勾股定理知识点与常见题型总结(1)
第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则cb =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ， 12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+= ，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD += ，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
专题1-1 探索勾股定理-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.1 探索勾股定理-重难点题型【北师大版】【题型1 勾股定理的认识】【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝．【分析】（1）设a＝3k，则b＝4k，由勾股定理求出c＝5k，再根据c＝10求出k的值，进而得到a与b 的值；（2）首先根据勾股定理求得斜边c＝10；然后由面积法来求斜边上的高线．【解答】解：（1）设a＝3k，则b＝4k，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c=√a2+b2=√(3k)2+(4k)2=5k，∵c＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8；（2）∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，∴c =√a 2+b 2=√62+82=10．设斜边上的高为h ，则12ab =12ch ， ∴h =ab c =6×810=4.8．故答案是：6，8；4.8．【点评】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握．注意：（1）中可根据勾股定理求出已知边所占的份数，进一步求解；（2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式1-1】（2020秋•本溪期末）在Rt △ABC 中，斜边AB ＝3，则AB 2+BC 2+CA 2＝ ．【分析】由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB 的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2＝AB 2，又AB ＝3，∴AC 2+BC 2＝AB 2＝9，则AB 2+BC 2+CA 2＝AB 2+（BC 2+CA 2）＝9+9＝18．故答案为：18【点评】此题考查了勾股定理，是一道基本题型．熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】（2021春•广州期中）在△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝65°，则下列式子成立的是（ ）A ．AC 2+AB 2＝BC 2B ．AB 2+BC 2＝AC 2 C ．AC 2﹣BC 2＝AB 2D ．AC 2+BC 2＝AB 2 【分析】根据在△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝65°，可以得到∠C 的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：在△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝65°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴AC 2+BC 2＝AB 2，故选项D 正确，选项A 、B 、C 错误，故选：D ．【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．【变式1-3】（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a ，b ，h ，则下列关系式成立的是（ ）A ．2a 2+2b 2=1ℎ2 B ．1a 2+1b 2=1ℎ2C ．h 2＝abD ．h 2＝a 2+b 2【分析】设斜边为c ，根据勾股定理得出c =√a 2+b 2，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设斜边为c ，根据勾股定理得出c =√a 2+b 2，∵12ab =12ch ， ∴ab =√a 2+b 2•h ，即a 2b 2＝a 2h 2+b 2h 2，∴a 2b 2a 2b 2ℎ2=a 2ℎ2a 2b 2ℎ2+b 2ℎ2a 2b 2ℎ2， 即1a 2+1b 2=1ℎ2．故选：B ．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【题型2 利用勾股定理解勾股树问题】【例2】（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）A ．16B ．25C ．144D ．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据勾股定理得出：AB=√AC2−BC2=√132−122=5，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2B．81cm2C．128cm2D．192cm2【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．【变式2-2】（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）A．94B．26C．22D．16【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．【变式2-3】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1＝π（AC 2）2×12，S 2＝π（BC 2）2×12，S 3＝π（AB 2）2×12， ∴S 1+S 2＝π（AC 2）2×12+π（BC 2）2×12=π（AB 2）2×12=S 3， ∵S 3＝9π， ∴S 1+S 2＝9π，故答案为：9π．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型3 利用勾股定理求线段长度】【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，则BC 的长是（ ）A ．21B ．15C ．6D ．21或9【分析】高线AH 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt △ABH 中，∵AB ＝17，AH ＝8，∴BH =√172−82=15；在Rt △ACH 中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=√102−82=6，∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．【变式3-1】（2021春•庆云县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝．【分析】利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求法得出HC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据勾股定理可得：BC=√AB2−AC2=√252−152=20，∵Rt△ABC的面积=12×BC×AC=12×AB×CH，∴20×15＝25×CH，解得，CH＝12（cm）．答案为12cm．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式3-2】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到AE ＝BE ，再根据勾股定理，即可求得BE 的长．【解答】解：连接AE ，∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，设AE ＝BE ＝x ，∵AC ＝9，BC ＝12，∴CE ＝12﹣x ，∵∠ACE ＝90°，∴AC 2+CE 2＝AE 2，即92+（12﹣x ）2＝x 2，解得x =758， 故答案为：758．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-3】（2020秋•上海期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC ＝6，AD ＝3，那么BD ＝ ．【分析】根据勾股定理求出CD ，再根据勾股定理用BD 表示出BC ，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=√62−32=3√3，在Rt △BCD 中，BC =√CD 2+BD 2=√27+BD 2，在Rt △ABC 中，BC =√AB 2−AC 2=√(3+BD)2−62，∴√27+BD 2=√(3+BD)2−62，解得，BD ＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【题型4 利用勾股定理求面积】【例4】（2020秋•青羊区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的角平分线，则三角形ADC 的面积为（ ）A ．3B ．10C ．12D ．15【分析】作DH ⊥AC 于H ，如图，先根据勾股定理计算出AC ＝10，再利用角平分线的性质得到DB ＝DH ，进行利用面积法得到12×AB ×CD =12DH ×AC ，则可求出DH ，然后根据三角形面积公式计算S △ADC ． 【解答】解：作DH ⊥AC 于H ，如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC =√62+82=10，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴DB ＝DH ，∵12×AB ×CD =12DH ×AC ， ∴6（8﹣DH ）＝10DH ，解得DH ＝3，∴S △ADC =12×10×3＝15．故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．也考查了角平分线的性质．【变式4-1】（2020秋•肥西县期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若BC ＝3，且BD ：DC ＝5：4，AB ＝5，则△ABD 的面积是 ．【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE ＝DC ，然后根据BC ＝3，且BD ：DC ＝5：4，可以得到DC 的长，从而可以得到DE 的长，再根据AB 的长，即可计算出△ABD 的面积．【解答】解：作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DC ＝DE ，∵BC ＝3，且BD ：DC ＝5：4，∴DC ＝3×45+4=43， ∴DE =43，∵AB ＝5，DE ⊥AB ，∴△ABD 的面积是：AB⋅DE 2=5×432=103， 故答案为：103．【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是求出DE的长，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、【分析】作AD⊥BC于D，设CD＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝21﹣x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得，x＝6，即CD＝6，则AD=√AC2−CD2=√102−62=8，△ABC的面积=12×BC×AD=12×21×8＝84．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式4-3】（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（）A ．18B ．36C ．72D ．125【分析】先作辅助线，AE ⊥CD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，然后根据勾股定理，可以得到CF 的长，再根据等积法可以得到AE 的长，然后即可计算出△ABC 的面积．【解答】解：作AE ⊥CD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，∵AC ＝CD ＝5，AD ＝6，CF ⊥AD ，∴AF ＝3，∠AFC ＝90°，∴CF =√AC 2−AF 2=4，∵CD⋅AE 2=AD⋅CF 2， ∴5AE 2=6×42，解得．AE =245，∵BD =52，CD ＝5，∴BC =152，∴△ABC 的面积是：BC⋅AE 2=152×2452=18，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型5 勾股定理的验证】【例1】（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A 、∵12ab +12c 2+12ab =12（a +b ）（a +b ）， ∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、∵4×12ab +c 2＝（a +b ）2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、∵4×12ab +（b ﹣a ）2＝c 2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．【变式5-1】（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．S △EDA ＝S △CEBB ．S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCDC ．S △EDA +S △CEB ＝S △CDED ．S 四边形AECD ＝S 四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解答】解：根据勾股定理可得：S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCD ．故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【分析】（1）根据大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个直角三角形的面积，即可证明；（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y 的长方形组成；【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；四个直角三角形面积和为：4×12ab；由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，即有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；【点评】此题考查勾股定理问题，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．【变式5-3】（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c ），也可以表示为4×12ab +（a ﹣b ）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2＝c 2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB ＝4，AC ＝5，BC ＝6，设BD ＝x ，求x 的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a +b ）（a +2b ）＝a 2+3ab +2b 2，画在如图4的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）运用勾股定理在Rt △ABD 和Rt △ADC 中求出AD 2，列出方程求解即可；（3）画出边长为a +b 和a +2b 的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD 的面积为12(a +b)(a +b)=12a 2+ab +12b 2， 也可以表示为12ab +12ab +12c 2，∴12ab +12ab +12c 2=12a 2+ab +12b 2，即a 2+b 2＝c 2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9 4；（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．【题型6 勾股定理的应用】【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．【分析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立平衡方程，进而求解即可．【解答】解：依题意得AC＝2，AE＝3，设原标杆的高为x，∵∠A＝90°，∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴原来标杆的高度为5米．【点评】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．【变式6-1】（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？【分析】在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出B′O的长，进而可得BB′的长．【解答】解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，则根据勾股定理求得AO=√AB2−BO2=√2．52−0．72=2.4（米），∵A点下移0.4米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，则根据勾股定理B′O=√A′B′2−A′O2√2．52−22=1.5（米），∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），所以梯子向外平移0.8米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到AB＝A′B′的等量关系是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式6-3】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP ＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=√10002−6002=800（米），∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．。
初中数学58种模型 31、勾股定理知识点与常见题型总结
初中数学58种模型勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅==DB AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ， AB AC ∴=。
八年级数学下册 第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为n 的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c ）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数）② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理知识点与常见题型总结
《勾股定理分类练习》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2变形公式：1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！4、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为3、已知△ABC ，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC 的值.题型三：勾股定理的逆定理：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．10，8，4C ．7，25，24D ．7，15，122、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（ ）Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题（判断真假）题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式：1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 （a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21（每种求面积的方法举例两个）1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿2、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝3、已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积；4、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =︒90，∠DBC =︒90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；题型六、折叠问题 1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）（A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2题型七：实际问题中应用勾股定理1、 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，2、 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm4、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.B C A D D E。
勾股定理知识点+类型+题型有答案版
勾股定理知识点知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2， c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
知识点四：勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题有很大帮助：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．②如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
勾股定理考查类型类型一：勾股定理的直接用法在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
初中数学解题模型专题讲解29---勾股定理知识点与常见题型总结
例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m
A
E
D
B
C
分析：根据题意建立数学模型，如图 AB = 8 m ，CD = 2 m ，BC = 8 m ，过点 D 作 DE ⊥ AB ， 垂足为 E ，则 AE = 6 m ， DE = 8 m 在 Rt∆ADE 中，由勾股定理得 AD = AE2 + DE2 = 10 答案：10 m
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一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： 4S∆
初中数学解题模型专题讲解
一．知识归纳
专题 29 勾股定理复习
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 + b2 = c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代
把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千 多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进
+ S正方形EFGH
=
S正方形ABCD
，
4
×
1 2
ab
+
(b
−
勾股定理常见题型总结
典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒．⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
勾股定理题型总结【范本模板】
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理—-揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和。
从这两种形式来看，有“形的勾股定理"和“数的勾股定理”之分。
（2)定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系.③作长为n 的线段.(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
(2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
(3）勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c )②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形. 若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识:当222c b a >+时,则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形.（4）通过总结归纳,记住一些常用的勾股数.如：3，4，5；5，12,13；6，8，10；8,15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数)② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的:1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
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《勾股定理分类练习》
题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b分别为直角边，c为斜边，那么直角三
角形三边的关系为 a2 +b2 =c2
注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边
1、
如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是
2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的
边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
3、
在Rt△ABC中,斜边AB
2 =3,则AB2+BC2+AC2
的值是______
“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理！
4、在ABC中，90C．
⑴已知6AC，8BC．求AB的长 ⑵已知17AB，15AC，求BC的长
5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
题型二：应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数）
1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为
2、已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为
3、已知△ABC，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC的值.
题型三：勾股定理的逆定理：
1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12
2、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：
（ ）
Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组
3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形
4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题
题型四、与直角三角形面积相关
直角三角形的面积公式：1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 （a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高
A
B
C
D
7cm
×21（每种求面积的方法举例两个）
1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿
2、在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝
3、已知：如图，⊿ABC中，∠ACB =90，AB = 5cm，BC = 3 cm，CD⊥AB于D，求CD的长及三角形的面
积；
4、等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 .
题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD =90，∠DBC =90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD；
2、已知ABC中，13ABcm，10BCcm，BC边上的中线12ADcm，求证：ABAC
题型六、折叠问题
1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落
在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
（A） 2cm （B） 3 cm （C） 4 cm （D） 5 cm
2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知
AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长
3、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则
△ABE的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm
2
题型七：实际问题中应用勾股定理
1、如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵
数的树梢，至少飞了 m
D
A
B
C
B
C
A
D
A
C
B
E
ABCD
E
F
2、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．
3、饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要
露出4.6㎝，问吸管要做_______㎝。
4、如图从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有
米。
5、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D
后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________米。
6、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现
下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
6、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取
3)是( )
A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.
7、一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米。
（1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，
一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒
后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？