方程的根和函数的零点教案

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点

学习目标：

（一）知识与技能：

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存有性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.

2．理解并会用函数在某个区间上存有零点的判定方法． （二）过程与方法：

自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系． （三）情感、态度、价值观：

在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.

重点难点：

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存有的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存有性.

问题·探究

（一）回顾旧知，发现问题

问题1 求下列方程的根．

（1）023=+x ；

（2）0652

=+-x x ； （3）062ln =-+x x .

问题2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相对应的二次函数图象的简

图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标

问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程

20

ax bx c ++=(0)

a >及相对应的二次函数

c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：

辨析练习：函数2

23y x x =--的零点是：（ ）

A ．（-1，0），（3，0）；

B ．x=-1；

C ．x=3；

D ．-1和3． 2、等价关系：

（三）初步使用，示例练习

例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．

小结：求函数零点的步骤：

变式练习： 求下列函数的零点

（1）65)(2+-=x x x f ； （2）12)(-=x x f

（四）分组讨论，探究结论（零点存有性）

问题4：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？

（1）观察二次函数32)(2

--=x x x f 的图象：

○

1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）

． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．

（2）观察下面函数)(x f y =的图象

○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．

○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．

○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存有零点，则函数在该区间上的图象是 （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是 （相同／互异）

由以上探索，你能够得出什么样的结论？

讨论：（1）从这个结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存有呢？

（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？

（3）如果把结论中的条件“图象连续持续”除去不要，又会怎样呢？

（4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？

（5）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

（6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数呢，零点的个数是惟一的呢？小结：

（五）观察感知，例题学习

例2（教材第96页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数

试一试：你能判断出方程㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗？

（六）反思小结,提升水平

1．函数零点的定义

2．等价关系函数Y=f(x)函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标

方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相对应方程的根的存有性以及个数的判断