最新相似三角形压轴经典大题(含答案)
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相似三角形压轴经典大题解析
1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h .
(1)请你用含x 的代数式表示h .
(2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,
1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少?
【答案】解:(1)MN BC Q ∥ AMN ABC ∴△∽△
68
h x ∴= 34
x h ∴= (2)1AMN A MN Q △≌△
1A MN ∴△的边MN 上的高为h ,
①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时,
1A MN y S =△=21133
2248MN h x x x ==··(04x <≤)
②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<,
设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则13
2662
h h x =-=
- 11EF MN
A EF A MN ∴Q ∥△∽△
11A MN ABC A EF ABC ∴Q △∽△△∽△
12
16A EF S h S ??= ?
??
△△ABC
1
68242
ABC S =??=Q △ 2
2
363224122462EF
x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ?
??
1△A
1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ??
=-=
--+=-+- ???
Q △△ 所以 2
91224(48)8
y x x x =-
+-<<
综上所述:当04x <≤时,2
38
y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2
912248
y x x =-+-, 取16
3x =
,8y =最大 86>Q
∴当16
3
x =时,y 最大,8y =最大
2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;
(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
M
N
C
B
E
F
A
A 1
【答案】解:(1)Q 该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为2
2y ax bx =+-. 将(40)A ,,(10)B ,代入,
得1642020a b a b .+-=??+-=?,解得1252
a b .?
=-????=??,
∴此抛物线的解析式为215
222
y x x =-+-.
(2)存在.
如图,设P 点的横坐标为m , 则P 点的纵坐标为215
222
m m -+-, 当14m <<时,
4AM m =-,215
222
PM m m =-+-.
又90COA PMA ∠=∠=Q °,
∴①当2
1AM AO PM OC ==时,
APM ACO △∽△,
即21542222m m m ??
-=-
+- ???
.
解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,. ②当
12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即215
2(4)222
m m m -=-+-. 解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)
∴当14m <<时,(21)P ,.
类似地可求出当4m >时,(52)P -,. 当1m <时,(314)P --,.
综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,.
3.如图,已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.
矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合.
(1)求ABC △的面积;
(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;
(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为
(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的
t 的取值范围.
【答案】(1)解:由
28
033
x +=,
得4x A =-∴.点坐标为()40-,. 由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,. ∴()8412AB =--=.
由2833216y x y x ?
=+???=-+?
,.解得56x y =??
=?,.∴C 点的坐标为()56,. ∴11
1263622
ABC C S AB y =
=??=△·.
(2)解:∵点D 在1l 上且28
88833
D B D x x y ==∴=?+=,.
∴D 点坐标为()88,.
又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=,..
∴E 点坐标为()48,. ∴8448OE EF =-==,.
(3)解法一:①当03t <≤时,如图1,矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR (0t =时,为四边形CHFG ).过C 作CM AB ⊥于M ,则Rt Rt RGB CMB △∽△.
∴
BG RG BM CM =,即36
t RG
=,
∴2RG t =. Rt Rt AFH AMC Q △∽△,
∴()()112
36288223
ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-??--?-△△△.
即241644
333
S t t =-++.
当83<≤t 时,如图2,为梯形面积,∵G (8-t,0)∴GR=3
2838)8(32
t t -
=+-, ∴
3
8038]32838)4(32[421+
-=-++-?=t t t s 当128<≤t 时,如图3,为三角形面积,
4883
)12)(328(212
+-=--=t t t t s
4.如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿
B A →,B
C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,C
D 于P Q ,.当点
N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒.
(1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;
(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】解: (1)3
4
PM =,
(2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2
(图3)
(图1)
(图2)
N