数理统计分析报告

课程设计（论文）

课程名称：数理统计

课程论文题目：数理统计分析报告姓名：

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2016年12 月22日

在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到以下数据:

碳含量x(%) 20℃时电阻y(μΩ)

0.1 52.40167678 0.2 54.6904792 0.3 56.3945817 0.4 58.49188037 0.5 60.11129139 0.6 62.14310937 0.7 63.41399047 0.8 65.37949354 0.9 67.80890151 1 69.39871814

(1)画出散点图； 归;

(2)求线性回

(3)求ε的方差σ2的无偏估计； (4)检验假设 H 0：b=0,H 1: b ≠0;

(5)若回归效果显著，求b 的置信水平为0.95的置信区间； (6)求x=0.50处）（x μ的置信水平为0.95的置信区间； (7)求x=0.50处观察值Y 的置信水平为0.95的预测区间。 解：

（1）这里x 是碳含量x （%），y 是20℃时电阻（μΩ）。 画出散点图如图所示。由图大致看出μ(x)具有线性函数a+bx 的形式。

x b

a y ^

^^+=

（2）现在n=10,为求线性回归方程，所需计算列表如下：

x y x^2 y^2 xy

0.1 52.40167678 0.01 2745.935729 5.240167678 0.2 54.6904792 0.04 2991.048515 10.93809584 0.3 56.3945817 0.09 3180.348845 16.91837451 0.4 58.49188037 0.16 3421.300069 23.39675215 0.5 60.11129139 0.25 3613.367352 30.05564569 0.6 62.14310937 0.36 3861.766042 37.28586562 0.7 63.41399047 0.49 4021.334187 44.38979333 0.8 65.37949354 0.64 4274.478176 52.30359483 0.9 67.80890151 0.81 4598.047124 61.02801136 1 69.39871814 1 4816.182079 69.39871814 求和

5.5

610.2341225 3.85

37523.80812 350.9550191

0.825112

1

2

S =∑=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i n x x n

i i xx 915.32625171111S =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===n

i i n i i i n

i i xy y x y x n 18.5772749

/^

==S S xx xy b

550.8059110^

11^11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==b

n n a n i n i i i x y 在得到a,b 的估计b a ^

,^后，对于给定的x,我们就取x b

a ^^+作为回归函数bx a x +=）（μ的估计，即

x b a x ^^)(^+=μ，称为Y 关于x 的经验回归函数。记y x b a ^^^=+，方程x b

a y ^^^+=。 于是得到回归直线方程

x 18.5772749550.8059110^

+=y

（3）2285.239697111

2S =∑=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n

i i n y y i

n

i i yy

80.51970442^

Q

=-

=S S xy

yy e

b 残差平方和是经验回归函数在x i 处的函数值x x i i b a ^

^)(^+

=μ与x i

处的观察值y

i

的偏差的平方

和。 知σ2))2/((

=-n E Q

e

，这样就得到了σ2

的无偏估计量。

30.06496305)2/(^

2

=-=n Q e

σ

（4）我们需要检验假设

0:0

=b H

0H 1

≠=b

我们使用t 检验法来进行检验。

52.30600413)8()2(025.02

/05.0==-t t

n

假设

0:0

=b H

的拒绝域为

52.30600413^

|b ^||t |≥=

S

xx

σ

现在

52.30600413266.20270990.8253

0.0649630518.5772749

|t |>=⨯=

故拒绝0H 0=b ：，认为回归效果是显著的。

（5）当回归效果显著时，我们常需要对系数b 作区间估计。事实上，可得到b 的置信水平为

()⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

⨯-±S t xx n b σα^2^2/ b 的置信水平为0.95的置信区间为

()419.2243673717.93018240.82530.0649630552.3060041318.5772749，=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯±