甘肃省兰州一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题
甘肃省兰州一中度高二数学上学期期末考试文
兰州一中2010-2011学年第一学期高二年级期末考试数学试题（文）第Ⅰ卷注意：考试时间100分钟，满分100分，选择答案填入答题卡内，交卷时只交第Ⅱ卷。
一、 选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分）1、若直线m 不平行于平面α，且m α⊄，则下列结论中正确的是 （ ） A 、α内的所有直线与m 异面 B 、α内不存在与m 平行的直线 C 、α内存在唯一的直线与m 平行 D 、α内的直线都与m 相交2、空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上且2OM MA =,N 为BC 的中点，则MN = （ ）A 、121232a b c -+ B 、211322a b c -++ C 、112223a b c +- D 、221332a b c +-3、若直线l 与平面α所成的角为3π，直线a 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是 （ ） A 、2(0,]3π B 、2[,]33ππ C 、(,]32ππ D 、[,]32ππ 4、设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为 （ ）A 、6B 、2C 、12 D5 、过双曲线2224x y -=的右焦点F ，作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=这样的直线存在 （ ）A 、一条B 、两条C 、三条D 、四条6、抛物线2y ax =的焦点坐标为 （ ）A 、（14a ，0） B 、(,0)4a C 、1(0,)4a D 、(0,)4a7、在ABC ∆中，若AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，8PA =，则点P 到直线BC 的距离为 （ ）A 、B 、C 、 D8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）A B C D 9、长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,AA AB AD ===点E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是 （ ）A 、arccos5 B 、arccos 5C 、4πD 、2π10已知12,F F 是双曲线22:1C x y -=左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A B C D2010-2011-1学期兰州一中高二年级期末考试数学试题及答案（文）第Ⅱ卷一、选择题答题卡二、填空题（本大题包括5小题，每小题4分，共20分）第 3 页 共 8 页 11、已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0),||29b a b λ=+=且0λ>，则λ= ３ .12、已知圆心在x 轴上，C 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是22(2)2x y ++=.13、已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲E0y ±=.14、若抛物线C:22y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点A 在x 轴的上方，则||||AF FB = 15、给出下面四个命题：①“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α//平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等. 其中真命题的序号是 ② ④ .(写出所有真命题的序号)三、 解答题（本大题包括5小题，共40分）16、（8分）如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 、F 分别为'DD 、''C D 的中点. （Ⅰ）求证：'//B F 平面'A BE ；（Ⅱ）求直线BE 和平面''ABB A 所成角的正弦值. （Ⅰ）证明：连结'AB 交'A B 于O ，''ABB A 是正方形，O ∴为正方形''ABB A 的中心，连结OE 、EF ，则'//EF OB ，且'EF OB =，∴四边形'EFB O 是平行四边形， ∴'//EO FB ，又点'B 不在平面'A BE 上，∴'//B F 平面'A BE （３分） （Ⅱ）取'AA 的中点M ，连结EM ，BM ．∵E 是'DD 的中点，四边形''ADD A 是正方形，∴//.EM AD又AD ⊥平面''ABB A ，∴EM ⊥平面''ABB A ，从而BM 是BE 在平面''ABB A 上的射影，EBM ∠是直线BE 和平面''ABB A 所成的角。
2012-2013学年甘肃兰州一中高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
甘肃兰州一中2012—2013学年度上学期期末考试高一数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.1.300tan 的值为 （ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3-2. 已知(4,1),(1,)AB BC k ==-，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为 （ ） A. 4 B. 4- C. 14-D. 143．已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是 （ ） A ． 12e e 在方向上的投影为cos θ B ． 121e e ⋅=C ． 2212e e =D ． 1212()()e e e e +⊥-4. 已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D. 0BD BE FC --=5. 已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 8D. 166. 下列关系式中正确的是 （ ）EFDABCA. sin11cos10sin168<<B. sin11sin168cos10<<C. sin168sin11cos10<<D. sin168cos10sin11<<7. 已知3sin(30)2α+=，则cos(60)α-的值为 （ ） A.12 B. 12- C. 32D. 32- 8. 若1,2,,a b c a b c a ===+⊥且，则向量a b 与的夹角为 （ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 1509. 已知平面上四点A ，B ，C 满足()0BC BA AC +⋅=，则△ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形10. 已知3cos()45x π+=-，且x 是第三象限角，则1tan 1tan x x +-的值为 （ ） A. 34－ B. 43－ C. 34 D. 4311. 已知函数()sin(),(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 （ ） A.2π B. 83π C. 4π D. 8π12. 已知A ，B ，C 三点不在同一条直线上，O 是平面ABC 内一定点，P 是△ABC 内的一动点，若1(),[0,)2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞，则直线AP 一定过△ABC 的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 函数1tan y x =-的定义域是 __________________________. 14. 函数2sin cos y x x =+的值域是________________________. 15. 下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数；② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；③ 8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程； ④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解.16. 在△ABC 中，AB = 4，AC = 3，60A ∠=，D 是AB 的中点，则CA CD ⋅=______. 三、解答题（本大题共5小题，共48分）17. （6分）已知点A (1,1)-，点B (1,2)，若点C 在直线3y x =上，且AB BC ⊥.求点C 的坐标.18. （8分）已知sin()3sin()2()112cos()cos(5)2f παπααπαπα++--=---. （Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）已知tan 3α=，求()f α的值．19．（11分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，255a b -=． （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．20. （11分）已知向量(3,cos2),(sin 2,1),(0)a x b x ωωω==>，令(),f x a b =⋅且)(x f 的周期为π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若[0,]2x π∈时()3f x m +≤，求实数m 的取值范围．21. （12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值3-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅲ）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题（本小题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBABBCCADDA二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. (,]24k k k Z ππππ-++∈ 14. 5[1,]4- 15. ①③ 16. 6 三、 解答题（本大题共5小题，共48分）17.【解析】设C （x ，3x ），则(2,1),(1,32)AB BC x x ==--44122(21)320(,)555x x x C ∴-+-=∴=∴ ……………6分18．【解析】（Ⅰ）cos 3sin ()2sin cos f ααααα+=-+ ……………4分（Ⅱ）13tan 10()22tan 15f ααα+===--+- ……………8分 19．【解析】（Ⅰ）||1,||1a b == 又24||5a b -=432255a b a b ∴-⋅=∴⋅= 即3cos cos sin sin 5αβαβ+=()3cos 5αβ∴-= ……………5分（法二）(cos ,sin )a αα=， (cos ,sin )b ββ=，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．255a b -=， ()()2225cos cos sin sin 5αβαβ∴-+-=， 即 ()422c o s 5αβ--=， ()3c o s 5αβ∴-=． （Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<，()3cos 5αβ-=， ()4sin .5αβ∴-=5sin 13β=-， 12cos 13β∴=，()()()sin sin sin cos cos sin 412353351351365ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭……………11分20. 【解析】（Ⅰ）()3sin2cos22sin(2)6f x a b x x x πωωω=⋅=+=+∵)(x f 的周期为π ∴1=ω ()2s i n (2)6f x x π∴=+ ……………5分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1sin(2)[,1]62x π∴+∈- ()[1,2]f x ∴∈- 231m m ∴+≤∴≤ ……………11分21. 【解析】（Ⅰ）由题意，3A = 72(),1212T πππ=-= 2 2.Tπω== ……2分 由22122k ππϕπ⨯+=+ 得2,3k k Z πϕπ=+∈又 ,3ππϕπϕ-<<∴=()3s i n (2)3f x xπ∴=+ ……4分（Ⅱ）由3222232k x k πππππ+≤+≤+ 得722266k x k ππππ+≤≤+ 71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈7(),]1212f x k k k Z ππππ∴++∈函数的单调递减区间为[……8分 （Ⅲ）由题意知，方程1sin(2)36m x π-+=在,]36ππ[-上有两个根.2,]2,]36333x x πππππ∈∴+∈[-[-13,1)[331,7)62m m -∴∈∴∈+[ ……12分。
甘肃省兰州一中高二数学上学期期中考试试题新人教A版
2012—2013学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1. 算法共有三种逻辑结构:顺序结构,条件结构,循环结构,在下列说法中正确的是( ) A.一个算法中只能含有一中逻辑结构 B.一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构 C.一个算法中必须含有以上三种逻辑结构 D.一个算法中可以含有以上三种逻辑结构2. 如图所示的程序框图中,输出S 的值为( )A.10B.12C.15D.18 3. 数4557、1953、5115的最大公约数应该是 （ ）A ．651B ．217C ． 93D ．314．取一根长度为3m 的绳子拉直后在任意位置剪断,则剪断后 两段绳子的长度均不小于1m 的概率为( ) A.21 B.31 C.41D .不能确定 5. 已知0a >，函数2(),f x ax bx c =++若0x 满足关于x 的 方程20,ax b +=则下列为假命题的是则（ ）A. 0,()()x f x f x ∃∈≤R ，B. 0,()()x f x f x ∃∈≥RC. 0,()()x f x f x ∀∈≤RD. 0,()()x f x f x ∀∈≥R6.x 是12100,,,x x x 的平均值， 1a 是1240,,,x x x 的平均值，2a 是4142100,,,x x x 的平均值，则下列式子正确的是（ ）A .12235a a x +=B .12325a a x += C .12x a a =+ D .122a a x +=7．已知焦点在y 轴上的椭圆方程为22174x y m m +=--，则m 的范围为（ ） A ．（4,7） B .（5.5,7） C .(7,)+∞ D .(,4)-∞8. 对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：x 2 4 5 68第2题A. 6.517y x =+B. 6.518y x =+C. 6.517.5y x =+D. 6.527.5y x =+9．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（ ）A .12 B .13 C .14 D .1510. 以半径为1的圆内任一点为中点作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是（ ）A .12 B .13 C .14 D .1511. “3x ≠或5y ≠”是“15xy ≠”的（ ）A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件12．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
精品解析：甘肃省兰州市第一中学高二上学期考数学试题解析
【详解】试题分析：在数列 中，
ห้องสมุดไป่ตู้故选A.
7.已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则 ＝（ ）
A. B.－ C. D. 或－
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为－1，a，b，－4成等差数列，所以公差为 ，所以 ；因为－1，c，d, e，－4成等比数列，所以 ， ，所以 ．所以 = ．
所以
点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对等比数列的性质的掌握能力.(2)等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即 成等比数列.本题利用这个性质解答比较简洁，如果直接代等比数列前n项和公式，计算量有点大.
6.在数列 中， ， ，则
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
10.已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， 若 ，则 （）
A B. C. D.
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的性质以及前n项和公式即可求解.
【详解】 ，
故选：A.
11. 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， 且满足 ，若 恒成立，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【11题答案】
【详解】因为题中数列的第 项为 ，
而 ，
所以 是题中数列的第23项.
故选：B.
【点睛】本题考查数列项数的确定，属于基础题.
3.已知 ， ，则
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】 ,
,
两式相加得： ，则 ，选A.
4.等差数列 中， ， ，则此数列前 项和等于（）
甘肃省兰州一中2013-高二上学期期中考试数学试题
甘肃兰州一中2013—2014学年度上学期期中考试高二数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共36分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．)1．看下面的四段话，其中是解决问题的算法的是A．把高一5班的同学分成两组，高个子参加篮球赛，矮个子参加拔河比赛.B．把高一5班的同学分成两组，身高达到170 cm的参加篮球赛，不足170 cm的参加拔河比赛.C．做饭必须有米.D．从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数.2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:50,60),70,80), 90,100hslx3y3h加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A．588 B．480 C．450 D．120（第3题）4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球5．总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成. 利用下面的随机数表选取5个个体，选 取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则 选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．016. 两名运动员成绩的标准差分别是12,s s ，12,x x ,分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ．12x x =，12s s <B ．12x x =， 12s s >C ．12x x >， 12s s >D ．12x x =， 12s s = 7. 设集合M={x | x >2},P={x |x <3},那么“x ∈M,或x ∈P”是“x ∈（M∩P ）”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. “若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题是A ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0B ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0C ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0D ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝09. 在下列叙述中，正确的是①""q p ∧为真命题是""q p ∨为真命题的充分不必要条件 ②""q p ∧为假命题是""q p ∨为真命题的充分不必要条件 ③""q p ∨为真命题是""p ⌝为假命题的必要不充分条件④""p ⌝为真命题是""q p ∧为假命题的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④10．从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率是A ．52 B ．32 C ．72 D ．43 11．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：x2 4 5 6 8 y3040605070若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为 A. 6.517y x =+ B. 6.518y x =+ C. 6.517.5y x =+ D. 6.527.5y x =+ 12. 在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为 A ．31 B ．π2C ．21D ．32 第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共24分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 13. 91和49的最大公约数为 .14.下列说法中正确的是 （请将你认为正确的序号填在横线上） ①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．15． 已知函数y ＝⎩⎨⎧-+，x ，x 232 流程图表示的是给定 x x ≤3,x ＞3值，求其相应函数值的算法．请将该流程图补充完整．其中①处应填 ， ②处应填 ，若输入x ＝3，则输出结果为16.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下图: 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________.17. 10010011(2) = (10) = (8). 18. 命题“200,10x R x ∃∈+<”的否定是 .三、解答题（本题共4小题，共40分）19．（8分）袋中装有5个均匀的红球和白球，其中红球4个，白球1个.(1)从袋中不放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？ (2)从袋中有放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？20.（8分）假定在银行中存款10 000元，按11.25％的年利率，即一年后连本带息将变为11125元，若将此款继续存人银行，试问这10000元经过几年就会连本带利翻一番？请用直到型或当型写出框图并写出相应程序.(第16题)21. （12分）乳制品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5，现从一批该乳制品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件乳制品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的乳制品记为123,,x x x ，等级系数为5的乳制品记为12,y y ，现从这5件乳制品12312,,,,x x x y y 中任取两件（假定每件乳制品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件乳制品的等级系数恰好相同的概率.22. （12分）已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程 4x 2＋4(m －2)x＋1＝0无实根，若""q p ∨为真命题，""q p ∧为假命题，求实数 m 的取值范围 ．参考答案高二数学答案第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共36分)第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共24分）13． 7 14． ③15． ?3≤x ， 23x y -= ， 516． 2 17． 147(10) ， 223(8)18． 01,2≥+∈∀x R x 使得三、解答题（共4题，共40分）19．（8分）袋中装有5个均匀的红球和白球，其中红球4个，白球1个.(1)从袋中不放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？ (2)从袋中有放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？ 解：记事件A 为摸到白球；则（1）52451441)(=⨯⨯+⨯=A p …………………………4分（2）2595511441)(=⨯+⨯+⨯=A p …………………………4分 20. 解 直到型： 当型：直到型当型21.（12分）解：（1）由频率分布表得 0.30.351a b c ++++=，即0.35a b c ++=．因为所抽取的20件乳制品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.1520b ==， 又因为所抽取的20件乳制品中，等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==，于是0.350.150.10.1a =--=．所以0.1a =，0.15b =，0.1c =． …………………………6分 （2）从5件乳制品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}1213111223,,,,,,,,,x x x x x y x y x x {}{}{}{}{}2122313212,,,,,,,,,x y x y x y x y y y所以所有可能的结果共10个．设事件A 表示“从这5件乳制品12312,,,,x x x y y 中任取两件，等级系数恰好相等”，则A 包含的事件为{}{}{}121323,,,,,x x x x x x ，{}12,y y 共4个，所以所求的概率()40.410P A ==． ……………12分22.（12分） 解： 若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆042m m 解得m ＞2，即p ：m ＞2 …………………………2分 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 …………………………4分 解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3. …………………………6分 因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 …………………………10分解得：m≥3或1＜m≤2. …………………………12分。
甘肃省兰州一中2012届高三年级期末考试试题(数学理)
兰州一中2011—2012学年度高三期末考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．在复平面内，复数1ii+＋（1＋3i ）2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知25,2(),1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 在2x =处连续B ．(2)1f =-C ．2lim ()1x f x →= D ．2lim ()1x f x →=-3．下列命题中错误的是 （ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么直线⊥l 平面γ4．已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6． 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B．a b +≥C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 7．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为,1)，则z O M O =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C．D．8．sin(2)3y x π=+的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12π-中心对称（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位9．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（ ）10． 有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25D ．1511．已知圆O ：221x y +=，点P 是椭圆C ：2214x y +=上一点，过点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ∆的面积的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．14D12．已知球的直径SC = 4，A ，B是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S -ABC的体积为（ ）A． B． CD ．19二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +-=-，则a 与b 的夹角为 ． 14．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c ．18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4， E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （I ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；（II ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．19．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0．6,0．5,0．5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率； （II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数/1()f x x=，/()()().g x f x f x =+（I ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （II ）求a 的取值范围，使得1()()g a g x a-<对任意0x >成立．21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n +=2，且11+-=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ． （I ）求证：}1{-n a 为等比数列； （Ⅱ）求n T ；（III ）设*()(21)ln(21)1,()nnf x x x x n N =-+-+-+∈，求证：().2(1)nn T f x T ≥+22．（本小题满分12分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)00(1:2222>>=b a by a x E ，-上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为.51（I ）求双曲线的离心率； （II ）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E 于B A ，两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．A 12．C 二、13．3π14．2- 15．)1(21e e + 16．②③④ 三、17．由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C +=，∴cossin224sin cos 22C CC C +=， ∴14sin cos 22C C =，∴1sin 2C =，又(0,)C π∈，∴566C C ππ==，或． ∴B C =，6B C π==，2()3A B C ππ=-+=．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得1sin 2sin Bb c a A ====．18．解法一：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF ．（I ）如图1，连结NF 、1AC ，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1A C ． 又底面ABC侧面1A C =A C ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面1A C ，∴NF 为EF 在侧面1A C 内的射影，在Rt CNE ∆中，cos60CN CE =︒=1，则由114CF CN CC CA ==，得NF //1AC ，又11,AC AC ⊥故1NF A C⊥，由三垂线定理知1.EF A C ⊥（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME ，由（I ）知EN ⊥侧面1A C ， 根据三垂线定理得EM AF ⊥,所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=． 设,045FAC αα∠=︒<≤︒则，在Rt CNE ∆中，sin 60NE EC =⋅︒=在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ∆=⋅=中故tan NE MN θ==又0,0sin 42παα<≤∴<≤sin 2α=即当45α=时，tan θ达到最小值，tan θ==，此时F 与1C 重合．解法二：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥（II ）设(04)CF λλ=<≤平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则由（I ）得(0,4,)F λ，(3,3,0),(0,4,),AE AF λ== 于是由,m AE mAF ⊥⊥可得0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即 取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θtan θ，由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ 19．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ==+=，()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ∴==+=． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35P P DEF P DEF P DEF ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.5P P D E F ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+==所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.43 1.5 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解：（I ）∵/1()f x x=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =，∴1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴/21()x g x x-=，令/()0g x =得1x =，当x ∈（0，1）时，/()0g x <，()g x 是减函数，故（0,1）是()g x 的单调减区间。
甘肃省兰州一中2013高二数学上学期期末考试试题理含解析新人教B版
甘肃省兰州一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）新人教B版说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分•满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I卷（选择题）一、选择题（每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上）1 •若点M到定点F i（0, -1）、F2（0,1）的距离之和为2,则点M的轨迹为A.椭圆B.直线F1F2C.线段F1F2D.直线F1F2的垂直平分线【答案】C【解析】因为MF,|MF2=2 =FT2 ,所以点M的轨迹为线段RF?。
2.若a = b,且ab = 0,则曲线bx-y+a=0和ax2 by2 = ab的形状大致是下图中的【答案】A2 2【解析】直线方程y=bx+a，圆锥曲线方程—•丄=1:b a、x2 y2当a 0,b・0且a =b时，圆锥曲线方程1表示椭圆，此时直线方程y=bx+a的斜b a率为正，在y轴上的截距为正，因此选项BD错误；2 2当a 0,b <0时，圆锥曲线方程—1 =1表示焦点在y轴上的双曲线，此时直线方程b a当1-k 2=0时，要满足题意，须： 厶=16k 2,24 1-k 2 = 0,即k 二 3 ,y=bx+a 的斜率为负，在 y 轴上的截距为正，因此选项C 错误，因此选 A 。
3.下列命题中正确的是A.若a//b ，b//c ，则a 与c 所在直线平行B. 向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面C. 空间任意两个向量共面D. 若a//b ，则存在唯一的实数，，使a 「b 【答案】C【解析】A.若a//b ，b//c ，则a 与c 所在直线平行，错误。
当 b=0时不成立;B. 向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面，错误。
因为空间平行的向量也是共面的;C. 空间任意两个向量共面，正确；D.若a//b ，则存在唯一的实数•，使a 二• b ，错误，当b=0时不成立。
甘肃省兰州市高二上学期期末考试数学试卷 有答案
甘肃省兰州市第一高二上学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题pq 为真命题，pq 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（ ） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A ．230x y -=B ．320x y +=C ．940x y -=D ．490x y -= 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ． 焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（ ）A 4B ．2C 4D ．26．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B ．若命题:R p x ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：2R 10x x x ∀∈++≠，.C ．若命题p :1,x <-或1x >；命题q :2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.D ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()()2ka b a b +⊥-，则k 的值为（ ） A ． 1 B ．75C ．35D ．158．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（ ）A B C D 9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦 值是（ ）A 2B ．12C ．817D ．151710．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ． (1，+∞) B ．(1,2) C ．(1,1+2) D ．(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线22y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①a b a b -=+是,a b 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面. ③如果0<⋅,那么与的夹角为钝角④若{},,a b c 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则//m n . 其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若:m n =，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为 ．参考答案第I 卷（选择题）一、选择题二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．①③ 13．13 14三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4, （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=.解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,， 解得6λ=故双曲线方程为226x y -=. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b ==，c =， ∴()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =--， ∴2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴23m =，即120MF MF ⋅=.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点A （1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求AQB ∠的最大值. 解析：（Ⅰ）设)y ,x (P ，则24>=+PB PA ,∴所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是13422=+y x ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设,n QB ,m QA ==则4=+n m2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当n m =时取“=”，),(AQB π0∈∠ ，∴AQB ∠的最大值是3π.……………………………………………………10分 注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AC AA BC ∠====. （Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① 由D为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面11B C D ，又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD 平面11B C D .………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴1160.B EC ∠= 由B 1C 1=2知，13C E =， 设AD=x，则DC =∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD ……………………………………………………12分C 11A 1BA DC解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD C 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD 平面11B C D …………………………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令 得(,1,1)m a =-， 又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =，则由212160cos 2=+a，即a =，故AD = ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C共点，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥求四边形12F MNF 面积S 的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又1c =，故23b =．从而，椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………6分设11d F M ==，22d F M ==， …………………………8分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-⇒=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=， …………………………10分又2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =．故四边形12F MNF 面积S的最大值为 ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………10分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为…………………………………12分。
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2012~2013学年第一学期高二期末考试数学试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中．)
1．若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4
2．(理)已知向量a =(3，5，-1)，b =(2，2，3)，c =(4，-1，-3)，则向量2a -3b +4c 的坐标为( )
A ．(16，0，-23)
B ．(28，0，-23)
C ．(16，-4，-1)
D ．(0，0，9)
(文)曲线y =4x -x 2上两点A (4，0)，B (2，4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为( )
A ．(1，3)
B ．(3，3)
C ．(6，-12)
D ．(2，4)
3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．已知双曲线22
2112
x y a -=的离心率2，则该双曲线的实轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．
D ．
5．在极坐标系下，已知圆C 的方程为ρ=2cos θ，则下列各点中，在圆C 上的是( )
A ．(1，-3π)
B ．(1，6π)
C ．
，34π) D ．
54
π) 6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是( )
A ．312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
B ．312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
C ．32x x y y '=⎧⎨'=⎩
D ．32x x y y
'=⎧⎨'=⎩ 7．在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( ) A ．(2，-7) B ．(1，0) C ．(12，12) D ．(13，23
) 8．极坐标方程ρ=2sin θ和参数方程231x t y t =+⎧⎨
=--⎩(t 为参数)所表示的图形分别为( ) A ．圆，圆 B ．圆，直线
C ．直线，直线
D ．直线，圆 9．(理)若向量a =(1，λ，2)，b =(2，-1，2)，a 、b 夹角的余弦值为
89，则λ=( ) A ．2 B ．-2
C ．-2或255
D ．2或-255 (文)曲线y =e x +x 在点(0，1)处的切线方程为( )
A ．y =2x +1
B ．y =2x -1
C ．y =x +1
D ．y =-x +1
10．(理)已知点P 1的球坐标是P 1(4，2π，
53π)，P 2的柱坐标是P 2(2，6π，1)，则|P 1P 2|=( )
A B C D ．(文)已知点P 在曲线f (x )=x 4-x 上，曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0，则点P 的坐标为( )
A ．(0，0)
B ．(1，1)
C ．(0，1)
D ．(1，0)
11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A ．(
32，+∞) B ．(1，32) C ．(2，+∞) D ．(1，2) 12．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )
A ．5
B ．10
C ．20
D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．)
13．(理)已知空间四边形ABCD 中，G 是CD 的中点，则1()2
AG AB AC -+= ．
(文)抛物线y =x 2+bx +c 在点(1，2)处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是 ．
14．在极坐标系中，设P 是直线l ：ρ(cos θ+sin θ)=4上任一点，Q 是圆C ：ρ2=4ρcos θ-3上任一点，则|PQ |的最小值是________．
15．(理)与A (-1，2，3)，B (0，0，5)两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件为__________．
(文)函数f (x )=ax 3-x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．
16．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB =4，BC =3，则此双曲线的标准方程为_____________________．
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分12分)
双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同焦点，且经过点4)，求其方程．
18．(本题满分12分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
(t为参数)，若以O为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ
θ+
4
π
)，求直线l被曲
线C所截的弦长．
19．(本题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
20．(本题满分12分)
(文)已知函数f(x)=x2(x-a)．
(1)若f(x)在(2，3)上单调，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在(2，3)上不单调，求实数a的取值范围．
(理)(本题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，P A⊥面ABCD，
P A
AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：
FD=1：2．建立适当坐标系．
(1)求EF的长；
(2)证明：EF⊥PC．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
( )内为文科答案
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)
13．(理)1
2
BD(文
14
1
15．(理)2x-4y+4z=11 (文)a≤0 16．x2-
2
3
y
=1
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)
解：椭圆
22
1
3627
y x
+=的焦点为(0，±3)，c=3，………………………3分
设双曲线方程为
22
22
1
9
y x
a a
-=
-
，…………………………………6分
∵过点
4)，则
22
1615
1
9
a a
-=
-
，……………………………9分
得a2=4或36，而a2<9，∴a2=4，………………………………11分
双曲线方程为
22
1
45
y x
-=．………………………………………12分
18．(本题满分12分)
解：将方程
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
(t为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3分
将方程ρ
θ+
4
π
)化为普通方程得，x2+y2-x+y=0，……………6分
它表示圆心为(1
2
，-
1
2
)
，半径为
2
的圆，…………………………9分
则圆心到直线的距离d=
1
10
，…………………………………………10分
弦长为
7
5
==．…………………………………12分
20．(文)(本题满分12分)
解：由f(x)=x3-ax2得f′(x)=3x2-2ax=3x(x-2
3
a
)．…………3分
(1)若f(x)在(2，3)上单调，则2
3
a
≤0，或0<
2
3
a
≤2，解得：a≤3．…………6分
∴实数a的取值范围是(-∞，3]．…………8分
(2)若f(x)在(4，6)上不单调，则有4<2
3
a
<6，解得：6<a<9．…………11分
∴实数a的取值范围是(6，9)．…………12分
20．(理)(本题满分12分)
解：(1)以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立直角坐标系，…………2分
由条件知：AF=2，…………3分
∴F(0，2，0)，P(0，0，，C(8，6，0)．…4分
从而E(4，3，∴EF．…………6分
(2)证明：EF=(-4，-1，，PC=(8，6，，…………8分
∵EF PC
⋅=-4×8+(-1)×，…………10分
∴EF⊥PC．…………12分。