线性代数 第二章 矩阵 例题

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线性代数第二章矩阵例题
12．设 A 为 n 阶可逆矩阵（n≥2） ，A 的 I,j 行互换记为 B.证明 B 可逆（2）求AB −1 .
13. 设 A 为 n 阶 可 逆 矩 阵 ,α 为 n 维 列 向 量 ， b 为 常 数 ， 记 分 块 矩 阵 0 ,Q= A A α������ （1）计算并化简 PQ. P= E −α������ ������∗ α ， b
1 9． 设������∗= 0 1 0
0 1 0 −3
0 0 1 0
0 0 且AB������−1 =B������−1 +3E，求 B。 0 8
1 1 0 10.设 α= 2 ，β= 1/2 ，v= 0 ，A=α������ ������ ，B=������ ������ α，求解方程2������2 ������2 ������ = ������4 ������ + ������4 ������+v。 1 8 0
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1 1 ∗ 1． 设 α= 2 ，β= 1/2 ，A=α������ ������ ，求������������ ，������∗，（������������ ） 。 1/3 3
2． 设 A,B 为 n 阶可逆矩阵， 证明： （1） （������−1 ） =（������������ ） ， （2） (AB)∗=������∗ ������∗， （3） (������∗ )∗=|������|������−2 ������。
5． 设������2 =A，证明 A=E 或|A|=0。
6． 3 阶矩阵 A 的行列式为 1/3，求|（2������） -3������∗ |
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7． 设 n 阶矩阵 A 满足������2 + ������ − 4E = 0，证明 A-E 可逆，并求其逆矩阵。
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8． 设 n 阶矩阵 A 满足������������ ������=E，|A|=(−1)������ +1 ,证明 A-E 不可逆。
11.已知 3 阶实矩阵 A=(������������������ )3������ 3 满足������������������ = ������������������ (i,j=1,2,3)其中������������������ 是������������������ 的代数余子式。 （1）若������11 ≠ 0，求|A|。 （2）若������33 = −1，v=（0,0,1)������ ，求解方程 AX=v。
(2)证明 Q 可逆的充要条件为α������ ������−1 α ≠ ������。
14．设 B,D 为可逆矩阵，分块矩阵 A=
B C ，求������−1 。 0 D
4
������
−1
3． 设 X 为 n 维列向量，且X ������ X=1，记 A=E-2������ ������ ������ ������ ，证明 A 为正交矩阵。
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4． 设������������ = −A，且 E+A 可逆，记B = (E − A)(E + A)−1 ，证明 A 为对称正交矩阵。