导数及其应用单元测试题

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(完整版)人教版导数测试题含答案

导数及其应用单元测试题一、选择题1.函数3y x x =+的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 2.32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（）A ．319B ．316 C ．313D ．3103.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时( )A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4. 设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件5.抛物线y=(1-2x)2在点x=32处的切线方程为（）A. y=0B.8x －y －8=0 C ．x=1 D.y=0或者8x －y －8=06. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）7.已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为（）A ．-37B ．-29C ．-5D ．-118.设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是（）A ．13k ，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（）A ．3B ．52C ．2D ．32二、填空题10.函数ln x e y x=的导数'y =_____________11.若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是． 12.已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数()f x 的极值为712-，则(2)f = ．13.函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是．三、解答题（共80分） 14.（本题满分12分）设()33f x x x=+,求函数f(x)的单调区间及其极值；F 图6PED BA15. （本题满分14分）求证：若x>0,则ln(1＋x)>x 1x+;16. （本题满分14分）若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 有极值34-，（1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．17（本题满分14分）如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使P E ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

高中数学导数及其应用单元测试新人教A版选修1

导数及其应用单元测试11.______,_______________；12._________________；13._________________； 14._________________；三、解答题（每小题15分，共30分）15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

16．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02. 设)(x f 是可导函数，且0000(2)()lim 2,()x f x x f x f x x∆→+∆-'==∆则（）A ．21B ．－1C ．1D ．－23．下列求导运算正确的是A ．(x +211)1x x +='B ．(log 2x )'=2ln 1xC ．(3x )'=3x log 3eD ．(x 2cos x )'=－2x sin x4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件5．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．3106．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞7、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值X 围是（）A. 21>-0B.a<0C.a>-1D.a<-19．以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的 X 围是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3B ．[]π,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4πD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 10.若函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值,则常数c 的值为（）A. 6B. 2C. 6或2D.不存在二、填空题11．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；12．函数sin xy x=的导数为_________________；13．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________。

专题4.5 一元函数的导数及其应用(单元测试卷)(原卷版)

专题4.5《一元函数的导数及其应用》单元测试卷一、单选题1．（2020·山东省滨州市三模）函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为（）A ．10x ey e +-+=B ．10x ey e -+-=C ．0x ey +=D ．0x ey -=2．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（） A ．1 B ．2 C ．12 D ．-23．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））已知函数()ln f x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线的倾斜角为（）A ．4πB ．34πC ．3πD ．23π 4．（2020·浙江省金华市东阳市6月模拟）函数()1sin sin 22f x x x =+的图象可能为（）. A ．B ．C ．D ．5．（2020·重庆高二期末）已知函数()sin f x a x b =+的导函数为f x ，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（） A ．4 B ．2 C ．1 D ．126．（2020·浙江温州市6月）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0x f x x f '+=，则()f x的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．（2020·山东省德州市6月二模）已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13xf x e +>解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞ 8．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数()1ln f x x x x=-+，若()3a f =，()b f π=，()5c f =，则（）A ．c b a <，则不等式()()3132f x f x x --<-的解集是( ) A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则方程22[()]3()20f x f x --=实根的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题11．（2020·山东省仿真联考2）已知函数()e 2x f x x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（）A ．e ln 2a b +>B ．e ln 2a b +<C ．223a b +<D ．1ab <12．（2020·山东省威海市三模）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1x e =处取得极大值C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增13．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的是（）A ．()()2112x f x x f x 14．（2020·全国高三其他）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x ex =+，则下列说法正确的是（）A ．当0x >时，()()1x f x e x =-B ．函数()f x 有2个零点C ．()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞D ．1x ∀，2x R ∈，都有()()122f x f x -<三、填空题15．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+﹐则()1f '=________．16．（2020·山东省济南市二模）已知函数()()1x f x e a x =-+，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．17．（2020·全国高三课时练习（理））若函数()2sin f x x x =+对任意的[2,2]m ∈-，(3)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为 .18．（2020·山东省青岛市二模）已知函数()xf x e ax =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）的图象恒过定点A ，（1）则点A 的坐标为__________；（2）若()f x 在点A 处的切线方程21y x =+，则a =__________.19．（2020·全国高二单元测试）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设x =1是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.20．（2020·湖北荆门�高二期末）设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x x f <-成立的x 的取值范围是_________．21．（2020·北京海淀�人大附中高三其他）已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩. （1）()f x 的零点是______；（2）若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是______.四、解答题22．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数31(),3f x x ax a a =-+∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数()y f x =的单调区间.23．（2018年全国卷II 文）已知函数f (x )=13x 3−a (x 2+x +1)．（1）若a =3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点．24．（2020·全国高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 25．（2020·四川德阳�高三其他（理））已知函数()2ln 2f x ax x =--，()4x g x axe x =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()()()2ln 12ln ln 2g x x x a --+≥-． 26．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数211()ln (1)22f x x x m x m =+-+++．（1）设2x =是函数()f x 的极值点，求m 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求m 的取值范围．27．（2020·山东省济南市6月模拟）已知函数()()ln f x a x b =+.（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值；（2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数.。

合肥市育英中学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知函数ln,1 ()1,12x xf x xx≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m=++两个零点1x，2x，则12x x⋅的取值范围是（）A．(),e-∞B．(),e+∞C．(],42ln2-∞-D．[)42ln2,-+∞2．已知函数()()221sin1x xf xx++=+，其中()f x'为函数()f x的导数，则()()()()2020202020192019f f f f''+-+--=（）A．0B．2C．2019D．20203．已知奇函数()f x在(),-∞+∞上单调递减，且()11f=-，则“1x>-”是“()1xf x<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件.4．已知函数2()85f x x x=---，()xe exg xex+=，实数m，n满足0m n<<，若1x∀∈[],m n，2x∃∈()0,∞+，使得()()12f xg x=成立，则n m-的最大值为（）A．7 B．6 C．25D．235．已知函数()f x与()f x'的图象如图所示，则函数()()xf xg xe=（其中e为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A．()0,4B．()4,1,43⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D．()0,1，()4,+∞6．已知a R∈，0b≠，若x b=是函数()()()2f x x b x ax b=-++的极小值点，则实数b的取值范围为（）A．1b<且0b≠B．1b>C．2b<且0b≠D．2b>7．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：3m）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（H 为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m /h v .那么瞬时融化速度等于()3m /h v 的时刻是图中的（）.A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A ．()3x x f x e=B ．()x x xf x e e -=- C ．()xx f x e = D ．()xf x xe =10．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-11．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（） A ．1B 2C ．2D ．312．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（） A ．()()21ln 2f f - C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则k的取值范围是______________．14．曲线()1xf x e x=-在点()()1,1f 处的切线的方程为_______. 15．已知曲线()f x lnx =在点00())(x f x ，处的切线经过点(0,1)，则0x 的值为___. 16．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a =________.17．已知抛物线2y ax bx c =++过点()1,1，且在点()2,1-处与直线3y x =-相切，则a =__________，b =____________，c =_________________.18．已知函数()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是________．19．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度__________．20．已知函数()f x sinx cosx =+，()'f x 是()f x 的导函数，若()()00'2f x f x =，则2020012sin x cos x sin x +=-______．三、解答题21．已知函数()ln f x x ax b =-+的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=. （1）求a 和b 的值；（2）对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数())2f x x x ax =-.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[]0,2的最小值为23-，求a . 23．设函数22()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．24．已知函数()3233f x x x bx c =-++在0x =处取得极大值1.（1）求函数()y f x =的图象在1x =处切线的方程；（2）若函数()f x 在[],2t t +上不单调，求实数t 的取值范围.25．已知函数()ln 1xf x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）证明；当1a e≥时，()0f x ≥． 26．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥，当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ，则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-，令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-；则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<=⎪⎝⎭所以()g x的值域为(-∞，即12x x的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.2．B解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.3．B解析：B 【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定()f x 和()f x '的符号，由奇偶性定义可知()g x 为偶函数，利用导数可确定()g x 单调性；根据()()111g g =-=，利用单调性可求得()1xf x <的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】()f x 为(),-∞+∞上的奇函数，∴()00f =，又()f x 单调递减，∴当0x <时，()0f x >；当0x >时，()0f x <，且()0f x '≤，令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为偶函数，当0x ≥时，()0xf x ≤；当0x <时，()0xf x <；()()g x xf x ∴=-，()()()()()g x f x xf x f x xf x '''∴=--=-+⎡⎤⎣⎦当0x ≥时，()0f x ≤，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，由偶函数对称性知：()g x 在(],0-∞上单调递减；()()()1111g g f =-=-=，∴由()()1g x xf x =<得：11x -<<，()()1,11,≠-⊂-+∞，∴“1x >-”是“()1xf x <”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．4．B解析：B 【分析】先用导数法研究()y g x =，然后的同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图象，根据[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立求解. 【详解】因为()x e exg x ex+=，所以()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()10g '=，所以()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()22185()4111f x x x x -==---++≤，作函数()y f x =与()y g x =的图象，如图所示：当()2f x =时，方程两根分别为7-和1-，则n m -的最大值为：()176---=. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()x f x g x e =，所以，()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.6．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围．【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >．故选：B ．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．7．C解析：C 【分析】根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案. 【详解】解：平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，故选：C ．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.8．D解析：D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围．【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故选：D ．【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．9．A解析：A 【分析】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减. 对于A 选项，函数()3x x f x e =的定义域为R ，()()x xx xf x f x e e---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()xx f x e=，()1x xf x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意；对于B 选项，函数()x xxf x e e-=-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意；对于C 选项，函数()xx f x e =的定义域为R，()1f e -=-，()11f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；对于D 选项，函数()xf x xe =的定义域为R ，当0x >时，()xf x xe =，()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据函数()xf x e =与函数()lng x x =互为反函数，将问题转化为求函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()xf x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()xf x e '=，所以函数()xf x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离2211d ==+，所以||MN 2故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->．故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】求出函数的定义域利用导数求出函数的极值点由题意可知函数的极值点在区间内结合题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】函数的定义域为令可得列表如下：极解析：()1,2【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数求出函数()f x 的极值点，由题意可知，函数()f x 的极值点在区间()1,1k k -+内，结合题意可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】函数()2ln 2x f x x =-的定义域为()0,∞+，()211x f x x x x ='-=-. 令()0f x '=，0x ，可得1x =，列表如下：所以，函数f x 在1x =处取得极小值，由于函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则()11,1k k ∈-+，由题意可得111110k k k -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,2. 故答案为：()1,2. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 内存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.14．【分析】求得函数的导数得到结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得所以即所求切线的斜率为又由所以所求切线的方程为可得即所以所求切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义解析：20ex x y +--=【分析】求得函数的导数()21'xf x e x=+，得到()'11f e =+，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()1xf x e x =-，可得()21'xf x e x=+，所以()'11f e =+，即所求切线的斜率为1k e =+，又由()11f e =-，所以所求切线的方程为()()1'1y f k x f -=-⎡⎤⎣⎦，可得()()()111y e e x --=+-，即()()()111y e e x e --=+-+. 所以所求切线的方程为20ex x y +--=. 故答案为：20ex x y +--=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．e2【分析】求导得则斜率为写出切线方程切线经过原点代入化简即可得出结果【详解】函数的导数为所以切线斜率为所以切线方程为因为切线过点所以代入切线方程得解得故答案为:【点睛】本题主要考查导数的运算及其几解析：e 2【分析】求导得1()f x x'=,则斜率为001()k f x x '==,写出切线方程,切线经过原点(0,1)代入化简即可得出结果. 【详解】函数的导数为1()f x x'=，所以切线斜率为001()k f x x '==，所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，因为切线过点(0,1)，所以代入切线方程得0ln 2x =，解得20x e =.故答案为:2e . 【点睛】本题主要考查导数的运算及其几何意义,属于基础题.16．1【分析】根据函数的奇偶性确定在上的最大值为求导函数确定函数的单调性求出最值即可求得的值【详解】是奇函数时的最小值为1在上的最大值为当时令得又令则在上递增；令则在上递减得故答案为：1【点睛】本题考查解析：1 【分析】根据函数的奇偶性，确定()f x 在(0,2)上的最大值为1-，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a 的值．【详解】()f x 是奇函数，(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，()f x ∴在(0,2)上的最大值为1-，当(0,2)x ∈时，1()f x a x'=-，令()0f x '=得1x a =，又12a >，102a ∴<<，令()0f x '>，则1x a <，()f x ∴在1(0,)a 上递增；令()0f x '<，则1x a>， ()f x ∴在1(a，2)上递减，111()()1max f x f ln aaaa ∴==-=-，10ln a∴=，得1a =．故答案为：1．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．3-119【分析】先求函数的导函数再由题意知函数过点且在点处的切线的斜率为1即分别将三个条件代入函数及导函数解方程即可【详解】解：由于抛物线过点则又因为点处与直线相切即切线的斜率为1即又因为切点为把解析：3 -11 9 【分析】先求函数2y ax bx c =++的导函数'()f x ，再由题意知，函数过点(1,1)，(2,1)-，且在点(2,1)-处的切线的斜率为1，即()'21f =，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可. 【详解】解：由于抛物线2y ax bx c =++过点()1,1，则()11f =，1a b c ∴++=，又'()2f x ax b =+，因为2y ax bx c =++点()2,1-处与直线3y x =-相切，即切线的斜率为1，即()21f '=， 41a b ∴+=．又因为切点为(2,1)-，421a b c ∴++=-．把①②③联立得方程组14142 1.a b c a b a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩，解得：3119a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即3a =，11b =-，9c =．故答案为：3，-11，9.【点睛】本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力.18．【分析】由题意可得利用导数求出函数在区间上的最大值即可得出实数的取值范围【详解】存在使得成立等价为令得当时函数是增函数；当时函数是减函数当时函数在处取得最大值所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛解析：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()y f x =在区间(]0,4上的最大值，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立等价为()max f x m ≥． ()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1x e=. 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()ln 2f x x x =-+是增函数；当1,4x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()ln 2f x x x =-+是减函数，当(]0,4x ∈时，函数()ln 2f x x x =-+在1x e =处取得最大值12e +，所以12m e≤+．因此，实数m 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2e ⎛⎤-∞+⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，结合题意转化为与函数最值相等的不等式问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.19．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周解析：【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到．【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．20．【分析】求出导函数后由可得再结合可得又化简可得代入求值可得即为所求【详解】∵∴由得∴∵由得又∴把代入得：∴故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系式解题时注意公式的灵活应用和变形同时注意整体代换在解解析：1115【分析】求出导函数后由()()00'2f x f x =可得003cosx sinx =-，再结合22001sin x cos x +=可得20110sin x =．又化简可得22002200011215sin x sin x cos x sin x sin x ++=-+，代入求值可得20201111515sin x sin x +=+，即为所求．【详解】∵()f x sinx cosx =+， ∴()'f x cosx sinx =-，由()()00'2f x f x =，得000022cosx sinx sinx cosx -=+， ∴003cosx sinx =-， ∵()2222000022220000000001111.21212315sin x sin x sin x sin x cos x sin x sin x sinx cosx sin x sinx sinx sin x ++++===---⋅---+①由003cosx sinx =-，得22009cos x sin x =，又22001sin x cos x +=，∴201.10sin x =② 把②代入①得：20201111515sin x sin x +=+．∴20200111215sin x cos x sin x +=-．故答案为1115．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，解题时注意公式的灵活应用和变形，同时注意整体代换在解题中的作用，属于基础题．三、解答题21．（1）2a =，4b =；（2）3m ≥．【分析】（1）求导()1f x a x'=-，再根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，由()12f a b =-+=，()111f a '=-=-求解.（2）将对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，转化为ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4x g x x x xe =+-+，0x >，用导数法求得其最大值，由()maxm g x ≥求解.【详解】（1）因为()ln f x x ax b =-+，所以()1f x a x'=-，又因为函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，所以()12f a b =-+=，()111f a '=-=-，解得2a =，4b =.（2）因为对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，所以ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4xg x x x xe =+-+，0x >则()()()()11111x x x xe g x x e x x+-'=+-+=，设()00g x '=，00x >，则01x ex =，从而00ln x x =-，因为()13102g ⎛'=> ⎝⎭，()()1210g e '=-<，所以()()1102g g '⋅<，因为()g x '的图象在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是不间断的，所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，满足()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．从而()g x 在0x x =时取得最大值()00000ln 4143xg x x x x e =+-+=-+=，所以m 的取值范围为3m ≥．【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.22．（1）单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）53. 【分析】（1）由1a =得()5322f x x x =-，0x ≥，对函数求导，解对应的不等式，即可得出单调区间；（2）先对函数求导，分别讨论0a ≤，3025a <≤，325a >三种情况，利用导数的方法研究函数在区间[]0,2上的单调性，求出最值，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）当1a =时，())53222f x x x x x =-=-，0x ≥，所以())3122535322f x x x x '=-=-，由()0f x '>可得35x >；由()0f x '<可得305x ≤<，所以函数()f x 的单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为())53222f x x ax x ax =-=-，[]0,2x ∈，所以())3122535322f x x ax x a '=-=-，由()0f x '=得35x a =；若0a ≤时，())530f x x a '-≥在[]0,2上恒成立，所以()f x 在[]0,2上单调递增，最小值为()00f =不满足题意；若3025a <≤，即1003a <≤时，当30,5x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当3,25x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()222min 393625255253f x f a a a a ⎛⎫⎫==-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，则29125a ，即52315a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以53a =，满足1003a <≤；若325a >，即103a >时，()0f x '<在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，因此()())min 22423f x f a =-=-，解得2a =，不满足103a >；综上，53a =. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.23．（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 极小值2(12ln )2k k -；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=，由()0f k ≤得k k =k >.【详解】（Ⅰ）由22()ln 02 ()x f x k x k >=-得222()k x k f x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x k =．()f x 与()'f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：x (0,)k k (,)k +∞ ()'f x- 0 + ()f x ↘ 极小值↗ 所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值2(12ln )()2k k f k -=，无极大值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=．因为()f x 存在零点，所以2(12ln )02k k -≤，从而e k ≥．当e k =时，()f x 在区间(1,e)上单调递减，且(e)0f =，所以e x =是()f x 在区间(1,e]上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,e)上单调递减，且1(1)02f =>， 2e (e)02k f -=<，所以()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题.24．（1）320x y +-=；（2）20t -<<或02t <<.【分析】（1）先对函数求导，利用题意列出方程组()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，从而求得函数解析式，之后利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（2）先令导数等于零，求得函数的极值点，函数在给定区间上不单调的等价结果是零点在区间上，得到参数的范围.【详解】（1）因为()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()00,01,f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得0b =，1c =，所以()3231f x x x =-+；经检验，适合题意，又()11f =-，()13f '=-，所以函数()y f x =图象在1x =处切线的方程为()()131y x --=--，即320x y +-=.（2）因为()236f x x x '=-，令2360x x -=，得0x =或2x =.当0x <时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，当2x >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数.因为函数()f x 在[],2t t +上不单调，所以02t t <<+或22t t <<+，所以20t -<<或02t <<.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，解决该题的思路如下：（1）对函数求导，利用题意，列出方程组，求得函数解析式；（2）利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（3）函数在给定区间上不单调等价结果是极值点在区间内.25．（1）212a e=；（2）见解析. 【分析】（1）由题意得出()20f '=，可求得a 的值，然后对函数()y f x =是否在2x =取得极值进行验证，进而可求得实数a 的值；（2）当21a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--，构造函数()ln 1xe g x x e=--，利用导数证明出当0x >时，()0g x ≥恒成立，即可证得结论成立.【详解】（1）函数()ln 1x f x ae x =--的定义域为()0,∞+，()1x f x ae x'=-．由题设知，()20f '=，所以212a e =，此时()212x e f x x-'=-，则函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =在2x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，212a e =；（2）当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--，设()ln 1x e g x x e =--，则()1x e g x e x'=-．由于函数()y g x '=在()0,∞+上单调递增，且()10g '=.当01x <<时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减；当1x >时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增．所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，()()min 10g x g ∴==. 因此，当1a e≥时，()0f x ≥．【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 26．（1）122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2c <．【分析】（1）求出()f x 的导数，由题可知23x =-与1x =是()0f x '=的两个根，即可求出,a b ，再利用导数即可求出单调区间；（2）根据（1）中的单调性，求出()f x 在[]1,2x ∈的最大值，令()2max f x c <，即可求出c 的范围.【详解】（1）()232f x x ax b =++'， ∴()212403931320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴()()()332321f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>，解得23x <-或1x >；令()0f x '<，解得213x -<<，所以函数()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）因为()32122f x x x x c =--+，[]1,2x ∈，根据（1）函数()f x 的单调性，得()f x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭上递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，所以当23x =-时，()2227f x c =+为极大值，而()222227f c c =+>+，所以()22f c =+为最大值．要使()2f x c <对[]1,2x ∈-恒成立，须且只需()222c f c >=+，解得1c <-或2c <．【点睛】本题考查已知极值点求参数，考查利用导数求单调性，考查不等式的恒成立，属于中档题.。

厦门双十中学初中部选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(含答案解析)

一、选择题1．若幂函数()f x 的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为（） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-D ．()(),02,-∞+∞2．函数tan 22tan y x x =-42x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（）A ．33-B ．3C ．0D ．3-3．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >4．已知函数[](),1,2,xae f x x x =∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 5．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-8．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④9．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7B ．4C ．0D ．﹣410．已知函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤，e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,e e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知定义在[),e +∞上的函数()f x 满足()()ln 0f x xf x x '+<且()40f =，其中fx 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．[),4eB ．[)4,+∞C ．(),e +∞D ．[),e +∞12．已知函数f x =x+cosx （），则f'=6π⎛⎫⎪⎝⎭（） A ．12B ．32C ．31D 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知x y ，均为正实数.1x y +=.则1y x y+的最小值为________． 14．已知函数2ln ()a xf x x x=-，对于12,[2,2020]x x ∈，且当21x x >时，恒有()()12210f x f x x x ->，则实数a 的取值范围为__________. 15．已知()32f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______16．已知位移和时间的关系是321()2533s t t t t =++-，则2t =时的瞬时速度是_______ 17．设定义在上的奇函数满足：时，（其中为常数）.若，，，则，，的大小关系是_________.（用“”连接）18．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度__________．19．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________． 20．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．三、解答题21．已知函数()3212f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若当[]1,2x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围；（Ⅲ）对任意的[]12,1,2x x ∈-，()()1272f x f x -≤是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．22．已知函数()3f x x ax b =-+在1x =处的切线方程为0y =.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和. 23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值；（2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值；（3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.24．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，x 轴与曲线相切于原点，所围成的区域(阴影)面积为2764.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[,]()m m >00上的值域. 25．已知函数()ln 1xf x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）证明；当1a e≥时，()0f x ≥． 26．（1）求曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程. （2）求函数()316f x x x =+-过点()0,0的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()()e xf xg x =的单调递减区间. 【详解】因为()f x 为幂函数，且过点212⎫⎪⎪⎝⎭，所以设()f x x α=，所以21=22α⎛ ⎝⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>，所以()()ex f x g x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞，故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()f x 的单调递减区间.2．A解析：A 【分析】化简可得322tan 1tan xy x=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】可得3222tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x xy x x x x x =-=-=--，令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3221t y t=-，则()()()()()22322222261222311t t t t t t y t t --⨯--'==--，当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，当)t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，所以当t =时，()3max 221y ⨯==--.故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3221t y t =-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.3．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围．【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >．故选：B ．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．4．A解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.5．D解析：D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围．【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故选：D ．【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．6．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=，由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以当1x =时，()()min 10g x g ==，于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.7．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.8．B解析：B 【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =- 令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B9．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 10．A解析：A 【分析】根据题意可将问题转化为方程2ln x ax x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数可得2ln x x a x -=，令()2ln x xh x x-=，利用导数求出()h x 值域即可求解. 【详解】因为函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤，e 为自然对数的底数) 与函数()ln g x x =的图象有交点，即2ln x ax x -=在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2ln x x a x-=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()2ln x xh x x-=，（1x e e ≤≤），()221ln x x h x x-+'=，当11x e≤<时，()0h x '<，函数为减函数，当1x e <≤时，()0h x '>，函数为增函数，故1x =时，函数取得最小值1，当1=x e 时，11h e e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当x e =时，()h e e =，故实数a 的取值范围是11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()g x f x lnx =，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式()0f x >等价为()()4g x g >，进行求解即可．【详解】解：x e ，1lnx ∴，则不等式()()0f x xf x lnx '+<等价为()()0f x f x lnx x'+<，设()()g x f x lnx =，则()()()0f x g x f x lnx x'='+<，即()g x 在[e ，)+∞上为减函数，f （4）0=，g ∴（4）f =（4）40ln =，则不等式()0f x >等价为()0lnxf x >，即()()04g x g >=，()g x 在[e ，)+∞上为减函数，4e x ∴<，即不等式()0f x >的解集为[e ，4)，故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．12．A解析：A 【分析】求导，将6x π=代入即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭'.. 【详解】已知函数f x =x+cosx,'x =1-sinx,f ∴（）（）则 11sin .662f ππ⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．【分析】均为正实数可得所以再利用导数研究单调性极值与最值即可求解【详解】因为所以所以令则令即解得此时单调递增令即解得此时单调递减所以时所以时的最小值为3故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数解析：3【分析】x y ，均为正实数，1x y +=，可得10x y =->，所以01y <<， ()11111y f y x y y y+=+-=-再利用导数研究单调性极值与最值即可求解. 【详解】因为1x y +=，所以1x y =-，所以()11111111111y y y x y y y y y y y--++=+=+=+----，令()1111f y y y=+--，则()()()222211211y f y y y y y -'=-+=--令()0f y '>，即210y ->，解得112y << ，此时()f y 单调递增，令()0f y '<，即210y -<，解得102y <<，此时()f y 单调递减，所以12y =时，()min 11131122f y =+-=，所以12x y ==时1y x y+的最小值为3，故答案为：3 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.14．【分析】依题意构造函数则函数在上单调递减利用导数研究函数的单调性则恒成立再根据参变分离即可得解【详解】解：由可知则函数在上单调递减∴∵∴∴实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数的求导构造函解析：(,24]-∞【分析】依题意，构造函数()()F x xf x =，则函数在[2,2020]上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则()0F x '≤恒成立，再根据参变分离，即可得解. 【详解】解：由()()12210f x f x x x ->，2120202x x ≥>≥，可知()()1122x f x x f x >，则函数()()F x xf x =在[2,2020]上单调递减.32()()ln ,()30aF x xf x a x x F x x x'==-=-≤，∴33a x ≤.∵[2,2020]x ∈，∴33224a ≤⨯=，∴实数a 的取值范围为(,24]-∞. 故答案为：(,24]-∞. 【点睛】本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题解析：3-【分析】求出()'fx .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.【详解】()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，()()'10,11f f ∴==-，即32011a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得1a b ==-.经检验，当1a b ==-时，()32f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.1a b ∴==-，23a b ∴+=-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.16．17【分析】先求导再根据导数的定义求得时的瞬时速度是得解【详解】则时的瞬时速度故答案为：17【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数解析：17 【分析】先求导，再根据导数的定义求得2t =时的瞬时速度是(2)s '，得解. 【详解】321()2533s t t t t =++-，22()45=(2)1s t t t t '∴=++++则2t =时的瞬时速度2(2)(22)117v s '==++= 故答案为：17 【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数(=)y f x 在0=x x 处的瞬时变化率称函数(=)y f x 在0=x x 处的导数.17．a<c<b 【解析】【分析】先利用f0=0求出t 构建新函数gx=xfx 利用导数可判断gx 为-∞0上的增函数从而得到g-e<g-2<g-1即-ef-e<2f2<f1故可得a<c<b 【详解】因为fx 为R 上解析：【解析】【分析】先利用求出，构建新函数，利用导数可判断为上的增函数，从而得到即，故可得.【详解】因为为上的奇函数，故，而，所以，故当时，，令，则为上的偶函数，当时，，，当时，则，所以，故，所以为上的增函数，所以，即，所以，故.填.【点睛】判断给定的各数的大小，我们可依据它们的形式构建具体的函数，通过函数的单调性来判断它们的大小，而单调性可根据导数的符号来讨论.18．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周解析：【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到．【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．19．-3【解析】由函数则令所以解得即所以解析：-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.20．【分析】先求导数再根据导数几何意义得切线斜率最后根据点斜式求切线方程【详解】【点睛】求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差异过点P 的切线中点P 不一定是切点点P 也不一定在已知曲线上而在点P 解析：2y x =【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.三、解答题21．（Ⅰ）2b =-；（Ⅱ）c 的取值范围是()(),12,-∞-+∞．（Ⅲ）成立，证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意得f （x ）在x ＝1处取得极值所以f ′（1）＝3﹣1+b ＝0所以b ＝﹣2．（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g （x ）的最大值，则有c 2＞2+c ，解得：c ＞2或c ＜﹣1．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立，等价于|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=．【详解】（Ⅰ）∵f （x ）＝x 312-x 2+bx +c ， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ．∵f （x ）在x ＝1处取得极值， ∴f ′（1）＝3﹣1+b ＝0． ∴b ＝﹣2．经检验，符合题意．（Ⅱ）f （x ）＝x 312-x 2﹣2x +c ． ∵f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），当x ∈（﹣1，23-）时，f ′（x ）＞0 当x ∈（23-，1）时，f ′（x ）＜0 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0∴当x 23=-时，f （x ）有极大值2227+c ．又f （2）＝2+c 2227+＞c ，f （﹣1）12=+c 2227+＜c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最大值为f （2）＝2+c ． ∴c 2＞2+c ．∴c ＜﹣1或c ＞2．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立．由（Ⅱ）可知，当x ＝1时，f （x ）有极小值32-+c ．又f （﹣1）12=+c 32-+＞c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最小值为32-+c ． ∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=，故结论成立．【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a 恒成立等价为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤a 22．（1）3a =，2b =；（2）4. 【分析】（1）求出切点的坐标，利用切线的斜率和切点的坐标可得出关于实数a 、b 的方程组，进而可解得实数a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 在区间[]1,2-上的单调性，可求得该函数在区间[]1,2-上的最大值和最小值，由此可求得结果. 【详解】（1）由已知得切点为()1,0，且()23f x x a '=-，()()110130f a b f a ⎧=-+=⎪∴⎨=-='⎪⎩，解得3a =，2b =；（2）由（1）知()332f x x x =-+，233fxx ，当12x <≤时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减. 所以，()()min 10f x f ==，又()14f -=，()24f =，()max 4f x ∴=.因此，函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和为4. 【点睛】在利用导数求解函数的最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-，解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值，所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=，得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数，故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意，当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数，从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．（1）323()2f x x x =-；（2）答案见解析. 【分析】（1）由图知(0)0f =得0c ，x 轴与曲线相切于原点得(0)0f '=，在利用定积分求阴影面积即可；（2）先求出()f x 在R 上的单调性，再根据m 的位置分类讨论，即可求出. 【详解】（1）由(0)0f =得0c，2()32f x x ax b '=++，由(0)0f '=得0b =，∴322()()f x x ax x x a =+=+，令()0f x =，得0x =或x a =-，由图知0a ->，即0a <，则易知图中所围成的区城(阴影)面积为()4343200()4312aaax ax a f x dx x ax dx ---⎛⎫-⎰=-⎰+=-+= ⎪⎝⎭，即4271264a =，从而得32a =-， ∴323()2f x x x =-. （2）由（1）知2()333(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，解得0x =或1x =，由题310,(1)22f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：①当01m <<时，()f x 在0,m 上单调递减，所以()()(0)f m f x f ≤≤，即323()02m m f x -≤≤； ②当312m ≤≤时，()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,]m 上单调递增，所以(1)()(0)f f x f ≤≤，即1()02f x -≤≤； ③当32m >时，()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,]m 上单调递增，所以(1)()()f f x f m ≤≤，即3213()22f x m m -≤≤-，综上可知：当01m <<时，()f x 值域为323,02m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当312m ≤≤时，()f x 值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当32m >时，()f x 值域为3213,22m m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点晴】此题要抓住图像的特征，找寻特殊点，充分体现了函数部分数形结合思想和分类讨论思想. 25．（1）212a e=；（2）见解析. 【分析】（1）由题意得出()20f '=，可求得a 的值，然后对函数()y f x =是否在2x =取得极值进行验证，进而可求得实数a 的值；（2）当21a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--，构造函数()ln 1xe g x x e=--，利用导数证明出当0x >时，()0g x ≥恒成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数()ln 1xf x ae x =--的定义域为()0,∞+，()1xf x ae x'=-．由题设知，()20f '=，所以212a e =，此时()212x e f x x-'=-，则函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>. 此时，函数()y f x =在2x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，212a e =；（2）当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--，设()ln 1x e g x x e =--，则()1x e g x e x'=-．由于函数()y g x '=在()0,∞+上单调递增，且()10g '=. 当01x <<时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减；当1x >时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增．所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，()()min 10g x g ∴==. 因此，当1a e≥时，()0f x ≥．【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 26．（1）21y x =+；（2）13y x = 【分析】（1）对函数求导，代入切点横坐标即可得出斜率，进而可得结果.（2）设切点坐标3000(,16)+-P x x x ，用导数求出切线斜率，再用两点坐标求出斜率，列方程，即可求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】（1）()()222222x xy x x +-==++'，1|2x k y =-'==切线方程为：(1)2(+1)--=y x ，即2+1=y x（2）设切点为3000(,16)+-P x x x2'()3+1=f x x ，()32000001631x x k f x x x +-=='=+，解得0-2=x(-2,-26)P ，切线方程为：(26)13(2)--=+y x ，即13y x =【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力，属于基础题目.。

导数自测

导数及其应用单元综合测试题1、函数f(x)=31x 3+ax+1在（-∞,-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，则f(1)为( ) A 37 B.1 C.31D.-1 2、已知二次函数的导数为，，对于任意实数有则的最小值（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3、设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在的切线的斜率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4设在内单调递增，，则是的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 5、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A ．19B ．29 C ．13D ．23 6、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07、若函、已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，8.数432()2f x x ax x =-+-有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围9、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则___．10、已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________。

11、P 是抛物线2x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。

12.若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为； 13、设，．令，讨论在内的单调性。

高二数学下册(必修三)导数单元测试卷及答案解析

高二数学下册（必修三）导数单元测试卷及答案解析一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分）若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4．故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4，设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ，可得切线的斜率为k =4m 3−4=0，解得m =1，n =−3.即A(1,−3)．故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1，对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件．故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)，所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2，设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ，则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)，即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0，即2a 3−9a 2+4a =0，则a(a −4)(2a −1)=0，解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ，当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ，当a =0时，对应的直线方程为y =2x ，故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)，即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ，所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立，所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数，则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ；（2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号，此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ；当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。

(人教版)北京市选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（） A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()201920191f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（） A ．()0,2020B ．()2019,+∞C ．()2020,+∞D ．()2019,20203．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 4．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞5．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（） A ．1B ．eC ．2eD ．1e6．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1657．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞8．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭9．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（） A ．0B ．6πC ．3π D ．π10．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．11．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,2二、填空题13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 14．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 15．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．16．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________．17．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个整数n 使得()0f n <，则实数a 的取值范围是__________.18．已知32()3f x x x a =-+(,a R ∈a 为常数),在]2,2⎡-⎣上有最大值4，那么此函数在]2,2⎡-⎣上的最小值为_______.19．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________． 20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．三、解答题21．已知函数321()12f x x x ax =-++．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．22．已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；（2）对x D ∈，如果函数()f x 的图象在函数()G x 的图象的下方，则称函数()f x 在区间D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间(1,)+∞上被函数32()3g x x =覆盖． 23．设函数()ln f x x x =．（1）设()()f xg x x'=，求()g x 的极值点；（2）若210x x >>时，总有()()()2221212m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．24．（1）已知函数f （x ）=2ln x +1．若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）已知函数()()=ln f x x mx m m -+∈R .讨论函数()f x 的单调性. 25．已知函数()2ln f x x x=+. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈. （1）1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<，所以有00ln kx x -=，则0ln x k x =-，令()ln xh x x=-，则()2ln 1x h x x -'=，令()0h x '>，即ln 1x >，解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <，解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-，所以1k e≥-，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.2．D解析：D 【分析】构造函数()()f x h x x =，根据导数可判断函数单调递减，由()()2019120191f m f m ->-，结合函数定义域可解得. 【详解】令()()f x h x x =，()0,x ∈+∞，则()()()2xf x f x h x x'-'=，因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减．因为()()()201920191f m m f ->-，20190m ->，所以()()2019120191f m f m ->-，即()()20191h m h ->，所以20191m -<且20190m ->，解得20192020m <<，所以实数m 的取值范围为()2019,2020．故选D ．【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域20190m ->，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.3．A解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x --≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.4．B解析：B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】 ∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-，令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+，解得，203a -≤≤，故选：B . 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e--==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.5．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可．【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <，令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增，故21ln 0xy x -'=>，解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集，可得0t e <≤，故t 的最大值是e ，故选：B ．【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．6．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165．又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =．故选：D ．【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．7．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论．【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ．【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．8．C解析：C 【分析】当2x ≥时，利用导数研究函数的单调性，()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，结合函数图象，即可求出参数的取值范围；【详解】解：当2x ≥时，设()22x x x h x e +=，则()()()2222222x x x xx e x x e x h x e e +-+-'==-，易知当2x >时，()0h x '<，即()h x 是减函数，∴2x =时，()()2max 82h eh x ==，又x →+∞时，()0h x →且()0h x >，而2x ≤时，()2f x x =+是增函数，()24f =．()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，函数()22,22,2xx xxf x ex x⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象如下所示：所以280me<<．故选:C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数方程思想与数形结合思想，属于中档题. 9．B解析：B【分析】先对函数()f x求导，采用赋值的方式计算出()0f'的结果，由此计算出6fπ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()()20sin1f x x f x''=-+，所以令0x=，则()01f'=，所以()2sin1f x x x'=-+，则66fππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般. 10．C解析：C【分析】利用()()'2,0f fπ确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.11．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤，所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.二、填空题13．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根解析：()()1,00,1-【分析】令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=，因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．14．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π 【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增，当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减，所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π．【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.15．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立，所以21≥a x在区间(),1-∞-上恒成立，所以2max11a x ⎛⎫≥=⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.16．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本解析：7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--，又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时，2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意；当33a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b +=【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时；当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所解析：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】设()()21xg x ex =-，y ax a =-，则存在两个整数1x 、2x ，使得()()1122g x ax ag x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，可得出关于a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】设()()21xg x ex =-，y ax a =-，由题意可知，存在两个整数1x 、2x 使得()()1122g x ax a g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为()min 12g x g e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()01g =-，()10g e =>，而直线y ax a =-恒过定点()1,0，如下图所示：则满足不等式()0f x <的两个整数解应分别为11x =-，20x =，所以()()1223g a g a ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，即23253a ea e ⎧->-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得25332a e e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【解析】【分析】利用导数二次函数的性质研究函数的单调性由单调性求得函数在上的最值【详解】因为所以利用导数的符号可得函数的增区间为减区间为因为所以在上单调递增在上单调递减当时函数取得最大值所以所以可得解析：16-【解析】【分析】利用导数、二次函数的性质研究函数的单调性，由单调性求得函数在[2,2]-上的最值. 【详解】因为32()3f x x x a =-+，所以2'()363(2)f x x x x x =-=-，利用导数的符号，可得函数的增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)，因为[2,2]x ∈-，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，当0x =时，函数取得最大值4a =，所以32()34f x x x =-+，所以(2)812416f -=--+=-，(2)81240f =-+=，可得当2x =-时，函数取得最小值为16-，故答案是：16-. 【点睛】该题考查的是有关求函数在某个区间上的最小值的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数最值问题，属于简单题目.19．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函解析：e【分析】求出'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到m 的值. 【详解】()1'(),0,mx f x x e x-=∈，当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3m e=，舍；当10m e<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，()()min 12f x f e me ==-=，故3m e=，舍；当1m e >时，若10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数；若1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数；所以min 11()ln 2f x m m m=⨯-=，故m e =，符合；综上，m e =，故填e . 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．20．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.三、解答题21．（1）210x y -+=；（2）4927．【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数2()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2()32f x x x '=--，根据导数的符号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】（1）当2a =时，函数321()212f x x x x =-++，可得2()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=又由()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.（2）由321()12f x x x ax =-++，可得2()3f x x x a '=-+，因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，此时321()212f x x x x =--+，且2()32f x x x '=--，令()0f x '=，即2320x x --=，解得23x =-或1x =，当23x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当213x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增，在区间2(,1)3-上单调递减，所以()11,(2)52f f =--=-，因为24931(),()32724f f -==，所以函数()f x 的最大值为249()327f -=. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）()2max 12e f x =+；()min 12f x =；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数，判断函数的单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数3221()()()ln 032h x g x f x x x x =-=-->恒成立，即证明()min 0h x >. 【详解】（1）1()f x x x'=+当[1,e]x ∈时，()0f x '>，∴() f x 在[1,]e 递增()2max()12e f x f e ==+()min 1(1)2f x f ==（2）令3221()()()ln 32h x g x f x x x x =-=-- 21()2h x x x x'=--()()323232111x x x x x x x--==-+-()21(1)21x x x x=-++ ∵1x >，∴()0h x '>∴()h x '在(1,)+∞上递增()min 211(1)0326h x h ==-=> ∴()g x 的图像在()f x 的上方，∴()f x 在区间(1,)+∞上被函数()g x 覆盖．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 23．（1）1x =是函数的极大值点，无极小值点；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求得()g x ，进而得到()g x '，判断()g x '与0的关系即可得出函数()g x 的单调区间，得极值点；（2）引入新函数()()22m m x f x x =-，依题意可得函数()m x 在()0,∞+上单调递减，求导可知1ln xm x+≥在()0,∞+上恒成立，结合函数()g x 的单调性，求得()g x 在()0,∞+上的最大值，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()1ln f x x '=+，()1ln xg x x+=， ()2ln xg x x∴'=-，显然，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，∴函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故1x =是函数的极大值点；（2）对于()()()2221212m x x f x f x ->-可化为()()22112222m m f x x f x x ->-，令()()22m m x f x x =-，210x x >>，()m x ∴在()0,∞+上单调递减，()1ln 0m x x mx ∴'=+-≤在()0,∞+上恒成立，即1ln xm x+≥，又()1ln xg x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()g x ∴的最大值为()11g =，1m ∴≥，即实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数()()22m m x f x x =-，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围． 24．（1）1c ≥-．（2）答案见解析．【分析】（1）不等式变形为()2f x x c -≤，求出()2f x x -的最大值后可得c 的范围；（2）求出导函数()'f x ，确定()'f x 的正负，得()f x 的单调性．【详解】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，由()2f x x c ≤+得，2ln 12c x x ≥+-，设()2ln 12g x x x =+-，则22(1)()2x g x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，∴max ()(1)2ln1121g x g ==+-=-，∴1c ≥-．（2）()()=ln f x x mx m m -+∈R ，定义域是(0,)+∞，1()f x m x'=-，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增，当0m >时，1()()m x m f x x -'=，当10x m <<时，()0f x '>，1x m >时，()0f x '<， ∴()f x 在1(0,)m 上递增，在1(,)m +∞上递减．综上，0m ≤时，()f x 的增区间是(0,)+∞，0m >时，()f x 的增区间是1(0,)m ，减区间是1(,)m +∞．【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．（1）已知()f x 的导函数是()'f x ，解不等式()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间．（2）()f x m ≥恒成立，则min ()m f x ≤，若()f x m ≤恒成立，则max ()m f x ≥． 25．（1）30x y +-=；（2）max 1()21f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()min (2)1ln 2f x f ==+【分析】（1）由()2ln f x x x=+得()12f =，切点为()1,2，由()212f x x x '=-，求出()11f '=-即为斜率，即可写出在点()()1,1f 处的切线方程.（2）根据导数判断()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，即可求出最值. 【详解】由()2ln f x x x=+得()12f =，所以切点为()1,2，因为()212f x x x'=-，所以()11f '=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2(1)1y x -=--，即30x y +-= ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：30x y +-=.（2）()22122x f x x x x='-=-，由()0f x '>得2x e <<，由()0f x '<得12x e<<，所以()f x 在1,2e⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()2,e 单调递增，所以()min (2)1ln 2f x f ==+， 121f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21f e e =+ ()1f f e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以max 1()21f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，综上所述：()min (2)1ln 2f x f ==+，max 1()21f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求函数的单调性和最值，属于中档题.26．（1）()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）21b e -≤-【分析】（1）求导后，利用()0f x '>可得单调递增区间，()0f x '<可得单调递减区间；（2）求导后，利用()01f '=可得1a =，将()2f x bx ≥-转化为1ln 1x b x x ≤+-，构造函数1ln ()1x g x x x=+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为1a =，所以()1ln =--f x x x ，所以1()1f x x '=-1x x-=，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）因为11()ax f x a x x'-=-=，且函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '=，即10a -=，解得1a =，由（1）知，1a =满足题意，所以()1ln =--f x x x ，由已知对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，得1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1x b x x≤+-对()0,x ∀∈+∞恒成立，，令1ln ()1x g x x x=+-，则2211ln ()x g x x x -'=--2ln 2x x -=，令()0g x '>，得2x e >，令()0g x '<，得20x e <<，所以()g x 在2(0,)e 上递减，在2[,)e +∞上递增，所以当2x e =时，()g x 取得最小值，最小值为22222121()111g e e e e e-=+-=-=-，所以21b e -≤-.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用函数的极值求参数，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.。

深圳华师一附中实验学校选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．20203．若幂函数()f x 的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为（） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-D ．()(),02,-∞+∞4．函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y =f (x )的极值点； ②y =f (x )在区间(-3，1)上单调递增； ③-1是函数y =f (x )的最小值点； ④y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．下列说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x =，则1x =”B ．命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -＞”C ．“()y f x =在0x 处有极值”是“0()0f x '=”的充要条件D ．命题“若函数2()1f x x ax =-+有零点，则“2a ≥或2a ≤-”的逆否命题为真命题 6．若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（）A ．51[,)8+∞ B ．(],3-∞C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[)3,+∞ 7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A ．()3x xf x e=B ．()x x xf x e e -=- C ．()xx f x e= D ．()xf x xe =8．函数()22xx f x e-=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．9．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--10．已知函数()2sin 3f x xf x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（） A ．12π- B ．12π+ C ．12π-- D ．12π-+11．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（） A ．sin11- B ．1sin1- C ．1sin1+ D ．1sin1--12．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范围为（） A ．(],0-∞B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞二、填空题13．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________.14．sin ),()sin cos ,(0)a x dx f x x x x x a ==+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.15．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为2-，则()()000limx f x x f x x→--=△△△______.16．已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是______. 17．函数()1ln(12)2xf x x x-=+-的导函数是()f x '，则()f x '=______________. 18．函数()x f x e =图像上的点到直线22ln2y x =-的最小距离为______． 19．已知a R ∈，若()xa f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,1上只有一个极值点，则a 的取值范围为______.20．已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．三、解答题21．已知函数()3()ln f x x a x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()18g x f x x =-在区间[]1,e 上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()()x f x x k e =-. （1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.23．已知函数()3f x x ax b =-+在1x =处的切线方程为0y =.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和. 24．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．25．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值. 26．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =-++ （1）若0a >，求()f x 的单调递增区间；（2）若存在正实数0x ，使得0()f x e =-，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围．【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知：要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方，可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <，由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +，即有22a m =+，222am m m =++，解得m =，2a =-由图象可得222a -，综上可得a的范围是[2-1]．故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．B解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.3．B解析：B 【分析】根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()()e xf xg x =的单调递减区间. 【详解】因为()f x为幂函数，且过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以设()f x x α=，所以1=2α⎝⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>，所以()()e xf xg x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞，故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()f x 的单调递减区间.4．A解析：A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故②正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；∵在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故③不正确； ∵函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为：先求出原函数的定义域；对原函数求导；令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．5．D解析：D 【分析】选项A ，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B ，命题的否定，只对结论否定；选项C ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥，原命题与逆否命题同真假．【详解】选项A ，命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x ≠，则1x =”，错误；选项B ，命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”，错误；选项C ，0()0f x '=不能得到()y f x =在0x 处有极值，例如3()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极值点，错误；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或2a ≤-，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．2a ≥或2a ≤- 【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．6．A解析：A 【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围. 【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.7．A解析：A由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减. 对于A 选项，函数()3x x f x e =的定义域为R ，()()x xx xf x f x e e---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()xx f x e =，()1x xf x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意；对于B 选项，函数()x xxf x e e -=-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意；对于C 选项，函数()xx f x e=的定义域为R ，()1f e -=-，()11f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；对于D 选项，函数()xf x xe =的定义域为R ，当0x >时，()xf x xe =，()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22x x f x e -=，()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得1x =，所以()f x 在()1递增，在)1,+∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.9．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<，由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.10．D解析：D 【分析】求得函数的导数()2cos 3f x f x π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，得到1()32f π'=，得到()sin f x x x =-，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数()2sin 3f x xf x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()2cos 3f x f x π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，令3x π=，可得()2cos 333f f πππ'⎛⎫'=-⎪⎝⎭，解得1()32f π'=，即()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，当2x π=-，函数取得最小值，最小值为()sin()1222f x πππ=---=-+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．C解析：C 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果．【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．12．B解析：B 【分析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．二、填空题13．【分析】先求导数再根据导数几何意义列方程根据取值范围得结果【详解】设存在两点满足在该点处的切线相互垂直则因为所以从而或故答案为：【点睛】本题考查导数几何意义利用导数研究存在性问题考查综合分析求解能力解析：22(,)(,)33+∞-∞- 【分析】先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】()()ln 3a f x a x ax f x a x'=-+∴=- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直，则21212111()()1(1)(1)0a a a a x x x x a--=-∴--=-< 因为121,,44x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭从而121131(0,3),1(,0)4x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴=--∈∴>∴>或23a <- 故答案为：22(,)(,)33+∞-∞-【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题.14．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：解析：2π 【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得f x ，利用导数分析函数单调性，即可求得最大值. 【详解】令m =，)n x dx =，则a m n =+，又y =222x y +=，故m的半圆面积，故212m ππ=⨯=；又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.故a π=.则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，()f x xcosx ='，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递减.故()22maxf x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2π 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.15．2【分析】根据函数在处导数为2得然后对进行变形利用导数定义即可得出为2【详解】解：依题意有所以故答案为：2【点睛】本题考查导数的定义关键是导数定义的等价变形属于基础题解析：2 【分析】根据函数()y f x =在0x 处导数为2得()()000lim2x f x x f x x→-=-△+△△，然后对()()000limx f x x f x x →--△△△进行变形，利用导数定义即可得出为2.【详解】解：依题意有()()000lim2x f x x f x x→-=-△+△△，所以()()()()()()000000000limlim lim 2x x x f x x f x f x x f x f x x f x x x x→→→-----=-=-=△△△△△+△△-△△.故答案为：2. 【点睛】本题考查导数的定义，关键是导数定义的等价变形，属于基础题.16．【分析】不等式分离变量等价变形为构造函数函数求导求出单调区间可得函数最小值【详解】∵∴也即在时恒成立令则令易知在上单调递减在上单调递增故∴故答案为：【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为解析：21(,1]e -∞-【分析】不等式()2f x kx ≥-分离变量,等价变形为1ln 1x k x x≤+-，构造函数()1ln 1x g x x-=+，函数求导()2ln 2x g x x -'=，求出单调区间，可得函数最小值. 【详解】∵()1ln 2f x x x kx =--≥-，∴1ln kx x x ≤+-，0x >，也即1ln 1x k x x≤+-在0x >时恒成立.令()1ln 1x g x x -=+，0x >，则()2ln 2x g x x -'=，0x >，令()20g x x e '=⇒=.易知()g x 在()20,x e ∈上单调递减，()g x 在()2,x e ∈+∞上单调递增，故()()22min 11g x g ee ==-，∴211k e ≤-. 故答案为：21(,1]e -∞- 【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.17．【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则求出导数然后代入求值【详解】解：因为由于且解得：且即的定义域为：即：故答案为：【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则以及复合函数求导考查计算能力解析：23242142x x x x -+--+ 【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．【详解】解：因为()1ln(12)2xf x x x-=+-，由于20x ≠且120x ->，解得：12x <且0x ≠，即()f x 的定义域为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭， ()()11()ln 12()ln 1222x x f x x x x x '--⎡⎤''∴=+-='+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦2223222(1)14214122122242x x x x x x x x x x -----+-=-+=+=-+---，即：()23242142x x f x x x -+-'=-+. 故答案为：23242142x x x x -+--+．【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力．18．【分析】根据函数图象结合几何关系寻找与直线平行的直线与相切切点到直线的距离即为所求【详解】根据函数图象只需寻找与直线平行的直线与相切切点到直线的距离就是函数图像上的点到直线的最小距离由题令则到直线的解析：25【分析】根据函数图象，结合几何关系，寻找与直线22ln 2y x =-平行的直线与()xf x e =相切，切点到直线的距离即为所求. 【详解】根据函数图象，只需寻找与直线22ln 2y x =-平行的直线与()xf x e =相切，切点到直线22ln2y x =-的距离就是函数()x f x e =图像上的点到直线22ln2y x =-的最小距离，由题()x f x e =，()x f x e '=，令2,ln 2()xf x e x =='=，则()ln 2,2到直线22ln 2y x =-的距离最小， 2ln 22ln 2252451--=+. 25【点睛】此题考查求曲线上的点到直线距离的最小值，通过等价转化，只需寻找与直线22ln 2y x =-平行的直线与()x f x e =相切，且点即为所求点，数形结合求解. 19．【分析】求出函数的导数对分和三种情况讨论利用极值点与函数零点的关系得出关于的不等式组即可解出实数的取值范围【详解】设①当时在上恒成立即函数在上为增函数在上有且只有一个零点使得且在上在上为函数在上唯一解析：()0,∞+【分析】求出函数()y f x =的导数，对a 分0a >、0a =和0a <三种情况讨论，利用极值点与函数零点的关系得出关于a 的不等式组，即可解出实数a 的取值范围. 【详解】()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()322x x x ax a f x e x ⎛⎫++-'∴= ⎪⎝⎭，设()32h x x x ax a =++-，()232h x x x a '∴=++，①当0a >时，()0h x '>在()0,1上恒成立，即函数()y h x =在()0,1上为增函数，()00h a =-<，()120h =>，()y h x ∴=在()0,1上有且只有一个零点0x ，使得()00f x '=，且在()00,x 上，()0f x '<，在()0,1x 上，()0f x '>， 0x ∴为函数()y f x =在()0,1上唯一的极小值点；②当0a =时，()0,1x ∈，()2320h x x x '=+>成立，函数()y h x =在()0,1上为增函数，此时()00h =，()0h x ∴>在()0,1上恒成立，即()0f x '>，函数()y f x =在()0,1上为单调增函数，函数()y f x =在()0,1上无极值； ③当0a <时，()()321h x x x a x =++-，()0,1x ∈，()0h x ∴>在()0,1上恒成立，即()0f x '>，函数()y f x =在()0,1上为单调增函数，函数()y f x =在()0,1上无极值. 综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+. 【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数的取值范围，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20．【解析】【分析】由在区间中至少有一个极值点等价与方程在其判别式的条件下在区间有解即可求解【详解】因为而在区间中至少有一个极值点等价于方程在其判别式的条件下在区间有解所以由可得令求导数可得所以在上单调解析：55,43⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价与方程()0f x '=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，即可求解．【详解】因为()22363f x x ax =-+'，而()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价于方程223630x ax -+=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，所以由223630x ax -+=可得11()2a x x=+，令()11()2g x x x =+，求导数可得()211(1)2g x x=-'，所以()g x 在(2,3)上单调递增，所以5115()423x x <+<，解得5543a <<，此时满足>0∆，故实数a 的取值范围是55(,)43．【点睛】本题主要考查了利用导数在函数中的应用，解题的关键是()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程()0f x '=在判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题21．（1）若0a ≤时，函数在()0,∞+上单调递增；若0a >时，函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；（2）(,-∞-.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出；（2）对()g x 求导得3318()x x a g x x--'=，由()g x 在区间[]1,e 上是增函数，可得[]1,x e ∈时，3318a x x ≤-恒成立，令3()318h x x x =-，[]1,x e ∈，利用导数求出()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()323()30a x af x x x x x-'=-=>，①若0a ≤时，()0f x '>，此时函数在()0,∞+上单调递增；②若0a >时，令()0f x '>，可得x >()0f x '<，可得0x <<，所以函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）32318()()18318a x x ag x f x x x x--''=-=--=，若函数()()18g x f x x =-在区间[]1,e 上是增函数，又当[]1,x e ∈时，3318a x x ≤-恒成立，令3()318h x x x =-，[]1,x e ∈，则()22()91892h x x x '=-=-，令()0h x '>x e <<，可得函数()h x的增区间为)e，减区间为(，所以min ()h x h ===-有a ≤-，故实数a的取值范围为(,-∞-. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的最值，构造法的应用，解题的关键是根据单调性确定3318a x x ≤-恒成立，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 22．（1）极小值1(1)k f k e --=-，无极大值；（2）见详解. 【分析】（1）对函数求导，由导数的方法，研究函数单调性，进而可得出极值；（2）分别讨论10k -≤，011k <-<，11k -≥三种情况，由导数的方法研究函数在给定区间的单调性，即可求出最值. 【详解】（1）由()()x f x x k e =-可得()(1)xf x x k e '=-+，令()0f x '=，得1=-x k ，则，随x 变化，()f x 与()'f x 的情况如下：所以()f x 的单调递减区间是,1k -∞-；单调递增区间是)1,k -+∞；所以()f x 有极小值1(1)k f k e --=-，无极大值；（2）当10k -≤，即1k ≤时，()(10)x f x x k e '=-≥+在[]0,1x ∈上恒成立，则函数()f x 在[]0,1上单调递增；所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为(0)f k =-；当011k <-<，即12k <<时；由（1）知()f x 在[0,1]k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)k f k e --=-；当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为(1)(1)f k e =-.综上，当1k ≤时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为(0)f k =-；当12k <<时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)k f k e --=-；当2k ≥时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为(1)(1)f k e =-. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 23．（1）3a =，2b =；（2）4. 【分析】（1）求出切点的坐标，利用切线的斜率和切点的坐标可得出关于实数a 、b 的方程组，进而可解得实数a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 在区间[]1,2-上的单调性，可求得该函数在区间[]1,2-上的最大值和最小值，由此可求得结果. 【详解】（1）由已知得切点为()1,0，且()23f x x a '=-，()()110130f a b f a ⎧=-+=⎪∴⎨=-='⎪⎩，解得3a =，2b =；（2）由（1）知()332f x x x =-+，233fxx ，当12x <≤时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减. 所以，()()min 10f x f ==，又()14f -=，()24f =，()max 4f x ∴=.因此，函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和为4. 【点睛】在利用导数求解函数的最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．24．（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【分析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->．所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在724a ≥，满足题设，因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+ 所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多． 25．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max 33ln 22g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题26．（1）当2a =时，单调增区间为(,)-∞+∞，当02a <<时，单调增区间为1(,ln )2-∞和1(ln ,)a +∞，当2a >时，单调增区间为1(,ln )a-∞和1(ln ,)2+∞ （2）1a e ≤. 【分析】（1）求()f x '()()211x x e ae =--，()0f x '=可以解得：11ln 2x =，21ln x a =，讨论1a 和12的大小关系即可；（2）当0a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)2f x f <=-所以存在；讨论当10a e <≤，11a e<<，1a ≥时()f x 的单调性，利用()f x 的最值即可判断. 【详解】解：（1）()()2221x x f x ae a e '=-++()()211x x e ae =-- 令()0f x '=，解得：11ln 2x =，21ln x a =，当112a =，即2a =时，()()2210x f x e '=-≥，此时()f x 在R 上单调递增；单调增区间为(,)-∞+∞ 当112a >，即02a <<时，令()0f x '>得：1x e a >或12x e <，即1ln 2x <或1ln x a>，此时单调增区间为1(,ln )2-∞和1(ln,)a +∞ 当112a <，即2a >时，令()0f x '>得：12x e >或1x e a <，解得：1ln 2x >或1ln x a < 此时单调增区间为1(,ln )a -∞和1(ln ,)2+∞ （2）()(21)(1)x x f x e ae '=--，0x >①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()(0)2f x f <=-，又x →+∞时，()f x →-∞，∴ 00x ∃>，使得0()f x e =-，②当0a >时，11()2()()2x x f x a e e a'=-- 若11a≤，即1a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)2f x f e >=->-不满足，若11a >，即01a <<时 ()f x 在1(0,ln )a 是单减，在1(ln ,)a+∞上单增 ∴min 11211()(ln )ln 1ln a f x f a a a a a a +==-+=--- 令1()1ln g a a a=---(01)a << 22111()0a g a a a a-'=-=>， ∴()g a 在(0,1)上单增，且1()11g e e e=--+=- ∴10a e <≤时，1()()g a g e e ≤=-，此时00x ∃>，使得0()f x e =-，当11a e <<时，1()()g a g e e>=-不满足题意综上所述：1a e ≤【点睛】本题主要考查了求函数的单调区间，考查了利用方程有解，求参数的范围，属于中档题.。

宜春市选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数ln,1 ()1,12x xf x xx≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m=++两个零点1x，2x，则12x x⋅的取值范围是（）A．(),e-∞B．(),e+∞C．(],42ln2-∞-D．[)42ln2,-+∞2．设ln2ln3ln,,23a b cππ===则下列判断中正确的是（）A．a b c>>B．b c a>>C．a c b>>D．c b a>> 3．已知定义在R上的奇函数()f x满足()()2f x xf'x0->（x0>），则（）A．()()()6f13f22f3->->-B．()()()2f33f26f1->->-C．()()()6f12f33f2->->-D．()()()3f22f36f1->->-4．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：3m）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31()1010V t H t⎛⎫=-⎪⎝⎭（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m/hv.那么瞬时融化速度等于()3m/hv的时刻是图中的（）.A．1t B．2t C．3t D．4t5．下列说法正确的是（）A．命题“若21x=，则1x≠”的否命题是“若21x=，则1x=”B．命题“0x R∃∈，200x x-＜”的否定是“x R∀∈，20x x-＞”C．“()y f x=在x处有极值”是“()0f x'=”的充要条件D．命题“若函数2()1f x x ax=-+有零点，则“2a≥或2a≤-”的逆否命题为真命题6．已知定义在R上函数()f x的导函数为()f x'，()0,πx∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．28．函数()22xx f x e-=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．9．设函数()()23xf x x e =-，则（）A ．()f x 有极大值，且有最大值B ．()f x 有极小值，但无最小值C ．若方程()f x a =恰有一个实根，则36a e>D ．若方程()f x a =恰有三个实根，则360a e<<10．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,211．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（） A ．()()21ln 2f f - C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)二、填空题13．若函数3213()(4)32xf x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为________ 14．若函数()ln af x x x=+（a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a 的取值范围是________. 15．定义在()22ππ-，上的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，且(1)f 0=．当0x >时，()tan ()0f x x f x '+>，则不等式()0f x <的解集为________16．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．17．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 18．已知()32f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______ 19．若0<x 1<x 2<1，且1<x 3<x 4，下列命题：①3443ln ln x x e e x x ->-；②2121ln ln x x ee x x ->-；③3232x x x e x e <；④1221x xx e x e >；其中正确的有___________20．当直线()10kx y k k --+=∈R 和曲线325:(0)3E y ax bx ab =++≠，交于()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()123x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则点(),b a 的坐标为____________．三、解答题21．已知函数()32f x ax x bx =++(其中常数,a b ∈R )分别在0x =处和2x =处取得极值.（1）若()f x 在区间(),1m m +上单调递增，求实数m 的取值范围.（2）证明：对一切0x ≥，不等式22()x x e e x x f x --+-恒成立.22．已知函数()2()2xx f x xe a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.23．已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R . （1）当a =2时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在x =1处取得极值，对x ∀∈(0，+∞)，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)eln(1)x yx y -+>+.24．已知函数()()()3222232121f x x a a x a a x =--++-+，a R ∈，讨论()f x 的单调性.25．已知函数32()21f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由.26．已知函数()3f x x ax b =-+在1x =处的切线方程为0y =.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥，当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ，则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-，令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-；则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.2．B解析：B 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】设()ln x f x x =，所以()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，所以x e =，所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()ln 22ln 2ln 44244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>，故选：B. 【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性；（2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.3．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x f x -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞．故选B ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．C解析：C 【分析】根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案. 【详解】解：平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，故选：C ．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.5．D解析：D 【分析】选项A ，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B ，命题的否定，只对结论否定；选项C ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥，原命题与逆否命题同真假．【详解】选项A ，命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x ≠，则1x =”，错误；选项B ，命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”，错误；选项C ，0()0f x '=不能得到()y f x =在0x 处有极值，例如3()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极值点，错误；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或2a ≤-，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．2a ≥或2a ≤- 【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．6．D解析：D 【分析】首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.7．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果. 【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得1x =，所以()f x 在()1递增，在)1,+∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.9．D解析：D 【分析】先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程()f x a =的根的情形．【详解】由题意2()(23)(1)(3)xxf x x x e x x e '=+-=-+，∴当3x <-或1x >时，()0f x '>，当31x -<<时，(00f x '<， ()f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递增，在(3,1)-上递减．()f x 极大值＝36(3)f e-=，()f x 极小值＝(1)2f e =-， 3x <-或3x >时，()0f x >，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，∴(1)f 也是最小值．()f x 无最大值．作出()y f x =的图象，和直线y a =，如图，当1a =或36a e >时，()f x a =有一个根，当360a e<<时，()f x a =有三个根．故选：D ．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．10．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤，所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.11．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->．故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．12．B解析：B 【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′，而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ．【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．【分析】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点分别讨论三种情况数形结合分析整理即可得答案【详解】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点则易知①当时显然不合题意；②当时当时为减函数当时为增函数所以解析：[]310,3e e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，分别讨论0k <、0k =、0k >三种情况，数形结合，分析整理，即可得答案. 【详解】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，则2()(3)3(3)()x x f x e x k k x k x x x e =--+-=-'，易知(3)0,(0)3f f ''==-， ①当0k <时，,()0,,()0x f x x f x →-∞>→+∞>，显然不合题意； ②当0k =时，()(3)x f x e x -'=，当3x <时()0f x '<，()f x 为减函数，当3x >时()0f x '>，()f x 为增函数，所以3x =为函数()f x 唯一极值点，满足题意；③当0k >时，若3x =为()'f x 唯一的零点2(3)30x e x kx kx ⇒--+=,0k >只有唯一解，则3x =，可得0-=xe kx 无解，即(3)xe k x x=≠无解，设()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x-'=，当1x <时，()0h x '<，()h x 为减函数，当1x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，min ()(1)h x h e ==，所以0k e <<，经验证满足题意；④当0k >，若3x =不是()'f x 唯一的零点，()'f x 可能有2个或3个零点，当()'f x 有3个零点时候显然不合题意，当()'f x 有两个零点时，()xe h x x=有一个零点时，k e =，当()x e h x x =有两个零点时，结合题意，3x =为其中一个零点，所以33e k =，经验证满足题意；故答案为：[]310,3k e e ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是将()f x 只有一个极值点等价为函数()'f x 只有一个变号零点，分析()'f x 解析式，数形结合，可得答案，易错点为，x=3为x-3=0和0-=x e kx 共同零点时，也符合题意，属中档题.14．【分析】首先设切点坐标利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率从而可得将问题转化为与存在两个不同的交点通过导数研究的图象从而得到的取值范围【详解】由题意得的定义域为且设切点坐标为则过原点解析：102⎛⎫⎪⎝⎭，【分析】首先设切点坐标000,ln a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得0002ln a x x x =-，将问题转化为2y a =与ln y x x x =- 存在两个不同的交点，通过导数研究()g x 的图象，从而得到a 的取值范围. 【详解】由题意得()f x 的定义域为()0+∞，，且()21af x x x'=-，设切点坐标为0000,ln ,0a x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则过原点的切线斜率002000ln 1a x x a k x x x +==-，整理得0002ln ,a x x x =-存在两条过原点的切线，∴0002ln a x x x =-存在两个不同的解.设()ln g x x x x =-，则问题等价于2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，又()1ln 1ln ,g x x x =--=-'∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞ 时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max 11g x g ∴==.又当0x →时，()0g x →；当x →+∞时，()-g x →∞，若2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，则021a <<.解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；15．【分析】引入新函数它是偶函数由导数可确定它的单调性通过解不等式或求得的解【详解】设是奇函数则是偶函数时单调递增∴时单调递减又时则时则综上原不等式的解集为【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性解析：(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【分析】引入新函数()()sin g x f x x =，它是偶函数，由导数可确定它的单调性，通过解不等式()0<g x 或()0>g x 求得()0f x <的解．【详解】设()()sin g x f x x =，()f x 是奇函数，则()g x 是偶函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()()()()()sin cos cos tan 0g x f x x f x x x f x x f x ''+=+'=>()g x 单调递增，∴,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，又(1)(1)sin10g f ==，(1)(1)0g g -==，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，则()0f x <⇔()0<g x 01x ⇔<<， ,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，则()0f x <⇔()0>g x 12x π⇔-<<-，综上，原不等式的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用导数研究函数的单调性，解题关键是根据已知不等式引入函数()()sin g x f x x =，首先确定它的奇偶性，然后用导数确定它在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，从而可得它在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，然后通过()g x 的单调性解相应的不等式得原不等式的解．16．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立，所以21≥a x 在区间(),1-∞-上恒成立，所以2max11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.17．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1，所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.18．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题解析：3-【分析】求出()'fx .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.【详解】()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，()()'10,11f f ∴==-，即32011a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得1a b ==-.经检验，当1a b ==-时，()32f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.1a b ∴==-，23a b ∴+=-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.19．①④【分析】令求导后求得函数的单调性后即可判断①②；令求导求得函数的单调性后即可判断③④；即可得解【详解】令则易知当时单调递增由则存在使得当时单调递减；当时单调递增；当时即此时故②错误；即故①正确；解析：①④ 【分析】令()()ln 0x f x e x x =->，求导后求得函数()f x 的单调性后，即可判断①、②；令()()0xe h x x x=>，求导求得函数()h x 的单调性后，即可判断③、④；即可得解.【详解】令()()ln 0x f x e x x =->，则()1x f x e x'=-，易知当()0,x ∈+∞时，()f x '单调递增，由131303f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()110f e '=->，则存在01,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00f x '=， ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 1201x x ，∴当02x x =时，()()21f x f x <即2121ln ln x x e x e x -<-，∴此时2121ln ln x x e e x x -<-，故②错误；341x x <<，∴()()43f x f x >即3443ln ln x x e x e x ->-， ∴3443ln ln x x e e x x ->-，故①正确；令()()0xe h x x x =>，()()21x e x h x x -'=， ∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；2301x x <<<，∴()2h x 与()3h x 的大小无法确定即23x x e 、32x x e 的大小无法确定，故③错误；121x x ，∴()()21h x h x <即2121x x e e x x <，∴1221x x x e x e >，故④正确.故答案为：①④. 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了构造新函数的能力和推理能力，属于中档题.20．【分析】由题意可知直线恒过定点由曲线在处的切线平行可得两点关于的对称中心对称故为的对称中心由对称性可得的方程求出的值即可【详解】∵曲线在点点处的切线总是平行的∴两点关于的对称中心对称故为的对称中心又解析：113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】由题意可知直线恒过定点()1,1，由曲线在,A C 处的切线平行，可得,A C 两点关于()f x 的对称中心对称，故B 为()f x 的对称中心，由对称性，可得,a b 的方程，求出,a b 的值即可．【详解】∵曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，∴,A C 两点关于()f x 的对称中心对称，故B 为()f x 的对称中心，又直线()10kx y k k --+=∈R 恒过点()1,1， ∴()f x 的对称中心为()1,1，即()1,1B ， ∴513a b ++=……① 由325:(0)3E y ax bx ab =++≠，可得232y ax bx '=+，令2320y ax bx '=+=，可得223b a-=……② 由①②可得1,13a b ==-．即(,)b a 的坐标为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故答案为：113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数对称性的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）[]0,1；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意(0)0(2)1240f b f a b ==⎧⎨='='++⎩，解得,a b ，从而可得解析式，利用导数求出函数的单调递增区间()0,2，只需012m m ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式即可.（2）将不等式转化为()31203x x g x x x e e -=-+-≥在[0,)+∞上恒成立，利用导数求出()min 0g x =，即证.【详解】（1）由()32f x ax x bx =++知，()232f x ax x b '=++，因为()f x 在0x =处和2x =处取得极值，所以(0)0(2)1240f b f a b ==⎧⎨='='++⎩，解得130a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()3213f x x x =-+，()22f x x x '=-+，所以令()0f x '>，02x <<，令()0f x '<，0x <或2x >，所以()f x 在()0,2上单调递增，在(),0-∞和()2,+∞上单调递减，若()f x 在(),1m m +上单调递增，则012m m ≥⎧⎨+≤⎩解得01m ≤≤，即实数m 的取值范围[]0,1.（2）当0x ≥时，()22x xe ex x f x --+-≥恒成立，即232123x xe ex x x x --+--+在[0,)+∞上恒成立，整理得，31203x x x x e e --+-≥在[0,)+∞上恒成立，令()3123x x g x x x e e -=-+-，[0,)x ∈+∞， ()222x g x x e '=-+，当[0,)x ∈+∞时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()()min 00g x g ==，所以()0g x ≥，即31203x x x x e e ---+-≥在[0,)+∞上恒成立，所以当0x ≥时，()22xxe e x xf x --+-≥恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间以及最值，考查了转化能力、分析能力. 22．（1）极大值112e-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求导，令()0f x '=可得极值点和极值；（2）()()(1)xf x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()(1)(1)1x x xf x e xe x e x '=+-+=+-，令()0f x '=，得1x =-或0x =.∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e-=-，0x =时，()f x 有极小值()00f =；（2）()()(1)(1)xxxf x a e e xe x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-，即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>，又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增； ②当ln 1a <-，即10ae 时，由()()(1)01xe f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时，函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增；由()()(1)0ln 1xf x x a a e x '=+-<⇒<<-时，函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减； ③当ln 1a >-，即1a e ->时，由()()(1)0ln xf x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时，函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增；由()()(1)01ln xf x x a x a e '=+-<⇒-<<时，函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上，单调递减区间是(),1-∞-上；当10ae 时，()f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，单调递减区间是()ln ,1a -；当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞，单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.23．（1）函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞；（2）b ≤211e -；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）根据极值点得出1a =，再将题设不等式化为1ln 1x b x x≤+-，求出1ln ()1xg x x x=+-的最小值，即可得出实数b 的取值范围；（3）将1x y e >>-变形为ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=，结合分析法要证ln(1)ln(1)x yx ey -+>+只需证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++，构造函数()ln(1)x e h x x =+，利用导数证明其在(1,)e -+∞上是增函数，从而得出()()h x h y >，即ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.【详解】解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，其中0x > 所以121()2x f x x x-'=-= 令()0f x '<，则210x x -<，即102x << 令()0f x '>，则210x x ->，即12x > 所以函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞ （2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '= 又1()f x a x'=-，所以10a -=，1a = 因为()2f x bx -≥对x ∀∈(0，+∞)恒成立即()1ln 2f x x x bx =--≥-对x ∀∈(0，+∞)恒成立1ln 1x b x x≤+-对x ∀∈(0，+∞)恒成立令1ln ()1xg x x x=+-，则min ()b g x ≤ 22211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，由()0g x '=得2x e = 所以()g x 在2(0,]e 上是递减，2[,)e +∞上是递增，所以()()22min 11g x g ee ==-所以b ≤211e - （3）因为1x y e >>-，所以+1+1x y e >>，ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+等价于ln(1)ln(1)x y e x e y +>+，即ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 要证明ln(1)ln(1)x yx ey -+>+，只要证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 令()ln(1)x e h x x =+，只要证明()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又21[ln(1)]1()ln (1)x e x x h x x +-+'=+，易知1ln(1)1x x +-+在(1,)e -+∞上是增函数所以111ln(1)ln 101x e x e e+->-=->+，所以21[ln(1)]1()0ln (1)x e x x h x x +-+'=>+ 所以()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又1x y e >>-，所以()()h x h y >，即ln(1)ln(1)x ye e x y >++，所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+.【点睛】本题的第三问中，关键是利用分析法从结论入手，构造函数结合导数证明单调性，从而利用单调性的性质证明不等式. 24．答案见解析【分析】先求得()f x 的导函数()'fx ，然后对a 分成2a =或1a =-、1a <-或2a >、1a 2-<<等情况进行分类讨论，由此判断()f x 的单调性.【详解】()()()()()'22226621262f x x a a x a a x x a a =--++-=--+，由'0fx，得2x a a =-或2x =，由22a a -=，得1a =-或2a =，当2a =或1a =-时，()()2'620f x x =-≥；当1a <-或2a >时，2>2a a -，()f x 在区间(),2-∞和()2,a a -+∞上，()'0f x >；()22,x a a ∈-，()'0f x <.当1a 2-<<时，22a a -<，()f x 在区间()2,a a -∞-和()2,+∞上，()'0fx >；()2,2x a a ∈-，()'0f x <.综上所述：当2a =或1a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <-或2a >时，()f x 在(),2-∞，()2,a a -+∞上单调递增，在()22,a a -上单调递减；当1a 2-<<时，()f x 在()2,a a -∞-，()2,+∞上单调递增，在()2,2a a -上单调递减.【点睛】含参数分类讨论函数的单调性，关键是制定分类标准，可根据导函数零点的分布来制定分类标准.25．（1）答案见解析；（2）存在，4a =. 【分析】（1）对函数进行求导，求出导函数的零点，分为0a =，0a >和0a <三种情形进行讨论，可得函数单调性；（2）分为0a ≤，3a ≥和0<<3a 三种情形，得出函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，结合最值得结果. 【详解】（1）()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭．令()603a f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭′，解得0x =或3a ．当0a =时，()260f x x =≥′恒成立，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '>得3a x >或0x <，令()0f x '<得03ax <<，即函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，令()0f x '>得0x >或3a x <，令()0f x '<得03ax <<，即函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述：当0a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）存在，理由如下：由（1）可得：当0a ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增．则最小值为()01f =，不合题意；当0a >时，函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增；当13a≥，即3a ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减， ()f x 的最大值为()01f =，最小值为()1211f a =-+=-，解得4a =，满足题意；当0<<3a 时，函数函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,13a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()f x 的最小值为32211333a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为3227a -=-，解得3a =>，不合题意；综上可得：a 的值为4. 【点睛】关键点点睛：（1）按照导函数的零点大小比较进行讨论；（2）按照导函数零点与所给区间端点的关系进行讨论. 26．（1）3a =，2b =；（2）4. 【分析】（1）求出切点的坐标，利用切线的斜率和切点的坐标可得出关于实数a 、b 的方程组，进而可解得实数a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 在区间[]1,2-上的单调性，可求得该函数在区间[]1,2-上的最大值和最小值，由此可求得结果. 【详解】（1）由已知得切点为()1,0，且()23f x x a '=-，()()110130f a b f a ⎧=-+=⎪∴⎨=-='⎪⎩，解得3a =，2b =；（2）由（1）知()332f x x x =-+，233fxx ，当12x <≤时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减. 所以，()()min 10f x f ==，又()14f -=，()24f =，()max 4f x ∴=.因此，函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值之和为4. 【点睛】在利用导数求解函数的最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。

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《导数及其应用》单元测试题（理科）
（满分150分时间：120分钟）

一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确）
1．函数的导数是（）
(A) (B) (C) (D)
2．函数的一个单调递增区间是（）

(A) (B) (C) (D)
3．已知对任意实数，有，且时，，则时（）
A． B．
C． D．
4．（）
(A) (B) (C) (D)
5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

6．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

7．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）
A． B． C． D．

8．设在内单调递增，，则是的（）

Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
二．填空题（本大题共6小题，共30分）
9．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则

该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大.
10．将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体
的体积等于
11．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．
12．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公
式是
13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是
14．已知函数(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是 . (2)若函数在上
总是单调函数，则的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是 .

三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．设函数．（1）证明：的导数；

（2）若对所有都有，求的取值范围．
16．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点
是点关于直线的对称点，.求
(1)求点的坐标；
(2)求动点的轨迹方程.

17．已知函数(x>0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

18．已知
（1）当时，求函数的单调区间。
（2）当时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3

19．已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

20．已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

理科测试解答
一、选择题
1．;
或（理科要求：复合函数求导）
2．，选(A)
或
3.(B)数形结合
4．（D）
5．（D）
6．（D）
7．（C）
8．（B）
二、填空题

9．2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.
故长方体的体积为

从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
10．. （图略）
11．32
12．，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和
13.
14. (1)
三、解答题

15．解：（1）的导数．

由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（2）令，则
，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
16．解：（1）由题意知，因此，从而．
又对求导得
．
由题意，因此，解得．
（2）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（3）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为
17．解: (1)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以, 点A、B的坐标为.
(2) 设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得.
另法：点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于
y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2

18（1）或递减; 递增; （2）1、当
递增;2、当递增;3、当或递增; 当递增;当或递增;（3）因由②分两类（依据：单调性，极
小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
1、当递增，，解得
2、当由单调性知：，化简得：，解得
不合要求；综上，为所求。

19．解（1） ………………………2分
∴曲线在处的切线方程为，即；………4分
（2）过点向曲线作切线，设切点为
则
则切线方程为………………………………………6分
整理得

∵
过点可作曲线的三条切线
∴方程（*）有三个不同实数根.
记
令或1. …………………………………………………………10分
则的变化情况如下表

极大极小
当有极大值有极小值. ………………………12分
由的简图知，当且仅当
即时，
函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分

20．（1）解法1：∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，
∴．

解法2：∵，其定义域为，
∴．
令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：

— 0 ＋
极小值
依题意，，即，
∵，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．
∴函数在上是增函数．
∴．
∵，且，．

①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，
∴.
由≥，得≥，
又，∴不合题意．

②当1≤≤时，
若1≤＜，则，
若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．
∴.
由≥，得≥，
又，∴．
综上所述，的取值范围为．