山东省2013届高考压轴卷数学文试题

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2013山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版

设等差数列a的前n项和为S，且S
n
n
4
2
2n
n
（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
n
a1
n
（为常数）。令c2b,(nN*)，求
（Ⅱ）设数列{b}的前n项和为T，且T
n
n
2n
n
n
2n
数列{c}的前n项和R。
n
n
21、（本小题满分13分）
x
c
…
（e2.71828是自然对数的底数，cR）
设函数f(x)
e2x
（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值；
1
2
1
2
的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。
1
1
0
kkkk
设直线PF,PF的斜率分别为k,k，若k
1
，试证明
为定值，并求出这个定
1
2
2
1
2
值.
理科数学试题参考答案
一、选择题
DCABB
CADABDB
二、填空题
1
7
3
1
1
a(2n1)d2a2(n1)d1.
1
1
1,d2.
解得a
1
2n1,nN*
因此a
.
n
n
（Ⅱ）由题意知：T
，
2n1
n
nn1n2
2
时，bTT
所以n
n
n
n1
2n1
2n2
2n1
2n2
1
b
2n
(n1)(),nN*
故c
，

【精品】2013年高考真题——理科数学（山东卷）Word版含答案

【精品】2013年⾼考真题——理科数学（⼭东卷）Word 版含答案2013年⼭东⾼考数学试题⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，满分60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

（1）复数z满⾜(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2（6）在平⾯直⾓坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20x2y103x y80--≥+-≥+-≤，所表⽰的区域上⼀动点，则直线OM斜率的最⼩值为C（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要⽽不充分条件，则p是﹁q的 B （A）充分⽽不必条件（B）必要⽽不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象⼤致为 D（A ）（B ） (C) (D) （9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的⽅程为 A （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0（10）⽤0，1，…，9⼗个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279于第⼀象限的点M.若C 1在点M 处的切线平⾏于C 2的⼀条渐近线，则p= D（15）已知向量AB 与AC 的夹⾓为120，且||3,||2,AB AC ==若,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ的值为712（16）定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<≥?，现有四个命题：①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++= ②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+ ③若0,0a b >>，则ln ()ln ln aa b b+++≥-④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有：①③④（写出所有真命题的编号）三、解答题：本⼤题共6⼩题，共74分.（Ⅰ）求证：AB//GH ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓D-GH-E 的余弦值 . 解答：（1）因为C 、D 为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB ，所以EF//CD ，EF ?平⾯EFQ ，所以CD//平⾯EFQ ，⼜CD ?平⾯PCD,所以 CD//GH ，⼜AB//CD ，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD ，D 为AQ 的中点可得，△ABQ 为直⾓三⾓形，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BP 为x 、y 、z 轴建⽴空间直⾓坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平⾯GCD 的⼀个法向量为1(0,2,1)n =，平⾯EFG 的⼀个法向量为2(0,1,2)n =，可得4cos5α==,（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：14416,,,，所以EX=7解答：（1）由S4=4S2，a2n=2a n+1，｛a n｝为等差数列，可得，11,2a d==所以21na n=-2.71828是⾃然对数的底数，（1）求()f x的单调区间，最⼤值；（2）讨论关于x的⽅程|ln|()x f x=根的个数.直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任⼀点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的⾓平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有⼀个公定值.1||||PF PM PF PM ?=2||||PF PM PF PM ?,1||PF PM PF ?=2||PF PM PF ?,设204x ≠，将向量坐标代⼊并化简得：m （23000416)312x x x -=-，因为204x ≠，。

2013年山东高考数学试题及答案(理科)

2013年山东高考数学试题及答案(文科)一、选择题1．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i1．D [解析] 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈)，由题意得(a ＋bi －3)(2－i)＝(2a ＋b －6)＋(2b －a＋3)i ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －6＝5，2b －a ＋3＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴z ＝5－i.2．已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．92．C [解析] ∵x ，y ∈{}0，1，2，∴x －y 值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B 中元素的个数是5.3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．A [解析] ∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2.4．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π64．B [解析] 设侧棱长为a ，△ABC 的中心为Q ，联结PQ ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ ⊥平面ABC ，即∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成的角．又∵V ABC －A 1B 1C 1＝34³()32³a ＝94，解得a ＝3，∴tan ∠PAQ ＝PQ AQ ＝332³3³23＝3，故∠PAQ ＝π3.5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π45．B [解析] 方法一：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，若f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，必有π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.方法二：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，其对称轴所在直线满足2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，又∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，∴y 轴为其中一条对称轴，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.6．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－126．C [解析] 不等式组表示的可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，解得P ()3，－1，当M 与P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝－1－03－0＝－13.图1－17．给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．A [解析] ∵⌝p 是q 的必要不充分条件，∴q 是⌝p 的充分而不必要条件，又“若p ，则⌝q ”与“若q ，则⌝p ”互为逆否命题，∴p 是⌝q 的充分而不必要条件．8．函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－28．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.9．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝09．A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k 2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立⎩⎨⎧y ＝1，()x －12＋y 2＝1，得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立⎩⎨⎧x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12＋y 2＝1②，①，②两式相减得2x ＋y－3＝0.10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．27910．B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9³9³8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9³10³10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.11．、抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.2 33D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．312．B [解析] 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤12 x y ·4yx－3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －24y 2－6y 2＋4y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.13．图1－3执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．13．3 [解析] 第一次执行循环体时，F 1＝3，F 0＝2，n ＝1＋1＝2，1F 1＝13>0.25；第二次执行循环体时，F 1＝2＋3＝5，F 0＝3，n ＝2＋1＝3，1F 1＝15<0.25，满足条件，输出n ＝3.14．、在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 14.13[解析] 当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x ≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.15．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．15.712 [解析] ∵AP →⊥BC →， ∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →²()AC →－AB→＝－λAB →2＋AC →2＋()λ－1AC →²AB →＝0，即－λ³9＋4＋()λ－1³3³2³⎝⎛⎭⎫－12＝0，解之得λ＝712. 16．、定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a ≥1，ln ＋(a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b )＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立；③中，当a b ≤1，即a ≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln ab＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b ≥1，ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln(a ＋b 2)≤ln a 或ln(a ＋b 2)≤ln b ，即有ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．17．、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝4 29.由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝2 23.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝13.因此sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝10 227.图1－418．、如图1－4所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，联结GH.(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．18．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC.又EF 平面PCD ，DC 平面PCD ，所以EF ∥平面PCD.又EF 平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH. 又EF ∥AB ，所以AB ∥GH.(2)方法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ.因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ，图1－5所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ.又FH 平面PBQ ，所以GH ⊥FH.同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2.联结FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC ＝ 5.又H为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22³59＝－45.即二面角D －GH －E 的余弦值为－45.方法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以EQ →＝(－1，2，－1)，FQ →＝(0，2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1，2)．设平面EFQ 的一个法向量为＝(x 1，y 1，z 1)，由·EQ →＝0，²FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得＝(0，1，2)．设平面PDC 的一个法向量为＝(x 2，y 2，z 2)，由·DP →＝0，²CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得＝(0，2，1)．所以cos 〈，〉＝m·n |m||n |＝45.因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.图1－519．、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝(23)3＝827，P(A 2)＝C 23(23)2(1－23)³23＝827， P(A 3)＝C 24(23)2(1－23)2³12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 24(1－23)2(23)2³(1－12)＝427，由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627.又P(X ＝1)＝P(A 3)＝427.P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝327，故X 的分布列为X 0 1 2 3P 1627 427 427 327所以E(X)＝0³1627＋1³427＋2³427＋3³327＝79.20．、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈)，求数列{c n }的前n 项和R n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d.由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1，解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈*.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈*. 所以R n ＝0³⎝⎛⎭⎫140＋1³⎝⎛⎭⎫141＋2³⎝⎛⎭⎫142＋3³⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)³⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0³⎝⎛⎭⎫141＋1³⎝⎛⎭⎫142＋2³⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)³⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)³⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)³⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)³⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ，整理得R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．21．、设函数f(x)＝xe2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数．21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e －2x .由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，12)，单调递减区间是(12，＋∞)，最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝12e －1＋c. (2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe －2x －c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe－2x－c ，所以g′(x)＝e－2x(e 2xx＋2x －1)．因为2x －1>0，e 2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x －c ，所以g′(x)＝e －2x(－e 2x x＋2x －1)．因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x>1>x>0，所以－e 2x x<－1.又2x －1<1，所以－e 2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，(ⅰ)当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx －xe －2x －c ≥lnx －(12e －1＋c)>lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需使lnx －1－c>0，即x ∈(e 1＋c，＋∞)；(ⅱ)当x ∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe －2x －c ≥－lnx －(12e －1＋c)>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x ∈(0，e －1－c )；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.22．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)．又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||my 0－3y 0y 20＋（x 0－3）2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1，所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m<3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0.所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.方法二：设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P ⎝⎛⎭⎫3，－12. 若P ⎝⎛⎭⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3，所以m ＝3 34.若P ⎝⎛⎭⎫3，－12，同理可得m ＝3 34. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22，所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1，并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 204（x 0－3）2＋4－x 20＝3x 20＋8 3x 0＋163x 20－8 3x 0＋16 ＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2，即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|. 因为－3<m<3，0≤x 0＜2且x 0≠3，所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0.整理得m ＝3x 04，故0≤m ＜32且m ≠3 34.综合①②可得0≤m ＜32.第11页当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0²2x 0y 0＝－8，因此为定值，这个定值为－8.。

2013山东省高考压轴卷语文试题考前密押卷

2013山东省高考压轴卷语文试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共12页。

满分150分。

考试用时150分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位臵上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位臵，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．第Ⅱ卷第六题为选做题，考生须从所给（一）（二）两题中任选一题作答，不能全选。

第Ⅰ卷（共36分）一、（15分，每小题3分）1、下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A. 殒．身/功勋．针灸．/内疚．陡峭．/讥诮．谙．熟/万马齐喑．B. 隽．秀/隽．永场．合/场．院转载．/下载．纰缪．/未雨绸缪．C. 憔悴．/淬．火贬谪．/嫡．亲慰藉．/狼藉．攻讦．/宵衣旰．食D. 胴．体/恫．吓症．结/．症．状勾．当/勾．销靓．女/靓．妆丽服2、下列词语中，没有错别字的一组是A. 彪悍连锁店徇私舞弊人无远虑，必有近忧B. 耿介挖墙角沧海一粟城门失火，殃及池渔C. 松弛增值税秀外惠中仰之弥高，钻之弥坚D. 睿智赈灾款改弦更章管中窥豹，可见一斑3、依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是（1）寂夜里, 飘渺的钟声，可以唤醒梦中之人，让一个沉沦在世间物象中太久的人，有醍醐灌顶之感。

（2）最近一段时间国际油价持续走低，由于偷格属性的变异等多重因素的影响，国际油价的走势还很难。

（3）今天，曾经实行多年的“暂住证”正在__ __历史舞台，颇多政策含金量的“居住证”正在为人们所熟悉。

A．悠远捉摸退出B．幽远琢磨退出C．悠远捉摸淡出 D．幽远琢磨淡出4、下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是，看着这些美丽的树洞画，观者无不啧啧赞叹，为A.来九中街欣赏树洞画的市民不绝如缕．．．．王月这种化腐朽为神奇的艺术创造击掌叫绝。

2013山东省高考压轴卷理科数学名特级教师押题押中一分改变一生

k 5?
否
是 1 S 1 S
输出 S
结束
k k 1
1 x 16.给定方程： ( ) sin x 1 0 ，下列命题中：①该方程没有小于 0 的实 2
数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；④若 x0 是该方程的实数解，则 x0 –1．则正确命题是三、解答题:本大题共 6 小题，共 74 分. 17．（2013 济南市一模）(本题满分 12 分) 已知 m (2 cos x 2 3 sin x , 1) ， n (cosx , y) ，且 m n ．（1）将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ，并求 f ( x) 的单调增区间；（2）已知 a , b , c 分别为 ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长，若 f ( ) 3 ，且 a 2 ，．
2 2
）
C. 24
D. 48 ）
6. 若直线 x y 1 0 与圆 ( x a) y 2 有公共点，则实数 a 取值范围是（ A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3,l ]
D．（－∞，－3] [1．+∞）
7.（2013 青岛市一模）已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，给
）
A． {x | 0 x 1}
B． {x |1 x 3}
C． {x | 0 x 4} )．
D． {x | x 0 或 x 4}
1x－1 3．设 p：log2x<0，q： 2 >1，则 p 是 q 的 ( A．充要条件 B．充分不必要条件 4．已知函数 y sin( 4
2 2

数学_2013年山东省高考数学预测试卷(03)_(含答案)

2013年山东省高考数学预测试卷（03）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 计算复数4+2i等于（）1−2iA 0B 2C 2iD −2i2. 已知等差数列{a n}中，a5+a9−a7=10，记S n=a1+a2+...+a n，则S13的值为()A 130B 260C 156D 1683. 已知f(x)＝a x−2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)⋅g(−4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是（）A B C D)的图象如图：将函数y=f(x)(x∈4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2R)的图象向左平移π个单位，得函数y=g(x)的图象（g′(x)为g(x)的导函数），下面结论正4确的是（）, 0)上是减函数 C g(x)⋅g′(x)的最小值A 函数g(x)是奇函数 B 函数g′(x)在区间(−π3, 0)对称为−3 D 函数g(x)的图象关于点(π65. 已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m // n，n⊂α，则m // α；②若l⊥α，m⊥β，且l // m，则α // β；③若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题个数是（）A 1B 2C 3D 46. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨，乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A原料不超过1 3吨，消耗B原料不超过1 8吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是（）A 1吨B 2吨C 3吨D 11吨37. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（）A 2或2√2B 2√2或−2√2C −2或−2√2D 2或−2√28. 如图，给定两个平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB̂上，且OC →=xOA →+yOB →（其中x ，y ∈R ），则满足x +y ≥√2的概率为（）A √2−1B 34 C π4 D π29. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35，那么表中t 的值为（）10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >1,b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(−1, 0)与点(1, 0)到直线xa−yb=1的距离之和为S ，且S ≥45c ，则离心率e 的取值范围是（）A [√52，√5] B [√2，√7] C [√52，√7] D [√2，√5] 11. 已知函数f(x)={log 2x ，(x >0)3x ，(x ≤0)，且关于x 的方程f(x)+x −a =0有且只有一个实根，则实数a 的范围是（）A (−∞, 0)B (0, 1)C (1, 2)D (1, +∞)12. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n +k|n ∈Z}，k =0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②−3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. (1+x 2)(1−x)5展开式中x 3的系数为________．14. 为了保障生命安全，国家有关部门发布的《车辆驾驶人员血液呼气酒精含量值与检验》中规定：车辆驾驶人员血液酒精含量（单位：mg/l00m1）大于或者等于20，且小于80的为“饮酒驾车”，大于或者等于80的为“醉酒驾车”．某城市3月份的交通执法部门对200名车辆驾驶人员的血液酒精含量（单位：mg/l00ml ）进行测试，并根据测试的数据作了如下统计：估计该城市3月份“饮酒驾车”发生的概率________．15. 已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P −ABC 的体积为________．16. 已知等差数列a n 的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，设b n =2n a n ，则b 1+b 2+...+b n 的结果为________．三、解答题（共6个小题，共70分）17. 在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是34，甲、丙两人都回答错的概率是112，乙、丙两人都回答对的概率是14．（1）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；（2）用ξ表示回答该题对的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．18.如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1各棱长都为a ，P 为线段A 1B 上的动点．（1）试确定A 1P:PB 的值，使得PC ⊥AB ；（2）若A 1P:PB =2:3，求二面角P −AC −B 的大小．19. 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 设向量m →=(a, cosB)，n →=(b, cosA)且m → // n →，m →≠n →（1）若sinA +sinB =√62，求A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，且abx =a +b 试确定x 的取值范围．20. 设C 1是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p >0)，C 2是以直线2x −√3y =0与2x +√3y =0为渐近线，以(0,√7)为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线C 2的标准方程；（2）若C 1与C 2在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FA ⋅→FB →的最大值；（3）若△FAB 的面积S 满足S =23FA →⋅FB →，求p 的值．21. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ，g(x)=xe 1−x ．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）当a =1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0,12)上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的x 0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i (i =1, 2)，使得f(x i )=g(x 0)成立，求a 的取值范围．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，AB 是⊙O 2的直径，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与⊙O 1、⊙O 2交于C ，D 两点．求证：（1）PA ⋅PD ＝PE ⋅PC ；（2）AD ＝AE ．23. 在极坐标系中，曲线L:ρsin 2θ=2cosθ，过点A(5, α)(α为锐角且tanα=34)作平行于θ=π4(ρ∈R)的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点．(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (2)求|BC|的长．24. 已知关于x 的不等式|2x +1|−|x −1|≤log 2a （其中a >0）．(1)当a =4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．2013年山东省高考数学预测试卷（03）答案1. C2. A3. B4. D5. B6. A7. D8. B9. A 10. A 11. D 12. C 13. −15 14. 0.17 15. 1016. 4+n ⋅2n+1 17. 解：（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ，则P(A)=34，且有{P(A ¯)⋅P(C ¯)=112P(B)⋅P(C)=14，即{[1−P(A)]⋅[1−P(C)]=112P(B)⋅P(C)=14 ∴ P(B)=38，P(C)=23．…6′（2）由（1）P(A ¯)=1−P(A)=14，P(B ¯)=1−P(B)=13．ξ的可能取值为：0、1、2、3．则P(ξ=0)=P(A ¯⋅B ¯⋅C ¯)=14⋅13⋅58=596；P(ξ=1)=P(A ⋅B ¯⋅C ¯)+P(A ¯⋅B ⋅C ¯)+P(A ¯⋅B ¯⋅C)=34⋅58⋅13+14⋅38⋅23+34⋅58⋅23=724；P(ξ=2)=P(A ⋅B ⋅C ¯)+P(A ⋅B ¯⋅C)+P(A ¯⋅B ⋅C)=1532；P(ξ=3)=P(A ⋅B ⋅C)=316．…9′∴ ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ=0⋅596+1⋅724+2⋅1532+3⋅316=4324．…12′18. 解：【法一】（1）当PC ⊥AB 时，作P 在AB 上的射影D ，连接CD ，则AB ⊥平面PCD ，∴AB ⊥CD ，∴ D 是AB 的中点，又PD // AA 1，∴ P 也是A 1B 的中点，即A 1P:PB =1．反之当A 1P:PB =1时，取AB 的中点D ′，连接CD ′、PD ′． ∵ △ABC 为正三角形，∴ CD ′⊥AB ．由于P 为A 1B 的中点时，PD ′ // A 1A∵ A 1A ⊥平面ABC ，∴ PD ′⊥平面ABC ，∴ PC ⊥AB ．…6′（2）当A 1P:PB =2:3时，作P 在AB 上的射影D ，则PD ⊥底面ABC ．作D 在AC 上的射影E ，连接PE ，则PE ⊥AC ，∴ ∠DEP 为二面角P −AC −B 的平面角．又∵ PD // AA 1，∴BD DA=BP PA 1=32，∴ AD =25a ．∴ DE =AD ⋅sin60∘=√35a ，又∵ PDAA 1=35，∴ PD =35a ，∴ tan∠PED =PDDE =√3，∴ P −AC −B 的大小为∠PED =60∘． (12)【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，如图所示，设P(x, 0, z)，则B(a, 0, 0)、A 1(0, 0, a)、C(a2，√3a2，0)．（1）由CP →⋅AB →=0得(x −a2，−√3a2，z)⋅(a,0,0)=0，即(x −a2)⋅a =0，∴ x =12a ，即P 为A 1B 的中点，也即A 1P:PB =1时，PC ⊥AB ．…4′ （2）当A 1P:PB =2:3时，P 点的坐标是(2a 5，0，3a5)．取m →=(3,−√3,−2)．则m →⋅AP →=(3,−√3,−2)⋅(2a5,0,3a 5)=0，m →⋅AC →=(3,−√3,−2)⋅(a 2,√3a2,0)=0．∴ m →是平面PAC 的一个法向量．又平面ABC 的一个法向量为n →=(0,0,1)．∴ cos <m →，n →>=|m →|⋅|n →|˙=12，∴ 二面角P −AC −B 的大小是60∘．…19. 解：（1）因为向量m →=(a, cosB)，n →=(b, cosA)且m → // n →，m →≠n →，所以，acosA =sinB ．--------由正弦定理，可得sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B ．-------------- 所以2A +2B =π，即A +B =π2．-------再由sinA +sinB =√62，以及sinA +sinB =sinA +cosA =√2sin(A +π4)，可得sin(A +π4)=√32．------ 由于A 为锐角，故有A +π4=π3 或A +π4=2π3，∴ A =π12，或5π12．------ （2）若△ABC 的外接圆半径为1，且abx =a +b ，则x =a+b ab，由正弦定理，得x =sinA+sinB 2sinAsinB．-----设sinA +cosA =t ，t ∈(1, √2)，则t 2=1+2sinAcosA ，∴ sinAcosA =t 2−12，-----------即x =tt 2−1=1t−1t>√2，所以实数x 的取值范围为(√2，+∞)．---------20. 设双曲线C 2的标准方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)∵ C 2是以直线2x −√3y =0与2x +√3y =0为渐近线，以(0,√7)为一个焦点的双曲线．∴ {ab=√3c =√7，∵ a 2+b 2＝c 2， ∴ a =2,b =√3∴ 双曲线C 2的标准方程为y 24−x 23=1；将抛物线y 2＝2px 代入y 24−x 23=1，整理可得2x 2−3px +6＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)(x 1>0, y 1>0, x 2>0, y 2>0)，则{△=9p 2−48>03p 2>0∴ p >4√33 ∵ FA ⋅→FB →=(x 1−p2)(x 2−p2)+y 1y 2=−12p 2+2√3p +3=−12(p −2√3)2+9≤9 ∴ 当且仅当p ＝2√3时，FA ⋅→FB →的最大值为9；直线AB 的方程为y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1)，即y 2−y 1x 2−x 1x −y −y 2−y1x 2−x 1×x 1+y 1＝0∴ F 到直线AB 的距离为d =|−y (x −x )−(y −y )(p 2−x )|√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2∴ S =12|AB|d =12|−y 1(x 2−x 1)−(y 2−y 1)(p2−x 1)|=14(2√3+p)√3p 2−4√3p ∵ S =23FA →⋅FB →，∴ 23(−12p 2+2√3p +3)=14(2√3+p)√3p 2−4√3p ∴ p =2√3．21. 解：（1）当a =1时，f(x)=x −1−2lnx ，则f′(x)=1−2x ，由f′(x)>0，得x >2；由f′(x)<0，得0<x <2．故f(x)的单调减区间为(0, 2]，单调增区间为[2, +∞)；（2）因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能，故要使函数f(x)在(0,12)上无零点，只要对任意的x ∈(0,12)，f(x)>0恒成立，即对x ∈(0,12)，a >2−2lnxx−1恒成立．令l(x)=2−2lnxx−1，x ∈(0,12)，则l(x)=−2x(x−1)−2lnx (x−1)2=2lnx+2x−2(x−1)2，再令m(x)=2lnx +2x −2，x ∈(0,12)，则m′(x)=−2x 2+2x=−2(1−x)x 2<0，故m(x)在(0,12)上为减函数，于是m(x)>m(12)=2−2ln2>0，从而，l(x)>0，于是l(x)在(0,12)上为增函数，所以l(x)<l(12)=2−4ln2，故要使a >2−2lnx x−1恒成立，只要a ∈[2−4ln2, +∞)，综上，若函数f(x)在(0,12)上无零点，则a 的最小值为2−4ln2；（3）g′(x)=e 1−x −xe 1−x =(1−x)e 1−x ，当x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x ∈(1, e]时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．又因为g(0)=0，g(1)=1，g(e)=e ⋅e 1−e >0，所以，函数g(x)在(0, e]上的值域为(0, 1]．当a =2时，不合题意；当a ≠2时，f′(x)=2−a −2x =(2−a)x−2x=(2−a)(x−22−a)x，x ∈(0, e]当x =22−a 时，f′(x)=0．由题意得，f(x)在(0, e]上不单调，故0<22−a <e ，即a <2−2e ①此时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：又因为，当x→0时，2−a>0，f(x)→+∞，f(22−a )=a−2ln22−a，f(e)=(2−a)(e−1)−2，所以，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使得f(x i)=g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件：{f(22−a)≤0f(e)≥1即{a−2ln22−a≤0②(2−a)(e−1)−2≥1③令ℎ(a)=a−2ln22−a ，a∈(−∞,2−2e)，则ℎ′(a)=1−2[ln2−ln(2−a)]′=1−22−a =aa−2，令ℎ′(a)=0，得a=0或a=2，故当a∈(−∞, 0)时，ℎ′(a)>0，函数ℎ(a)单调递增；当a∈(0,2−2e)时，ℎ′(a)<0，函数ℎ(a)单调递减．所以，对任意a∈(−∞,2−2e)，有ℎ(a)≤ℎ(0)=0，即②对任意a∈(−∞,2−2e)恒成立．由③式解得：a≤2−3e−1．④综合①④可知，当a∈(−∞,2−3e−1]时，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使f(x i)=g(x0)成立．22. ∵ PE、PB分别是⊙O2的割线∴ PA⋅PE＝PD⋅PB又∵ PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴ PA2＝PC⋅PB由以上条件得PA⋅PD＝PE⋅PC连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵ BC是⊙O1的直径，∴ ∠CAB＝90∘∴ AC是⊙O2的切线．由（1）知PAPE =PCPD，∴ AC // ED，∴ AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE又∵ AC是⊙O2的切线，∴ ∠CAD＝∠AED 又∠CAD＝∠ADE，∴ ∠AED＝∠ADE∴ AD＝AE23. 解：(1)由题意得，点A的直角坐标为(4, 3)，曲线L即ρ2 sin2θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y2=2x，由于直线l的斜率为1，且过点A(4, 3)，故直线l的普通方程为：y−3=x−4，即y=x−1．(2)设B(x1, y1)，C(x2, y2)，由{y2=2xy=x−1可得x2−4x+1=0，由韦达定理得x1+x2=4，x1⋅x2=1，由弦长公式得|BC|=√1+k2|x1−x2|=2√6．24. 解：(1)当a=4时，不等式即|2x+1|−|x−1|≤2，当x<−12时，不等式为−x−2≤2，解得−4≤x<−12．当−12≤x≤1时，不等式为3x≤2，解得−12≤x≤23．当x>1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤23}．(2)设f(x)=|2x+1|−|x−1|={−x−2,x<−123x,−12≤x≤1 x+2,x>1，故f(x)∈[−32，+∞)，即f(x)的最小值为−32．所以，若f(x)≤log2a有解，则有log2a≥−32，解得a≥√24，即a的取值范围是[√24，+∞)．。

数学_2013年山东省高考数学预测试卷(04)_(含答案)

2013年山东省高考数学预测试卷（04）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若复数a+3i 1+2i（a ∈R ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为( )A −2B 4C −6D 62. 已知U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则∁U (M ∪N)=( ) A {1, 4} B {1, 3, 4} C {4} D {2}3.如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（） A √3 B √32 C3 D 324. 已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=π，则cos(a 2+a 8)的值为( ) A −12 B −√32 C 12 D √325. “m <1”是“函数f(x)=x 2+x +m 有零点”的（）A 充分非必要条件B 充要条件C 必要非充分条件D 既不充分也不必要条件 6. 在边长为1的正三角形ABC 中，BD →=xBA →，CE →=yCA →，x >0，y >0，且x +y ＝1，则CD →⋅BE →的最大值为（） A −58B −38C −32D −347. 已知a ，b ，c ，d 是实数，且c >d ．则“a >b”是“a ⋅c +b ⋅d >b ⋅c +a ⋅d”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8. 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，B 、C 两点间的球面距离均为π3，则球心到平面ABC 的距离为（）A√2114 B √217 C 2√217 D 3√2179. 已知函数f(x)={a +log 2x ，x ≥2x −bx−2，x <2（a ，b 为常数），在R 上连续，则a 的值是（）A 2B 1C 3D 410. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)⋅f(−x)=1，f(1+x)⋅f(1−x)=4，当x ∈[0, 1]时，f(x)的值域为[1, 2]，a k =f(x)min x ∈[2k, 2k +2](k ∈N)，则lim n →∞∑1a k n k=0=( )A 1B 32 C 43 D 5411. 已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ⋅k PB =23，则该双曲线的离心率为（）A √52B √62 C √2 D√15312. 抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果，连续抛掷三次，将第一次，第二次，第三次抛掷的点数分别记为a ，b ，c ，求长度为a ，b ，c 的三条线段能构成等腰三角形的概率为（） A 1172 B 2372 C 2572 D 2972二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13. 若f(x)在R 上可导，f(x)＝x 2+2f′(2)x +3，则∫f 30(x)dx ＝________．14. 设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为a i (i =1, 2, 3, 4)，P 是该四边形内一点，点P 到第i 条边的距离记为ℎi ，若a 11=a 22=a 33=a 44=k ，则∑(4i=1iℎi =2S k)，类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i =1, 2, 3, 4)，Q 是该三棱锥内的一点，点Q 到第i 个面的距离记为d i ，若S11=S 22=S 33=S 44=k ，则∑(4i=1id i )等于________．15. 在曲线{x =t +4cosθy =4sinθ(θ为参数)上，仅存在四个点到点(1, 0)距离与到直线x =−1的距离相等，则t 的取值范围是________．16. 定义：对于映射f:A →B ，如果A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称f:A →B 为一一映射．如果存在对应关系φ，使A 到B 成为一一映射，则称A 和B 具有相同的势．给出下列命题：①A ={奇数}，B ={偶数}，则A 和B 具有相同的势；②A 是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势； ③若A ={a →, b →}，其中a →，b →是不共线向量，B ={c →|c →与a →, b →共面的任意向量}，则A 和B 不可能具有相同的势；④若区间A =(−1, 1)，B =(−∞, +∞)，则A 和B 具有相同的势．其中真命题为________．三、解答题（本大题共6小题，共74分）每题要求写出详细的计算或解答过程． 17. 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−−−−−① sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ−−−−−−②由①+②得sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ−−−−−−③ 令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2代入③得 sinA +sinB =2sinA+B 2cos A−B 2．（1）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA −cosB =−2sinA+B 2sinA−B 2；（2）若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos2A −cos2B =2sin 2C ，试判断△ABC 的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论）18. 如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前进两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止． (1)求点P 恰好返回到A 点的概率；(2)在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量S 表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求S 的数学期望．19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC =AC =4,AB =BC =2√2（1）求证：平面ABC ⊥平面APC（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M −PA −C 的余弦值为2√23，求BM 的最小值．20. 已知椭圆x 24+y 29=1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且PM →=2MQ →，点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点D(0, −2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点(0,−417)且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON →=OA →+OB →（O 为原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．21. 已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且对任意n ∈N ∗都有(1−p)S n =p −pa n （p ≠±1的常数），记f(n)=1+C n 1a 1+C n 2a 2+⋯+C n n a n2n S n．(I)求a n ；(II)求lim n →∞f(n+1)f(n)；(III)当p >1时，设b n =p+12p−f(n+1)f(n)，求数列{p k+1b k b k+1}的前n 项和．22. 已知y =f(x)是函数y =e x a(a ≠0, a ∈R)的反函数，g(x)=x−1x(I)解关于x 的不等式：1+e f （x ）+g(x)>0；(II)当a =1时，过点(1, −1)是否存在函数y =f(x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；(III)若a 是使f(x)≥g(x)(x ≥1)恒成立的最小值，试比较∑11+k λn k=1与f[(1+n)λ2n （1−λ)]的大小(0<λ<1, n ∈N ∗)．2013年山东省高考数学预测试卷（04）答案1. C2. C3. D4. A5. C6. B7. C8. B9. B 10. C 11. D 12. B 13. −18 14. 3Vk15. (4, 5) 16. ①③④ 17. 满分．解法一：（1）因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，①cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，②…①-②得cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ．③… 令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2，代入③得cosA −cosB =−2sinA+B 2sin A−B 2．…（2）由二倍角公式，cos2A −cos2B =2sin 2C 可化为1−2sin 2A −1+2sin 2B =2sin 2C ，…即sin 2A +sin 2C =sin 2B ．…设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理可得a 2+c 2=b 2．…根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．… 解法二：（1）同解法一．（2）利用（1）中的结论和二倍角公式，cos2A −cos2B =2sin 2C 可化为−2sin(A +B)sin(A −B)=2sin 2C ，…因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A +B +C =π，所以−sin(A +B)sin(A −B)=sin 2(A +B)．又因为0<A +B <π，所以sin(A +B)≠0，所以sin(A +B)+sin(A −B)=0．从而2sinAcosB =0．…又因为sinA ≠0，所以cosB =0，即∠B =π2．所以△ABC 为直角三角形．…18. 解：(I)投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为P 1=26=13因为只投掷一次不可能返回到A 点；若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： (1, 3)．(3, 1)．(2, 2)三种结果，其概率为P 2=(13)2⋅3=13若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： (1, 1, 2)．(1, 2, 1)．(2, 1, 1)三种结果，其概率为P 3=(13)3⋅3=19若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1, 1, 1, 1) 其概率为P 4=(13)4=181所以，点P 恰好返回到A 点的概率为P =P 2+P 3+P 4=13+19+181=3781(II)在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，因为，P(ξ=2)=37，P(ξ=3)=37，P(ξ=4)=17所以，Eξ=2⋅37+3⋅37+4⋅17=19719. （1）证明：取AC 中点O ，因为AP =BP ，所以OP ⊥OC由已知，可得△ABC 为直角三角形，∴ OA =OB =OC ，△POA ≅△POB ≅△POC ，∴ OP ⊥OB∵ OB ∩OC =O ∴ OP ⊥平面ABC ，∵ OP ⊂平面PAC ，∴ 平面ABC ⊥平面APC（2）解：以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．由已知得O(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，A(0, −2, 0)， C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2√3)，∴ AP →=(0,2,2√3)，AM →=(m,n +1,0)设平面PBC 的法向量{−2x +2y =02x −2√3z =0，由{−2x +2y =02x −2√3z =0得方程组{−2x +2y =02x −2√3z =0，取n 1→=(√3,√3,1) ∴ cos <AP →，n 1→>=√217∴ 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√217．（3）解：由题意平面PAC 的法向量n 2→=OB →=(2,0,0)，设平面PAM 的法向量为n 3→=(x,y,z)，M =(m, n, 0) ∵ AP →=(0, 2,2√3)，AM →=(m, n +2, 0)，AP →⋅n 3→=0，AM →⋅n 3→=0∴ {2y +2√3z =0mx +(n +2)y =0取y =−1，可得n 3→=(n+2m，−1，√33)∴ cos <n 2→，n 3→>=2(n+2)m2√(n+2m )2+1+13=2√23∴ n +2=√323m∴ BM 的最小值为垂直距离d =8√70−2√10535．20. 解：（1）设M(x, y)是曲线C 上任一点，因为PM ⊥x 轴，PM →=2MQ →，所以点P 的坐标为(x, 3y) 点P 在椭圆x 24+y 29=1上，所以x 24+(3y)29=1，因此曲线C 的方程是x 24+y 2=1…（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为y =kx −2与椭圆交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，N 点所在直线方程为y =−417，由{y =kx −2x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−16kx +12=0x 1+x 2=16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，…由△=162k 2−48(1+4k 2)>0得k 2>34，即k >√32或k <−√32，… 因为ON →=OA →+OB →，所以四边形OANB 为平行四边形，…假设存在矩形OANB ，则OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=0，所以(1+k 2)⋅121+4k 2−2k ⋅16k 1+4k 2+4=0，即k 2=4，k =±2，…设N(x 0, y 0)，由ON →=OA →+OB →，得y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 21+4k 2−4=−41+4k 2=−417，即N 点在直线y =−417，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为y =±2x −2…21. 解：(1)∵ (1−p)S n =p −pa n ，① ∴ (1−p)S n+1=p −pa n+1．②②-①，得(1−p)a n+1=−pa n+1+pa n ，即a n+1=pa n ．在①中令n =1，可得a 1=p ．∴ {a n }是首项为a 1=p ，公比为p 的等比数列，a n =p n ． (2)由题意知，p ≠±1时，由(1)可得S n =p(1−p n )1−p=p(p n −1)p−1．1+C n 1a 1+C n 2a 2+⋯+C n na n=1+pC n 1+p 2C n 2+⋯+C n n p n=(1+p)n =(p +1)n ．∴ f(n)=1+C n 1a 1+C n 2a 2+⋯+C n n a n2n S n=p−1p⋅(p+1)n2n (p n −1)，f(n +1)=p−1p⋅(p+1)n+12n+1(p n+1−1)．lim n →∞f(n+1)f(n)=(p +1)lim n →∞p n −12(p n+1−1)={p+12，|p|<1p+12p，|p|>1，所以lim n →∞f(n+1)f(n)={p+12，|p|<1p+12p，|p|>1(3)由(2)可得b n =p+12p−f(n+1)f(n)=(p−1)(p+1)2p⋅1p n+1−1，又p k+1b k b k+1=(p+1)(p 2−1)4p 2⋅(1p k+1−1−1p k+2−1)，所以∑pk+1n k=1b k b k+1=(p+1)(p 2−1)4p 2(1p 2−1−1p n+2−1)．22. 解：(1)由已知可得f(x)=lnax ，当a >0时，f(x)的定义域为(0, +∞)；当a <0时，f(x)的定义域为(−∞, 0)①当a >0时，x >0，原不等式等价于：1+ax +x−1x>0⇔ax 2+2x −1>0，可得 x ∈(√a+1−1a，+∞)；②当a <0时，x <0，原不等式等价于：1+ax +x−1x<0⇔ax 2+2x −1<0，可得 x ∈(−∞, 0)．(2)设y =f(x)图象上的切点坐标为（x 0, f(x 0)），显然x 0≠1，可得f′(x 0)=1x 0=lnx 0x 0−1⇒lnx 0=−1x 0，设ℎ(x 0)=lnx 0+1x 0(x 0>0,x 0≠1)，ℎ′(x 0)=x 0−1x 0，可得ℎ(x 0)在(1, +∞)为增区间；(0, 1)为减区间，ℎ(x 0)>ℎ(1)=1 所以ℎ(x 0)=0没有实根，故不存在切线． (3)∵ lnax ≥x−1x 对x ≥1恒成立，所以lna +lnx ≥x−1x⇒lna ≥1−1x−lnx ，令ℎ(x)=1−1x−lnx ，ℎ′(x)=1x2−1x≤0(x ≥1)，可得ℎ(x)在区间[1, +∞)上单调递减，故lna ≥ℎ(1)=0，a min =1．得lnx ≥x−1x(x ≥1)，f(x)=lnx ．令x =1+k λk λ(k ∈N ∗)，ln(1+k λ)−lnk λ>11+k λ，而1+k λ2≤(1+k 2)λ，即1+k λ≤21−λ(1+k)λ，所以11+k λ<ln(1+k λ)−lnk λ≤ln(1+k)λ−lnk λ+ln21−λ， ∑11+k λn k=1<ln(1+n)λ+nln21−λ=f[(1+n)λ2n （1−λ)]．。

2013年山东省高考理科数学试卷解析版

2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位)，则z的共轭复数为(）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答:解：∵(z﹣3）(2﹣i)=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评:本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．(5分）（2013•山东）已知集合A=｛0,1，2｝，则集合B=｛x﹣y｜x∈A，y∈A｝中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0,1，2｝,从而可得答案．解答：解:∵A={0，1，2｝,B={x﹣y|x∈A，y∈A｝，∴当x=0,y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1,﹣2;当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0,1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2｝，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题．3．（5分）（2013•山东)已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点: 函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f(﹣1）=﹣f（1）,即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f(x)=x2+,∴f（﹣1）=﹣f(1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点: 直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解:如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析:利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f(x）=sin（2x+φ)，则f(x+）=sin［2(x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f(x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点: 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解:不等式组表示的区域如图，当M取得点A(3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键．8．（5分)（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（)A．B．C．D．考点：函数的图象．专题: 函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质,考查了函数的值，是基础题．9．(5分）(2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程;直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析:由题意判断出切点（1，1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答:解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过（1，1）,B、D不满足题意;另一个切点的坐标在（1,﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评:本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分)（2013•山东)用0，1，2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…,9十个数字,所有三位数个数为:900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分)（2013•山东)抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M(）,则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得,代入M点得M（）把M点代入①得:．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分)(2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2，又x,y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“="），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东)执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0。

2013山东高考数学试题

2013山东高考数学试题2013年山东高考数学试题分为选择题和解答题两部分，总分为150分。

以下是试题内容及解答。

第一部分：选择题1. 单选题（共8小题，每小题10分，共80分）1. 设函数f(x)=cos(x+π/6)，则f(x)的最小正周期是：A. π/6B. π/4C. π/3D. π/22. 若函数f(x)可导，且f′(x) = sin(x^2)，则函数f(x)的一个原函数是：A. U(x)B. sin(x^2)C. cos(x^2)D. 1/2sin(x^2)3. 已知函数f(x) = (x^2 - 4x)e^(-x)，则f′(−log2/3)的值为：A. -4/3e^(-2/3)B. 8/3e^(-2/3)C. e^(-2/3)D. 3e^(-2/3)4. 设集合A = {x | x^2 − 4|x| + 3 > 0}，则集合A的解析式为：A. x < −1, x > 3B. −1 < x < 3C. x < 1, x > 3D. x < −1, x > −35. 设随机变量X的分布律为 P{X=x} = k(1/2)^x (x=0,1,2,…) ，则常数k的值为：A. 1B. 1/2C. 2D. 1/46. 设随机变量X的概率密度为f(x)=A. 0.5(0≤x≤1)B. 2(0≤x≤1)C. 1(0≤x≤0.5)D. 4(0≤x≤0.5)7. 设随机变量X的概率密度为f(x)=A. 3(x-1)^2(0≤x≤1)B. 3(1-x^2)(0≤x≤1)C. √3(x^2-1)(0≤x≤1)D.√3(1-x)^2(0≤x≤1)8. 大气中的水汽按高度分布如下表：高度（km） 0-1 1-2 2-4 4-6 6-9水汽含量（%） 30 60 90 50 20则大气中的平均水汽含量(单位：%·km)为：A. 5B. 8C. 15D. 202. 解答题（共7小题，每小题15分，共105分）1. （第五题）已知集合A = {x | log2(x−1)−log2(x−2)>0}，集合B = {x | x^2−3x>2}，求集合A∩B的解析式。

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2013山东省高考压轴卷文科数学考试时间：120分钟满分：150分本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．第II卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数22 ()1ii（其中i为虚数单位）的虚部等于（） A．i B． 1 C． 1 D．0 2．已知集合2{|03},{|540}MxxNxxx，则MN（） A．{|01}xx B．{|13}xx C．{|04}xx D．{|0xx或4}x 3．如果等差数列na中，34512aaa，那么127aaa( ) A．14 B．21 C．28 D．35

4．函数121xf(x)lnxx的定义域为( ) A. (0，+∞) B. (1，+∞) C. (0，1) D. (0，1)(1，+)

5．若实数x，y满足不等式组： x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是 ( ) A．3 B.52 C．2 D．22 6．设sin（4）=13，sin2=（） A．79 B．19 D．19 D．79 7. 若直线10xy与圆22()2xay有公共点，则实数a取值范围是（） A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3,l ] D．（－∞，－3]  [1．+∞） 8.（2013青岛市一模）已知m、n、l是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出以下命题： ①若,//mn，则//mn； ②若lmlnm,,,,，则nm；③若//nm，m，则//n；④若//，//，则//．

其中正确命题的序号是（） A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 9．（2013日照市一模）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为82的矩形.则该几何体的表面积是（）页 2第

A.2082 B.2482 C.8 D.16

10. 已知函数fx是R上的奇函数，若对于0x，都有2()fxfx， 20,2,log1xfxx当时时，

20132012ff的值为（）

A.2 B.1 C.1 D.2 11．函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为 ( )．

12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq －np，下面说法错误的是（） A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙a C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分． 13．执行如右图的程序框图，那么输出S的值是． 14.（2013滨州一模）已知抛物线28yx的准线过双曲线2213xym的右焦点，则双曲线的离心率为 .

15．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为

16．观察下列等式：231111222，2231411112223232，2333141511112223234242

，„„，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈*N，

2314121122232(1)2nnnn

 ；

三、解答题:本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)（2013济南市一模）在ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足cos(3)cosbCacB. （Ⅰ）求Bcos；（Ⅱ）若4BCBA，42b，求边a，c的值. 18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，

开始 2,1Sk

5?k 否

1kk是输出S

结束 1

1SS

第13题图页 3第

AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE.

19.（本小题满分12分）某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）. (Ⅰ)分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率； (Ⅱ）设321、A、AA是月用水量为[0，2)的家庭代表.21、BB是月用水量为[2，4]的家庭代表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表21、BB至少有一人被选中的概率.

20. (本小题满分12分）已知等比数列{}na的所有项均为正数，首项1a＝1，且435,3,aaa成等差数列. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）数列{1nnaa}的前n项和为nS，若nS＝21(*)nnN，求实数的值. 21．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为(0,1)B，且其右焦点到直线220xy的距离为3. （Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设直线过定点3(0,)2Q，与椭圆交于两个不同的点MN、，且满足BMBN．求直线的方程. 22．（本小题满分13分）已知函数()2ln()afxaxxaxR．（Ⅰ）若3a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；

（Ⅲ）设函数()agxx．若至少存在一个0[1,]xe，使得00()()fxgx成立，求实数a的取值范围．页 4第

参考答案 1．B

【解析】22222 22()12(1)iiiiiii,所以虚部为1，故应选B. 2．A 【解析】2{|540}{|1 4}{|01}NxxxxxorxMNxx 3．C 【解析】因为34512aaa，所以44a，所以1274728aaaa.

4.B

【解析】要使函数有意义，则有001xxx，即0(1)0xxx，所以解得1x，即定义域为(1，+∞)，故应选B. 5．C

【解析】可行域为直角三角形，其面积为S＝12×22×2＝2. 6．A

【解析】因为sin（4）=13，即2212sincos,sincos=2233所以，两边平方，得：2+sincos=912，所以7sin2=-92。

7. C 【解析】因为直线10xy与圆22()2xay有公共点，所以圆心(,0)a到直线10xy的距

离012,+122ada即，所以-3a1。 8．A. 【解析】①中直线还可能异面；③中需指明直线n不在平面内。 9．A. 【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为22,由

面积82得长为4，则1+2=82+224+222SSS侧底（）22 =2820. 10.B

【解析】由2()fxfx知，函数fx的周期为2，所以20132012ff .1)0()1()0()121006()21006()2013(ffffff 11．D

【解析】取x＝－π，0，π这三个值，可得y总是1，故排除A、C；当0函数，故y＝esin x也是增函数，故选D. 12．B 【解析】由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，所以选项B错误；（a）⊙b=mqnp，(a⊙b)= ( mq－np)= mqnp，所以对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b），选项C正确；（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2= 22222222mqnpmpnq，|a|2|b|2=222222222222mnpqmqnpmpnq，

所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。 13．-1