2014届高考数学一轮必备考情分析学案：2.8《函数与方程》
【创新设计】2014版高考数学一轮复习 2.8 函数的图象 理 苏教版
2.9 函数的图象一、填空题1.函数21x y x -=-的图象可由1y x=的图象向右平移个单位,再向下平移个单位而得到.解析因为(1)11111x y x x --+==-+,--所以填1,1.答案1 12．函数f (x )＝x ＋1x的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－x ，y 0＝y .∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2.答案 g (x )＝3x －24. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________．解析y ＝f (x ＋1)是由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，故为②. 答案②5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．解析 (数形结合法)根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.答案 4【点评】本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观6．若函数f(x)在区间[－2,3]上是增函数，则函数f(x＋5)的单调递增区间是________．解析∵f(x＋5)的图象是f(x)的图象向左平移5个单位得到的．∴f(x＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2]．答案[－7，－2]7. 观察相关的函数图象，对下列命题中的真假情况进行判断．①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x＞x在x∈R上恒成立；④10x＞x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；⑤10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析正确画出相关函数的图象即可判断，y＝10x与y＝x的图象如图(1)；y＝10x与y＝x2的图象如图(2)；y＝10x与y＝－x的图象如图(3)．答案②③④8．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如右图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.答案 69．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)．甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为________．解析 从A 地到B 地，甲用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝v 1＋v 22v 1v 2s ，乙用的时间t 乙满足：t 乙2(v 1＋v 2)＝s ，∴t 乙＝2s v 1＋v 2，t 甲－t 乙＝v 1－v 22s2v 1v 2v 1＋v 2＞0.∴t 甲＞t 乙，即甲、乙不会同时达到B 地，∴排除③④，当甲前一半路程速度是v 1，后一半路程速度是v 2，乙前一半时间速度是v 1，后一半时间速度是v 2时，①正确．当甲前一半路程速度是v 2，后一半速度是v 1，乙前一半时间的速度是v 2，后一半时间的速度是v 1时，②正确． 答案 ①②10．任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的有________．答案 ④11．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称． 答案 x ＝1212．若0＜a ＜1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第____象限． 答案 一13．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )，图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________． 解析 由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))的连线斜率大小1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1x 1＞f x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的． 答案 ②③ 二、解答题14. 作出函数y ＝1－|x ||1－x |的图象．解析 函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}．当x <0时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1＋x1－x＝1－x －2x －1＝－1－2x －1；当0≤x <1时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1－x 1－x ＝1；当x >1时，y ＝－1.综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－2x －1，x <0，1，0≤x <1，－1，x >1.函数的图象由三部分组成：当x <0时函数的图象由函数y ＝－2x的图象向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度得到；当0≤x <1时，函数的图象是线段y ＝1(0≤x <1)，不含点(1,1)；当x >1时，函数的图象是射线y ＝－1(x >1)，不含射线的端点(1，－1)．15．利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数． 解析 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数 就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点 的个数．由右边图象可知： 当－1≤k ＜0时，方程没有实数根；当k ＝0或k ＜－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0＜k ＜1时，方程有两个不相等的实数根．16．已知函数f (x )＝1－x 2，g (x )＝x ＋2，若方程f (x ＋a )＝g (x )有两不同实根，求a 的取值X 围．解析y ＝f (x ＋a )＝1－x ＋a2，方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，1－x ＋a 2≥0，y 2＝1－x ＋a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋a 2＋y 2＝1.∴函数y ＝f (x ＋a )的图象为以(－a,0)为圆心，半径为 1的圆在x 轴上和x 轴上方的部分，如右图．设过(－2,0) 点和与直线相切的半圆方程分别为y ＝f (x ＋a 1)和y ＝f (x ＋a 2)， 则可求出a 1＝1，a 2＝2－ 2.由图象可观察出当－a 1≤－a ＜－a 2，即a 2＜a ≤a 1时，y ＝f (x ＋a )的图象与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，即2－2＜a ≤1时，方程f (x ＋a )＝g (x )有两个不同的实根．17．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，某某数a 的取值X 围． 思路分析 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象，观察它们的交点个数．解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1)，(2,3)． (2)由题意|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图所示．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． 【点评】 数形结合思想是高考每年必考内容，它对填空题、解答题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步骤还要有适当数学语言来表示． 18．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间． 解析∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ＞0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为： (－∞，－1)，(1，＋∞)． 函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．。
高考数学(山东新高考版)一轮复习课件：2.8函数与方程
x
令 g(x)=|log0.5x|,h(x)=
1
2
1
2
.
,画出 g(x),h(x)的图象如图所示.
因为两个函数的图象有两个交点,所以 f(x)有两个零点.
第八单元
考点一
考点1
考点2
考点二
-15-
核心素养专项提升
考点3
(2)对任意实数 x,都有 f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x),由于 f(x)
零点个数
(x1,0),(x2,0)
2
(x1,0)
1
无交点
0
3.二分法
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)·f(b)<0 ,通过
不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ,使区间的两个
端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
-3-
第八单元
考点一
知识梳理
(2)由 f + =-f(x),可得 f x+2 + 2 =-f + =f(x),即 f(x+π)=f(x),
2
2
故函数 f(x)的周期为 π,作出函数 y=f(x)与 y=lg|x|的图象.
由图可知当x>0时,有5个交点,又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,
∴函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10个.故选B.
数y=f(x)有 零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
连续不断的
f(a)·f(b)<0
f(x0)=0
高考数学一轮总复习 2.8 函数与方程课件 理 苏教版
法二 作出g(x)＝x＋ex2(x>0)的大致图象如图： 可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. ∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
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(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两 个不同的交点， 作出 g(x)＝x＋ex2(x>0)的大致图象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝ －(x－e)2＋m－1＋e2， ∴其图象的对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e2.故当 m－1＋e2>2e，即 m>－e2＋2e＋1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
• mffff的0－12(2范＝＝ ＝1)2＝46若围mmm2＋＋ ＋方>．0125，程<<>000，，两根⇒均在区间(qū jiān)(0,1)内，求
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m<－12， m∈R， m<－12， m>－56.
即－56<m<－12.
故 m 的取值范围是－56，－12.
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由题意，知 g′(x)＝1x＋1＞0，所以函数 g(x)在(0，＋∞)上是 单调递增的，又 g(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2 ＝ln 2＞0，所以函数 g(x)的零点 b∈(1,2)． 综上，可得 0＜a＜1＜b＜2. 因为 f(x)在 R 上是单调递增的，所以 f(a)＜f(1)＜f(b)．
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•(3)零点存在性定理
•如果函f(a)数·f(by)＜＝0f(x)在区间[a，b]上的图(a，象b) 是连续
2014高考数学(理)一轮复习学案课件 第2编 函数及其表示
考纲解读 考向预测 课前热身
考点突破
即时巩固 课后拔高
考点 三 考点 二 考点 一
真题再现 误区警示 规律探究
2
考纲解读
返3回
考向预测
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课前热身
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返6回
考点 一
考点突破
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返10回
考点 二
返11回
返12回
返13回
返14回
返15回
返42回
返43回
返44回
பைடு நூலகம்
返45回
返46回
返16回
考点 三
返17回
返18回
返19回
返20回
真题再现
返21回
返22回
误区警示
返23回
返24回
规律探究
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即时巩固
返26回
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返29回
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课后拔高
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返32回
返33回
返34回
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返36回
返37回
返38回
返39回
返40回
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【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《函数与方程》Word版含解析
函数与方程一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2011·福建高考改编)若关于x 的方程x 2＋x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) (A)(－12，12)(B)(－2,2)(C)(－∞，－12)∪(12，＋∞)(D)(－∞，－2)∪(2，＋∞)2.(2012·潍坊模拟)已知x 0是函数f(x)＝2x ＋11－x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) (A)f(x 1)<0，f(x 2)<0 (B)f(x 1)<0，f(x 2)>0 (C)f(x 1)>0，f(x 2)<0(D)f(x 1)>0，f(x 2)>03.设f(x)＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x∈[1,2]上近似解的过程中，计算得到f(1) <0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在的区间为( )(A)[1,1.25] (B)[1.25,1.5] (C)[1.5,2](D)不能确定4.函数f(x)＝|x －2|－lnx 在定义域内零点的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2012·德州模拟)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x≤0x －1＋lnx ，x>0的零点个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知函数f(x)＝(13)x－log 2x ，正实数a ，b ，c 依次成公差为正数的等差数列，且满足f(a)·f(b)·f(c)<0，若实数d 是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①d<a；②d>b ；③d<c；④d>c 中有可能成立的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题(每小题6分，共18分)7.函数f(x)＝1＋x ＋x 22＋x33的零点的个数是 .8.(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝3x＋x －5的零点x 0∈ [a，b]，且b －a ＝1，a ，b∈N *，则a ＋b ＝ .9.(易错题)若函数f(x)＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1有且仅有一个零点，则实数m 的取值集合是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·汕头模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x 2－2ax)e x，x>02x ，x≤0，x ＝1是函数y ＝f(x)的极值点.(1)求实数a 的值；(2)若方程f(x)－m ＝0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值. 11.已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a>b>c 且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2). 【探究创新】(16分)已知二次函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a(1)判断命题“对于任意的a∈R(R 为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个零点.求实数a 的范围.答案解析1.【解析】选A.∵方程x 2＋x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根，∴其判别式Δ＝1－4m 2>0， 解得－12<m<12.2.【解析】选B.函数f(x)＝2x ＋11－x 在(1，＋∞)上单调递增.由于x 0是f(x)的一个零点，即f(x 0)＝0， ∴f(x 1)<0，f(x 2)>0，故选B.3.【解析】选B.由于f(1)<0，f(1.5)>0，则第一步计算中点值f(1.25)<0，又f(1.5)>0，则确定区间为[1.25,1.5]，故选B.4.【解题指南】本题可转化为函数y ＝|x －2|和y ＝lnx 图象的交点个数求解.【解析】选C.在同一直角坐标系中，作出函数y ＝|x －2|与y ＝lnx 的图象如图，从图中可知，两函数共有2个交点，∴其零点的个数为2.5.【解析】选C.当x ≤0时，由x 2－2x －3＝0得x ＝－1， 当x>0时，f(x)＝x －1＋lnx 是增函数且f(1)＝0， ∴函数f(x)有两个零点－1,1.故选C.6.【解析】选C.由题意，f(x)＝(13)x－log 2x 是减函数，∵正数a ，b ，c 依次成公差为正数的等差数列， ∴a<b<c ，∴f(a)>f(b)>f(c)， 又f(a)·f (b)·f(c)<0， ∴f(c)<0，又f(d)＝0， ∴d<c ，③正确，若f(a)>0，f(b)>0，则a<d ，b<d ；故②正确. 若f(a)<0，f(b)<0，则a>d ，b>d.故①正确. 综上，有可能成立的为3个.【变式备选】已知函数f(x)＝(13)x－log 2x ，若实数x 0是方程f(x)＝0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)( )(A)恒为正值 (B)等于0 (C)恒为负值 (D)不大于0【解析】选A.∵f(x)＝(13)x－log 2x 在(0，＋∞)上为减函数，并且f(x 0)＝0,0<x 1<x 0，∴f(x 1)>f(x 0)＝0.7.【解题指南】先求导判断函数f(x)的单调性，再找两个自变量的值使其对应的函数值异号. 【解析】f ′(x)＝1＋x ＋x 2＝(x ＋12)2＋34>0，因此函数f(x)在R 上单调递增， 又f(－2)＝－53<0，f(2)＝233>0，因此其零点的个数是1.答案：18.【解析】由已知x 0∈[a ，b]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *∴a ，b 的可能取值为a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝3，… 又f(1)＝3＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0 ∴f(1)f(2)<0，故a ＝1，b ＝2符合要求.又∵f(x)为增函数，当x 取大于等于2的整数时，所对应的函数值都大于0. ∴a ＝1，b ＝2. ∴a ＋b ＝1＋2＝3. 答案：39.【解析】当m ＝1时，f(x)＝4x －1＝0，得x ＝14，符合要求.当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m －1)＝0.即m 2＋3m ＝0，解得：m ＝－3或m ＝0， ∴m 的取值集合是{－3,0,1}. 答案：{－3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m ＝1而失误.根据原式将f(x)误认为二次函数. 10.【解析】(1)x>0时，f (x)＝(x 2－2ax)e x，∴f ′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝[x 2＋2(1－a)x －2a]e x， 由已知，f ′(1)＝0，∴[1＋2(1－a)－2a]e ＝0， ∴1＋2－2a －2a ＝0，∴a ＝34.(2)由(1)知x>0时，f(x)＝(x 2－32x)e x ，∴f ′(x)＝(2x －32)e x ＋(x 2－32x)e x＝12(x －1)(2x ＋3)e x， 令f ′(x)＝0得x ＝1(x ＝－32舍去)，当x>0时：所以，要使方程f(x)－m ＝0有两个不相等的实数根，即函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，可知m ＝0或m ＝－12e.11.【证明】(1)∵f(1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a>b>c ，∴a>0，c<0，即ac<0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f(x)必有两个零点.(2)令g(x)＝f (x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f(x 1)－f(x 2)2，g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f(x 2)－f(x 1)2.∴g(x 1)g(x 2)＝[f(x 1)－f(x 2)2]·[f(x 2)－f(x 1)2]＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.∵f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0. ∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根.即f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于(x 1，x 2).【探究创新】【解析】(1)“对于任意的a ∈R(R 为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.依题意：f(x)＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R(R 为实数集)恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.(2)依题意：要使y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f(－1)>0f(0)<0f(12)>0即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a>01－2a<034－a>0，解得12<a<34.。
高三数学一轮复习课时作业7：2.8 函数与方程
2.8 函数与方程一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2014·烟台模拟)已知函数f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x 0＝2，那么下一个有根区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,2)或(2,3)都可以D ．不能确定2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－123．(2014·淄博五中质检)函数f (x )＝log 2x －12x ＋2的零点个数为( )A ．0B ．1C ．3D ．24．(2014·桂林模拟)设方程log 4x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0，log 14x －⎝⎛⎭⎫14x＝0的根分别为x 1、x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥25．(2014·广州模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．86．(2014·济南模拟)设函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x －1，－1≤x ＜0.且对任意的x ∈R 都有f (x ＋1)＝f (x －1)，若在区间『－1,3』上函数g (x )＝f (x )－mx －m 恰有四个不同零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎤0，14 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.9．(2014·兰州模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈『－1,1』时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间『－5,5』内的交点个数共有________个．三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围．并求出该零点．11．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ：(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的范围．12．(13分)(2014·郑州模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈『0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．答案一、选择题(每小题5分，共30分) 1．『解析』 ∵f (1)＝－2＜0，f (2)＝7＞0，f (3)＝28＞0.∴f (1)·f (2)＜0，∴下一个有根区间在(1,2)内．『答案』 A2．『解析』 由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C3．『解析』 转化为y ＝log 2x 与y ＝12x －2两函数图象的交点的个数，做图象如下：图象有两个交点，因此函数零点个数为2个．『答案』 D4．『解析』 在同一坐标系内画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝⎝⎛⎭⎫14x 1，log 14x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 2得log 4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 1－⎝⎛⎭⎫14x 2＜0， ∴0＜x 1x 2＜1，故选A.『答案』 A5．『解析』 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0， 得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1， －2≤x ＜1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.『答案』 C6．『解析』 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )，则函数f (x )的周期为2，从而函数f (x )在区间『－1,3』上的图象如图所示：令u (x )＝mx ＋m ＝m (x ＋1)，当m ＝0时，g (x )＝f (x )有两个零点，不合题意， 当m ≠0时，直线恒过定点(－1,0)． 当直线过点A (3,1)时，m ＝14，故m ∈⎝⎛⎦⎤0，14.『答案』D二、填空题(每小题5分，共15分)7．『解析』函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.『答案』(1，＋∞)8．『解析』∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝log a2＋2－b＜0；当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.『答案』29．『解析』函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．『答案』8三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．『答案』∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.11．『答案』(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题；依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立， 即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根． (2)依题意：要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点 只须⎩⎪⎨⎪⎧f －1＞0，f 0＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得：12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪12＜a ＜34. 12．『答案』 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)．∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－『(－x )2－2(－x )』 ＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)当x ∈『0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， 最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．。
2014届高考数学总复习 2.8函数与方程提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版
【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 2.8函数与方程（含2013年模拟题）【考点排查表】考查考点及角度 难度及题号错题记录基础 中档 稍难 函数零点的判定 1,2 5,6,9 11,13二分法 3 8 函数零点的综合应用47,1012一、选择题1．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根【解析】 由f (x )在[－1,1]上是增函数且f (－12)·f (12)＜0，知f (x )在[－12，12]上有唯一实数根，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．【答案】 C2．(2013·某某模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(2,3) 【解析】 由f (x )的图象知0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝2＋a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g (1)<0，故选C.【答案】 C3．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1 D ．f (x )＝ln(x －12)【解析】∵4个选项中的零点是确定的． A ：x ＝14，B ：x ＝1；C ：x ＝0；D ：x ＝32.又∵g (0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g (12)＝412＋2×12－2＝1＞0，∴g (x )＝4x＋2x －2的零点介于(0，12)之间．从而选A.【答案】 A4．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值X 围是( ) A ．(－1,1) B ．[1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)【解析】 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1；当a ≠0时，若Δ＞0，f (0)·f (1)＜0，则a ＞1；若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x ＝－2，故选C.【答案】 C5．(2012·某某高考)函数f (x )＝x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 由f (x )＝x cos 2x ＝0，得x ＝0或cos 2x ＝0；其中，由cos 2x ＝0，得2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故x ＝k π2＋π4(k ∈Z )．又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以零点的个数为1＋4＝5个．故选D.【答案】 D6．(2012·高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点，即令f (x )＝0，根据此题可得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝x 12和指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.【答案】 B 二、填空题7．已知函数f (x )＝x |x －4|－5，则当方程f (x )＝a 有三个根时，实数a 的取值X 围是________．【解析】f (x )＝x |x －4|－5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －5，x ≥4－x 2＋4x －5，x <4，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，可得当直线y ＝a 与该函数的图象有三个交点时，a 的取值X 围是－5<a <－1.【答案】 －5<a <－18．(2013·某某模拟)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：那么方程【解析】 通过参考数据可以得到：f (1.375)＝－0.260＜0，f (1.437 5)＝0.162＞0，且1.4375－1.375＝0.062 5＜0.1，所以，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根为1.437 5. 【答案】 1.437 59．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________【解析】∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜1. 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜1三、解答题10．函数f (x )＝x 3－3x ＋2.(1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值X 围．【解】f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝(x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，函数f (x )的零点为x ＝1或x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；所以满足f (x )＜0的x 的取值X 围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值集合是{1，－2}；令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1，满足f (x )＞0的x 的取值X 围是(－2,1)∪(1，＋∞)．11．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值X 围．【解】 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －2＞0，f 0＜0，f 1＜0，f3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×－22－5×－2＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.∴所求a 的取值X 围是(－12,0)．12．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，满足f (1)＝0. (1)若函数f (x )有两个不同的零点，求b 的取值X 围；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不相等的实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2)．【解】 (1)由题意知：b ＋c ＋1＝0，即c ＝－(1＋b )， ∴f (x )＝x 2＋bx －(1＋b )， 若f (x )有两个零点，则f (x )＝0有两个不相等的实根，∴b 2＋4(1＋b )＝(b ＋2)2>0，∴b ≠－2. 即b 的取值X 围是{b |b ∈R 且b ≠－2}． (2)证明：设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]则g (x 1)＝12[f (x 1)－f (x 2)]，g (x 2)＝－12[f (x 1)－f (x 2)]，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0， ∴g (x )必有一根属于(x 1，x 2)，即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一实根属于(x 1，x 2)．四、选做题13．(2013·某某模拟)若A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1b ＋a ，1，且A ＝B ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)求f (x )零点的个数；(2)当x ∈[－1,2]时，求f (x )的值域；(3)若x ∈[1，m ]时，f (x )∈[1，m ]，求m 的值．【解】 (1)∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10＝c ＋b－1＝1b ＋a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2c ＝2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2.又Δ＝4－4×2＝－4＜0，所以f (x )没有零点． (或因为f (x )＝(x －1)2＋1＞0，所以f (x )没有零点．) (2)∵f (x )的对称轴x ＝1，∴当x ∈[－1,2]时，f (x )min ＝f (1)，f (x )max ＝f (－1)＝5， ∴f (x )∈[1,5]．(3)∵f (x )在x ∈[1，m ]上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1fm ＝m⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＝1，m 2－2m ＋2＝m .∴m ＝1或m ＝2，m ＝1不成立，则m ＝2.。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程学案理
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程学案理052121502.8 函数与方程[知识梳理]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．一元二次方程根的分布情况设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m<n<p)3．二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.[诊断自测] 1．概念思辨(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( ) (3)若f (x )在区间[a ，b ]上连续不断，且f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )内没有零点．( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A1P 88T 2)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 A解析 ∵函数f (x )＝e x＋4x －3， ∴f ′(x )＝e x＋4>0，∴函数f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)上为增函数，且f (0)＝e 0－3＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＝4e －416<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0， ∴函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，故选A.(2)(必修A1P 92T 2)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应表：68则函数f (x )存在零点的区间有( ) A ．区间[2,3]和[3,4] B ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6] C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D ．区间[1,2]、[2,3]和[3,4]答案 D解析 由已知条件可得： f (1)＝－8<0，f (2)＝2>0，f (3)＝ －3<0，f (4)＝5>0.可得f (1)·f (2)<0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，函数f (x )的图象是连续不断的，由零点判定定理可知：函数的零点在区间[1,2]、[2,3]和[3,4]．故选D.3．小题热身(1)(2013·重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 ∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在判定定理可知：在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在一个零点； 又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内．故选A.(2)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 答案 C解析 易知f (x )是单调递减函数．∵f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝64－log 24＝32－2<0，∴选项中包含f (x )零点的区间是(2,4)．故选C.题型1 函数零点所在区间的判断典例1 (2017·乌鲁木齐一模)函数f (x )＝e x＋2x －3的零点所在的一个区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 本题用定义法．答案 C 解析典例2已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)用定义法或数形结合法．答案 C解析 解法一：∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0.故f (x )的零点x 0∈(2,3)．故选C.解法二：由f (x )＝0得ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2.作h (x )＝ln x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图．由图象可知x 0∈(2,3)．故选C. 方法技巧判断函数零点所在区间的三种方法1．解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．2．定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．见典例1,2.3．图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．见典例2.冲关针对训练1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 解法一：函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.解法二：易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．故选B. 2．(2018·福州质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则两零点所在的区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 答案 D解析 在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象如图，由图易得若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个交点，则k 的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，＋∞)内，故选D.题型2 函数零点个数的判定典例1函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4本题用数形结合法．答案 B解析 令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象(如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.典例2(2017·郑州模拟)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )在区间[－4,4]上的零点个数为( )A ．8B ．9C ．10D ．11本题用数形结合法．答案 B解析 画出函数图象，可知y ＝f (x )在区间[－4,4]与x 轴有9个交点，故选B.[条件探究] 若典例2的条件变为：f (x )是定义域为R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2－3x ＋1，则函数f (x )在[－4,4]上有几个零点？解 因为f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)，所以f (－2)＝0.又函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝0，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (0)＝0，f (4)＝0，f (－4)＝0.当x ∈(0,2)时，令f (x )＝2x 2－3x ＋1＝0，得x ＝12或x ＝1，即f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.所以f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，所以f (3)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝0，f (－3)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝0.综上，函数f (x )在[－4,4]上有13个零点．方法技巧确定函数零点个数的方法及思路1．解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．见典例1,2.提醒：用数形结合法确定零点个数时，关键是准确画出函数的图象，前提是熟悉基本初等函数的图象画法．冲关针对训练1．(2017·西城区模拟)函数f (x )＝2x＋log 2|x |的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 函数f (x )＝2x＋log 2|x |的零点个数，即为函数y ＝－2x的图象和函数y ＝log 2|x |的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y ＝－2x的图象和函数y ＝log 2|x |的图象的交点个数为2，故选C.2．(2018·山东实验中学诊断)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 因为函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的周期函数．又x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出函数y ＝f (x )(x ∈R )与y ＝g (x )的图象．由图知，函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为8.故选C.题型3 函数零点的应用角度1 已知函数零点所在区间求参数的取值范围典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 用数形结合法(或用分离系数法)．答案 A解析 由题意画出f (x )的图象，如图所示．令g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)，所以g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，可转化为y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)的图象在(－1,1]上有且仅有两个不同的交点．y ＝m (x ＋1)是过定点(－1,0)的一条直线，m 是其斜率．由数形结合知，符合题意的直线位于l 1(x 轴)与l 2之间和l 3与l 4(切线)之间． 因为l 4与y ＝f (x )相切，所以1x ＋1－3＝m (x ＋1)有两个相等的实根，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0有两个相等的实根，即Δ＝9＋4m ＝0，解得m ＝－94.设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，易求k 1＝0，k 2＝12，k 3＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.故选A.角度2 已知函数零点个数求参数的取值范围典例(2018·沈阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2用数形结合法．答案 D解析 由y ＝f (x )－g (x )＝0得f (x )＋f (2－x )＝b ，设F (x )＝f (x )＋f (2－x )，则F (2－x )＝f (2－x )＋f (x )，所以F (2－x )＝F (x )，F (x )关于直线x ＝1对称．当0<x ≤1时，F (x )＝f (x )＋f (2－x )＝2－x ＋2－(2－x )＝2；当x ≤0时，F (x )＝f (x )＋f (2－x )＝2＋x ＋(2－x－2)2＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，作出函数F (x )的图象如图所示，由图象可知，当F (x )＝b 有4个零点时74<b <2，故选D.角度3 利用函数零点比较大小典例(2018·广州一模)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )用零点存在性定理．答案 A解析 函数f (x )，g (x )均为定义域上的单调递增函数， 且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，g (1)＝－1<0，g (e)＝e －1>0，所以a ∈(0,1)，b ∈(1，e)，即a <1<b ， 所以f (a )<f (1)<f (b )．故选A. 方法技巧已知函数有零点(方程有根)，求参数的取值常用的方法1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 2．分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．见角度1,2典例．冲关针对训练1．(2018·昆明统考)已知函数f (x )满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，1x ∈[1,3]，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈[1，3]，－ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，作出其图象，如图所示．设x ∈[1,3]时，直线y ＝ax 与y ＝ln x 的图象相切，其切点为(x 0，y 0)，则1x 0＝a ，所以x 0＝1a ，所以y 0＝1，所以1＝ln 1a ，所以a ＝1e .又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为ln 33，可知曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e .故选C. 2．(2017·湖北二模)已知函数f (x )＝2x＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 A解析 作出y ＝2x，y ＝log 2x ，y ＝－x －1的图象，如图．令函数f (x )＝2x＋x ＋1＝0，可知x <0，即a <0；令g (x )＝log 2x ＋x ＋1＝0，则0<x <1，即0<b <1；令h (x )＝log 2x －1＝0，可知x ＝2，即c ＝2，显然a <b <c .故选A.1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12 B.13 C.12 D ．1答案 C解析 f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a ()e t＋e －t－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.2．(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)答案 B解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B.3．(2017·南昌十校二模)已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，2x，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图所示，观察函数的图象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5，选C.4．(2017·山西监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 B解析 令f (x )＝t ，则方程f [f (x )]＝3即为f (t )＝3，解得t ＝e －3或e 3，当f (x )＝e－3时，解得x ＝e －3－12或x ＝ee －3或x ＝e －e －3；当f (x )＝e 3时，解得x ＝e 3－12(舍)或x＝ee3或x ＝e －e3，则方程f [f (x )]＝3有5个实根，故选B.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·临汾三模)已知函数f (x )、g (x )：则函数y ＝f [g (x )]的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由题意，g (x )＝1，∴x ＝1，故选B.2．(2017·衡水调研)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵a >0，∴a 2＋1>1，而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．故选B.3．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．[1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意．当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1.若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x ＝－2，不合题意，故选C.4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.5．(2017·河南新乡三模)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( )A ．4或－52B ．4或－2C ．5或－2D ．6或－52答案 C解析 g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.故选C.6．(2017·河南十所名校联考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点，故选D.7．(2017·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.8．(2017·江西赣州一模)函数f (x )，g (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x 2－2x ＋3)＝g (x )，若关于x 的方程g (x )＋sinπ2x ＝0只有5个根，则这5个根之和为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 答案 A解析 由f (x 2－2x ＋3)＝g (x )及y ＝x 2－2x ＋3的图象关于直线x ＝1对称知g (x )的图象关于直线x ＝1对称，由g (x )＋sin π2x ＝0，知g (x )＝－sin π2x ，因为y ＝－sin π2x 的图象也关于直线x ＝1对称，g (x )＋sin π2x ＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A.9．(2017·山东济宁模拟)定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上的函数f (x )满足f (x )＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝ln x ，若函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ln ππ，0 B ．[－πln π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，ln ππ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－eπ，－1π答案 B解析 令x ∈[1，π]，则1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝ln x ，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，－ln x ，x ∈[1，π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图：因为函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，所以直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有交点．由图得，当a 取满足题意的最小值时，直线y ＝ax 与f (x )的图象相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，－ln π，此时－lnπ＝a π⇒a ＝－πln π，由图可得，实数a 的取值范围是[－πln π，0]，故选B.10．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析 要使函数f (x )在R 上单调递减， 只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点，如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a －1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋(4a －3)x 0＋3a ，－1＝2x 0＋(4a －3)，整理可得4a 2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.二、填空题11．(2017·河北模拟)若函数f (x )＝ln (x －1)－3x的零点在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 的值为________．答案 3解析 易知函数f (x )＝ln (x －1)－3x在其定义域上连续，f (3)＝ln 2－1<0，f (4)＝ln3－34>0，故f (3)·f (4)<0，故函数的零点在区间(3,4)上，故k ＝3，故答案为3. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.13．已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意易知a ≠0，令f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝0，变形得|x |－12＝－1ax ，分别作出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1ax 的图象，如图所示．由图易知，当0<－1a <1或－1<－1a<0，即a <－1或a >1时，y 1和y 2的图象有两个不同的交点，所以当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．14．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析 函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得h (x )＋g (x )2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆 x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．三、解答题15．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.16．(2017·江西模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x >0时，g (x )＝x ＋e2x≥2x ·e2x＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2， ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。
(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 2.8函数与方程学案
2.8函数与方程考情分析高考中，通常以选择、填空的形式考查函数零点个数和存在性，往往涉及基本初等函数，导数，解题中要注意数形结合的思想方法。
基础知识1． 函数y=f(x)的零点，实际上就是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x) 的图像与x 轴交点的横坐标。
（1）温馨提示：函数的零点是一个数，而不是直角坐标系中的点。
（2）函数零点的求法：代数法：求方程f(x)＝0的实数根；几何法：不能用求根公式的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系，利用函数性质找出零点 2．零点存在性定理：若函数y =f(x)在区间 [a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且 有()()0f a f b •<，则函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在 ),(b a c ∈，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。
3、二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 三、典型例题： 注意事项1、用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2、(1)函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f (a )·f (b )＞0，f (x )在区间(a ，b )上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要． 3、函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 典型例题题型一 函数零点与零点个数的判断【例1】函数xx x f )21()(21-=的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【变式1】 函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析 法一 函数f (x )＝log 3x ＋x －3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f (2)＝log 32－1＜0，f (3)＝1＞0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．法二 方程log 3x ＋x －3＝0可化为log 3x ＝3－x ，在同一坐标系中作出y ＝log 3x 和y ＝3－x 的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内．答案 C题型二 有关二次函数的零点问题【例2】►是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.【变式2】 关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时 (1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解 解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a －2)(a ＋1)．(1)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧Δ> 0，x 1＋x 2＝2a ＞0，x 1·x 2＝a ＋2＞0，解得a >2.(2)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a <3，f 1>0，f 3>0，解得2<a <115.(3)由已知条件f (2)<0，解得a >2. (4)由已知条件f (1)f (3)<0解得115<a <3.检验：当f (3)＝0，a ＝115时，方程的两解为x ＝75，x ＝3，当f (1)＝0，即a ＝3时，方程的两解为x ＝1，x ＝5，可知115≤a <3.当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，1<a <3⇒a ＝2.即a ＝2时f (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2方程的解x 1＝x 2＝2 ∴a ＝2，综上有a ＝2或115≤a <3.题型三 函数零点性质的应用【例3】设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为( ) A .2 B .4 C. 5 D. 8【变式3】设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ， （1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t sA 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：24t s t =-．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上．因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解，消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．难点突破（1）试作出函数1y x x=+的图像； （2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？解：（1）∵1()f x x x=+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像，又∵0x >时，()2f x ≥，∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)， 又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x=+>>即以y x =为渐近线， 于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：（2）y 是x 的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知，()f x 的图像是图③中实线部分．定义域为R ；值域为[1,)+∞；单调增区间为[1,0),[1,)-+∞；单调减区间为(,1),[0,1)-∞-；当1x =±时，函数有最小值1；函数无最大值． 巩固提高1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2，故选C. 答案 C2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( )． A ．至少有一个 B ．至多有一个 C ．有且只有一个 D ．可能有无数个答案 B3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 答案 B4．在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 C5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上递增．由已知条件f (0)f (1)<0，即a (a ＋2)<0，解得－2<a<0.答案(－2,0)。
【三维设计,广东(文)人教版】2014高考数学第一轮复习考案：第21课 函数与方程 文
【三维设计，广东（文）人教版】2014高考数学第一轮复习考案：第21课函数与方程文零点之和为（ ）A ．21a- B ．21a-- C ．12a-- D ．12a-【答案】D【解析】画出)(x f y =和)10(<<=a a y 的图象，如下图：如图可知两函数的图象共有5个交点，设其交点的横坐标从左到右分别为54321,,,,x x x x x ，则 由∵3(1,0)x ∈-，∴3(0,1)x -∈，且()f x 是奇函数， 4．(2019广州二模）如果函数2()2f x x a x =+-()0a >没有零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(0,1)(2,)+∞ C ．(0,1)(2,)+∞ D ．2)(2,)+∞ 【答案】C【解析】令()0f x =22a x x -=．画出2y x =和2y a x =-的图象，要使2()2f x x a x =+-则2y x =和2y a x =- (0,1)(2,)a +∞，∴(0,1)a ∈(2,)+∞．7．函数()f x 21mx x =--在(0,1)内恰有一个零点，求实数m 的取值范围.【解析】当0m =时，1(0,1)x =-∉当0m ≠时，要使()f x 在(0,1)内恰有一个零点，则只要 (0)(1)0f f ⋅<或1401012m m ∆=+=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得2m >．∴ m 的取值范围是(2,)+∞．10．证明方程24xx +=在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并y=-y=1y=a1x =324-4-2x =-3-1xyOa a 12O xy求出这个实数解（精确到0.2）． 参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解析】（1）设函数()24xf x x =+-，∵(1)10,(2)40f f =-<=>，又∵()f x 是增函数，∴函数()24xf x x =+-在区间[1,2]有唯一的零点，则方程24xx +=在区间(1,2)有唯一一个实数解.（2）取区间[]1,0作为起始区间，用二分法逐次计算如下中点的值 中点函数值 取区间 区间长度(1,2)10 1.5x =()00f x > (1,1.5)0.51x 1.25=()10f x <(1.25,1.5)0.252x 1.375= ()20f x >(1.375,1.5)0.125由上表可知区间[]1.375,1.5的长度为0.1250.2<， ∴函数)(x f 零点的近似值可取1.375（或1.5）．。