高一数学(上册)第一章函数和表示知识点与练习题含答案

函数及其表示

（一）知识梳理

1．映射的概念

设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成

值域。 (3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？

（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=

例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个

例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x x x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01

,01)(x x x g （3）x

x f =)(1+x ，x x x g +=2)(； （4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则 （ ）

A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x -

例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.

例4.已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2

+-=+x x x f ，求)(x f

例2.已知)

()11,f x f x =-=则_____________。 例3．已知)11(x x f -+=22

11x

x +-，则)(x f 的解析式可取为

题型3：求抽象函数解析式

例1．已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1(2)(=+，求)(x f

例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.

例3.设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1

()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.函数()13f x x =

-的定义域为（ ） A ．[)

(]22+∞-∞-，， B ．[)()2,33+∞， C ．(][)()22,33-∞-+∞，，

D ．(]2-∞-， 例2、函数x x x x f -+=0

)1()(的定义域是（ ）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域

例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是

_________

考点5：求函数的值域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例1、322+--=x x y 例2、2285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x

（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2

2122+-+=x x x y 的值域 例3、132222+-+-=x x x x y 例4、1

12++-=x x x y （3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数

例5、x x y 21-+= 例6、13432)(-+-=x x x f