【创新设计】高中数学 2-1-2离散型随机变量的分布列同步检测 新人教A版选修2-3
人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的分布列》参考课件
1. 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或
随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量 叫做随机变量．
随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。
2. 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随
机变量。
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这 样的随机变量叫做连续型随机变量.
分布列的是（ B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 0 1 2 … n
P 1 1 1 …1
2 48
2n1
P
1 3
12 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量
的分布列为
P(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i)
a
1
i
,
i
1,2,3
则 a的值
27
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ｐ
1 36
2 36
34 36 36
5 36
6 36
5 36
4 36
32 36 36
1 36
例1：某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下:
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事
3
为
． 13
课堂练习：
3、设随机变量的分布列如下：
人教A版高中数学选修2-3课件2.1.2离散型随机变量及其分布列
C3k
C
2 2
k
C52
(k
0,1, 2)
故随机变量 X 的分布列是
X0
1
2
P1
3
3
10
5
10
小结
1.理解离散型随机变量的分布列的意义，会求 某些简单的离散型随机变量的分布列；
2.掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性 质，并会用它来解决一些简单问题.
会求离散型随机变量的概率分布列：
(1)找出随机变量X的所有可能的取值 xi (i 1, 2, );
2. 已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2 3
1 1 1 1 11 P 12 4 3 12 6 12
解分别：⑴求由出随Y1=机12变X 可量得⑴YY11的= 12取X值；为⑵－Y12=,
X
2
1 2
的分布列． 13
, 0, 2 , 1, 2
且相应取值的概率没有变化
∴ Y1的分布列为：
(2)求出各取值的概率 P(X=xi）=pi (3)列成表格.
明确随机变量的具体取值 所对应的概率事件
作业
课本49页练习， A组4，5题
两点分布列的运用非常广泛.试举一个例子.
什么是超几何分布? 先思考一个例子:
在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求取
到的次品数X的分布列.
解:因为 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3,
又
P(X
k)
C5k C935 k C3
100
(k
0,1, 2, 3)
∴随机变量 X 的分布列是
X0
1 －1
1 2
高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件：2-1 离散型随机变量及其分布列2
1 11 P(X＝5)＝ ，P(X＝6)＝ ， 4 36 ∴X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 1 1 5 7 1 11 P 36 12 36 36 4 36
题型二
例2
离散型随机变量分布列的性质
k 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝ )＝ak(k＝1,2,3,4,5)． 5
(1)求常数 a 的值； 3 (2)求 P(ξ≥ )； 5 1 7 (3)求 P(10<ξ<10)．
思考题 1 的分布列．
将一颗骰子掷两次，求出两次掷出的最大点数 X
解析
将一颗骰子连掷两次共出现 6×6＝36 种等可能的基
本事件，其最大点数 X 可能取的值为 1,2,3,4,5,6. 1 P(X＝1)＝ ， X＝2 包含三个基本事件(1,2)， (2,1)， (2,2)， (x， 36 y)表示第一枚骰子点数为 x，第二枚骰子点数为 y. 3 1 P(X＝2)＝ ＝ ，同理可求， 36 12 5 7 P(X＝3)＝36，P(X＝4)＝36，
当 ξ＝5 时，即取出的三只球中最大号码为 5，则其他两球只 C2 6 3 4 能在编号为 1,2,3,4 的 4 只球中取 2 只， 故有 P(ξ＝5)＝C3＝10＝5. 5 因此，ξ 的分布列为 ξ P 3 1 10 4 3 10 5 3 5
探究 1
求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量所有的可能值 Xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出相应的概率 P(X＝Xi)＝Pi(i＝1,2,3，…，n)； (3)列成表格形式． 解决此类问题的关键是根据题设条件找到 X 的可能取值，再 利用概率的有关知识求出相应的概率，最后根据分布列的定义写 出分布列并利用性质检验分布列的正确性．
人教A版高中数学选修2-3配套课件：2.1.2 离散型随机变量的分布列
则 p 等于(
A.
1
10
答案:D
解析:由
X
1
P
1
10
2
3
4
②求出取每一个值的概率 P(ξ=xi)=pi;
③列出表格.
(2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点:
①确定离散型随机变量 ξ 的分布列的关键是要搞清 ξ 取每一个值
对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出 ξ 取每一个值的概率.
对于随机变量 ξ 取值较多或无穷多时,应由简单情况先导出一般的通式,
离散型随机变量的分布列
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
从而得到 X 的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
4
P
5
22
2
11
1
66
4
11
4
33
1
11
4
4
1
+ +
11 33 11
(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=
=
2.1.2
问题导学
离散型随机变量的分布列
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解析:依题意可知,杯子中球的最多个数 X 的所有可能取值为 1,2,3.
当 X=1 时,对应于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形;
当 X=2 时,对应于 4 个杯子中恰有一个杯子放两球的情形;
【精编】人教A版高中数学选修2-3课件2.1.2《离散型随机变量的分布列》课时2课件-精心整理
布列．
解：设黄球的个数为n，由题意知绿球个数为2n，红球个 数为4n，盒中的总数为7n．
∴ P( 1) 4n 4 P( 0) n 1 P( 1) 2n 2
7n 7
7n 7
7n 7
所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ 的分布列为
一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，
在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时
所需抽取的次数 的分布列．
（2）每次取出的产品都放回此批产品中；
解： 的所有取值为：1、2、3、…．
P(
1)
C110 C113
10
13
P( 2) 3 10 13 13
P( k ) ( 3 )k1 10
CNn
…
C C m nm M NM CNn
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几 何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
例1:从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件 一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同， 在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时
所需抽取的次数 的分布列．
本节课重点是离散型随机变量超几何分布列概念 ，难点是求超几何分布列。
离散型随机变量的分布列
1.设离散型随机变量ξ可能取的值为
ξ取每一个值 xi (i 1, 2的, 概)率
则称表 ξ
x1
x2
…
p
p1
p2
…
x1, x2 , x3 , , xi
P( xi ) pi
xi
…
pi
…
称为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列.
数学人教A选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.1.2 离散型随机变量的分布列(一) (最新)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)X 与P 的对应关系为梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1.1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( × ) 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( × )3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √ )类型一 离散型随机变量分布列的性质例1 设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110<X <710 ＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1 (1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P (ξ<x )＝112，则x 的取值范围是________．(2)设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 (1)(5,6] (2)37解析 (1)由条件知P (ξ＝k )＝112，k ＝5,6，…，16， P (ξ<x )＝112，故5<x ≤6.(2)由已知得随机变量X 的分布列为∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87. ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝k 4＋k 8＝27＋17＝37.类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由η1＝12ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－12，0，12，1，32， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率112与16的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率14与112的和，所以η2的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝－ξ＋12，η2＝ξ2－2ξ的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由η1＝－ξ＋12，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝52，32，12，－12，－32，－52，相应的概率值为112，14，13，112，16，112.故η1的分布列为由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3. 所以P (η2＝8)＝112，P (η2＝3)＝14＋112＝13，P (η2＝0)＝13＋16＝12，P (η2＝－1)＝112.故η2的分布列为命题角度2 利用排列、组合求分布列例3 某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4， 则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故X 的分布列为反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列．跟踪训练3 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X 表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 随机变量X 的可能取值为1,2,3.当X ＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P (X ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当X ＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知 17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139D.1310 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13 B.14 C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4 D ．P (X ≤1)＝0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误． 4．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则P (ξ≤0)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2－12解析 由分布列的性质，得1－2q ≥0，q 2≥0， 12＋(1－2q )＋q 2＝1， 所以q ＝1－22，q ＝1＋22(舍去)． P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2×⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝5 36；P(ξ＝4)＝7C16C16＝7 36；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．一、选择题1．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么()A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点由分布列的性质求参数答案 C解析由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.2．若随机变量η的分布列如下：则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤1 B．1≤x≤2C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.3．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，∴a ＝54. ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 4．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 又P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2枚骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1] 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13.由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 9．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527.11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 (1)由x 2－x －6≤0， 得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X 的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 则P (X ＝－5)＝136，P (X ＝－4)＝236＝118，…， P (X ＝5)＝136.故X 的分布列为四、探究与拓展14．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案1335 解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，则P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44×C 03C 47＋C 34×C 13C 47＝1335. 15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 的分布列，并求出P (5≤X ≤25)的值．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60. P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的分布列为所以P (5≤X ≤25)＝P (X ＝10)＋P (X ＝20)＝25＋115＝715.。
高中数学人教A版选修2-3教案-2.1 离散型随机变量及其分布列_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标l．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果。
2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变量。
2. 教学重点/难点教学重点、难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义。
3. 教学用具4. 标签教学过程教学过程：1．新课引入(1)展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲。
(2)指出本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题。
2．提出教科书中两个随机试验的例子，让学生观察，概括出它们的共同特点某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示。
可问：在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?3．提出随机变量的概念在观察、思考、概括上述两个随机试验的共同特点的基础上，提出随机变量这一概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。
让学生自己看教科书中两个例子的随机变量可能取的值及随机变量所取值表示的随机试验的结果。
4．讲解例1、例2例1 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5。
现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
人教A版高中数学选修2-3课件2.1.2《离散型随机变量的分布列》课时2
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…
C C m nm M NM CNn
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几 何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
例1:从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件 一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同， 在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时
所需抽取的次数 的分布列．
（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；
解：的所有取值为：1、2、3、4．
P( 1)
C110 C113
10 13
P(
2)
C31C110 A123
5 26
P(
3)
A32C110 A133
5 143
分布列为： 1
2
3
4
P 10
5
5
1
13 26 143 286
例2:从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件
ξ
1
0
－1
P
4
1
2
77
7
1、掌握超几何分布列，解决一些简单问题； 2、了解有放回与没有放回抽取时两都之间的区别； 3、求离散型随机变量的概率分布列：
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i 1, 2, ); (2)求出各取值的概率 P( xi ) pi; (3)列成表格。
明确随机变量的具体取值 所对应的概率事件
本节课重点是离散型随机变量超几何分布列概念 ，难点是求超几何分布列。
离散型随机变量的分布列
1.设离散型随机变量ξ可能取的值为
ξ取每一个值 xi (i 1, 2的, 概)率
则称表 ξ
x1
x2
人教a版数学【选修2-3】2.1.2《离散型随机变量的分布列》ppt课件
离散型随机变量的分布列 温故知新 回顾复习古典概型的特点及概率计算、离散型随机变量的 特点．
第二章
2.1
2.1.2
第1课时
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思维导航 1 ．想一想，投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪 些数字？ξ取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记
X P0Βιβλιοθήκη 1－p1 p这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量 X的分布列 两点分布 ．而称 p ＝ P(X ＝ 1) 为 为两点分布列，就称 X 服从 __________ 成功概率 ． __________
第二章
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2.1.2
第1课时
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若其中所含教师人数记为ξ，则ξ可能的取值有哪些？怎样求其
概率？你能将这一问题一般化表达，并再找出类似的例子吗？ 其一般概率公式如何推导？
第二章
2.1
2.1.2
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新知导学 2．两个特殊分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列是
为ξ，则ξ可能的取值有哪些，你能列表表示ξ取各值的概率与ξ
取值的对应关系吗？
第二章
2.1
2.1.2
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新知导学
1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1、x2、„、xi、„、xn，X取每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X P x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn
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2.1.2 离散型随机变量的分布列
双基达标 限时20分钟
1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是 ( )．
A.
X －2 0 2
4
P 0.5 0.2 0.3
0
B.
X 0 1
2
P 0.7 0.15
0.15
C.
X 1 2
3
P
－13 12 23
D.
X 1 2
3
P 1g 1 1g 2
1g 5
解析 四个选项均符合“二维表”结构，但C选项中，P(X＝1)＜0不符合
P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X
＝3)＝1的特点．C选
项不是分布列．
答案 C
2．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3 4
P 110 p
310 1
10
则p等于 ( )．
A.110 B.15 C.25 D.12
解析 110＋310＋110＋p＝1，解得p＝12.
答案 D
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ
＝0)等于 ( )．
A．0 B.13 C.12 D.23
解析 设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23.
故p(ξ＝0)＝1－p＝13.
答案 B
4．若离散型随机变量X的分布列为
X 0
1
P 2a 3a
则a＝________．
解析 由离散型随机变量的性质可知2a＋3a＝1，解得a＝15.
答案 15
5．某人投篮的命中率是命不中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(
X
＝1)＝________．
解析 设命不中的概率为p，则命中的概率为3p，p＋3p＝1，p＝14.
P(X
＝1)是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率．
答案 34
6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求
X
的分布列．
解 (1)X的分布列为
X 0
0
P
37 4
7
(2)∵P(X＝0)＝C23C27＝17，∴X的分布列为
X 0
1
P
17 6
7
综合提高（限时25分钟）
7．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球
的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是 ( )．
A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
解析 本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取
到白球．
答案 B
8．(2012·兴宁高二检测)随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck（1＋k），k＝1，2，3，4，
其中c为常数，则P(ξ≥2)等于 ( )．
A.23 B.45 C.38 D.56
解析 由题意ck（k＋1）＝c1k－1k＋1
因此c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1
即c1－15＝1，∴c＝54.
又P(ξ≥2)＝1－P(ξ＜2)
＝1－P(ξ＝1)
＝1－541－12
＝38.
答案 C
9．设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ
＜x)＝112，则x的取值范围是____________．
解析 依题意知，ξ的分布列为
ξ 5 6 7 … 16
P 112 112 112 …
1
12
由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝112.
故x∈(5，6]．
答案 (5，6]
10．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，
且c＝ab，
ξ 0 2 3
P a b c
则这名运动员投中3分的概率是________．
解析 由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋
c
＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝12，b＝
13，c＝16，所以投中3分的概率是1
6
.
答案 16
11．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规
定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，求该考生答
对的试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．
解 X＝1，2，3，
P(X
＝1)＝C18C22C310＝115；
P(X
＝2)＝C28C12C310＝715；
P(X
＝3)＝C38C02C310＝715.
所以X的分布列为
X 1 2
3
P
115 715 7
15
该考生及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X
＝3)＝715＋715＝1415.
12．(创新拓展)(2012·深圳高二检测)第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日
至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18
名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：
若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非
高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2
人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”
的人数，试写出ξ的分布列．
解 (1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2
人，“非高个子”有18×16＝3人．
用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A－表示“没有‘高个
子’被选中”，
则P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.
因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.
(2)依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则
P(ξ＝0)＝C38C312＝1455，P
(ξ＝1)＝C14C28C312＝2855，
P(ξ＝2)＝C24C18C312＝1255，P
(ξ＝3)＝C34C312＝155.
因此，ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
1455 2855 1255 1
55