甘肃省兰州一中2011-2012学年度高二下学期期末考试 数学理

甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学理试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分100分,考试时间100分钟。

答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.已知复数z =,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅等于 A.16 B.4 C.1 D. 1162若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是 A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数3. 已知数列{}n a 为等比数列，若561516(0),a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +等于A ．b aB ．22b aC ．2b aD ．2b a 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 13D. 235．已知三个函数 ()2xf x x =+，()2g x x =-，2()log h x x x =+的零点依次为,,a b c则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种 7.若|8||2|)(-++=x x x f 的最小值为n ，则二项式nxx )2(2+的展开式中的常数项是 A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项 8.若[]2,2,k ∈-则过(1,1)A 可以做两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率为A .21B .41C .43D .139. 已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为10. 以圆222210x y x y +---=内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为A ．76B ．78C ．81D ．84第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11. 01263459C C C C ++++ = .（用数字作答）下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图， 则图中判断框应填 ，输出的s = .13．不等式组0013x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域的面积是 .14．已知半径为4的球O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分)8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个 数为X .（1）求X 的分布列； （2）求1(20)1X P X +-≥-16. (本小题8分)已知向量m =（sin A ，sin B ），n =（cos B ，cos A ），m n ⋅=sin 2C ，且△ABC 的角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ． （1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c .17.（本小题8分）在长方形AA 1B 1B 中，AB =2AA 1，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点（如下左图）． 将此长方形沿CC 1对折，使平面AA 1C 1C ⊥平面CC 1B 1B （如下右图），已知D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ∥平面A 1BE ; （2）求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B .18. (本小题10分)已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,首项为1a ,且2，n a ,n s 成等差数列. （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）若2log n n b a =，nn nb c a =，求数列{n c }的前n 项和T n .19. (本小题12分)已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+（1） 证明()f x 在(0,1)上为减函数；（2） 求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；（3） 当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 210 ; 12. 6i ≤ ； 12345a a a a a a +++++ ； 13.72; 14. 32π. 三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分) .解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2,3,4，则有，………………………1分2226483(2),14C C p X C === 1326484(3),7C C p X C === 0426483(4),14C C p X C ===由此X 的分布列为：………………………3分 （2）1(20)(13)(2)(3)1X P P X P X P X X +-≥=<≤==+=-341114714=+=………………………6分16. (本小题8分).解：（1）sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+=,又sin 2m n C ⋅=， sin sin 22sin cos C C C C ∴==1cos ,2C ∴= ………………………3分又0,C π<< .3C π∴=………………………4分 (2) 由已知得sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=又∵()18CA AB AC ⋅-=，∴18CA CB ⋅= 36ab =即 ………………………6分 由余弦定理得：2222cos 36c a b ab C =+-=∴ 6.c = ………………………8分17.（本小题8分）.解：（1）取1A B 的中点F ,连结,,DF EF111,D F A B A B 分别为，的中点， 11DF A BB ∴∆是的中位线，1111////1122DF BB CC DF BB CC ∴==且 即四边形1C EFD 为平行四边形,1//EF C D ∴1,EF A BE ⊂ 平面11//.C D A BE ∴平面 ………………………4分（2）依题意：1111A B C A BBA ⊥平面平面,11D A B 为的中点，111A CB 且三角形为等腰直角三角形， 111CD A B ∴⊥，由面面垂直的性质定理得 111C D A BB A ⊥平面， ……………………6分1//,C D EF 又 11EF A BB A ∴⊥平面，1,EF A BE ⊂ 平面平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B . ……………………8分18. (本小题10分)解：（1）∵2，n a , n S 成等差数列， 22n n a S ∴=+当1=n 时，111222a S a ∴=+=+，解得12a ∴=． …………………2分 当2n ≥时，．即1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---12n n a a -=即．∴数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列，2.n n a ∴= ……………………5分 （2）22log log 2,n n n b a n ===又nn nb c a =2n n n c ∴= ………………………6分,2232221322211n n n n na b a b a b T ++++=+++= ①.2232221211432+++++=n n n T ② ①—②，得n n T 212121212132++++= .21+-n n………………………8分 111(1)22222212n n n n n n T +-+∴=-=-- ………………………10分 19. (本小题12分)解：（1）证明：设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，12121222()()4141x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）………………………3分 1201x x <<< ，211222,21x x x x +∴>> 1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，∴()f x 在(0,1)上为减函数.………………………4分（2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,2()41xxf x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41xx f x f x --∴-==-+2()41xxf x --∴=-+ ………………………6分 (1)=(1)(1)=(1)f f f f --- 又，且 (1)(1)=f f ∴=- 2(0,1),410,1,()2(1,0)41xxxx x x f x x ⎧∈⎪+⎪=±⎪∴=⎨⎪-∈-⎪+⎪⎩………………………8分（3）若(0,1),x ∈21()4122x x x xf x ∴==++ 又152(2,),22x x +∈ 21()(,),52f x ∴∈ ………………………10分若(1,0),x ∈-21()14122x x xxf x ∴=-=-++ 12()(,),25f x ∴∈--λ∴的取值范围是1221|=0<<<.2552λλλλ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或-或 ………………………12分。