围棋中的数学问题ppt(1)
“方阵问题”教案
植树问题——“方阵问题”教课内容：人教版教科书五年级上册数学广角第108 页例 3 及部分练习。
教课目的：1、经过操作、察看与沟通，研究关闭图形中间隔摆列的简单规律，并将其应用到显示生活中解决问题。
2、让学生利用已有知识，解决围棋中的数学识题，并在解决问题中认识关闭图形的植树棵树的规律：间隔总数=最外层总数。
3、感觉角上有重复计数问题的特点，提升解决这种问题的基本能力。
培育学生运用直观图示解决问题的意识与能力。
4、初步培育学生从实质问题中研究规律，找出解决问题的有效方法的能力。
5、让学生感觉方阵问题在平时生活中的宽泛应用，培育孩子们的审美能力。
6、经过小组合作沟通，培育学生仔细聆听别人建议，乐于与人合作，从不同角度赏识别人的优秀心态。
教课要点：1、从关闭曲线（方阵）中商讨植树问题的过程。
2、掌握解决方阵问题最优化的思路和方法。
教课难点：1、从简单问题下手，商讨研究和解决方阵问题过程。
2、用数学的方法解决实质生活中的简单问题，特别是知道总数求最外层的数量。
教课准备： 3×3 格、 4×4 格、 5×5 格方格纸、围棋子若干粒学情及教材剖析：解读教材，我们能够看到，不论是主题情境仍是做一做的问题，都是在研究：角上有重复计数的数学识题。
但教课参照在“教材说明”时却指出：“例 3 则借助围棋盘来商讨关闭曲线 ( 方阵 ) 中的植树问题。
”但是在“教课建议”详细睁开时，主要仍是在论述角上有重复计数的数学识题。
由于，教材的学习情境其实不适适用来研究关闭曲线中的植树问题。
假如要让学生经过“围棋盘最外层摆放的棋子数等于最外层每两个棋子间的间隔数，最外层每边有18 个间隔，最外层总合摆放的棋子数是 18×4=72”经过这样的方式去求“最外层一共能够摆放几个棋子” ，其一学生没有相应的学习需求；其二要实现从“棵数”到“段数”的转变，再从“段数”到“棵数”的转变，从“关闭图形上的植树问题”转变为“一端种一端不种的直线上的植树问题” ，对于学生而言是拥有相当的难度。
八年级数学上册 第三章 位置与坐标 1 确定位置课件上册数学课件
例 某次海战中敌我双 方舰艇对峙示意图
北
小岛
B
（1）对我方舰艇来说，
40°
北偏东40度的方向上有哪 西
敌方战舰B
东
些目标？要确定敌舰B的
我方舰艇 O 20海里ห้องสมุดไป่ตู้C
位置，还要知道什么？
敌方战舰C
20海里
敌方战舰B和我方舰艇的 距离。
A
敌方战舰A
南
北
（2）距离我方舰艇20海里处 的敌舰有哪几艘？
小岛
4．举出在空间确定物体位置 的一种方法， 在你的方法中用到了几个数据？
5.如下图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的 几手棋，为记录棋谱方便，纵线用数字表示，横线用英 文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋 ②的位置可记为(E，3)，则黑棋⑨的位置应记为 (D，6) .
在直线上，确定一个点的位置一般需要一个数据； 在平面内，确定一个点的位置一般需要两个数据； 在空间内，确定一个点的位置一般需要三个数据.
第三章 位置与坐标
1 确定位置
情景导入
1. 给你一张电影票，你是如何找到自己的座位的？
2. 电影票上，“6排3号”与“3排6号”中的“6” 的含义有什么不同？
议一议
1. 电影院内，确定一个位置一般需要几个数据？ 为什么？ 答:两个数据，排数和号数。
2. 在生活中,确定物体的位置还有其它方法吗 ?
B
40°
敌方战舰A，敌方战舰C 西
敌方战舰B
东
我方潜艇 O 20海里 C
20海里
（3）要确定每艘舰艇的位
敌方战舰C
置，各需要什么数据？ A
方位角和距离
敌方战舰A
南
人教版小学数学三年级上册分数的初步认识课件(共27张PPT)
8
16 32
4
1 4
=
2 8
=
4 16
请用上题的方法在（）里填上适当的数字。
1
(10)
7 = 70
4
1
12 = ( 3 )
(60) 6 100 = 10
请用上题的方法在（）里填上适当的数字。
1 16
=( 2 )个
1 32
12
2
个
是 32
32
1、下面是一排小朋友的自画像共 有9人，请你圈出它的三分之一。
谜语两则： 1、再见吧，妈妈！ 2、下第二盘围棋之前。
几分之一和几分之几的认识 读、写分数 比较分数大小
你能用分数表示下列图形的阴影部分吗？
1
1
4
6
1
2
3
3
02
1
9
1
2
6
9
1
2
2
4
有些没有平均分的图形,我们可以通过移一移、 割一割到达平均分的要求，再用分数来表示！
请仔细视察左图中阴影部分 和空白部分！
看图填空
有( 2)个,占全部的
((120))它有( 2)个
1; (10)
看图填空
有(
4
)个,占全部的(
4 10
),它有(
4 )个(
1 10
);
看图填空 如果要使 正好占全部的二分之一,有什么办法?
想一想,你能用一种简便的方法计算
下题吗？
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1
几没喝？
7
1—
2 7
—
5、方阵问题
5、方阵问题学习目标:1、使学生认识方阵中的数学问题，理解什么是方阵，理解实心方阵和空心方阵的含义。
2、通过学生自主探究，引导学生经历探索过程，发现方阵排列的规律，体验解决问题策略的多样性。
3、让学生感受数学在日常生活中的广泛运用，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法与能力。
教学重点:1、每条边与四周的数量关系，相邻两条边之间的数量关系，掌握方阵每层之间的数量关系。
2、求实心方阵的总数量。
教学难点：探究与解决方阵问题的过程，以及求空心方阵的总数量。
教学过程：一、情景体验师：同学们，今天上课之前我们先来看一组图片（课件展示），从这组图片中你都看到了些什么呢？生：国庆阅兵仪式中的仪仗队。
生：学校运动会时学生列队正走过主席台呢。
师：看来同学们观察的都很仔细。
这就是我们今天要探究的数学问题（板书课题）。
你们知道什么是方阵吗？其实刚刚我们图片中的一个一个整齐的队伍就是一个方阵，观察一下它的横向和纵向人数有什么关系呢？生：人数是一样的，都是7个人。
师：像这样行数和列数相等的队列我们就把它叫做方阵。
横向的我们把它叫做行，竖向的我们把它称作列，再认真观察一下，这两个方阵有什么不同吗？生：后面一个中间是空的。
师：很好，一般情况下我们把方阵分为实心方阵和空心方阵，每行每列都布满了点的我们称作实心方阵，只留下了最外层或者最外几层的，中间层是空心的，我们就叫做空心方阵。
在日常生活中，除了正方形的体操队列以外，你还在哪里见过方阵呢？生：正方形的花坛周围摆放花盆，插旗杆，棋盘等等（学生发言）。
师：说的都不错！方阵在我们的生活中随处可见，在这些美丽的方阵图片里还蕴含着很多有趣的数学问题呢！你们知道吗？今天就让我们一起去探索其中的奥秘吧！二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？师：为了更清晰地研究问题，我们可以画出示意图。
人教初中数学七下 5.1.2 垂线(第1课时)课件 【经典初中数学课件】
②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° )
合作探究 达成目标
例1：如图，直线AB,CD相交于点O，OE⊥CD于 O, ∠AOE：∠COE=1:3，求∠BOD的度数。
解：∵OE⊥CD ∴ ∠COE=90°
E
A
D
又∵∠AOE：∠COE=1:3
请 风景4：二元一次方程组的
思 考
解
x=1
x= 2
x=6
y=6 y=5
…
y=1
方程x+y=7的解集
x=6 x=7 y=1 y=3
…
x= 5 y= -1
方程2x-y=11的解集
x=1
x= 2
y=6
y=5
…
方程x+y=7的解集
x=6 x= 7 x= 5
y=1
y= 3
…
y= -1
方程2x-y=11的解集
求a的值. a=7
2. 已知
x=2 y=b
是方程2x+3y=13的一个解，
求b的值. b=3
水天 一色
3. 你能写出以
x 1 为解的二元一次方程．
y3
你还能写出两个以 x 1 为解得二元一次
方程组吗？
y3
4、二元一次方程 x2y 8 的正整数解．
破茧成蝶
1、已知方2程xa3 3y 4 是二元一次方程， a的求值？
创设情景 明确目标
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
购物中的数学问题课件设计.pptx
四、探宝箱
补充购物清单
种类 单价（元/ห้องสมุดไป่ตู้）
数量（副） 总 价（元）
跳棋 6
90
象棋
9 180
围棋 120
8
四、探宝箱
请你选一选
母亲节时小丽要买9支康乃馨送给妈妈， 现有两种包装：一种是单支装的23元/支； 一种是一束9支装的共189元。你觉得怎样 买合算？
五、谈收获、回顾梳理
分别需要多少钱？
生活现象
应用
发现数学信息
提出问题 分析问题 解决问题
发现关系
单价 × 数量 = 总价 总价 ÷ 数量 = 单价 总价 ÷单价 = 数量
回到生活，解决更多的问题
商品 单价 数量 计算器 30.00 2
金额 60.00
四、探宝箱
火眼金睛辨对错
小明买2支笔花了12元，小明说 12元是笔的单价。
小明说得对吗？为什么？
四、探宝箱
单价、数量、总价三者之间的关系是： 单价 × 数量 = 总价 总价 ÷ 数量 = 单价 总价 ÷ 单价 = 数量 知道其中的两个量，可以根据三者的关系求出第三个量。
一、逛超市
二、找信息
彩泥 1盒 16元 削笔刀 1个 26元 闹钟 1个 12元
单价
三、说发现
16 × 3 = 48（元） 26 × 2 = 52（元） 12 × 3 = 36（元）
为什么用乘法？
四、探宝箱
四、探宝箱
王老师的购物小票
家家悦超市的购物小票 2019/4/5 18:12:08 收银员：0321 机号：02 单号：0890
五年级数学思维拓展训练ppt课件
完整版ppt课件
31
第三讲 巧算24点
3，3，5，6 2，2，4，8 1，4，4，5 6，8，8，9
完整版ppt课件
32
第三讲 巧算24点
5，7，12，12 2，2，6，9 2，6，9，9 1，4，4，7 2，2，5，7
完整版ppt课件
33
小学数学
五年级数学思维拓展训练
完整版ppt课件
34
第四讲 相遇问题
完整版ppt课件
8
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞 进同一个鸽舍里。为什么？
完整版ppt课件
9
例2、把5本书放进2个抽屉中，不管怎么
放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什
么？如果一共有7本书会怎样？9本呢？
完整版ppt课件
10
做一做： 45只鸽子飞回8个鸽舍，至少有多少 只鸽子要飞进同一个鸽舍？为什么？
32×2÷（56－48）＝8（小时） （56＋48）×8＝832（千米）
完整版ppt课件
35
第四讲 相遇问题
1.小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫 出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米？
2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行 40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到离两地中点处50千米 时和汽车相遇。甲、乙两地相距多少千米？
20÷13=1（张）… …7（张） 1+1=2（张） 答：至少有2张数字相同。
完整版ppt课件
15
第二讲 抽屉原理
例1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？
为什么？
分析解答：
小学奥数六年级上册数学第1讲《比赛中的推理》课件
每天同时在3个场地各进行一场比赛；已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四
天B对C；那么第五天与A队比赛的是哪个队?
分析：题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示，如图，第二
列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类
巩固提升
mathematics
作业3：六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有 平局比赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名，那么第一名和第四名各得了多 少分? 答案：10分，4分
巩固提升
mathematics
作业4：足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别 在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按 积分的高低排出名次；那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分? 答案：46分
例题讲解
mathematics
练习4：甲、乙、丙、丁4个队举行足球单循环赛，规定：每场比赛胜者得3分，负者得0分， 平局各得1分，已知：(1)比赛结束后4个队的得分都是奇数；(2)甲队总分超过其他各队，名 列第一；(3)乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局，那么丁队得了多少分? 答案：3分
极限挑战
知识精讲 这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题，这些问题有各种不同的形式： 有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球 数的，不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理. 在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来 分析比赛问题，能够让比赛的情况更为直观明了.
2025年中考数学复习好题集锦图形的旋转
2025年中考数学复习好题集锦之图形的旋转一．选择题（共10小题）1．（2024•大庆一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．2．（2024•兴隆台区校级模拟）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线C．费马螺线D．蝴蝶曲线3．（2024•开原市二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2024•化德县校级模拟）在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）5．（2024•良庆区校级模拟）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2024•大冶市一模）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（2024•东莞市模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点O为AC的中点，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．当A′落在AB边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．B．4C．D．8．（2024•陕西）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．39．（2024•厦门模拟）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE．下列角中，是旋转角的是（）A．∠ABD B．∠DBC C．∠ABC D．∠ABE10．（2024•鞍山模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共10小题）11．（2024•殷都区模拟）在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b ＝．12．（2024•东莞市校级一模）在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点坐标为．13．（2024•游仙区模拟）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是．14．（2024•静安区校级二模）如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，过B 作BF⊥AE交AE于点F，将△ABF沿AB翻折得到△ABG，将△ABG绕点A逆时针旋转角a，（其中0°＜a＜180°）记旋转中的△ABG为△AB′G′，在旋转过程中，设直线B′G′分别与直线AD、直线AC交于点M、N，当MA＝MN时，线段MD长为．15．（2024•上高县校级一模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O 向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为．16．（2024•亭湖区校级模拟）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．17．（2024•盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝．18．（2024•青龙县模拟）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB＝．19．（2024•闽侯县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为．20．（2024•绥化三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，边BC所在的直线与旋转后B′C′所在的直线相交于点D，当B′C′∥AB时，CD的长为．三．解答题（共10小题）21．（2024•武汉模拟）如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD 的顶点都是格点，F是AB边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，先作出▱ABCM，再画线段MF的中点E；（2）在图2中，先画点F绕点A逆时针旋转90°的对应点P，再画点P关于AC的对称点Q．22．（2024•凉山州模拟）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于原点的中心对称图形△A1B1C1；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．23．（2024•丰台区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC中点，点E是线段BC上一点，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转α得到线段AF，连接EF．（1）如图1，当点E与点D重合时，线段EF，AC交于点G，求证：点G是EF的中点；（2）如图2，当点E在线段BD上时（不与点B，D重合），若点H是EF的中点，作射线DH交AC 于点M，补全图形，直接写出∠AMD的大小，并证明．24．（2024•东营）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．（1）问题发现如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是，AD与BE的位置关系是；（2）类比探究将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；（3）迁移应用如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．25．（2024•十堰模拟）问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD 绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．拓展探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．26．（2024•镇远县校级二模）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD ＝CE．【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），线段BD和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC＝45°，CD＝，AD＝4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．27．（2024•盱眙县校级模拟）综合与实践在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．证明过程如下：连接CH，∵正方形ABCD沿CE折叠，∴∠D＝∠B＝∠CGH＝90°，①，又∵CH＝CH，∴△CGH≌△CDH，∴GH＝DH．由题意可知E是AB的中点，设AB＝6（个单位），DH＝x，则AE＝BE＝EG＝3，在Rt△AEH中，可列方程：②，（方程不要求化简）解得：DH＝③，即H是AD边的三等分点．“破浪”小组是这样操作的：第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE 交AC于点G；第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN∥AD．【过程思考】（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：，②：，③：；（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；【拓展提升】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D′，射线ED′与菱形ABCD的边交于点F，请直接写出D′F的长．28．（2024•船营区模拟）【特例感知】（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC 在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．【应用拓展】（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F．①如图2，求证：AF＝EF；②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值．29．（2024•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．30．（2024•宁波模拟）综合与实践．综合与实践活动是数学重要的学习内容之一，某活动小组利用两个全等的等边三角形做以下活动探究．【问题情境】（n为正整数），在等边三角形DEF绕点D旋转的过程中，存在M，N分别为AC与DE，AB与DF的交点．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，活动小组探究得出结论：4BN•CM＝BC2，请写出证明过程．【深入探究】（2）如图2，探究线段BN，CM，BC之间数量关系的一般结论，请写出证明过程．【拓展运用】（3）如图3，连接MN，若MN∥BC，BC＝n，求MN的值．（用含n的代数式表示）2025年中考数学复习好题集锦之图形的旋转参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•大庆一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．2．（2024•兴隆台区校级模拟）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线C．费马螺线D．蝴蝶曲线【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．3．（2024•开原市二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．4．（2024•化德县校级模拟）在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【解答】解：在平面直角坐标系中，点（2，1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．（2024•良庆区校级模拟）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据“一个图形沿某个点旋转180度能够与原图完全重合的图形”进行求解即可．【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；B、图形不是中心对称图形，不符合题意；C、图形不是中心对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，不符合题意，故选：A．【点评】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．6．（2024•大冶市一模）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（2024•东莞市模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点O为AC的中点，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．当A′落在AB边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．B．4C．D．【分析】设A′B′与AC交于点D，求出∠ODA′＝90°，，，根据三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：设A′B′与AC交于点D，∵AC＝8，点O为AC的中点，∴，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，当A′落在AB边上时，∠B′A′O＝∠A＝30°，OA′＝OA＝4，∴∠AA′O＝∠A＝30°，∴∠DOA′＝∠A+∠AA′O＝30°+30°＝60°，∴∠ODA′＝180°﹣∠DOA′﹣∠B′A′O＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴，由勾股定理得：，＝A′D•OD＝×2×2＝2，∴S△A′OD即两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为，故选：D．【点评】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．8．（2024•陕西）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【分析】由勾股定理求出AB＝＝6，由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°，因此OA′＝OB′，求出∠BOA′＝90°﹣45°＝45°，得到∠BOB′＝∠BOA′，由等腰三角形的性质得到D是A′B′的中点，由直角三角形斜边中线的性质得到OD＝A′B′＝3．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，∴AB＝＝6，由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴OA′＝OB′，∵△AOB绕点O顺时针旋转45°，∴∠BOB′＝45°，∴∠BOA′＝90°﹣45°＝45°，∴∠BOB′＝∠BOA′，∵OA′＝OB′，∴D是A′B′的中点，∴OD＝A′B′＝×6＝3．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，关键是旋转的性质得到A′B′＝AB，由直角三角形斜边中线的性质推出OD＝A′B′．9．（2024•厦门模拟）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE．下列角中，是旋转角的是（）A．∠ABD B．∠DBC C．∠ABC D．∠ABE【分析】根据旋转角的定义即可解决问题．【解答】解：因为△DBE由△ABC绕点B顺时针旋转得到，所以点A和点D，点C和点E是旋转前后的对应点，所以∠ABD和∠CBE都是旋转角，只有A选项符合题意．故选：A．【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转角的定义是解题的关键．10．（2024•鞍山模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝2，AC＝AC'＝5，即可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∵AB＝2，AC'＝5，B'C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2024•殷都区模拟）在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝﹣2．【分析】关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，据此作答即可．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝1﹣3＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数．12．（2024•东莞市校级一模）在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点坐标为（﹣2，3）．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．13．（2024•游仙区模拟）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（，3）．【分析】过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，根据题意可得B（3，），进而可得点B的对应点B'的坐标．【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，∵∠AOB＝∠B＝30°，∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，∴AD＝1，BD＝，∴OD＝OA+AD＝3，∴B（3，），∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，∴B′坐标为：（，3）．故答案为：（，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．14．（2024•静安区校级二模）如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，过B 作BF⊥AE交AE于点F，将△ABF沿AB翻折得到△ABG，将△ABG绕点A逆时针旋转角a，（其中0°＜a＜180°）记旋转中的△ABG为△AB′G′，在旋转过程中，设直线B′G′分别与直线AD、直线AC交于点M、N，当MA＝MN时，线段MD长为8﹣．【分析】如图作MP⊥AC垂足为P，EQ⊥AC于Q．于△AEB≌△AEQ，推出AQ＝AB＝6，QC＝4，设BE＝EQ＝x，在Rt△CEQ中，于EC2＝EQ2+CQ2，可得x2+42＝（8﹣x）2，x＝3，推出BE＝EQ＝3，AE＝3，推出BF＝＝，AG′＝AF＝＝，于sin∠ANM＝sin∠DAC＝＝，推出AN＝4，在Rt△APM中，AP＝PN＝2，可得＝cos∠DAC＝，推出AM ＝，推出DM＝AD﹣AM＝8﹣即可．【解答】解：如图，AM＝NM，作MP⊥AC垂足为P，EQ⊥AC于Q．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD＝6，AD∥BC∴AC＝＝10，∵∠EAB＝∠EAQ，AE＝AE，∠ABE＝∠AQE，∴△AEB≌△AEQ，∴AQ＝AB＝6，QC＝4，设BE＝EQ＝x，在Rt△CEQ中，∵EC2＝EQ2+CQ2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴BE＝EQ＝3，AE＝3，∴BF＝＝，AG′＝AF＝＝，∵MA＝MN，∴sin∠ANM＝sin∠DAC＝＝，∴AN＝4，在Rt△APM中，AP＝PN＝2，∴＝cos∠DAC＝，∴AM＝，∴DM＝AD﹣AM＝8﹣故答案为8﹣．【点评】本题考查矩形的性质、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，题目有点难度，属于中考压轴题．15．（2024•上高县校级一模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O 向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为50°或65°或80°．【分析】分三种情形讨论①如图1中，当AC＝AP时，②如图2中，当PC＝PA时，③如图3中，当CA＝CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠OAC＝∠ACO＝25°，∠COB＝50°，∠AOC＝130°．①如图1中，当AC＝AP时，在△AOC和△AOP中，，∴△AOC≌△AOP（SSS），∴∠AOC＝∠AOP＝130°，∴α＝∠POB＝50°．②如图2中，当PC＝PA时，同理可证△OPA≌△OPC，∴∠POA＝∠POC＝（360°﹣∠AOC）＝115°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝65°．③如图3中，当CA＝CP时，同理可证△COA≌△COB，∴∠COP＝∠AOC＝130°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝80°故答案为：50°或65°或80°．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．（2024•亭湖区校级模拟）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．【分析】把BD绕点B顺时针旋转120°得到BD'，连接DD'，CD'，过点B作BE⊥DD'于点E，则∠DBD'＝∠ABC＝120°，DB＝D'B＝5，利用等量代换可得∠ABD＝∠CBD′，从而证得△ABD≌△CBD'（SAS），可得AD＝CD′，即AD+CD的最小值为DD'的值，再根据等腰三角形的性质可得∠BDE＝30°，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解．【解答】解：如图，把BD绕点B顺时针旋转120°得到BD'，连接DD'，CD'，过点B作BE⊥DD'于点E，则∠DBD'＝∠ABC＝120°，DB＝D'B＝5，∵∠ABD+∠DBC＝∠DBC+CBD′＝120°，∴∠ABD＝∠CBD'，又∵AB＝CB，DB＝D'B，∴△ABD≌△CBD'（SAS），∴AD＝CD'，∴AD+CD的最小值为CD+CD'的最小值，即DD'的值，∵BE⊥DD'，∴，，∴∠BDE＝30°，∵BD＝5，∴，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．17．（2024•盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝2+或﹣2．【分析】根据旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，根据勾股定理可以求得BD的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理、锐角三角函数，可以求得CG和GF的值，从而可以求得CF的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得CF的值．【解答】解：作BG⊥CF于点G，如图所示，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，∴CD＝，∠ABC＝45°，∴BD＝＝＝，由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB，∴BD＝BF＝，∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°，∴CG＝BC•cos∠BCG＝2×＝2，∴BG＝＝2，∴GF＝＝＝，∴CF＝CG+GF＝2+；当点D运动点F′时，此时CF′∥AB，同理可得，GF′＝，CG＝2，∴CF′＝﹣2；故答案为：2+或﹣2．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（2024•青龙县模拟）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB＝150°．【分析】连接OO′，如图，根据旋转的性质得BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，可判断△BOO′为等边三角形，由△ABC为等边三角形得到BA＝BC，∠ABC＝60°，则∠O′BA＝∠OBC，然后根据“SAS”可证明△O′BA≌△OBC，则O′A＝OC＝5在△AOO′中，由于OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，则OA2+OO′2＝O′A2，于是可根据勾股定理的逆定理可得∠AOO′＝90°，加上△BOO′为等边三角形得∠BOO′＝60°，所以∠AOB＝60°+90°＝150°．【解答】解：连接OO′，如图，∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，∴△BOO′为等边三角形，∴∠BOO′＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴∠O′BO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA＝∠OBC，在△O′BA和△OBC中，∴△O′BA≌△OBC（SAS），∴O′A＝OC＝5，在△AOO′中，∵OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，∴OA2+OO′2＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝60°+90°＝150°，故答案为：150°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．19．（2024•闽侯县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为．【分析】连接BB′，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝，再根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′＝60°，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长．【解答】解：连接BB′，如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，∴BC＝AC＝，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，∵CA＝CA′，∠A＝60°，∴△CAA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴BB′＝CB＝，即点B'与点B之间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．20．（2024•绥化三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，边BC所在的直线与旋转后B′C′所在的直线相交于点D，当B′C′∥AB时，CD的长为2或18．【分析】分两种情况讨论：①当B′C′∥AB，且B′C′在AB上方时；②当B′C′∥AB，且B′C′在AB下方时，分别证明△ABC≌△BDM和△ABC≌△BDN即可计算．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，①如图，当B′C′∥AB，且B′C′在AB上方时，过点B作BM⊥C′D于点M，∵B′C′∥AB，∠AC′B′＝90°，∴∠C′AB＝90°，∴四边形ABMC′为矩形，∴BM＝AC′＝AC＝6，∠BMD＝∠ACB＝90°，∵B′C′∥AB，∴∠ABC＝∠BDM，∴△ABC≌△BDM（AAS），∴BD＝AB＝10，∴CD＝CB+BD＝8+10＝18；②如图，当B′C′∥AB，且B′C′在AB下方时，过点B作BN⊥C′D于点N，同理△ABC≌△BDN（AAS），∴BD＝AB＝10，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣8＝2，综上，CD的长为2或18，故答案为：2或18．【点评】本题考查了图形的旋转的综合运用，结合三角形全等的判定与性质、勾股定理，正确找到旋转后的图形是解题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2024•武汉模拟）如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD 的顶点都是格点，F是AB边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，先作出▱ABCM，再画线段MF的中点E；（2）在图2中，先画点F绕点A逆时针旋转90°的对应点P，再画点P关于AC的对称点Q．【分析】（1）取格点M，则四边形ABCM为平行四边形，取格点G，连接DG，MF，交点即为点E；（2）取格点N，连接AN，即可找出点P，连接BP，取格点K，L，连接KL，交BP于点Q．【解答】解：（1）如图，点E即为所求；（2）如图，点Q即为所求．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．22．（2024•凉山州模拟）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于原点的中心对称图形△A1B1C1；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标（2，0）．【分析】（1）根据中心对称图形的性质即可作出图形；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴相交于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）如图2，点P即为所求，由图可得，点P的坐标为（2，0）．理由如下：。
赛制中的数学问题
赛制中的数学问题大峪一小白丰莲教学目标：１、使学生了解简单的球类比赛赛制，会画图用淘汰赛和单循环赛制解决实际问题。
２、扩展数学视野，拓宽认知领域，培养良好的思维品质和合理的思维习惯。
3、架起数学与现实生活的桥梁，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。
教学重点：会画图运用和实施淘汰赛和单循环等赛制从而获得运用数学解决实际问题的思考方法。
教学过程一、导入：1、同学们，2008年北京奥运会刚刚拉下帷幕，你们一定观看了许多比赛吧！你最喜欢看什么比赛？学生自由发言……你们知道老师最喜欢什么比赛吗？出示：2008女子乒乓球颁奖的画面：2008年8月22日，在北京大学体育馆中，同时升起了三面五星红旗，张怡宁、王楠、郭跃包揽了乒乓球女子单打的金银铜牌。
我很喜欢看乒乓球比赛，看着很过瘾。
2、你知道在乒乓球比赛中，有什么样的比赛方法吗？答：淘汰赛、循环赛（板书）找同学演示什么是淘汰赛和循环赛：（循环赛演示时注意不重复要说明原因，勾起数线段方法的回忆）淘汰赛：比赛的两支队，胜者进入下一轮，输者被淘汰。
一般抽签决定哪两队进行比赛。
单循环赛：每一支队与组内其他队进行一场比赛。
循环赛根据比赛需求还可以设双循环，也就是每只队与其他队进行两场比赛。
单循环赛和淘汰赛是球类比赛中常用的赛制。
这节课，我们一起来研究赛制中的数学问题。
板书课题二、新授：1、出示：大峪一小五年级准备开展一次乒乓球比赛，四个班参加比赛。
你能帮助设计一下比赛的形式吗？生：单循环赛生：淘汰赛2、为什么选用循环赛？生：一共4个队，想让每个队都与其他队比一次。
公平。
给每个队公平竞争的机会。
为什么用淘汰赛？生：省时间。
3、你们说得都有道理，那就请两个人一组，选择你们想用的比赛方式，把比赛的过程画一个示意图，然后再算一算冠军产生，需要进行几场比赛？4、反馈：方案一：淘汰赛图：1班2班3班4班A B C D2+1=3方案二：单循环赛：图：1班2班3班4班图：A B C D3+2+1=6看到这个示意图，你觉得熟悉吗？（联系以前学习过的数线段的方法）师：所以我们计算循环赛的场数就是应用了我们以前学习的数线段的方法。