(版)导数题型归类讲：交点与根的分布

2015版导数题型归类

第二讲交点与根的分布

一、学习目标

i?交点问题转化为函数的最值问题

2?根的分布利用数形结合转化为基本的不等式问题

二、重难点

重点：交点问题

难点：交点问题

三、引入

我们知道导数可以用于研究切线、单调性、极值、最值问题，那么：

已知x =3是函数f (x) =al n(x 1) x2 -10x的一个极值点，若直线y=b与函数

y = f(x)的图象有3个交点，则b的取值范围为________________ .

它是哪一类啦？

四、过程

【知识点一】交点(零点或其变形)

两个函数的图像有交点也就是方程组有解，但是对于超越函数我们往往解不出，那么转

化为一个函数，再利用图像研究其极值和最值问题成为了一种思路。文档收集自网络，仅用于个人学习

例题1.已知函数y =x3 - 3x ? c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=___________ .

A . -2 或2 B. -9 或3 C. -1 或1 D. -3 或1

例题2.(交点个数与根的分布)已知

x=3是函数f(x)=aIn(x+1)+ x -10x的一个极值点。

1) 求a;

2) 求函数的单调区间；

3) 若直线y=b与函数y=f(x)的图像有

三个交点，求b的取值范围

【巩固练习】

1?若函数y =e(aJ)x +4x有大于零的极值点，则a的范围为 ____________ .

2. (2011 年福建)已知a,b为常数，且a = 0，函数f (x^ -ax b axln x , f (e) = 2

1)求实数b;

2)求函数的单调区间

3)当a=1时，是否同时存在实数m和M (m

与曲线y = f (x)( 求出最小的实数m和最大的实数M；若不

存在，说明理由。文档收集自网络，仅用于个人学习

【知识点二】根的分布

二次函数根的分布主要考虑开口、对称轴、判别式、特殊点的函数值；那么利用导函数也

可以研究一些特殊函数的零点(根)的分布问题。文档收集自网络，仅用于个人学习

方法：数形结合、分类讨论

例题2.(利用根的分布)已知函数 f (x) =(X’ - 3x2 ax - b)e-x

1) 若a=b=-3，求函数的单调区间

2) 若f(x)在区间(-：：，〉),(2「)单调增加，在(:?，2),「：，?：：)单调减小，证明］-「：6

［巩固练习］

1. 【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】函数f (x^ x3 ax2ax (^ R)不存在极值点，贝U a的取值范围是__________ .

2. (转换变量后为根的分布)已知函数f(x)=x -x

1) 求曲线y=f(x)在点M (t,f(t))处的切线方程

2) 设a>0,如果过点(a,b)可做曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a

1 2

3.已知函数In x ax - 2x, (a :: 0).

1) 若函数f(x)存在单调减去减，求a的范围；

1 1

2) 若a - - 2且关于x的方程f (x)--二x ? b在区间［1 , 4 ］上恰有两个不等的实数根，求实数b的取值范围.

五、课堂巩固

1. 【2014全国1高考理第11题】已知函数f(x)二ax'-3x2T，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0，0，则a的取值范围是( )

A . j 2,亠，i B. i 1,亠■■ i C. - ：：, - 2 i D 1

x 2

2. 【2014高考山东卷第20题】设函数f (xH e2 -k(- lnx)( k为常数，e = 2.71828…

x x

是自然对数的底数)?

(I)当k^O时，求函数f(x)的单调区间；

(n)若函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点，求k的取值范围?

六、课后作业

1.【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】函数f (x) X2? X _ 21 n X ? a 在

区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a的取值范围是________ ?文档收集自网络，仅用于个人学习

2.【2014高考四川第21题】已知函数f (x) =e x - ax2-bx-1，其中a,b R，e= 2.71828|11为自然对数的底数.

(I)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间［0,1］上的最小值；

(n)若f(1)=0，函数f (x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围