甘肃省靖远县第四中学2021-2022高二数学下学期期中试题(理科实验班)

甘肃省靖远县第四中学2021-2022高二数学下学期期中试题（理科实验班）

1.设复数，则（）

A. 1

B.

C.

D. 2

2.若，则（）

A. 0

B. 1

C. cosα

D. cosα+1

3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )

A.g

B. g

C.g

D. 2g

4.欧拉公式

θ

θ

θsin

cos

i i

e+

=（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名

数学家欧拉发明的，根据欧拉公式可知，复数的虚部为（）A. B. C. D.

5.若函数

()

y f x

=的导函数'()

y f x

=的图象如下图所示，则函数()

y f x

=的图象可能是（）

A B．

C． D．

6．若

53

2

m m

A A

=

，则m的值为 ( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

7．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、 三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）

A ．455314105322

C C C A A

B ．4552

14105233

C C C A A

C ．45

5141052

2

C C C A

D ．45514105C C C 8.5

2

)2(x

x +

的展开式中4x 的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80

9.函数()(1)e x

f x x =-有( )

A ．最大值为1

B ．最小值为1

C ．最大值为e

D ．最小值为e 10.已知

在

上是单调函数，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

11．的值为，则已知131515221015

a )1(...)1()1()

2x (x a x a x a a -++-+-+=+（ ）

A ．945

B ．－945

C ．1 024

D ．－1 024

12.设函数

()

f x '是奇函数

()

f x （x ∈R ）的导函数，

()10

f -= ，且当0x > 时，

()()0

xf x f x -<'，则使得

>0成立的x 的取值范围是 （ ）

A ．1,01-?+∞（）（，）

B ．101-∞-?（，）（，）

C ．11,0-∞-?-（，）（）

D ．0,11?+∞（）（，）

二、填空题

13.定义运算

a c ad bc

b d

=-，复数z 满足

i 1i 1i

z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.

14.曲线，和直线围成的图形面积是

15．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有 种.

16.若函数()2

12ln 2

f x x x a x =

-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是 三、解答题

17.(8分)（1）计算3

1019710098100)(A C C ÷+

（2）求函数()22ln f x x x

=-，

()

0,x ∈+∞的单调区间。

18.（12分）

()()2256815z m m m m i

=-++-+，i 为虚数单位，m 为实数。

（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；

（2）当复数8z i -在复平面内对应的点位于第四象限时，求m 的取值范围。

19.（12分）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数。 试问：（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？

（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）

20.（12分）已知()22n

x n N x +?∈??的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36。

（1）求n 的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项。

21.（12分）设函数()()23x

x ax f x a R e +=∈

（1）若()

f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线

()

y f x =在点

()()1,1f 处的切线方

程；

（2）若()f x 在[

)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

22.（14分）已知函数()ln 1a

f x x x

=-

-. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x a

g x x

+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值。

高二数学理科答案 实验班 CBCDA AACAD BB

11.已知(x ＋2)15

＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2

＋…＋a 15(1－x )15

，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024 D ．－1 024

解析：选 B 由(x ＋2)15

＝[3－(1－x )]15

＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2

＋…＋a 15(1－x )15

，得a 13＝C 13

15×32

×(－1)13

＝－945.

12.设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R）的导函数，()10f -= ，且当0x > 时，

()()0xf x f x -<'，则使得

>0成立的x 的取值范围是 （ ）

A ．1,01-?+∞（）（，）

B ．101-∞-?（，）（，）

C ．11,0-∞-?-（，）（）

D ．0,11?+∞（）（，）

【答案】B

【解析】记函数()()f x g x x

=

，则()()()

2

xf x f x g x x

-=

'' ，，因为当0x > 时，

()()0xf x f x -<'，故当0x >时，()0g x '< ，所以在单调递减；又因为函数()()f x x R ∈ 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以

在单调递增，且 ．当

时，

，则

；当

时，

，则

，

而当1x >和10x -<<时不符合()0f x >要求，又()()110f f -=-=，()00f = ，综上所述，使得

成立的的取值范围是

．

13.2+i 14.21

e ++e

15.

16.若函数()2

12ln 2

f x x x a x =

-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） 【解析】()f x 的定义域是（0，+∞），()222a x x a

f x x x x

-+'=-+=，

若函数()f x 有两个不同的极值点，则()2

2g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，

故1440

2440a a

x ?=->???--=

>??

，解得：01a <<．

17.（1）1/6（2）10,2?? ???

递减 （1/2，+00）递增

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：因为()2

2ln f x x x =-，

所以()241

'x f x x

-=，因为0x >，

由241

0x x

-<，解得102x <<，

所以函数()f x 的单调区间是10,2?? ???

.

18.(1)2 (2)(1,2)U(3,7) 19（1）576；（2）576；（3）144 【分析】

（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列； （2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；

（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决. 【详解】

（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个．

（2）五位数中，偶数排在一起的有＝576个．

（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．

20.（I ）8；（II ）61

1120x

?. 【解析】

分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n 的值;

(2) 二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3

2

，求得r 的值，可得展开式中含32x 的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.

详解：（I ）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，

1236n n C C ∴+=,2720n n +-=得：,

得8n =或9n =-（舍去）.

(II)8

22x x ??- ??

?的通项公式为：

858218

822()

()(1)2k

k k

k k k k

k T C x C x x

--+=-=-，令8﹣5k=3，求得k=1， 故展开式中含32

x 的项为33122

2

8

216T C x x =-=-．

又由知第5项的二项式系数最大，此时 .

21.（1）0a =，切线方程为30x ey -=；（2）9

[,)2

-+∞. 【解析】

试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得

'()f x =23(6)x

x a x a

e

-+-+，由已知得'(0)0f =，可得0a =，于是有23()=,x x f x e 236()x x x

f x e '-+=

，3(1)f e =，3'(1)f e =，由点斜式可得切线方程；（2）由题意'()0f x ≤在[3,)+∞上恒成立，即2()3(6)g x x a x a =-+-+0≤在[3,)+∞上恒成立，利用二次函

数的性质可很快得结论，由63{6(3)0

a

g -≤≤得92

a ≥-．

试题解析：（1）对()f x 求导得()()()

()222

6336()x x

x

x

x a e x ax e x a x a

f x e e +-+-+-+'=

=

因为()f x 在0x =处取得极值，所以(0)0f '=，即0a =.

当0a =时，23()=,x x f x e 236()x

x x

f x e

'-+=,故33(1)=,(1)f f e e '=,从而()f x 在点1(1)f （，）处的切线方程为33

(1)y x e e

-

=-,化简得30x ey -= （2）由（1）得，()236()x

x a x a

f x e

-+-+'=

,

令()2

()36g x x a x a =-+-+

由()0g x =

，解得12=x x =

. 当1x x <时，()0g x <,故()f x 为减函数；

当12x x x <<时，()0g x >,故()f x 为增函数；

当2x x >时，()0g x <,故()f x 为减函数；

由()f x 在[3,)+∞上为减函数，知23

x =≤，解得92a ≥- 故a 的取值范围为9

[,)2

-

+∞. 考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

22.(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：

（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2

y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出函数()g x ，根据()0a

f e e

=-

>，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析： （1）由()ln 1a

f x x x

=-

-得()221'(0)a x a f x x x x x +=+=>.

由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，

即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2

y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞.

（2）由()2',0,x a

f x x a R x

+=

>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.

（3）由()ln x a

g x x

+=

及题设得()()()()

22ln 1'ln ln a

x f x x g x x x -

-==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，

()ln 10a a

f e e e e

=-

-=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：

x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞

()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗

所以当-1

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.