【人教A版】高中数学必修3教学同步讲练第三章《古典概型》练习题(含答案)

1
第三章 概率
3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 （整数值）随机数
（random numbers）的产生

A级 基础巩固
一、选择题
1．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的
正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B
项中的基本事件是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性
和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可
能性，故D不是．
答案：C
2．小明同学的QQ密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，
2

小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后
一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )

A.1105 B.1104 C.1102 D.110
解析：只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机
选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，

所以选对的概率是
1
10
.

答案：D
3．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A
为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，
(2，1)，(2，2)，(3，1)．
答案：D
4．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集
合A∪B 中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是
( )

A.23 B.35 C.37 D.25
解析：A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，
所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是
3
7
.

答案：C
5．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的
茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )
3

A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
解析：10个数据落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29

共4个，因此，所求的频率即概率为410＝0.4.故选B.
答案：B
二、填空题
6．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a
的概率为________．
解：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，
共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种．

故所求概率为410＝
2
5
.

答案：25
7．分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取
一个数，则这两数之积为偶数的概率是________．
解析：基本事件总数为4×4＝16，记事件M＝{两数之积为偶数}，

则M包含的基本事件有12个，从而所求概率为1216＝
3
4
.

答案：34
8．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙
试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是
________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
4

解析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门
的概率为24×23＝13.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为24×24＝
1
4
.

答案：13 14
三、解答题
9．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个
矩形只涂一种颜色，求3个矩形颜色都不同的概率．

解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示．

记“3个矩形颜色都不同”为事件A，由图，可知事件A的基本
事件有2×3＝6(个)，故P(A)＝627＝
2
9
.

10．(2015·天津卷)设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分
别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动
员组队参加比赛．
(1)求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，
A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
5

②设事件A为“编号为A5和A6的2名运动员中至少有1人被抽
到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，
1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结
果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A
3
}，

{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A
4

，

A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能
结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，
A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝
3
5
.

B级 能力提升
1．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三
条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )

A.14 B.13 C.12 D.25
解析：从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性
均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，
(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)，共四种，其中能构成三角形的有
(3，5，7)一种，故概率为P＝14.
6

答案：A
2．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，
则2本数学书相邻的概率为________．
解析：2本不同的数学书用a
1，a2

表示，语文书用b表示，由Ω

＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a
2
)(b，

a2，a1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23.
答案：23
3．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三
张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取
1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求：
(1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，
3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，
3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，
3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，
3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，
共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
7

所以P(A)＝327＝
1
9
.

因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为
1
9
.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则
事件B－包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P(B－)＝1－327＝
8
9
.

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为
8
9
.