江苏省南京市2020学年高二数学上学期期末调研 理 苏教版

南京市2020－2020学年度第一学期期末调研测试卷

高二数学（理科） 2020.01

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本

试卷满分为100分，考试时间为100分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答

案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 参考公式：V 锥体＝1

3

Sh (S 表示底面面积，h 表示锥体的高)．

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．

上

1．复数1＋i i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．

2．已知p ：∀x ∈R ，x 2

＞x －1，则⌝p 为 ▲ ．

3．在平面直角坐标系中，准线方程为y ＝4的抛物线标准的方程为 ▲ ． 4．若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 5．若圆x 2

＋y 2

＝4与圆x 2

＋(y －3)2

＝r 2

(r ＞0)外切，则实数r 的值为 ▲ ． 6．若复数z 满足(z ＋i)(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则|z |＝ ▲ ． 7．函数y ＝2sin x －x ，x ∈[0，π]的单调递减区间为 ▲ ．

8．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2

＋(y －2)2

＝4相交于M ，N 两点，若MN ＝23，则实数k 的值是 ▲ ．

9． 已知动点M 到A (4，0)的距离等于它到直线x ＝1的距离的2倍，则动点M 的轨迹方程为 ▲ ． 10．观察下列等式：

12×3＝(12－13)×1

1，

12×4＝(12－14)×12，

12×5＝(12－15)×13，

12×6＝(12－16)×14，

………………

可推测当n ≥3，n ∈N *时，

1

2×n

＝ ▲ ． 11．已知椭圆x 29＋y 24＝1与双曲线x 2

4

—y 2

＝1有共同焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个交点，

则PF 1·PF 2为 ▲ ．

12．在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，两直角边长分别为a ，b ，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为

a 2＋

b 2

2

；按此方法，在三棱锥S －ABC 中，三

条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a ，b ，c ，通过类比可得三棱锥S －ABC 外接球的半径为 ▲ ．

13．已知曲线y ＝x 2

(x ＞0)在点P 处切线恰好与圆C ：x 2

＋(y ＋1)2

＝1相切，则点P 的坐标

为 ▲ ．

14．若函数f (x )在定义域D 内某区间I 上是增函数，且

f (x )

x

在I 上是减函数，则称y ＝f (x )在I 上是“弱增函数”．已知函数h (x )＝x 2

－(b －1)x ＋b 在(0，1]上是“弱增函数”，则实数b 的值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）

已知命题p ：任意x ∈R ，x 2

＋1≥a ，命题q ：方程x 2

a ＋2

－y 2

2

＝1表示双曲线．

（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；

（2）若 “p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．

16．（本题满分8分）

已知以点P 为圆心的圆经过点A (1，4)，B (3，6)，线段AB 的垂直平分线与圆P 交

于点

C ，

D ，且CD ＝4．

（1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程．

17．（本题满分10分）

如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝3，E 为线段SD 上的一点．

（1）求证：AC ⊥BE ；

（2）若DE ＝1，求直线SC 与平面ACE 所成角的正弦值．

18．（本题满分10分）

如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，

再把它

的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ．

A

B

（第17题）

（1）求正四棱锥的体积V (x )；

（2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？

19．（本题满分10分）

如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），下顶点为A (0，－b )，

直线AF

与椭圆的右准线交于点B ，与椭圆的另一个交点为点C ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆的离心率； （2）若FC ＝2

3，求椭圆的方程．

20．（本题满分12分）

设函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R ．

（1）当x ＝1时，函数f (x )取得极值，求a 的值； （2）当a ＞0时，求函数f (x )在区间[1，2]的最大值；

（3）当a ＝－1时，关于x 的方程2mf (x )＝x 2

（m ＞0）有唯一实数解，求实数m 的值．

2020－2020学年度第一学期期末调研测试卷

高二数学（理）参考答案及评分标准 2020.01 说明：

1

．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容

（第19题）

（第18题）