中考数学压轴专练专题08 二次函数与菱形存在型问题(学生版)
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则 点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2） 直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。
压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ． （1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）． （1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。
中考数学二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问(Wen)题 及参考答案一、二次函数中相似三(San)角形的存在性问题 1.如图，把抛(Pao)物线向左(Zuo)平移(Yi)1个(Ge)单位，再向下平移(Yi)4个单位，得(De)到抛物线2y x =.所得抛物线与2y x =轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与2y x =轴交于点C ，顶点为D.（1）写出2y x =的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM 2y x =x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存(Cun)在性问题3.如图，抛物(Wu)线2y x =与(Yu)双曲线2y x =相(Xiang)交于点(Dian)A ，B ．已(Yi)知点(Dian)B 的坐标(Biao)为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥2y x =轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点(Dian)M 为(Wei)y 轴上(Shang)任意一点，当点M 到(Dao)A 、B 两点的距离之和为最小时(Shi)，求此时点M 的(De)坐标；（2分(Fen)）（3）在(Zai)第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。
二次函数和菱形存在性问题通用解法
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，因此我在研究了近些年中考真题之后尝试性的总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考.纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.一解题模型铺垫1：等腰三角形的构造方法点A和点B为平面内的两个定点，点C为水平直线上的一个动点，要使△ABC为等腰三角形，请利用尺规作图的方法作出点C的位置.图1是以AB为底边（AC和BC为腰），作出线段AB的垂直平分线交直线于点C1；图2是以AB为腰，以点A为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C2；图3是以AB为腰，以点B为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C3、C4；我们把上述作图方法简称为“两圆一中垂”.铺垫2：平行四边形顶点坐标公式根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC 和线段BD的中点。
①两定点确定的线段为边作菱形如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是直线l上一个动点，点D是平面内的一个动点.以AB为菱形的边，请作出符合题意的菱形.作图方法：由于点D是平面内的任意一个动点，意味着该点需要借助其它的点才能确定下来，因此，我们第一步先确定动点C的位置.要想使以AB为边的四边形是菱形，根据菱形的判定方法3我们可以确定△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此我们可以借助等腰三角形存在性知识，来确定点C的位置.确定方法具体如下：以点A为圆心，以AB长度为半径画圆，交直线l于点C1和C2.接下来需要确定点D的位置.以BC为对称轴作点A关于BC的对称点D，由于点C有两个点，确定下来的点D有两个.再以点B为圆心，BA长度为半径画圆，交直线l于点C3和C4，利用同样的方法作出点D3和D4.解题策略：第一步：确定点C的坐标设出点C坐标，利用两点间距离坐标公式，表示出AB、AC、BC 的长度.当AB=AC时，列出方程，求出点C的坐标；当BA=BC时，列出方程，求出点C的坐标.第二步：确定点D的坐标根据平行四边形顶点坐标公式可求出点D的坐标.②两定点确定的线段为对角线作菱形如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是抛物线上一个动点，点D是平面内的一个动点.点C关于AB的对称点为点D，请作出所有符合题意的图形.作图方法：第一步：作出AB的垂直平分线；第二步：作点C关于AB 对称点D.解题策略：第一步：求出AB的中点坐标和AB的斜率k，利用两直线垂直，斜率乘积为﹣1这个结论，设直线CD的解析式为y=﹣1/k+b，再把AB中点坐标代入上式，解出b的值.求出CD解析式.第二步：联立直线CD和抛物线，可以解得点C的坐标；第三步：确定点D的坐标根据平行四边形顶点坐标公式可求出点D的坐标.二例题精讲题型一确定对角线【例1】（难度等级☆）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB解析式为y=﹣2x﹣1，与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．且过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1，P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．【例2】（2016•陕西一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C （0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2016•黔西南州）如图，二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C（0，4），P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；题型三边和对角线均不确定【例5】（2018•齐齐哈尔）如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2﹣3x+4经过点A，C．如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x 轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．关注公众号【初中小窝】，每日发布学习资料，找资料问小窝！。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。
专题7二次函数与菱形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(原卷版)
专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．【例2】（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【例4】（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1．（2020•师宗县一模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C 两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•葫芦岛三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•碑林区校级一模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），顶点为M，抛物线L关于原点O对称的抛物线为L′，点M的对应点为点N．（1）求抛物线L的表达式及点M的坐标；（2）点P在抛物线L′上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标．4．（2021•渝中区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【题组二】5．（2021•淮安区一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE ⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝20﹣8或．6．（2020•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x 轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．（1）若a＝1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．7．（2020•郫都区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，点C 为抛物线的顶点．点M （0，m ）为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180°，得到新的抛物线，其中B 、C 旋转后的对应点分别记为B '、C ′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB 'C ′的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形BCB 'C ′为菱形？请说明理由．8．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于点A （﹣1，0）、B （4，0），交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC 的面积的最大值以及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【题组三】9．（2020•洛阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．10．（2021•两江新区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A，B两点，交y 轴于点C．其中点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P（点P不与B、C两点重合），过点P 作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2020•中山区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣5，﹣4），与x轴交于点B（﹣2，0），（1）二次函数的表达式；（2）原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180°，得到新的抛物线与x轴的一个交点为点C，若新抛物线上存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，求新抛物线的表达式．12．（2021•渝中区校级自主招生）如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．（1）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线上一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE 面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求PN+NM+MG的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC向右平移得△A′O′C′，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O'C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面内是否存在一点Q，使得以点C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2021•齐齐哈尔三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x 轴交于点A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解（OA＜OB），点D（2，m）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式及m的值；（2）y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝2；（3）将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了9个单位；（4）点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．14．（2020•吉安模拟）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？15．（2020•连山区三模）如图①，直线AB：y=√3x+2√3与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC，垂足为E．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）求线段PE长度的最大值；（3）如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．16．（2021•交城县二模）实践与探究如图1，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若△ADP与△ADC的面积相等，求出所有符合条件的点P的坐标．（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．【题组五】17．（2021•山西模拟）综合与探究．如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD，交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．（1）求直线AD的表达式及点C的坐标；（2）当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值；（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2021•宜宾二模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．19．（2021•万柏林区模拟）如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•越秀区校级一模）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y=−12x−12交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．【题组六】21．（2021•鞍山一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m 个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．22．（2021•诸城市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．23．（2021秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G 四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．24．（2021•罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．。
2024年中考数学二次函数压轴题归类(30个)
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题18：抛物线上找一点P， 作x轴, 交线段AC于点N, 使AC分∆ 的面积为2：1两
部分?
形
顶点坐标（h, k）
原始三角
形；重视
四点围成
的三角形
（边、角
关系）
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题2：判断∆ 的形状，并说明理由
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
二次函数压轴题归类（30个）
题号
针对变式题目
形定问题
1-解析式、2-三角形形状
线段问题
3-线段相等、4-线段成比例
最值问题
5-线段最值1 (直)、6-线段最值2 (斜) 、7-和最小8-差最大 、9-两村一路
面积问题
10-定点求面积 、11-斜三角形求面积 、12--(定+动) 求面积、13-同底等高 (直) 、14同底等高(斜) 、 15-面积平分1、16-面积平分 2 、 17-面积平分3 、18-面积分割
时M点坐标
已知抛物线 = 2 + + 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题9：线段 MN=1,在对称轴上运动 (M点在N点上方)，求四边形BMNC周长的最小值及此
时M点坐标
将军饮马解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，
对称。解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。
二次函数中特殊四边形存在性(五大题型)(学生版)--2024年中考数学压轴题专项训练
二次函数中特殊四边形存在性通用的解题思路：题型一：平行四边形的存在性解题策略：1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算(适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴)2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等(适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图)3.平移坐标法利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。
(适用于：直接写出答案的题)题型二：菱形存在性由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。
题型三：矩形存在性由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。
题型四：正方形存在性由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。
题型五：梯形存在性解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．题型一：平行四边形的存在性1(2024·甘肃武威·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5a≠0交x轴于A，C两点，与y轴交于点B，且5OA=OB=OC．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．2(2024·江苏宿迁·一模)材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．请阅读上述材料，完成题目：如图，抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为-1,0，与y轴交于点C0,2，直线CD:y=-x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．3(2024·广东珠海·一模)已知抛物线y=ax2+bx+4(a>0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是线段BC 上的一个动点(不与点B ，C 重合)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，连接OQ ，当四边形OCPQ 恰好是平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且∠DQE =2∠ODQ ，在直线QE 上是否存在点F ，使得△BEF 与△ADC 相似？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4(2024·贵州·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x +b 的图象经过点A -2,0 ，且与二次函数y =kx 2+x -1的图象交于点B 3,a ．(1)求一次函数与二次函数的表达式；(2)设M 是直线AB 上一点，过点M 作MN ∥y 轴，交二次函数y =kx 2+x -1的图象于点N ，若以点O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．5(2024·陕西渭南·二模)如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，点B 的坐标为3,0 ,OC =2,AB =4，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线BC 与抛物线的对称轴交于点E ，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线BC 上的动点，是否存在以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是以DE 为边的平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·甘肃武威·一模)如图．抛物线y =-12x 2+mx +n 交x 轴于点A -4,0 和点B ，交y 轴于点C0,2，点P x,y在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P的坐标为-2,3时，求△BCP的面积；(3)过点P作PQ⊥x轴，交直线AC于点Q，是否存在点P，使得四边形PQOC是平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7(2024·陕西宝鸡·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点B5,0，C-1,0．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y ，Q是新抛物线y 与x轴的交点(靠近y 轴)，N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以BQ为边，且以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标．8(2024·四川南充·模拟预测)如图1，抛物线y=ax2-2ax+c a>0与x轴交于A-1，0，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OC=3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E，连接BD，设△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值及此时点D的坐标．9(2024·山西大同·二模)综合与探究如图，抛物线y =ax 2+bx -2与x 轴交于A (-2,0)，B (4,0)，与y 轴交于点C ．作直线BC ，P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线BC 的函数表达式．(2)当点P 在直线BC 下方时，连接CP ，BP ，OP ．当S △BCP S △OBP=25时，求点P 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10(2024·陕西宝鸡·模拟预测)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (-1,0),C (0,3)两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与y 轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11(2024·上海虹口·二模)新定义：已知抛物线y =ax 2+bx +c (其中abc ≠0)，我们把抛物线y =cx 2+ax +b 称为y =ax 2+bx +c 的“轮换抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“轮换抛物线”为y =x 2+2x +3．已知抛物线C 1：y =4mx 2+4m -5 x +m 的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P ．(1)如果点E 的坐标为0,1 ，求抛物线C 2的表达式；(2)设抛物线C 2的对称轴与直线y =3x +8相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；(3)已知点M -4,n 在抛物线C 2上，点N 坐标为-2,-712，当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值．12(2023·四川自贡·中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13(2023·四川巴中·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0)和B(0,3)，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．14(2023·山东枣庄·中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH +DH 的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15(2024·山西晋城·一模)综合与探究如图，抛物线y =-13x 2-43x +4与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式．(2)连接PB ，PC ，求△PBC 面积的最大值及此时点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，若F 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q ，使以B ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16(2023·山东聊城·中考真题)如图①，抛物线y =ax 2+bx -9与x 轴交于点A -3,0 ，B 6,0 ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点P m ,0 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时(点P 与点A ，B 不重合)，自点P 分别作PE ∥BC ，交AC 于点E ，作PD ⊥BC ，垂足为点D ．当m 为何值时，△PED 面积最大，并求出最大值．17(2024·山西晋城·一模)综合与探究：如图1，已知抛物线y =-12x 2+x +4与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，直线BD 与y 轴相交于点D ，交线段AC 于点E ，且2BD =7DE .(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)如图2，若抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点P ，试探究，在平面内是否存在一点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.18(2024·山西吕梁·一模)综合与探究如图1，已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，点M 是直线BC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的顶点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)如图1，连接AM 交BC 于点P ，若MP AP=12，求此时点M 的坐标；(3)如图2，直线y =x +b 与抛物线交于A ，E 两点，过顶点D 作DF ∥y 轴，交直线AE 于点F ．若点G 是抛物线上一动点，试探究在直线AE 上是否存在一点H ，使得以点D ，F ，G ，H 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．19(2024·山东泰安·一模)综合与实践如图，抛物线y =2x 2-4x -6与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一动点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；(3)点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．20(2024·江苏宿迁·模拟预测)若直线y=x-5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C-1,0．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF∥y轴交直线AB于点F，求线段PF最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y ，Q是新抛物线y 与x轴的交点(靠近y 轴)，N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．21(2024·山东聊城·一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为坐标原点)、A两点，且二次函数的最小值为-2，点M1,m是其对称轴上一点，点B在y轴上，OB=1．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求△PAB 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22(2023·山东·中考真题)如图，直线y =-x +4交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，对称轴为x =32的抛物线经过B ，C 两点，交x 轴负半轴于点A ．P 为抛物线上一动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M ，作x 轴的垂线PN ，垂足为N ，直线MN 交y 轴于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m <32，当m 为何值时，四边形CDNP 是平行四边形？(3)若m <32，设直线MN 交直线BC 于点E ，是否存在这样的m 值，使MN =2ME ？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．23(2024·江苏连云港·一模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B 两点，它的对称轴直线x =1交抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥y 轴于点C ，连接BC ，已知点A 的坐标为-1,0 ．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)动点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为m ,m +1，其中-1<m <1．①若∠POA =∠QBO ，请求此时点Q 的坐标；②在线段BC 上是否存在一点D ，使得以C ，P ，D ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m 的值；若不存在，说明理由．24(2024·海南省直辖县级单位·模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A -1,0 、点B 0,3 ，M 是抛物线上第一象限内的点，过点M 作直线MN ⊥x 轴于点N .(1)求抛物线的表达式；(2)当直线MN 是抛物线的对称轴时，求四边形ABMN 的面积(3)求AN +MN 的最大值，并求此时点M 的坐标；(4)在(3)的条件下，若P 是抛物线的对称轴上的一动点，Q 是抛物线上的一动点，是否存点点P 、Q ，使以点A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.25(2024·四川宜宾·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-34x 2+bx +c 与x 轴交于点A 4,0 与y 轴交于点B 0,3 ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM-65AM的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点P 与点P关于抛物线y=-34x2+bx+c的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、P 、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．26(2024·甘肃天水·一模)抛物线y=ax2+bx-4a经过A-1,0、C0,4两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线、直线BC的函数解析式；(2)在直线BC上方抛物线上是否存在一点P，使得△PBC的面积达到最大，若存在则求这个最大值及P点坐标，若不存在则说明理由．(3)点E为抛物线上一动点，点F为x轴上一动点，当以A，C，F，E为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点E的坐标．27(2024·山东济南·模拟预测)已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为4,-16 3．(1)求该二次函数的解析式；(2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求A点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，作直线AC，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A 时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．28(2023·广东广州·中考真题)已知点P m,n在函数y=-2xx<0的图象上．(1)若m=-2，求n的值；(2)抛物线y=x-mx-n与x轴交于两点M，N(M在N的左边)，与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．①m为何值时，点E到达最高处；②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29(2024·山西阳泉·二模)综合与探究如图，抛物线y =15x 2+bx +c 与x 轴交于点A 1,0 和点B ，与y 轴交于点C 0,1 ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ．过点B 作直线l ⊥x 轴，连接CD ，过点D 作DE ⊥CD ，交直线l 于点E ，作直线CE ．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线CE 的函数表达式；(2)如图，点P 为抛物线上第二象限内的点，设点P 的横坐标为m ，连接BP 与CE 交于点Q ，当点Q 为线段BP 的中点时，求m ；(3)若点M 为x 轴上一个动点，点N 为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．30(2024·甘肃平凉·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知B 4,0 ，C 0,-4 ，连接BC ，点P 是抛物线上的一个动点，点N 是对称轴上的一个动点．备用图(1)求该抛物线的函数解析式．(2)在线段BC 的下方是否存在点P ，使得△BCP 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及面积最大值．(3)在对称轴上是否存在点N ，使得以点B ，C ，P ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．31(2024·广东惠州·一模)综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-23x 2+bx +c a ≠0 与x 轴交于A -1,0 、B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，若∠DCB=2∠ABC，求点D的坐标；(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．32(2024·甘肃陇南·一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C0,8．(1)求该抛物线的解析式；(2)若D为抛物线的顶点，求△ACD的面积；(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．33(2024·山东淄博·一模)已知抛物线y=ax²+bx-3a≠0与x轴交于点A(-1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求△HMN周长的最大值；(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1FS2+1FT2为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．34(2024·山西朔州·二模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-2a≠0与x轴交于A-4,0，B1,0两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线AD交抛物线于另一点E．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点P是直线AE下方抛物线上的一点，过点P作直线AE的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段PF最大？请求出PF的最大值．(3)在(2)的条件下，当PF取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．35(2024·福建福州·模拟预测)已知抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于A-1,0、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且△ABC的面积为6．(1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K2,1的直线交抛物线于M、N两点(N在M点右侧)，过N点的直线y=-2x+b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点．36(2015·山东临沂·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A1,0和B4,0．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点F 是位于x 轴上方对称轴上一点，FC ∥x 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C ，且四边形OECF 是平行四边形，求点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△OCP 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．37(2023·山东淄博·中考真题)如图，一条抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中O 为坐标原点，点A 3,-3 ，点B 在第一象限内，对称轴是直线x =94，且△OAB 的面积为18(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点B 的坐标；(3)设C 为线段AB 的中点，P 为直线OB 上的一个动点，连接AP ，CP ，将△ACP 沿CP 翻折，点A 的对应点为A 1．问是否存在点P ，使得以A 1，P ，C ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．38(2023·四川南充·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点K 1,3 的直线(直线KD 除外)与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM ⋅EN 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．39(2024·四川广元·二模)如图，已知直线BC ：y =x -2交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线y =ax 2-x +c 的图象过点B ，C ，且与x 轴交于另一点A (点A 在点B 的左侧)．在直线BC 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交BC 于点M ，连接AC ，PC ，AP ，AP 交BC 于点E ．(1)求抛物线的解析式．(2)当S △CPE S △ACE=13时，求点P 的坐标．(3)连接BP ，AM ，已知点D 是抛物线对称轴上的一个动点，当△BPC 的面积最大时，在该抛物线上是否存在动点Q ，使得以点A ，M ，Q ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．40(2024·江苏徐州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 的顶点坐标为F -1,4 交x 轴于A 、C 两点，交y 轴于点B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知抛物线上点P -2,3 ，以点P 为直角顶点构造Rt △PHK ，使点H 在x 轴上，点K 在y 轴上，G 为HK 的中点，求EG 的最小值；(3)M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．题型二：菱形存在性41(2024·陕西渭南·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +2(a 、b 为常数，且a ≠0)与x 轴交于点A -4,0 和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =OB ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)连接BC，点D是抛物线的对称轴l上的动点，点E是平面内的点，是否存在以点B、C、D、E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．42(2024·江苏徐州·一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-3的图象交x轴于A-1，0两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线 、B3，0BC于点E．(1)a=，b=；(2)在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．43(2024·青海西宁·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A0,2，点B是抛物线的顶点，直线x=2是抛物线的对称轴，且与x轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点D是对称轴左侧抛物线上一点，连接BD，∠DBC=45°,求点D的坐标．(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点，点P在坐标平面内，且以点A，D，M，P为顶点的四边形是以AD为边的菱形，请求出所有符合条件的点M的坐标44(2023·湖南·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．45(23-24九年级上·广东中山·期中)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A-1,2，B-1,-1，C3,-1，D3,2，在点N11,1，N22,2，N33,3中，是矩形ABCD“梦之点”的是；(2)如图②，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状并说明理由．(3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．46(23-24九年级上·重庆南岸·期末)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A1,0和B-5,0两点，与y轴交于点C．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【典例分析】例1 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 和抛物线交于点A （-4，0），B （0，4），且点B 是抛物线的顶点．（1）求直线AB 和抛物线的解析式．（2）点P 是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB 面积最大时点P 的坐标．（3）M 是直线AB 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N ，使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2如图，抛物线的图象经过点A （﹣2，0），点B （4，0），点D （2，4），与y 轴交于点C ，作直线BC ，连接AC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO 的点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上且位于点C 上方，点N 在直线BC 上，点P 为第一象限内抛物线上一点，若以点C ，M ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．例3如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2y mx 2mx n =++上.（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.例4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC//OA，已知点O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.（1）求B点坐标及抛物线的解析式.，（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点E，求DE的最大值；（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由.例5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．例6如图(1)，已知菱形的边长为，点在轴负半轴上，点在坐标原点，点的坐标为（，），抛物线顶点在边上，并经过边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）点关于直线的对称点是，求点到点的最短距离；（3）如图（2）将菱形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速平移，过点作于点，交抛物线于点，连接、．设菱形平移的时间为秒（），问是否存在这样的，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0）是轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得60°，现将抛物线沿直线OC平移到，则当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是（）A．B．C．D．2．直线122y x =+与y 轴交于点A ，与直线12y x =-交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与原点O 重合，抛物线()2y x h k =-+的顶点在直线12y x =-上移动，若抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，则h 的取值范围是（ ）A ．122h -≤≤B ．21h -≤≤C ．312h -≤≤D ．112h -≤≤ 3．如图1，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=2BD ，点P 是 AO 上一个动点，过点P 作AC 的垂线交菱形的边于M ，N 两点．设AP ＝x ，△OMN 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系大致如图2所示的抛物线．（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（ ， ） ； （2）菱形ABCD 的周长为 ． 4．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点），则第2017个菱形的周长=_____________．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的三个顶点A ，B ，D 均在抛物线y=ax 2﹣4ax+3（a ＜0）上．若点A 是抛物线的顶点，点B 是抛物线与y 轴的交点，则点D 的坐标为__．6．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A （3，4），C 在x 轴的负半轴，抛物线y=﹣（x ﹣2）2+k 过点A ． （1）求k 的值；（2）若把抛物线y=﹣（x ﹣2）2+k 沿x 轴向左平移m 个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC 的顶点C ．试判断点B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．7．如图,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y =mx 2+2mx +n 上．（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,若四边形AA B B ''为菱形,求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA B B ''的对称中心点M 的坐标．8．如图1，抛物线()221y ax a x =+-，其中(0)a >，点A （-2，m ）在该抛物线上，过点A 作直线l ∥xB AO11－－xy轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C.（1）求m的值.（2）当a=2时，求点B的坐标.（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，顶点P在直线l上，顶点Q在x轴上.①若PB=2AP，求a的值.②菱形OPBQ的面积的最小值是.9．如图，抛物线C1：y=﹣49（x+3）2与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C1沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C2，抛物线C2的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E，（1）求A，B点的坐标；（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标；（3）若四边形ABCD是菱形．①此时抛物线C2的解析式；②点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．10．如图，抛物线4212--=x x y 与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作AC PD //，交BC 于点D ，连接CP ．（1）直接写出A 、B 、C 的坐标； （2）求抛物线4212--=x x y 的对称轴和顶点坐标； （3）求PCD ∆面积的最大值，并判断当PCD ∆的面积取最大值时，以PA 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）与x 轴交于点O 、M ．对称轴为直线x=2，以OM 为直径作圆A ，以OM 的长为边长作菱形ABCD ，且点B 、C 在第四象限，点C 在抛物线对称轴上，点D 在y 轴负半轴上；（1）求证：4a+b=0；（2）若圆A 与线段AB 的交点为E ，试判断直线DE 与圆A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点P 在菱形ABCD 的内部且∠OPM 为锐角时，求a 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过A （0，3），B （1，0）两点，顶点为M ． （1）求b 、c 的值；（2）若只沿y 轴上下平移该抛物线后与y 轴的交点为A 1，顶点为M 1，且四边形AMM 1A 1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．13．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．14．如图，的顶点坐标分别为，，，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上．证明四边形是菱形，并求点的坐标；求抛物线的对称轴和函数表达式；在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- 3，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3 ）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）16．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，作菱形BDEC，使其对角线在坐标轴上，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向上平移n个单位，使其顶点在菱形BDEC内（不含菱形的边），求n的取值范围；（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，并说明理由．17．已知抛物线m 的顶点为（1，0），且经过点（0，1）． （1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移m 个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若△ABC 为等边三角形． ①求m 的值；②设点A 关于x 轴的对称点为点D ，在抛物线上是否存在点P ，使得以点P 、C 、B 、D 为顶点构成的四边形是菱形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图12，已知抛物线2y ax c 过点2,2，4,5，过定点0,2F 的直线:2l y kx 与抛物线交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C .(1)求抛物线的解析式；(2)当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系(、、)，并证明你的判断； (3)P 为y 轴上一点，以,,,B C F P 为顶点的四边形是菱形，设点0,P m ，求自然数m 的值；(4)若1k ，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得QBF △的面积最大，若存在，求出点Q 的坐标及QBF △的最大面积，若不存在，请说明理由.19．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．（1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC 为等边三角形．①求m的值；②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知点A (0，4) 和点B (3，0)都在抛物线上．（1）求、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形A BCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E ，试在轴上找点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ ABE相似。