(2)功能关系 角动量守恒定律
第3章 动量守恒和角动量守恒定律
第3章动量守恒定律和角动量守恒定律研究：对平动——动量定理力的时间积累作用对转动——角动量定理基础牛顿定律（牛顿力学）31基础：牛顿定律（牛顿力学）3.1 质点的动量定理3.2 动量守恒定律3.3 质心和质心运动定理3.413.4质点的角动量和角动量守恒定律3.5 质点系的角动量和角动量守恒定律3.1 质点的动量定理一. 力的冲量impulse定义r 的冲量定义：t f I d d ⋅=rr f 的元冲量t r r r ∫⋅=)()(21d t t f I 的冲量f 是过程量，反映力的时间积累。
SI:N·s 是过程量，反映力的时间积累SI: N s二. 质点的动量定理力的时间积累效果？p r r r r d 动量定理（微pt F tF d d d =⋅→=合力的动量的分形式）2元冲量元增量d p p t F I tt total r r r r −∫=⋅=动量定理（积分形式）合力的冲量动量增量应用场合（过程量）（始末状态量）①过程短暂，运动有明显改变，关心结果，应用场合：对过程细节不感兴趣。
−rr 例：平均冲击力0tt pp F −=r 如接球安全网延长作用时间以减小冲击力如：接球；安全网。
延长作用时间，以减小冲击力。
②连续质量作用：如流体冲击、喷气反推。
3②续质作用如体冲击喷气反推注意：定理为矢量方程计算：作用于单位面积的帆面上的风力F 因为连续作用，取d t 内风v ∆SF 横d (d sin )m S v t ρθ=∆⋅⋅θir222sin v v =∆rv m t F ∆=⋅)(d d 22F θ422v v S ∝=∆θρsin sin3.2 动量守恒定律( conservationf)一. 质点系的动量定理of momentum)每个质点ii j ij i p t f t F rr r d d d )(=∑⋅+⋅≠+d(d =⋅N N t F rr 外力内力全部方程求和+ 牛Ⅲ)()(11∑∑==i i i i p ∑−=I rr r ∑iii iexpp 0系统总动量的改变由外力的冲量决定，系统总动量的改变由外力的冲量决定与内力无关。
第三章、角动量
h
（m +盘） 由(1)(2)(3)得： M
O R
,
m
1 I MR 2 mR 2 2mR 2 (3) 2 2 gh (4) 0 cos 2R
对（m + M +地球）系统，
·
1 2 1 2 (5) mgR sin I0 I 2 2 (3)(4)(5)得： 1 g gh g 2 . ( h 4 3 R) cos sin 2 2R 2 R 2R ( 60 ) M mgR g 2 I 2mR 2R
Nl
N l
A
· a θC · N a
O
Cl
l,m
t
Ct
θ
B
(3)
t ：mg cos N t maCt l 2 6 aCl g sin 7 4 l mg cos l l 4 3 g cos aCt 7 4 4 JO
t l ： mg sin Nl maCl
2 i i
vi o ri mi
L I
刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯 量和角速度的乘积。
d d I dL 由转动定律： M I I dt dt dt
角动量定理微分式：
2、刚体的角动量定理
Mdt 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩 t2 M dt L2 L1 I 22 I11
r dr R e
d
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
运动力学中的角动量守恒定律
运动力学中的角动量守恒定律运动力学是物理学中研究物体运动的学科。
在运动力学中，有一个重要的定律被广泛应用于解释和预测物体的运动状态，那就是角动量守恒定律。
角动量是描述物体旋转运动的物理量，它与物体的质量、转动轴和角速度有关。
在运动力学中，角动量守恒定律指出，当物体在没有外力作用下绕固定轴旋转时，它的角动量保持不变。
为了更好地理解角动量守恒定律，我们可以通过一些实际例子来说明。
想象一架旋转的陀螺，当陀螺开始旋转时，它具有一定的角动量。
在没有外力作用的情况下，陀螺会保持旋转，并且它的角动量保持不变。
这是因为陀螺旋转时，其质量分布和角速度决定了它的角动量，而这些物理量在旋转过程中保持不变。
角动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用。
例如，在天体物理学中，角动量守恒定律可以解释行星绕太阳的运动。
根据角动量守恒定律，行星在绕太阳运动时，其角动量保持不变。
这意味着当行星离太阳较近时，它的角速度会增加，而当行星离太阳较远时，它的角速度会减小。
这种角动量守恒的结果导致了行星的椭圆轨道。
在机械工程中，角动量守恒定律也被广泛应用于解决一些实际问题。
例如，当一个自行车轮在行驶过程中发生侧翻时，根据角动量守恒定律可以得出，轮子的角速度会增加，从而使自行车保持平衡。
这是因为轮子的转动惯量和角速度决定了它的角动量，而这些物理量在侧翻过程中保持不变。
除了上述例子，角动量守恒定律在其他领域也有着重要的应用。
例如，在量子力学中，角动量守恒定律被用于解释原子和分子的旋转行为。
在核物理学中，角动量守恒定律被用于解释原子核的自旋和衰变过程。
这些应用都进一步验证了角动量守恒定律的普适性和重要性。
总结起来，角动量守恒定律是运动力学中的重要定律之一。
它指出，在没有外力作用下，物体的角动量保持不变。
这一定律在实际应用中有着广泛的应用，包括天体物理学、机械工程、量子力学和核物理学等领域。
通过研究和理解角动量守恒定律，我们可以更好地理解和解释物体的旋转运动行为，为相关领域的研究和应用提供理论基础。
角动量守恒
角动量守恒角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。
角动量守恒定律是物理和自然界的一条重要定律。
它在日常生活、天体物理、微观物理和工程中都有广泛的应用。
例如，角动量守恒定律可以很好地解释开普勒天体运行第二定律、陀螺效应等。
当一个质点绕原点运动时，它的角动量L=RP。
这里，R是质点相对于原点的位置向量；P是质点的线性动量；而表示矢量积。
具有一定质量的物体绕一固定轴转动，它的角动量L可表示为这个物体的惯性矩I和它的角速度向量w的乘积，即L=Iw。
角动量又称为动量矩，是一个矢量，是位矢叉乘于动量。
定理也称动量矩定理。
表述角动量与力矩之间关系的定理。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。
利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。
由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变质点系的整体转动情况。
定理应用角动量守恒定律是物理和自然界的一个重要定律，它在日常生活、天体物理、微观物理和工程等许多方面都有广泛的应用。
例如：当滑冰者手臂收缩时，自我旋转滑冰者的转动速度就会加快。
用角动量守恒定律也可解析中子星有很高的转动速率等。
另外，角动量守恒定律也是陀螺效应的原因。
角动量守恒定律反映了质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。
如一质量为 m的质点受指向固定中心O的向心力F的作用，因力F对O点的力矩为零，根据牛顿第二定律可推得质点对O点的角动量守恒，Lo=rmv=常矢量，此常矢量决定于运动的起始条件，r为质点对于O点的矢径,v为质点的速度。
如将太阳看成固定中心，行星看成质点，则角动量守恒表明行星轨道必在一平面上。
矢径在相等的时间内扫过的面积相等，这就是开普勒行星运动三定律之一—开普勒第二定律角动量守恒也是微观物理学中的重要基本规律。
（高考系列）高中物理竞赛教程（超详细）_第九讲_动量_角动量..
第四讲动量角动量和能量§4.1动虽与冲量动童定理4. 1. 1.动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv来星度物体的“运动量”，称之为动量。
4. 1. 2.冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间也的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F△，叫做冲量。
4. 1. 3.质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：FAi=ma^t=/nAv=mv x-mv Q FZ=Np即冲量等于动量的增量，这就是质点动定理.在应用动量:定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一宣线上时，可将矢景投影到某方向上，分量式为：F4=mv tt-mv Qs气&=-mv Qy F=Z=mv c-mv0:对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个，外+L内=扪十1，一川+|。
第2个匕外+4内='"2四一华玲0第n个/“外+/”内=""”一〃"”0由牛顿第三定律：，内+匕内+....+A»内=0因此得到：L外+】2外+……+.外=(WiV l/+zn2v2/+......+m n v n,)_(w,v,0+/n2v20+......m…v nQ)即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
§4,2角动虽角动虽守值定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。
它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为J=rxP(尸=OB)以下介绍两个定理：O（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动景矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即dJ u出（M为力矩）。
力学--(角)动量与能量守恒定律
4
物理学
第五版
1 动量定理与动量守恒定律
t2 1、冲量： Fdt（过程量） I
t1
2、动量定理（质点或质点系）
t2 Fdt dp t Fdt p p0 1 动量： p mv （状态量）
用 于 碰 撞
1子弹与细棒碰撞过程角动量守恒mglgl子弹与细棒从竖直位置运动到水平位置过程中子弹细棒和地球组成的系统机械能守恒两个守恒的应用物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律24mglgl2细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律252角动量方法时间能量方法角动量守恒能量守恒求解力学问题的路径突出过程矢量性与瞬时性牛顿运动定律转动定律突出始末状态矢量关系的角动量定理突出始末状态标量关系的动能定理功能原理机械能守恒定律能量转化与守恒定律物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律26
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
(2)
23
物理学
第五版
4例 两个守恒的应用
（2）细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度
M J
1 M m0 gL mgL 2
O
1 2 J m0 L mL 3
2
v0
m0
m
1 m0 g mg 2 1 m0 L mL 3
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
15
物理学
第五版
1 功
力的功： W F dr
力矩的功：W
3 功 动能定理
2
1
Md
2 动能定理: W Ek Ek 0 1 质点(系)： E k mv 动 2
3-(5)、角动量角动量守恒
+
人
m
X
t
0
人 dt
人
M
2m
M
t
0
台dt
M
台
2m
台 (3)
人 台 2 (4)
A
人
m
台
A
台
4m Mm 2M
人
Mm
例3：一木杆长 l 可绕光滑端轴O旋转。设这时 有一质量为m的子弹以水平速度 v 射入杆端并 箝入杆内，求杆偏转的角度。 已知： M , l , m, v 求： ? 解： N N O O
C：开始不旋转的物体，当其一 部分旋转时，必引起另一部分 朝另一反方向旋转。
'
讨 论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
'
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
M
t1
x
dt
dL
Lx 1
x
Lx 2 Lx1
t2
Ly 2 y
M
t1
t2
dt
dL
L y1
Lz 2
y
Ly 2 Ly1
Lz 2 Lz1
M
t1
z
dt
dL
Lz 1
z
角动量定理（积分形式） 作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
刚体角动量定理角动量守恒定律
3) 与转轴的位置有关.
4. 刚体定轴转动定律的应用
例3-5. 质量为 M =16kg 的实心滑轮, 半径为 R =0.15m. 一根细绳绕在滑轮上, 细绳一端挂质量为 m=8kg 的物体. 设细 绳不伸长且与滑轮间无相对滑动, 求: (1) 由静止开始 1 秒钟后, 物体下降的距离; (2) 细绳的张力.
§3.2 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律
3.2.1 力矩
zF
Mz
F//
o d r F
力矩: 外力在转动平面内投影的大小与力 线到转轴距离 d 的乘积等于外力对转轴 力矩的大小.
M z Fr sin
力矩的方向由右螺旋法则确定
M z r F
单位: N·m
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比, 与刚体的转动惯量成反比 .
解: 将重物, 滑轮隔离分析
由牛顿定律 mg T ma
由转动定律
TR J 1 MR2 2
滑轮与细绳切点
at R
at a
N M
N
m2 > m1
拓展
M
R
T Mg
m
mg
T1 1m
Mg T2 2
m1g
m2g
a m g 810 5 m s2 mM 2 88
h 1 at2 1 512 2.5 m 22
T 1 165 40 N 2
N
m2 > m1 M R
拓展
T1 1m
Mg T2 2
m1g
m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
角动量守恒定律及其应用
角动量守恒定律及其应用角动量是物体在旋转运动过程中的物理量，它描述了物体绕某一旋转轴旋转时的转动效果。
在许多物理学问题中，角动量守恒定律是一个重要的定律，它可以帮助我们理解和解释许多自然现象。
本文将探讨角动量守恒定律的基本原理以及其在各个领域中的应用。
首先，让我们来了解一下角动量的定义。
角动量的大小可以通过物体的质量、旋转轴距离和物体的旋转速度来决定。
具体地说，对于质量为m的物体，其距离旋转轴的距离为r，旋转速度为v，则角动量的大小L等于L = m*r*v。
角动量的单位是千克·米²/秒。
同时，角动量也有方向，它垂直于运动轨迹平面，在顺时针旋转时呈现为向内，而在逆时针旋转时则呈现为向外。
接下来，让我们来探讨一下角动量守恒定律的基本原理。
角动量守恒定律可以简化为以下表达式：L1 = L2。
也就是说，对于一个系统，如果没有外力或外扭矩的作用，其初始时刻的角动量等于其末时刻的角动量。
这意味着物体在旋转过程中，其角动量的大小和方向保持不变。
这个定律的表述与动量守恒定律相似，但由于旋转运动涉及到物体的转动效果，所以角动量守恒定律对于理解旋转运动非常重要。
角动量守恒定律在许多物理学问题中发挥了重要的作用，下面将介绍其中的一些应用。
首先是行星运动。
根据开普勒的第二定律，行星绕太阳运动时会沿着椭圆轨道，而行星在椭圆轨道上的速度是不断变化的。
然而，在整个运动过程中，行星的角动量保持不变。
这是因为没有外力或外扭矩作用于行星，所以行星的角动量在运动过程中始终保持恒定。
利用角动量守恒定律可以解释行星运动的轨道和速度变化，从而揭示了行星运动的规律。
其次是物体的平衡。
在刚体平衡的情况下，所有作用在刚体上的外力和外扭矩的代数和均为零。
这一条件要求物体的重力矩、弹力矩和摩擦力矩等相互平衡。
利用角动量守恒定律可以推导出这些力矩之间的关系，从而解决平衡问题。
例如，在一个平衡的飞盘上，当我们将手臂伸出时，通过改变手臂的角速度可以改变飞盘的角动量，从而改变其保持平衡的能力。