乘法结合律(1)
(完整版)乘法交换律和结合律
《乘法交换律和结合律》教学设计原州九小胡琴霞教学内容：人教版义务教育教科书四年级下册24—25页内容。
教材分析：教材以学生参加植树活动的情境为主题图，由图引出例5、例6为学习乘法交换律和结合律提供具体的事例。
这样编排能激发学生的学习兴趣，在解决问题的同时描述规律并熟练掌握。
做一做”和练习七的习题基本上是针对两条乘法运算定律的理解、巩固和应用设计的。
学情分析：前面已经学习了加法交换律、结合律，学生对学习数学都有很大的兴趣，特别是男生，更是有很多不同于其他同学的思路。
针对这一点，老师在提问时的问法一定要严谨、明确，否则很容易让学生发散思维而回归不到正常的教学环节中。
教学目标：1、使学生理解并掌握乘法交换律、结合律，并会用字母表示。
2、借助观察、比较、概括、联想等方法，培养学生的分析推理能力，发现并概括出乘法运算定律。
3、使学生感受数学与现实生活的联系，运用新知识解决简单的实际问题的能力。
4、通过教学情境的创设，向学生渗透环保教育。
重点：使学生理解并掌握乘法交换律、乘法结合律。
难点：使学生能灵活运用乘法交换律和乘法结合律的解决简单的实际问题，提高计算能力。
教学准备：课件、课后练习题。
教学过程：一、复习旧知。
前面我们学习的加法运算定律有哪些?用字母如何来表示呢？学生回答，乘法有这样的运算定律吗？今天我们就一起来学习乘法运算定律。
（板书课题）二、探究新知。
（一）探索乘法交换律。
1、出示主题图导入。
师：同学们现在已经是春天了，春回大地，万物复苏，正是植树造林的好时机。
3月12日——植树节这天，光明学校也组织同学们参加植树活动，植树是一项非常有意义的活动，它不仅能防风固沙还能净化空气、美化环境。
同学们都积极地响应学校的号召。
看，他们正干的热火朝天呢！（课件出示课本情景图）他们在植树时还搜集了一些数学信息，请同学们仔细观察图，根据这些数学信息会提出哪些数学问题呢？2、解决问题。
(1)负责挖坑、种树的一共多少人？(2)学生独立解决问题，让两名学生上台板演。
乘法结合律和交换律
目录
• 引言 • 乘法结合律 • 乘法交换律 • 乘法结合律与交换律的比较 • 练习与思考
01
引言
主题简介
乘法结合律
指在乘法运算中，改变因数的组 合方式，其积不变的性质。
乘法交换律
指在乘法运算中，改变因数的位 置，其积不变的性质。
重要性及应用场景
01
02
03
数学基础
乘法结合律和交换律是数 学基础运算规则，是学习 代数、几何等数学领域的 基础。
01
02
03
04
1. 计算 (3 × 4) × 5 的 值。
2. 计算 3 × (4 × 5) 的 值。
3. 计算 (3 × 4) × (5 × ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 的值。
4. 计算 (3 + 4) × 5 的 值。
相关数学概念的扩展思考
要点一
乘法结合律
指在乘法运算中，改变乘数的组合顺序，其结果不变。例如， (a × b) × c = a × (b × c)。
证明过程
证明方法
通过数学归纳法和排列组合的知识来证明乘法结合律。
证明过程
首先，考虑三个数的乘积，我们可以将其表示为三个数的排列组合，然后根据 排列组合的性质，证明任意改变它们的结合顺序，其积不变。
乘法结合律的应用
应用场景
乘法结合律在数学和物理等多个领域都有广泛的应用，例如在计算几何形状的面 积和体积时，以及在解决物理问题时。
代数证明
乘法交换律是代数证明中 的基本工具之一，可以用 于证明其他代数性质和定 理。
组合数学
在组合数学中，乘法交换 律用于计算组合数和排列 数等。
04
乘法结合律与交换律的比 较
乘法结合律举例
乘法结合律举例
乘法结合律是数学中的一条基本法则，它指出，当进行多个数的乘法运算时，无论按照怎样的顺序进行乘法运算，结果都是相同的。
以下是几个乘法结合律的举例：
1. 计算 2 × 3 × 4。
按照乘法结合律，可以先计算 2 × 3，得到 6，再将 6 与 4 相乘，最终结果为 24。
也可以先计算 3 × 4，得到 12，再将 2 与 12 相乘，同样得到 24。
无论按照哪种顺序进
行乘法运算，最终结果都是相同的。
2. 计算 5 × 6 × 2 × 3。
按照乘法结合律，可以先计算 5 ×6，得到 30，再将 30 与 2 相乘，得到 60，最后将 60 与 3 相乘，得到 180。
也可以先计算 6 × 2，得到 12，再将 5 与 12 相乘，
得到 60，最后将 60 与 3 相乘，同样得到 180。
无论按照哪种顺序进行乘法运算，最终结果都是相同的。
3. 计算 4 × 2 × 1 × 8。
按照乘法结合律，可以先计算 4 ×2，得到 8，再将 8 与 1 相乘，得到 8，最后将 8 与 8 相乘，得
到 64。
也可以先计算 2 × 1，得到 2，再将 4 与 2 相乘，得到 8，最后将 8 与 8 相乘，同样得到 64。
无论按照哪种顺序进行乘法运算，最终结果都是相同的。
乘法结合律的应用在数学中非常广泛，可以简化复杂的乘法运算，提高计算效率。
- 1 -。
乘法结合律和简便算法
乘法结合律和简便算法(a*b)*c=a*(b*c)这意味着，如果有三个数a、b和c，我们可以先计算(a*b)，然后再与c相乘，或者我们可以先计算(b*c)，然后再与a相乘。
无论我们选择哪种计算顺序，最终的结果都将是一样的。
除了乘法结合律，我们还可以使用一些简便算法来进行快速而准确的乘法运算。
下面是一些常用的简便算法：1.分解法：将一个复杂的乘法运算分解为简单的乘法运算。
例如，对于如下乘法：46*38，我们可以将之分解为(40+6)*(30+8)，然后再进行计算。
这种方法适用于较大的数。
2.交换法：通过改变乘法顺序来简化计算。
例如，对于如下乘法：9*24，我们可以将之改写成24*9=(20+4)*9=20*9+4*9=180+36=2163.数位分组法：将乘数和被乘数划分成多个数位，并使用乘法结合律逐步计算。
例如，对于如下乘法：72*36，我们可以将之分成(70+2)*(30+6)，然后分别计算(70*30)+(2*30)+(70*6)+(2*6)。
4.移位法：通过移位操作来简化乘法计算。
例如，对于如下乘法：7*8=7*(2^3)，我们可以将之改写成(7<<3)。
这些简便算法可以节省计算时间和精力，并且适用于不同的乘法运算。
它们在实际中得到广泛应用，并且在数学教育中常常被教授。
总结起来，乘法结合律和简便算法是乘法运算中非常重要的概念和技巧。
乘法结合律允许我们改变乘法的顺序而不改变结果，简便算法则可以帮助我们更快速、准确地进行乘法运算。
熟练掌握这些概念和技巧，将有助于我们在数学和计算领域中取得更好的成绩和效果。
乘法的结合律和简便算法
乘法的结合律和简便算法教学目标1.使学生理解并掌握乘法结合律.2.应用乘法交换律和结合律进行简算.教学重点理解乘法的结合律的意义及运用.教学难点乘法结合律的运用.教学步骤一、复习准备，引入问题情境1. 口算题.(卡片)2×5 50×2 25×4 8×125 125×80 40×25通过刚才的口算题，你们很快算出结果，那你们想不想知道在乘法运算中有哪三对好朋友呢?教师板书： 5×2 25×4 125×8请同学们要牢记这三对好朋友，一会儿它要给我们很大的帮助.2. 生比赛看谁算得快(直接写得数)25×42×4 69×125×84×39×25比赛结果都是老师算得快.二、探究新知1.导入：刚才老师所以算得快，是因为老师运用了乘法的一个定律，它可以使连乘的计算题变得非常简便易算.你们想知道吗?这节课我们就共同研究乘法结合律.(板书课题：乘法结合律)2.教学例3：(1)出示例3：演示课件“乘法结合律”出示例3(2)引导学生：先分组试算，再从上面的例子中寻找规律?(3)使学生明确：左边三个数相乘的积和右边三个数相乘的积相等.(4)同座互相试算，自己写数，看一看结果是否都是这样?(5)反馈练习：完成下面几组算式并观察下面每组的两个算式，你发现了什么规律?(15×4)×10○15×(4×10)(7×8)×5○7×(8×5)(125&t imes;80)×5○125×(80×5) (12×25)×4○12×(4×25)(6)引导学生总结规律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘;或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变.教师提问：如果用字母a、b、c分别表示这三个数，那么乘法结合律该怎样表示呢?启发学生：(a×b)×c=a×(b×c) (教师板书)教师说明：a、b、c表示的是大于0或等于0的整数.(7)练习：教材第61页上面的“做一做”(学生填书)，订正并说明根据.根据运算定律,在下面的□里填上适当的数.30×6×7=30×(□×□)125×(8×40)=(□×□)×□3.教学例4：我们知道应用加法的交换律、结合律可使一些计算简便.同样我们应用乘法交换律和结合律也可以进行简便运算.(板书：简便算法)出示例 4：计算 43×25×4演示课件“乘法结合律”出示例4(1) 学生讨论交流：怎样计算比较简便?(2) 指名板演，讲述计算方法.4.教学例5：出示例5，计算25×43×4演示课件“乘法结合律”出示例5(1)同桌讨论：这道题怎样计算比较简便?(2)指名板演，集体订正.(3)学生总结：由25×43×4到43×25×4这一步，根据乘法交换律.由43×25×4到43×(25×4)的根据是乘法结合律.5.比较例4和例5：观察比较例4和例5.(1)学生讨论：例4和例5在应用运算定律方面有什么不同?(2)引导学生明确：计算例4时，没有调换因数的位置，只应用了乘法的结合律，使计算简便;例5应用了交换律调换了因数的位置，然后再应用乘法结合律,计算简便.6.启发学生回忆：过去学过的哪些知识应用了乘法的结合律?7.练习：教材第61页下方的“做一做”.(学生口述解答)应用乘法交换律和结合律，进行简便计算.27×4×5 8×(7×25)12×25教师小结：以上我们学的是应用定律如何进行简算，也就是在几个数相乘的条件下，如果其中有两个数相乘得整十、整百……的数，就可应用乘法交换律和结合律，使计算比较简便.三、巩固发展1.填空：演示课件“乘法结合律”出示练习(1)乘法结合律用字母公式表示是( ).(2)教科书第62页第3题.下面哪些等式应用了乘法结合律?4×(15×3)=(4×15)×3(3×4)×5×6=3×(4×5)&t imes;66×(3×a)=6×(a×3)2.练习第十三4题.用简便方法计算下面各题，说一说各应用了什么运算定律?492×5×2 8×(25×15)25×17×4×213×50×4 25×166×48×5×125×403.练习十三第5题，投影出示.(口答)下面哪些算式运用了运算定律?为什么?4×5=2×10a×b×c=a×c×b a+b=b+a 1×2+3=1×3+2 a+b+c=b+a+c1+2×3=1+3×24.练习十四第6题，分组讨论.下面哪些算式运用了运算定律?为什么?1+4+6+9=(1+9)+(4+6)4×6×25=6×(4×25)54+28+46=(54+46)+285.练习十四第8题，投影出示.学生独立填写，订正时说一说是怎样想的.填写下表,并把每组的数跟第一组的比较，说出因数有什么变化，积有什么变化.a40804020408080b5050100502510025a×b四、全课小结这节课通过同学们的观察与思考，自己发现并总结出了乘法结合律，又根据乘法结合律对许多题目进行了简算.今后同学们做题时，要仔细观察题目特点，更准确更巧妙地把题目计算出来.五、布置作业练习十三第7、9题.7题.下面各题，怎样算简便就怎样算50×26×4 212+27+373 167+32+33125×50×80623-199 324+298 40×24×2535×4×25×209题.在运动会开幕式上进行大型团体操表演.一共有8个方阵，每个方阵有15行，每行有15个人.一共有多少人参加表演?。
乘法分配律和结合律总结
乘法分配律和结合律总结（附练习）知识点：1、乘法分配律：两个数的和(或差)与一个数相乘，可以把两个加数(或被减数、减数)分别与这个数相乘，在把两个积相加(或相减)，结果不变。
用字母表示数：(a+b)×c=a×c+b×c或(a-b)×c=a×c-b×c补充知识点：2、式子的特点：式子的原算符号一般是×、+(-)、×的形式;在两个乘法式子中，有一个相同的因数;另为两个不同的因数之和(或之差)基本上是能凑成整十、整百、整千的数。
3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和(或差)，再应用乘法分配律可以使运算简便。
乘法结合律知识点知识点：1、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。
用字母表示是：(a×b)×c=a×(b×c).2、使用时机：当几个数相乘时，如果其中两个数相乘得整十、整百、整千的数就可以应用乘法交换律和乘法结合律。
乘法结合律可以改变乘法运算中的顺序。
数字如;25和4、50和2、125和8、50和4、500和2等。
练习题：类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加）（40＋8）×25 125×（8+80）36×（100+50）24×（2＋10）86×（1000－2）15×（40－8）类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次）36×34＋36×66 75×23＋25×2363×43＋57×6393×6＋93×4325×113－325×13 28×18－8×28类型三：（提示：把102看作100＋1；81看作80＋1，再用乘法分配律）78×102 69×10256×101 52×102125×81 25×41类型四：（提示：把99看作100－1；79看作80－1，再用乘法分配律）31×99 42×9829×9985×98125×7925×39类型五：（提示：把56看作56×1，再用乘法分配律）83＋83×9956＋56×9999×99＋9975×101－75125×81－12591×31－91。
乘法的交换律与结合律
乘法的交换律与结合律乘法是数学中一种基本运算，很多人在学习乘法的时候都会遇到乘法交换律和结合律这两个概念。
乘法交换律表明了在乘法中，交换相乘的因数不会改变乘积的结果；而乘法结合律则指出在进行多个数的乘法时，无论括号如何分组，得到的结果都是相同的。
在本文中，我们将深入探讨乘法交换律和结合律的含义、证明以及它们在数学中的应用。
一、乘法交换律的含义和证明1.1 含义乘法交换律的含义是指在两个数相乘时，交换相乘的顺序不会改变其乘积的结果。
换句话说，对于任意的实数a和b，都有a乘以b等于b乘以a，即a * b = b * a。
1.2 证明要证明乘法交换律，我们可以通过数学归纳法进行证明。
基础步骤：取a为1，b为任意实数。
则1 * b = b，而b * 1 = b。
由此可见，基础步骤成立。
归纳假设：假设对于任意的正整数n，命题a * n = n * a成立。
归纳步骤：我们需要证明对于n+1，命题也成立。
即证明a * (n+1) = (n+1) * a。
根据归纳假设，我们可以得出a * n = n * a成立。
那么(a * n) + a = (n * a) + a也成立。
化简得到a * (n+1) = (n+1) * a。
由此可见，根据数学归纳法的证明，乘法交换律得到了证明。
二、乘法结合律的含义和证明2.1 含义乘法结合律指的是，在进行多个数的乘法时，无论括号如何分组，得到的结果都是相同的。
换句话说，对于任意的实数a、b和c，都有(a * b) * c = a * (b * c)。
2.2 证明为了证明乘法结合律，我们可以通过使用分配律的性质进行证明。
假设任意的实数a、b和c，我们需要证明(a * b) * c = a * (b * c)。
首先，我们展开左边的式子，得到(a * b) * c = (a * b) + (a * c)。
然后，我们再展开右边的式子，得到a * (b * c) = a + (b * c)。
乘法交换律和结合律例1
观察下面每组的两个算式，它们有什么 样的关系？ (69×72) ×28 ○ 69× (72×28) 15× (45×207) ○ (？ 从上面的算式，可以发现什么规律？
①每组算式中有三个因数，而且三个 因数相同，只是计算时计算顺序不同。 ②每个等式中，左右两边的因 数的乘积相等。
一共有25个小组，每组 里4人负责挖坑、种树， 2人负责抬水、浇树。
每组要种5棵树， 每棵树要浇2桶水。
问题乐园
• 例1：负责挖坑、种 树的一共有多少人？• • 4×25=100（人） • 或25×4=100（人） • • 答：负责挖坑、种 树的一共有100人。 • • 4×25=25×4 • •
两个因数相乘，交换两 个因数的位置，积不变， 这叫做乘法交换律。 你能用自己喜欢的方法 来表示乘法交换律吗？
甲数×乙数=乙数×甲数 ▲ × ★= ★ × ▲
a×b=b×a
每组要种5棵 树，每棵树要浇 2桶水。
一共要浇多少桶 水？
我先计算一共种 了多少棵树。
(25×5)×2
一共有25个小 组，每组有2人负 责抬水、浇树。
填一填
(84×35)×265=84×( 35 ×265) 60×45× 2 =60×（45 ×2）
( 54 × 46 )× a = 54×(46×a)
2×6×25×10 =(2×25 )×（6×10 ）
填 上用 合乘 适法 的结 数合 。律
(65×145) ×43＝
205×(85 ×30)＝ (38×112) ×14＝ 278×(25×27)＝
头桥中心小学6个年级的同学参加跳绳比赛, 每个年级有5个班，每班有23人参加。一共有多 少人参加比赛？
明光小学新建了一幢5层的教学楼，每层有6 个教室。每个教室放24张课桌，一共需要多少张 课桌？
四年级数学运算定律1(乘法结合律、乘法分配律、乘除法简便运算)
=100+50 =150(人）
计算结果相同，解决同一个问题，说明两个算式相等。
（4+2）x 25 = 4x 25+2×25
25×（4+2）= 4x 25+2×25 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数 分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。
（a+b）xc=axc+bxc 或ax（b+c）=axb+axc
答答：：每每支支羽羽毛毛球球拍拍3333元元。。
330÷5÷2 =
一个数连续除以两个数。
330÷（5×2）
一个数除以两个数的积。
一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。
情景再现
运算定律
乘、除法简便运算
买了5副羽毛球拍，花了330元，还买 了25桶羽毛球，每筒32元。
“一打”是12个。
王老师一共买了多少个羽毛球？
一共要浇多少桶水？
方法一：①先求一共种了多少棵数 ②再求一共浇水多少桶
（25 x 5）x 2 =125x2 =250（桶）
方法二：①每一小组种的5棵树，要浇水的桶数。②25个 小组一共要浇水的桶数。 25 x（ 5 x 2） =25x10 =250（桶）
（25 x 5）x 2 = 25 x（ 5 x 2）
先求前两个因数的积
先求后两个因数的积
计算结果相等，用后一种方法计算更简便
（3 x 4）x 5=3×（4×5）
4 x（25×8）=（4×25）× 8
我们发现：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后 两个数，积不变。这叫乘法交换律。
（axb）xc=ax（bxc）
5×2=10 125×8=1000 75×4=300
乘法交换律与结合律(公开课课件)
2×5 ＝ 5×2
ห้องสมุดไป่ตู้
乘法交换律：交换两个因数的位置， 积不变 。 用字母表示： a×b=b×a
男生： (15×25×4 ) ＝375×4
女生：
( 15×25×4 ) ＝15×100
＝1500
＝1500
乘法结合律：先乘前两个数，或者 先乘后两个数，积不变。
你还能举出像这样的其它例子吗？ 如: (15×25 ) ＝ 15×( 25×4 ) ×4
用字母表示：a×b×c=(a×b) ×c=a× (b×c)
3、应用乘法结合律和交换律进行计算。
课堂作业
32×64＝（
1号本
） × ） × 4 ）
1、根据运算定律填空。 ）×（
5×13×20＝13 ×（ （23×15）×（
）＝23 ×（
2、怎样简便就怎样算。
125×5×8 50×13×20
41×25×4
=17000 运用乘法交换律与结合律能使计算更为简便: 因为这两个数结合起来相乘，所得的乘积是整 百、整十数，可以使计算更为简便。
植树节
一共有25个小组，每组要种5棵树，每 棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？
一共有25个小组，每组要种5棵树，每 棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？
25×5×2 ＝25×（5×2 ） ＝25×10 ＝250（桶） 答：一共要浇250桶水。
独立计算,看谁算得又对又快。
42×125×8 25×17×4 ＝42×（125×8） ＝25×4×17 ＝42 ×1000 ＝100 ×17 ＝ 42000 ＝ 1700 492×5×2 25×125×8×4 ＝492×（5×2）＝（25×4）×（125×8） ＝100 ×1000 ＝492 ×10 ＝ 100000 ＝ 4920