高考数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题汇总
一、选择题
1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞
→lim .下列条件中，使得
()
*∈ （A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<- 2、已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 3、定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤， 12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 【答案】C 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈* N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2 {}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃 ?a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 三、解答题 1、设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜ n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则?≠)(A G ； （3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 如果?≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m . 又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以?=p G . 2、已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1 (1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832 +=， 所以111=a ，当2≥n 时， 56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ， 又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ． 又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722， 解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132 +=-= n d a b n n ． (Ⅱ)由1 112)33() 33()66()2()1(+++?+=++=++=n n n n n n n n n n n b a c ， 于是1 4322)33(2122926+?+++?+?+?=n n n T Λ， 两边同乘以２，得 21432)33(2)3(29262++?++?++?+?=n n n n n T Λ， 两式相减，得 214322)33(23232326++?+-?++?+?+?=-n n n n T Λ 222 2)33(2 1) 21(2323+?+---?+?=n n n 222232)33()21(2312++?=?++-?+-=n n n n n n T ． 3、若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==， 5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； （3）设{}n b 是无穷数列，已知* 1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”. 【解析】 试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=求解． （2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为 1 3 ，写出通项公式，从而可得520193n n n n a b c n -=+=-+． 通过计算1582a a ==，248a =，6304 3 a = ，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ． （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==． 于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =． （2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为 1 3 ， 所以()12012019n b n n =+-=-，1 518133n n n c --?? =?= ? ??． 520193n n n n a b c n -=+=-+． 1582a a ==，但248a =，6304 3 a = ，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ． （3）[证]充分性： 当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+． 对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性： 用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ， 使得12k b b b b ==???==，而1k b b +≠． 下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==???=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则 ()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =． 取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==???==． 但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 4、已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0， *n N ∈ . （I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求a n 的通项公式； (ii)设双曲线22 21n y x a -= 的离心率为n e ，且25 3e = ，证明：121433n n n n e e e --++???+>. 【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析. 解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -. 由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2 2 21n y x a -=的离心率 n e = . 由53q =解得43 q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q --> 1 *k q k -?N （） . 于是1 121 1+1 n n n q e e e q q q --++鬃 ?>+鬃?=-， 故1231 433n n n e e e --++鬃?> . 5、已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等 比中项. (Ⅰ)设22* 1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列； (Ⅱ)设 ()22 * 11 ,1,n n n n k a d T b n N === -∈∑，求证：2111.2n k k T d =<∑ 【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=? 21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值． ∴{}n C 为等差数列 ⑵2213211(1)n k n k n k T b C C C -==-=++???+∑21(1)42 n n nC d -=+ ?2 12(1)nC d n n =+-（*） 由已知2 2212 123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=?=+= 将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+ ∴2 1111 1 2(1) n n k k k T d k k ===+∑∑2 1 2d < ，得证 6、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=1 28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 【解析】⑴设 {}n a 的公差为d ，74728S a ==， ∴44a =，∴41 13 a a d -= =，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++???+ [][][]121000lg lg lg a a a =++???+． 当0lg 1n a <≤时，129n =???，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =???，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =???，，，； 当lg 3n a =时，1000n =． ∴1000091902900311893T =?+?+?+?=． 7、已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531 32 S = ，求λ． 【解析】 8、设数列{}n a 满足1 12 n n a a +- ≤，n *∈N ． （I ）证明：() 1122n n a a -≥-，n * ∈N ； （II ）若32n n a ??≤ ??? ，n *∈N ，证明：2n a ≤，n * ∈N ． （II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1 1211 12 12222222 2n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-?????? -=-+-+???+- ? ? ??????? 11 111 222n n m +-≤ ++???+ 112n -<， 故 1122 2m n n n m a a -??<+? ??? 111322 22m n n m -????≤+???? ??? ???? 3224m n ?? =+? ??? ． 从而对于任意m n >，均有 q a （D ）7.08.0,01-<<-