高中数学求轨迹方程的六种常用技法
高中数学轨迹方程求轨迹方程的的基本方法关点法参数法交轨法向量法新人教版选修
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
求轨迹方程的六种方法
中学数学解题方法讨论-------求轨迹方程的方法道县五中 周昌雪内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。
本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。
曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。
曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。
求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。
检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。
、交轨法等求之。
求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。
高中解析几何求轨迹方程的常用方法(精华-例题和练习)
sin B sin A
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4
【变式】 ：已知圆
的圆心为 M1，圆
的圆心为 M2，一动圆与
这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2： 一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动， 且 BM=a， AM=b， 求 AB 中点 M 的轨迹方程？
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B sin A sin C , 可知 b a c 10 ，即 | AC | | BC | 10 ，满足椭 4 4 sin B sin A
圆的定义。令椭圆方程为
x2 a
'2
y2 b
'2
1 ，则 a ' 5, c ' 4 b ' 3 ，则轨迹方程为
新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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特级教师 王新敞
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y
B
Q R A
o
P
x
五、用交轨法求轨迹方程 例 5.已知椭圆
x2 y 2 1（a＞b＞o）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直 a 2 b2
x 2 y 2 a, x 2 y 2 a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=
1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下 2
列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 : 动点 P （x,y） 到两定点 A （－3， 0） 和B （3， 0） 的距离的比等于 2 （即 求动点 P 的轨迹方程？ 【解答】∵|PA|= ( x 3) y , | PB |
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
练习：1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
, 又因为所以
化简得点的轨迹方程
6．先用点差法求出，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。
7．解：设，则
由
即 所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。
∵点是点关于直线的对称点。
∴动点的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与垂直，于是有
得， 即交点的轨迹方程为
解2: (利用角作参数)设，则
所以 ,两式相乘消去
即可得所求的点的轨迹方程为 。
练习：10．两条直线和的交点的轨迹方程是_________。
总结归纳
1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。
2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．xx的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。
高中求轨迹方程的方法
高中求轨迹方程的方法
答案：
1．直译法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直译法。
用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.待定系数法：若动点轨迹题意已直接告知，即为椭圆、双曲线、抛物线、圆或直线，则据题意直接用待定系数法求解。
4.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x,y）却随另一动点Q(x',y')的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x',y'表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
5.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
6.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
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求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM yk x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM yk x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x •=≠±+-化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得230203BG CG +=⨯=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。
所以由220,8a c ==可得2210,6a b a c ==-=故ABC ∆的重心轨迹方程是221(0)10036x y y +=≠ 练习：4．方程222(1)(1)|2|x y x y -+-=++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线 3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。
例3．椭圆22142x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
解：设过点(1,1)P 的直线交椭圆于11(,)A x y 、22(,)B x y ，则有2211142x y += ① 2222142x y += ② ①-②可得12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=而(1,1)P 为线段AB 的中点，故有12122,2x x y y +=+=所以12121212()2()210422x x y y y y x x -⨯-⨯-+=⇒=--，即12AB k =-所以所求直线方程为11(1)2y x -=--化简可得230x y +-= 练习：5．已知以(2,2)P 为圆心的圆与椭圆222x y m +=交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M的轨迹方程。
6．已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，使P 为线段AB 的中点？ 4．转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律。
例4． 已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线221169x y -=上的动点，求12F F P ∆的重心G 的轨迹方程。
解：设 重心(,)G x y ，点 00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=30003044y y x x ， 故⎩⎨⎧==y y x x 3030代入19201620=-y x 得所求轨迹方程2291(0)16x y y -=≠ 例5．抛物线24x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程。
解法一：（转移法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1(,)22x y P +，将1y kx =-，代入抛物线方程,得2440x kx -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212121216160||14444k k x x kx x k x x x x ⎧∆=->>⎧⎪⎪⎪⎪+=⇒+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ ①∴222212121212()24244x x x x x x y y k ++-+===-， ∵P 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x ，消去k 得 24(3)x y =+，由①得，||4x >，故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>。
解法二：（点差法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1(,)22x y P +，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2114x y = ① 2224x y = ②由①-②得12121212()()4()4l x x x x y y x x k -+=-⇒+= ③而P 为AB 的中点且直线l 过点(0,1)-，所以1211322,22l y x y x x x k x x ++++=⨯===代入③可得34y x x+=⨯，化简可得22124124x x y y -=+⇒=④由点1(,)22x y P +在抛物线口内，可得221()48(1)22x y x y +<⨯⇒<+⑤将④式代入⑤可得222128(1)16||44x x x x -<+⇒>⇒> 故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>。
练习：7．已知(1,0),(1,4)A B -，在平面上动点Q 满足4QA QB ⋅=，点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的对称点，求动点P 的轨迹方程。
5．参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。
在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
例6．过点(2,0)M -作直线l 交双曲线221x y -=于A 、B 两点，已知OP OA OB =+。
（1）求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线l ，使OAPB 矩形？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
解：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，代入方程221x y -=，得2222(1)4410k x k x k ----=因为直线l 与双曲线有两个交点，所以210k -≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，则22121222441,11k k x x x x k k ++==-- ①21212122244(2)(2)()4411k k ky y k x k x k x x k k k k⋅+=+++=++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+ 得212122244(,)(,)(,)11k kx y x x y y k k=++=-- ∴2224141k x k k y k ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩ 所以x k y =，代入241k y k =-可得241()x y y x y =-，化简得 2240x y x -+=即22(2)4x y +-= ②当直线l 的斜率不存在时，易求得(4,0)P -满足方程②，故所求轨迹方程为22(2)4(0)x y y +-=≠，其轨迹为双曲线。
（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边OPAB 为矩形的充要条件是0OA OB ⋅=即12120x x y y += ③ 当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(3)-、(2,3)-，不满足③式当k 存在时，222121212121212(2)(2)(1)2()4x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++2222222(1)(14)244011k k k k k k k ++⋅=-+=--化简得22101k k +=-， 此方程无实数解，故不存在直线l 使OPAB 为矩形。
练习：8．设椭圆方程为1422=+y x ,过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足)(21+=,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时,求: (1)动点P 的轨迹方程； (2)||的最小值与最大值。
9．设点A 和B 为抛物线24(0)y px p =>上原点O 以外的两个动点，且OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥于M ，求点M 的轨迹方程。
6．交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。