高中数学单元训练50 轨迹问题

高中数学单元训练50 轨迹问题

【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分）

1.两定点A （-2，-1），B （2，-1），动点P 在抛物线y=x 2

上移动，则△PAB 重心G 的轨迹方程是（ ） A.y=x 2

-31 B.y=3x 2-32 C.y=2x 2-32 D.y=21x 2-4

1 答案：B

解析：设G （x,y ），P （x 0,y 0）则

x 0=3x ，y 0=3y+2，代入y=x 2

得

重心G 的轨迹方程：3x+2=(3x)2

. 2.曲线C 上任意一点到定点A （1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线C 是（ ） A.抛物线 B.由两段抛物线弧连接而成

C.双曲线

D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成 答案：B

解析：设P （x,y ）为曲线C 上任意一点，由题意，得22)1(y x +--|x-4|=5，

故y 2

=⎩

⎨⎧<--≥).4)(5(16),4(4x x x x

故曲线C 是由两段抛物线弧连接而成.

3.下列命题中，一定正确的是（ ）

A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆

B.到定点F （-c ，0）和到定直线x=-c a 2的距离之比为a

c

（a ＞c ＞0）的点的轨迹是椭圆的左半部分

C.到定直线x=-c a 2和到定点F （-c ，0）的距离之比为a

c

（a ＞c ＞0）的点的轨迹是椭圆 D.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆

答案：D

解析：对照椭圆定义可知A 、B 、C 都不对，故知选D.

4.一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2

-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ） A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 答案：A

解析：设动圆圆心为P （x ，y ），半径为r ，又圆（x-3）2+y 2

=1的圆心为F （3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P 点轨迹是双曲线的右支. 5.已知点P 是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M （-1，2），Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( )

A.2x+y+1=0

B.2x-y-5=0

C.2x-y-1=0

D.2x-y+5=0

答案：D 解析：设Q （x ，y ），则P 点（-x-2，-y+4），又点P 在直线2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.

6.设A 1、A 2是椭圆4

92

2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点P 的轨迹方程为( )

A.4922y x +=1

B.492

2x y +=1 C.4922y x -=1 D.4

92

2x y -=1 答案：C

解析：设P 1、P 2两点的横坐标为x=3cos θ，又A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(3cos θ,2sin θ),P 2(3cos θ,-2sin θ),故直线A 1P 1和A 2P 2方程分别为y=

3cos 3sin 2+θθ(x+3),y=3

cos 3sin 2--θθ

(x-3).

设交点P （x ，y ），则y 2

=)

1(cos 9sin 42

2--θθ(x 2

-9)，即4922y x -=1. 7.点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为2

1

，则动点M 的轨迹方程为( )

A.3422y x +=1

B.782

2y x +=1 C.12

1622y x +=1 D.3x 2+4y 2

+8x-60=0 答案：D

解析：设M 为（x ，y ），则

22)1(y x +-∶|x-8|=1∶2.

整理有：3x 2

+4y 2

+8x-60=0.

二、填空题（每小题5分，共15分）

8.(2010北京西城区一模，12)点P （0，2）到圆C ：（x+1）2+y 2

=1的圆心的距离为_____________，如果A 是圆C 上一个动点，=3,那么点B 的轨迹方程为_______________________.

答案：5 (x-2)2+(y-6)2

=4

解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P 到圆心的距离d=5)02()10(2

2=-++.

设A 、B 点的坐标分别为（x 0,y 0）、（x,y ）.

AB =（x-x 0,y-y 0）,AP =(-x 0,2-y 0).

AB =3AP ,即（

x-x 0,y-y 0）=(-3x 0,6-3y 0). ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧-=--=-.26,2,36,3000000y y x x y y y x x x

∵A 在圆上， ∴（-

2x +1）2

+(2

6y -)2=1. 即(x-2)2

+(y-6)2

=4. 即为B 点的轨迹方程.

9.已知定直线l 上有三点A 、B 、C ，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O 恒与l 相切于点B ，则过点A 、C 且都与⊙O 相切的直线l 1、l 2的交点P 的轨迹是_________________________. 答案：去掉两个顶点的双曲线

解析：由题设条件可得||PA|-|PC||=3，根据双曲线定义知点P 的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.

10.F 1、F 2为椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从某一焦点引∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是____________________. 答案：圆

解析：如右图，延长F 1P 交F 2Q 于F 1′，则

|OP|=21|F 1′F 2|=2

1

|F 1′Q|+|F 2Q|) =

21

(|F 1Q|+|F 2Q|) =2

1

×2a=a. ∴P 点轨迹为圆.

三、简答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.设抛物线y 2

=2px 的准线l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任意一点，PQ ⊥l ，Q 为垂足，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.

解析：设抛物线上点P （2pt 2

，2pt ）（t ≠0），直线OP 的方程为：y=t

1

x.

又Q （-

2p ，2pt ），F （2

p ，0）， ∴直线QF 的方程y=-2t(x-2

p

).它们的交点M （x ，y ），