 2．7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简 1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点) 一、情境导入 问题：(1)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14) 上述结果有什么共同特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】 二次根式的定义 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)2；(2)4；(3)3 3；(4)1x ＋y ； (5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2 ＋8； (7)－x 2 －12. 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式． 【类型二】 二次根式有意义的条件 当x________，x ＋3＋ 1 x ＋1 在实数范围内有意义． 解析：要使x ＋3＋1 x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母 x ＋1≠0，解得x ≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不 为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简 化简下列二次根式． (1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)； (3)（－36）×169×（－9）. 解析：本题主要考查运用 ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43； (2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab； (3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234. 方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)． 探究点三：最简二次根式 在二次根式8a， c 9 ，a2＋b2，a2 中，最简二次根式共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：8a中有因数4； c 9 中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A. 方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式． 三、板书设计 二次根式 ?? ? ??定义???形如a（a≥0）的式子 有意义的条件：a≥0 性质：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0） 最简二次根式 本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等． 4．4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 二次根式的化简与求值 一、教学目标： 1、二次根式的加减运算 2、二次根式的加混合运算 二、教学重、难点： 1、二次根式的化简求值 2、双重二次根式的化简 三、典型例题： 知识点一：同类二次根式 1、如果最简二次根式b a +7与36+-b b a 可以合并，求a 、b 的值。 、 2、合并下列二次根式 ⑴ 2322+ ⑵ 33321 - ⑶ 545352+- 知识点二：二次根式的加减 1、计算 ⑴ ??? ? ??+--???? ??-3135.1225.435.2428118 ⑵ 32)2(31122-+-- ⑶ 332ab b a b a b a b a +-- （0＞a 0＞b ） 知识点三：二次根式的混合运算 1、运用运算法则计算 ⑴ ??? ? ??-?2128 ⑵ 121212218-??? ??+-+- ⑶ 5 656-+ ⑷ 3)32(12÷-= 2、运用运算律和乘法公式计算 ⑴ 22)23()23(--+ ⑵ 020172016)2(2 32)32()32(----+?- ⑶ )23)(13(2)23()13(22+--++- 3、已知23-=x ，23+=y ，求33xy y x +的值。 4、已知a 、b 是正整数，且2020=+b a ，求a 、b 的值。 5、观察下列等式；322322=+，833833=+，15 441544=+…… ⑴猜想99 1010+的结果 ⑵你发现了什么规律？请用含n （n ≥2且n 为整数）的式子将规律表示出来，并证明。 知识点四：双（多）重二次根式的化简 化简求值： ⑴ 312213242--+=__________。 ⑵ 3243819++-=___________。 ⑶ 2648 13-53+++=____________。 四、课堂训练： 1、计算： ⑴ 321+-631+27 ⑵ 2115141021-15-1410++++ ⑶ （ ））（12010200920101541231121+++??++++++ 2、已知x= 131-3+，y=1 -313+，求x 4+y 4的值。 3、⑴已知x+x 1=7(0 专题复习 二次根式的双重非负性 重点提示： 对于二次根式a ，其双重非负性表现为被开方数a 为非负数，且二次根式a 本身也是非负数，利用此性质及非负数的性质可以解决问题. 【夯实基础巩固】 1．要使代数式有意义，a 的取值范围是（ D ） 2．函数y =的自变量x 的取值范围在数轴上表示为（ C ） ． B D ． 3 ．当x ＞1时，﹣ 1化简的结果是（ B ） 4．若整数m 满足条件 =m +1 且m ＜ ，则m 的值是（ C ） 5．已知 ，则2xy 的值为（ A ） A ．﹣15 B ．15 C ． D ． 6．当﹣3＜a ＜5= 8 ． 7．实数m 在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为 7 ． 8．化简 = 2 ． 9．已知a ，b 为实数，且，求 的值． 由题意得a ﹣5=0，∴a =5.∴. ∴b =﹣4．∴． 10．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|c﹣b|﹣|a+c|． 由题意得a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a+c＜0. ∴原式=|a+b|﹣|c﹣b|﹣|a+c|=（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）﹣（﹣a﹣c）=﹣a﹣b﹣c+b+a+c=0． 【能力提升培优】 11．已知a＜0，则化简的结果是（D） 12．若代数式+的值为2，则a的取值范围是（C） 13．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（D） A．B．C．﹣D．﹣ 14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则=2b-2a．15．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=74． 16．已知a＜0，化简：=﹣2． 17．计算：． 由算式可知：1﹣a＞0，3﹣a≥0，∴a＜1，|a﹣2|=2﹣a. ∴原式=?+ ?+=﹣+=0 第十六章二次根式知识点归纳 一、形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 二、取值范围 1、 二次根式有意义的条件：a ≧0。 2、 二次根式无意义的条件： a ﹤0。 3、二次根式值为0的条件：a=0 . 4、式子a b 有意义的条件：a ﹥0. 5、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ≠0 6、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ＞0 三、二次根式（）的双重非负性： 1、被开方数非负。 2、a 的值非负。 四、二次根式的化简。 1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数或0. 2a = ∣a ∣ ①若a 是正数，则∣a ∣等于a 本身； ②若a 是负数，则∣a ∣等于a 的相反数-a, ③若a 是0，则∣a ∣等于0. 2、 ()2 a =a (a ≥0). 3、被开方数是乘积用ab=a·b（a≥0，b≥0）化， 4、被开方数是商的形式用a b= b a （a≥0，b>0）或 b a = b 1 ab 5、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。 （五）二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 （六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （七）分母有理化 分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成()2a化去分母中的根号。 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。二次根式的化简与计算
最新二次根式的化简与计算
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
初三数学二次根式经典习题
二次根式的概念及其化简教案
最新二次根式的双重非负性来解题
第八讲 二次根式的化简求值
二次根式_题型归纳总结
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式的化简与计算(讲义及答案)
二次根式的非负性(北师版)(含答案)
二次根式及其化简【公开课教案】【公开课教案】
二次根式的化简与求值
浙教版初中数学第一章 二次根式专题复习-二次根式的双重非负性(含答案)
第十六章二次根式知识点归纳