六年级奥数全教程

第一章 数与计算

第一单元 同余问题

1． 知识前提。

（1） 整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或

b 能整除a 。

（2） 乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n 个相同因数a 相乘，

即n a

a a

a ∙个，记做n a 。其中a 叫做底，n 叫做指数，n a 读做a 的n 次方。

（3） 幂的运算法则：

① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即

m n m n a a a +∙=。

② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即

()m

n nm a a =。

③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即 ()

n

n n ab a b =∙。

2． 同余

如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。我们把m 称为模。如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。 3． 规律、方法应用。

（1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。

（2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。

（3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。

（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c

和b －d ，a c 和bd 对于m 同余。

（5） 同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n

a 和n

b 也对于m 同余。

（6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……n a 和n b 对于

m 同余，那么123n a a a a +++

和123n b b b b +++也对于m 同余。

例1． 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？ 拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?

拓展二 自然数16520,14903,14177除以m 的余数相同, m 的最大值是多少?

拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多

少?

例2．求200359⨯除以7的余数。

拓展一 求189********⨯⨯除以13的余数。

拓展二 求281432338752413289786⨯⨯⨯-⨯除以11的余数。

拓展三 求1

234567891

23456789++++++++的结果除以3的余数。

拓展四 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个1234

200020012002A =试求A 除以9的

余数。

例3．100

10被7除的余数是多少？

拓展一

10002除以13的余数是多少？

拓展二 今天是星期日，过1991

2天是星期几？

拓展三 求355

7

的末两位数是多少？

拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008

年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）

检测

1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N 除的余数是（ ） Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．２

２．1991和1769除以某一个自然数n ,余数分别为2和1,n 的最小值是( ) Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．17 Ｄ．18 3．16173738⨯⨯⨯除以13的余数是（ ） Ａ．12 Ｂ．11 Ｃ．9 Ｄ．7 4．1999

1999

除以3所得的余数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．3 5． 今天是星期二，再过2002

99

天是星期（ ）

Ａ．三 Ｂ．四 Ｃ．五 Ｄ．六 6． 1999

1998

的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．6 7． 1997

995102511

1317⨯⨯的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．6 8． 50

51

52

53

3457+++的个位数字是（ ） Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．5

9． 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（ ）个。 Ａ．17 Ｂ．198 Ｃ．34 Ｄ．51

10． 一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（ ）。 Ａ．345 Ｂ．121 Ｃ．150 Ｄ．267

11． 一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（ ）。 Ａ．157 Ｂ．253 Ｃ．942 Ｄ．471

12． 用1，9，8，8这四个数能排出（ ）个被11除余8的四位数。 Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 13． 7142719⨯的积被7除的余数是（ ）。 Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．5

二．解答题。 14．试证明：111

112113111

112113++能被10整除。

15． 求乘积34374143⨯⨯⨯除以13所得的余数。 16． 今天是星期五，再过364

365天是星期几？

17． 求1234

3979除以39所得的余数。

18． 求323

19991999

323+的个位数字。

19． 13

14

15

131132133++除以13余几？ 20． 试证明：1990

19903

4+是5的倍数。

21． 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边

的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？

22． 2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二） 23． 某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？

24． 甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加

起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？ 25． 设A 是一个有35位循环节的循环小数123

350.A a a a a =，把A 的所有奇数位画去，得到一个新的无

限小数：12468

0.A a a a a =再把1

A 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：2480.n

A a a a =如此继续下去，能否仍得到原来的循环小数？

第二单元 分数的大小比较

比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：

1． 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。

2． 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。 3． 交叉相乘法。分数

a b 和c d ，如果ad ＞bc ，那么a b ＞c d

。 4． 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。 5． 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。

6． 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的

数或算式作适当的变形。

解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。 例1

比较

1519、49、1225、2037这四个分数的大小。 拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。

1017，1219，1523，2033

拓展二

21199819981A =

-+，22

1

1998199719981997

B =-⨯+。试比较A 和B 的大小。 拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。

23，58，1523，1017，1219

拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。

107、149、75、3523 例2 比较44435554，55576668，6668

7779三个分数的大小。

拓展一 比较77777757777777和6666661

6666663的大小。

拓展二 比较218191654321和152347

456789

的大小。

拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。

1727，1931，2338，101161 例3 4681000000

5791000001

A =⨯⨯⨯⨯，试比较A 与0.003谁大谁小。

拓展一 如果1357992468100

A =⨯⨯⨯⨯⨯，试比较A 与1

10的大小。

拓展二 用A 表示下面的积：35719999

46820000

A =⨯⨯⨯⨯，问：A 与0.01相比,谁大谁小?

拓展三 比较111111

124816321024

------

与0.001的大小. 检测

1． 在○中填入“＞”或“＜”。

（1）

680791○432543 （2）117448○207808 （3）1123412345○3345634567○55678

56789 （4）2399○23239999 （5）3333333○333333333 （6）23○47○311○415

（7）5556666○555566666 （8）71125○1312 （9）3433127934331281○5149691751496919

（10）1769○1567 （11）2330○2231

2. 比较555553555555和666664

666666的大小。

3. 把27、49、38和611

按从小到大的顺序排列。

4. 在512，1219，1023，47，15

22

五个分数中，最大的分数是谁？

5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。

2123、8489、1213、2831、1415

。

6. 比较

111111110222222221和444444443

888888887的大小。

7. 把9876598766、98769877、987988、9899

按从小到大的顺序排列。

8. 下面四个算式谁最大。

（1）1120719⎛⎫

+⨯

⎪⎝⎭

（2）11302429⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭

（3）11403137⎛⎫+⨯

⎪⎝⎭ （3）1

1504147⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭

9. 下面两个算式谁大谁小？ 199319921995

199419941995+；19931992

1996199319941995

+ 10. 把下面五个分数从大到小排列。

10519、14725、15776、211088、351814。 11. 在47、1225、149300、59、2011814中，哪个分数最大？

12. 比较100000005100000008、800000003

800000006的大小。

13. 222222220444444441和，333333334666666669

谁大谁小？

14. 按下面各式值的大小，把A 、B 、C 、D 、E 从小到大的顺序排列。 15. 满足下面式子的n 最小是多少？

111

1122334

(1)n n ++++

⨯⨯⨯⨯+＞1949

1998

16. 试比较

1111111和1111

11111的大小。 17. 如果1229＜70＜29

70

，那么□中应填哪个自然数？

18. 已知：111123A =++，1

111

2134B =+

+

+

，1111213145

C =++++

将A 、B 、C 三个数从小到大排列。

19. 在下式中的□内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立。 20. 下面给出6个分数算式：

36724+，37824+，38925+，391025+，3101125+，3111225

+，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。

第三单元 速算与巧算

六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。

1．运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。

2．（1）

111

(1)1 n n n n

=-

⨯++

（2）

11 ()

d

n n d n n d

=-

⨯++

（3）

1111

() ()

n n d d n n d

=⨯-

⨯++

（4）

1

(1)(2)

n n n

⨯+⨯+

111

2(1)(1)(2)

n n n n

⎡⎤

=⨯-

⎢⎥

⨯++⨯+

⎣⎦

（5）将1

A

分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a和b，然后分子、分母分别乘

()

a b

+，再拆分，最后进行约分。

4.等差数列求和法：（首项+末项）×项数2

÷=和。

5.约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从

而简化计算过程。

例1．计算

17 29

28

⨯

拓展一计算44

37 45

⨯

拓展二计算

2255 (97)() 7979

+÷+

拓展三计算

1 16641

20

÷

拓展四计算

1998 19981998

1999

÷

拓展五计算

577577 (2890)() 68106810

+++÷++

例2．计算362548361 362548186

+⨯

⨯-

拓展一计算198819891987 198819891

+⨯

⨯-

拓展二计算20458419915 199258438089 +⨯

-

⨯-

拓展三计算1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 122334455667

+++++

+++++

例3．计算

1111 1223344950 ++++

⨯⨯⨯⨯

拓展一 计算 11111

144771*********++++

⨯⨯⨯⨯⨯ 拓展二 计算 1111

1232343459899100++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 拓展三 计算 11111

155991313171721

++++

⨯⨯⨯⨯⨯ 拓展四 计算 111

11212312910++++

+++++++ 例4． 计算 12112112112112121212

21212121132132132132

⨯

拓展一 计算 123456787654321

888888888888888888888888++++++++++++++

⨯⨯ 拓展二 计算 12336971421

135391572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯

拓展三 计算 1990199019901990199019901

1989198919891989198919891989++-

++ 拓展四 计算 12378

223234234567823456789

+++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 计算下面各题：

1. 已知2

222(1)(21)

1

2(1)6

n n n n n +++++-+=

，

求123456784950⨯+⨯+⨯+⨯++⨯

2. 1998减去它的12，再减去余下的13，再减去又余下的14

，依此类推，一直减到最后余下的1

1998，最

后得多少？

第二章 有关的分数应用题

第一单元 单位“1”的妙用

解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。 知识、规律、方法

在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1”，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1”，然后进行解答。

例1．甲、乙两数之和为180，甲数的

14

等于乙数的1

5，问甲、乙两数各是多少？

拓展一 甲、乙两数相差30，其中甲数的310与乙数的1

3

相等，求这两个数的和是多少？

拓展二 上元水果店运来的苹果比橘子多1筐，其中苹果筐数的37与橘子筐数的1

2

相同，上元水果店一共

运来苹果和橘子多少筐？

拓展三 学校有皮球和足球共100个，皮球个数的

13比足球个数的1

10

多16个，学校有皮球和足球各多少个？

例2．某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的2

3

，

乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的3

5

，已知丙车间捐款180元，这三个车间共捐

款多少元？

拓展一兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的1

3

，老三修

了另外三人总数的1

4

，老四修了91米，问这条路全长多少米？

拓展二把一堆皮球分装在四个盒子中，其中1

5

放入甲盒，

1

3

放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮

球总数的3

4

，丁盒放入10个皮球，这堆皮球一共有多少个？

拓展三有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的1

4

，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样

多。原来红球和黄球各有多少个？

例3．把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的2

5

，乙厂分得余下的

2

5

，最后丙厂

分得14.4吨，这批面粉重多少吨？

拓展一某校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级多10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？

拓展二有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的5

7

。如果从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，

甲粮库存粮的吨数是乙粮库的4

5

。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？

拓展三甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出8克糖放入乙容器中，搅拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒30千克到甲容器，搅拌均匀后，甲容器中糖水的质量分数为40%，乙容器中糖水的质量分数为20%，甲容器中应有糖多少克？

检测、反馈、应用

1．某车间男工人数比女工人数多3

5

，女工人数比男工人数少（）。

2.菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的3

8

时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐，

共收黄瓜（）千克。

3.食堂运来一批大米，第一天吃了全部的2

5

，第二天吃了余下的

1

3

，第三天吃了余下的

3

4

，这时还剩下

15千克。食堂运来大米（）千克。、

4.甲有若干本书，乙借走了一半加3本，剩下的书，丙借走了1

3

加2本，再剩下的书，丁借走了

1

4

加1

本，最后甲还有2本书。甲原来有（）本书。

5.小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时

走两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的3

2

倍，那么上坡的速度是平路速度的（）

6.有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占

50%，B堆中的黑子占75%，要从B堆中拿到A堆黑子多少个？白子多少个？

7.甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200吨。当甲仓库的货物运走

7

15

，乙仓库的货物运走

1

3

以后，再从

甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？

8.同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多8人。后来调走13个同学上

第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的

7

10

。参加这次春游活动的同

学一共有多少人？

9.某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分

别是9.60元、16元、18元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少元？

10.电影票原价每张若干元，现在每张降价3元出售，观众增加一半，收入增加1

5

，一张电影票原价多少

元？

11.王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少1

9

；若每小时少加工16

个零件，则所用的时间比原来多3

5

小时。这批零件共有多少个？

12.金放在水里称，重量减轻

1

19

；银放在水里称，重量减轻

1

10

。一块金银合金重770克，放在水里称，共

减轻了50克。这块合金含金银各多少克？

13.甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进。又经过3小时，甲车

到达B地，乙车离A地还有70公里，求A、B两地相距多少公里？

14.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的75%，二班的少

先队员占本班人数的5

6

，求两个班各有多少人？

15.张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的12.5%，第二天比第一天多做了25%，第三天比第二天多做

了8只，这时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？

16.兄弟三人，老大比老二的年龄大20%，老二比老三的年龄大20%，老大比老三的年龄在百分之几？

17.某工厂的27位师傅共带徒弟40名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟

的师傅是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？

18.已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的

42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？

19.某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元，从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物

每运1千米收1.50元，如果不计损耗,商店要实现25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？

20.有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样

多，第三堆里的黑子数为全部黑子的2

5

，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？

21.纸箱中有若干个乒乓球，其中1

4

是一级品，

5

n

（n为正整数）是二级品，其余的91个是三级品。共有

多少个乒乓球？

第二单元工程问题

工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。在解答时要注意以下几点。

1．有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。

2．涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。

3．对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。

例1．打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的1

3

，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的

1

4

，剩

余的甲、乙共同打，还需几小时？

拓展一一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲、乙两人各做了多少天？

拓展二一件工作，若单独完成，甲需10小时，已需15小时，丙需20小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？

拓展三有甲、乙两人合做一项工程，需

8

8

9

天完成。若甲一人独做8天后，再由乙独做10天完工，问甲、

乙单独做各需几天完工？

拓展四一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？例2．修一段公路，甲队单独做要40天，乙队单独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果距中点750米处相遇，这段公路长多少米？

拓展一甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的5

8

。已知乙每小时加工12个零

件，甲单独加工完成这批零件要12小时，这批零件有多少个？

拓展二有一批零件，甲单独做要用

1

8

2

天，比乙单独做多用了

1

2

天。现两人合作4天后，剩下210个零件由

甲单独去做，自始至终甲共做了多少个零件？

拓展三栽一批黄瓜，兄弟二人合栽8小时完成。现哥哥先栽了3小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的11

16

没有栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽黄瓜多少棵？

例3．一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？

拓展一一项工程，甲单独做6小时完成，乙单独做10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？

拓展二一项工程，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流

工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工程的2

3

一共要用多少小时？

拓展三一件工程，甲、乙合作6天能完成5

6

。如果甲单独做，那么完成

1

3

与乙完成

1

2

所需的时间相等。若

按甲、乙、甲、乙……的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？

检测、反馈、应用

1．老刘和小李合做一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？

2．一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成，再在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？

3．一项工作，甲、乙合作要12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的

5

12

。如果

这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？

4．抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天

工作效率和的1

5

；如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？

5．师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？

6．一件工作，甲乙两人合作30天可以完成。甲乙两人共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

7．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合做，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），问开始到完工共用了多少年来天时间？

8．某工程由甲单独做63天可以完成，由乙单独做28天可完成。现在甲先单独42天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？

9．甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高

1

10

，乙的工作效

率比单独做时提高了1

5

。甲乙合作6小时，完成全部工程的

2

5

，第二天乙又单独

做了6小时，还剩下这件工作的13

30

未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？

10．甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修5天完成了1

3

，乙丙合修了2天完成余下的

1

4

，然后甲丙合修了5天

才完工，整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？

11．一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做要18天完成，丙单独做要24天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？

12．一项工程，甲乙丙三人合作需13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲乙两人合作多做1天，这项工程由甲单独做需要多少天？

13．制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需8天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400个，丙车间制作零件多少个？

14．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成。若按

乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用1

2

天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去

做，则比原计划多用1

3

天。已知甲单独做完这件工作要13天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多

少天完成？

15．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小

时，要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现在池内有1

6

池水，如果按甲、乙、丙、

丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，则多长时间后水开始溢出水池？

第三单元类比法解题

知识、规律、方法

在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获

得解答。这种思考方法叫做类比法。常见的类比题型如下：

钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。钟表中的时钟和分针与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。

还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。

例1．某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？

拓展一小明每天6点回家吃晚饭。一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小时几点钟到家的？

拓展二有一只手表，每小时慢4分，早上8点整时将时间对准，那么当这只表指向中午12点整的时刻，实际时间是几点几分？

拓展三某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。共损坏了多少只花瓶？

例2．张老师为国画兴趣小组的同学买书。他带的钱正好可以买15本山水画或24本人物画。如果张老师买了8本人物画以后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？

拓展一一列快车由甲城开往乙城需要8小时，一列慢车由乙城开到甲城要用12小时。两车同时从两城相对开出，相遇时快车比慢车一共多行192千米，两城相距多少千米？

拓展二大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60个脚印，求这个花圃的周长是多少米？

拓展三我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的1

22

，1607年他完成了《原本》前6卷的翻译工

作。1629年主持编写“新历法”，但未完成就去世了，1634年由李天经最后完成。1607年徐光启多大岁数？

检测、反馈、应用

1.一个两位数，十位数与个位数的和是9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新数与原数的比是

5 ：6，原数是（）。

2.时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过（）分，两针正好重合？

3.一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数是平方数，其个位数也是平方数。

这个三位数是（）。

4.在某五年制小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖者中有

16人不是四年级的，有14人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是（）。

5.如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有（）条不同的线段。

6.李老师为课外兴趣小组的同学去买书，他带的钱可买15本语文书或24本数学书。如果李老师买了10本

语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买多少本？

7.甲、乙两人从两地出发，相向而行。甲走完全程需2小时，乙走完全程需3小时，两个相遇时甲比乙多

走

4

4

5

千米，求两地之间的距离。

8.甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先从甲桶倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶各增加原有油的一

倍；再从乙桶倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶各增加原有油的一倍；最后，从丙桶倒入乙、甲两桶，使乙、甲两桶各增加原有油的一倍。这样，各桶里的油都是48千克。问各桶原来分别盛油多少千克？

9.在下列两组图形中，正方形的边长都是1。每组三个图形里的阴影部分的面积是否都相等？为什么？

10.把自然数中的偶数2、4、6、……像下表那样依次排成5列，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依

次编号。这样，数“1990”出现在第几列？

2 4 6 8

16 14 12 10

18 20 22 24

32 30 28 26

34 36 38 40

48 46 44 42

50 52 54 56

11. 把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成边长是1分米的正方体，把这个正方体的表面涂上黄漆。

小正方体中，至少有一面涂了黄漆的共有多少个？

12. 计算3333333333

12345678910+++++++++

13. 一个圆柱体的侧面积是320平方厘米，圆柱的底面积半径是20厘米，求圆柱体体积。

14. 如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD 和MNPQ ，如果把A 点放在MNPQ 的中心，那么这两个正

方形纸片的重叠部分的面积等于多少？

15. 一篮鸡蛋2个2个地数余1个，3个3个地数余2个，5个5个地数余4个，6个6个地数余5个。这篮

鸡蛋最少有多少个？

16. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米。现在

这三根钢管截成尽可能长又相等的小段，共截成这样的小段多少段？

17. 50张卡片，写着1~50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50名

学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面 来翻卡片，规则是只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。”那么每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有几张？ 第四单元 对应法解题

知识、规律、方法

对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。所谓“对应”，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。

1. 量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，

抓住这种对应关系是解答分数应用题的关键。

（1） 求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量×分率=对应数量。

（2） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量÷对应分率=单位“1” 的量。

2. 对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。

我们可以通过比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后问题。

例1． 王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的

47，第二天做了余下的35，这时还剩42个零件没做，王师傅计划做多少个零件？ 拓展一 某小学学生中的

38

是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？ 拓展二 小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的18多16页；第二天看的页数比总页数的1216少2页，还余下88页。这本书共有多少页？

拓展三 新生小学男生比全校学生总数的

47少25人，女生比全校学生总数的49

多15人，求全校总人数。 拓展四 部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的38，第二次运来了50千克，这时，已运来的恰好是没运

来的5

7

，还有多少千克苹果没有运来？

例2．小明有5盒奶糖，小强有4盒水果糖，共值44元。如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？

拓展一把105升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的1

2

，或可灌满乙容器及甲容器的

1

3

。甲、乙两

个容器的容量各是多少升？

拓展二2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的

3

10

，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零

件。如果把单独让男工加工和单独女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？

拓展三教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生人数是女生的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍，最初有多少名女生？

检测、反馈、应用

1.两个仓库共储存粮食1024吨，甲仓存粮是乙仓存粮的3倍，甲、乙两仓各存粮多少吨？

2.张华看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的5

8

没有看，这本故事书一共有多少页？

3.甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的2

5

还要多5.5千克，乙正好买了其中的一半，这筐西瓜共有多

少千克？

4.有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的1

4

，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球同样多，原来红

球和黄球各有多少个？

5.学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去了134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，

共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？

6.甲筐的苹果比乙筐多30斤，丙筐的苹果是甲筐的2倍，丙筐比乙筐的3倍多10斤。三筐各有多少苹

果？

7.打退敌人一次进攻后，班长清点手榴弹发现：如每人分5颗，还剩8颗；如每人分6颗则差4颗。这个

班共有多少名战士？还有多少颗手榴弹？

8.56名少先队员参加学校劳动，其中3

7

的打扫礼堂，剩下的队员中，

3

8

的人打扫操场；第二次剩下的队

员中，1

4

的人打扫教室，其余的负责打扫空地。问打扫空地的同学有多少人？

9.甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行。第一次两车在距B地64公里处相遇，相遇后仍以原速继

续行驶，到达对方站后原路返回，两车在距离A地48公里处第二次相遇。两次相遇地点间的距离是多少公里？

10.买5个排球和3个篮球需付100元，而买2个排球和3个蓝球只需会67元。问每只排球和篮球各多少

元？

11.妈妈带了一笔钱，去市场买水果，若买橙子15千克，差4元，若买橘子20千克，则多20元。两种水

果每千克的价格相差2.1元。两种水果的单价分别是多少元？

12.少先队员参加植树，准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，则多3棵，每人栽7

棵苹果树苗，则少6棵，参加植树的少先队员有多少人？苹果树苗和梨树苗分别有多少棵？

13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比

依次是4：5：6。已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长50千米。此人走完全程用了多少时间？

第五单元时钟问题

知识、规律、方法

钟表是我们日常生活中的计时工具，它除了告诉我们时间外，在钟面上还存在着许多数学问题。如分针和时针每隔多少时间重合一次，在一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次，当钟表比标准时间快或慢时会有什么样的规律。

在一个钟面上，由于时针12小时旋转一周，所以时针1小时旋转的圆心角度数是30度，1分钟旋转的圆心角度数为0.5度。分针1小时旋转一周，也就是分针1分钟旋转的圆心角度数为6度。

钟面一周平均分为60格，相邻两格刻度之间的时间间隔为1分钟，时针1分钟走

1

12

格，分针1分钟走

1格，时针的速度是分针速度的

1 12

。

例1．现在是下午3点，从现在起时针与分针什么时候第一次重合？

拓展一分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

拓展二钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

拓展三在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

拓展四9点过多少分时，时针与分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

例2．小云晚上9点整将手表对准，可第二天早晨8点到校时，她以为准时到校，却迟到了10分钟。那么，小云的手表每小时慢几分钟？

拓展一小明有一块手表，每分钟比标准时间快2秒钟。小明早晨8点整将手表对准，问当小明这块手表第一次指向12点时，标准时间此是是几点几分？

拓展二有一只钟，每小时比标准时间慢1分。中午12点调准，下午慢钟指到6点时，标准时间是下午几时几分？

拓展三星期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？

拓展四爷爷的老式时钟一点也不准，它的时针与分针每隔66分重合一次，如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际是几时几分？

检测、反馈、应用

1.从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合。

2.在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？

3.有一只钟每小时慢3分钟，早上7点钟的时候，对准了标准时间，当慢钟的批针批向12点整的时候，

标准时间是多少？

4.在3点与4点之间，时针与分针在什么时刻位于一条直线上，并且方向相反？

5.星期天，小李在公园玩，他上午10点10分进去，下午3点50分出来，他在公园一共玩了多长时间？

6.小玲家有一个闹钟，每小时比标准时间快2分钟。星期天上午9点整，小玲对准了闹钟，想让闹钟在11

点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭，那么小玲应将铃定在几点几分上？

7.有一个时钟快20秒，它在3月1日中午12时准确指示时间，下一次准确指示时间是在什么时间？

8.爷爷家的老式钟的时针与分针，每隔66分钟重合一次，这只时钟每昼夜慢多少分钟？

9.张奶奶家的闹钟每小时快2分钟（准确的闹钟的分针每小时应走一圈，而这个闹钟的分针每小时走一圈

多2格）。昨晚21：00，张奶奶把闹钟与北京时间对准了，同时把闹钟拨到今天早晨6：00闹铃，张奶奶听到闹铃声时比北京时间今天早晨6：00提前了几分钟？

10.王宇家有一只闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点时，王宇对准了闹钟，他想在第二天

早晨5点55分起床，于是他将闹钟的闹铃定在5点55分。问这个闹钟将在标准时间何时响铃？

11.小张下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了，

他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。8小时工作后夜里11点下班，小张回到家，一看钟才9点整。假如他上下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？

12.某科学家设计了一个怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分，当这只怪钟显示5点时，实际上是中

午12点；当这只怪钟显示6点75分时，实际上是什么时间？

13.手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是

几点几分几秒？

14.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正常，每个白天快1

2

分，每个夜

晚慢1

3

分。如果在9月1日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？

15.8点过多少分时，时针与分针离“8”的距离相等？

16.一部动画片放映的时间不足1小时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时针、分针的

位置交换了一下，这部动画片放映了多少时间？

第六单元倒推法解题

知识、规律、方法

有些应用题告诉我们事情的发生、发展和结果，解这类应用题如果从已知条件出发，顺着考虑下去，可能因误入歧路而陷入解题困境。这时不妨把思考方向改变一下，倒过来想想，可能会“柳暗花明又一村”。从后往前一步步倒着推算，这种思考方法叫还原法。

能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：

1．已知最后的结果；

2．已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；

3．求知的数量是最初的数据。

例1．华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台。华球商店原有洗衣机多少台？

拓展一某人去取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，他原有存款多少元？

拓展二小明有钱若干元，第一次用去2

5

后，又得到240元，第二次用去这时所有钱的

1

3

后，还剩下720

元。问第一次用去多少元？

拓展三3只猴子吃篮子里的桃子，第一只猴子吃了1

3

，第二只猴子吃了剩下的

1

3

，第三只猴子吃了第二只

猴子吃过后剩下的1

4

，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮子里原有桃子多少只？

拓展四甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出1

6

给乙后，乙又拿出

1

5

给甲，这时他们各有240元，两人原来各

有多少元？

例2．甲、乙两港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各有多少只小船？

拓展一有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先把甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再把乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们现有的油各增加一倍；最后以同样的方式把丙桶的油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。三个油桶原来各盛油多少千克？

拓展二甲、乙、丙三人各有若干本书。甲给乙、丙两人几本书，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这

样送给甲、丙两人；最后丙也照这样送给甲、乙两人。结果甲有书48本，是丙的书本数的4

5

，乙的

书本数是丙的书本数的

7

1

15

，甲、乙、丙三人原来各有书多少本？

拓展三甲、乙、丙、丁各有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以

这样的方式给了甲、丁，最后丁也以这样方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚，原来四人各有多少枚棋子？

检测、反馈、应用

一、选择题

1.货场原有煤若干吨，第一次运出存煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又

50吨，结果还剩600吨。货场原存煤吨。

A．850 B．760 C．1700 D．1800

2.小丽从家带来鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天再吃

余下的一半又半个，恰好吃完。小丽从家带了个鸡蛋。

A．10 B．7 C．13 D．9

3.仓库里的水泥要全部运走。第一次运走了全部的1

2

又

1

2

吨，第二次运走了余下的

1

3

又

1

3

吨，第三

次运走了第二次余下的1

4

又

1

4

吨，第四次运走了第三次余下的

1

5

又是

1

5

吨，第五次运走了最后剩

下的19吨。这个仓库原来共有水泥吨。A．99 B．78 C．56 D．135

4.甲、乙、丙三个朋友按下列方法分配苹果：甲得到了全部的1

3

又8个，乙取了所剩的

1

3

又8个，丙

取了最后余下的1

3

和所剩下的8个。甲小朋友得苹果个。

A．24 B．27 C．25 D．28

5.一辆拖拉机耕一块地，第一小时耕了整块的1

4

又

1

4

公亩，第二小时耕了余下的

1

4

又

1

4

公亩，还剩

230公亩没有耕。这块地原来有公亩。

A．307 B．

1

409

3

C．

1

512

3

D．460

6.一堆西瓜，第一次卖出总个数的1

4

又6个，第二次又卖出余下的

1

3

又4个，第三次又卖出余下的

1

2

又3个，正好卖完，这椎西瓜原有（）个。

A．27 B．28 C．29 D．30

7.有一堆棋子（棋子数大于1），把它四等分后剩一枚，拿去三份又一枚。将剩下的棋子再四等分后

还是剩下一枚，再拿走三份又一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚，原来至少有（）枚棋子。

A．37 B．43 C．69 D．85

二、解答题

8.把180个苹果按每个人一个分给甲、乙、丙、丁四个幼儿班的小朋友。如果甲班人数加2，乙班人

数减2，丙班人数乘以2，丁班人数除以2，四个班人数相等。这四个班各应分多少个？

9.有一筐梨，甲取了一半又1个，乙取了余下的一半又1个，丙取了余下的一半又1个，这时筐里只

剩1个梨。这筐梨共值4.40元,问每个梨值多少钱?

10.工地运来两车水泥，第一次用去一半又半吨，第二次用去余下的一半又半吨，第三次用去最后剩

下的一半又半吨，正好用完。这两车水泥共有多少吨？

11.两棵树上共有麻雀25只，第一棵树上的麻雀飞到第二棵树上5只，又从第二棵树上飞走了7只，

这时第一棵树上的麻雀是第二棵树上的2倍，问原来每棵树上的麻雀各有几只？

12.甲、乙各有若干元，甲拿出1

5

给乙后，乙拿出

1

4

给甲，这时他们各有90元。他们原来各有多少

元？

13.一堆西瓜第一次卖出总数的1

5

还多4个，第二次卖出剩下的

1

4

还多3个，第三次卖出剩下的

1

3

还多

3个，第四次卖出剩下的1

2

少1个半，还剩12个。这堆西瓜原有多少个？

14.仓库中有水泥若干袋。第一次运出全部水泥的1

3

，第二次运进400袋，第三次又运出现有水泥的

1

5

又40袋，结果仓库里还剩下水泥800袋。仓库里原来有水泥多少袋？

15.老奶奶卖西瓜，第一次卖出了全部的一半又半个，第二次卖出了余下的一半又半个，第三次卖出

了第二次余下的一半又半个，第四次卖出了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，老奶奶原来有多少个西瓜？

16.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张就输。问先拿牌的人怎样

拿才能保证获胜？

17.有铅笔若干支，分给甲、乙、丙三个学生，最初甲得最多，乙得较少，两得最少。后重新分配，

第一次甲分给乙、丙各自所有的铅笔数再多4支；第二次乙分给甲、丙各自所有的铅笔数再多4支；第三次丙分给甲、乙各自所有的铅笔数再多4支，此时甲、乙、丙三个学生各得铅笔44支。

最初这三个学生各有铅笔多少支？

18.红星小学为山区学校捐图书，按计划把这批书的

1

10

又6本送给李村小学，把余下的一部分送给王

村小学，送给王村小学的比送给李村小学的3倍还多136本，又把第二次余下的75%又80本送给张村小学，最后剩下300本，作为数学竞赛的奖品，红星小学一共捐献了多少本图书？

第七单元列举法解题

知识、规律、方法

当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，有时不得不采用逐一检验这些答案的策略。列举法就是把问题分为不重复、不遗漏的几类情况，并把每一类中的答案按一定的顺序一一列举出来，直至看出规律，然后再根据规律数一数答案的个数或者写出全部答案。

范例、解析、拓展

例1李萍的口袋里有五张标有数5、10、20、50、100的卡片。如果每次取出4张计算它们的和，那么共有多少种不同的和？

拓展一用0，4，5，9可以组成多少个能被5整除的四位数？

拓展二由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个不同的最简真分数？

拓展三有一个没有盖子的正方体纸盒，请你沿着正方体的棱，将这个无盖纸盒剪成展开图，有多少种不同的展开图？

拓展四参加“洽谈会”的客人见面问候，在6位客人中，不重复地握手13次，互相之间都握过手的至少有多少位客人？

例2．玲玲买了三种练习本：自然本每本8分钱，语文本每本1角钱，数学本每本2角钱。她一共用了一元二角二分钱。那玲玲买的三种本子的总和最少是多少？

拓展一某次数学竞赛共有10道题，评分办法是：答对一道题得3分，答错一题倒扣1分，不答得0分。已知参加竞赛的学生中至少有3个人的得分相同。参加竞赛的学生至少有多少人？

拓展二我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1号开始，挨着号码编下去。如果除我家外，其余各家的门牌号数加起来减去我家门牌号数的2倍，恰好等于100。我家门牌号是几号？全胡同共有多少家？

拓展三 甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”，甲数

是多少？

检测、反馈、应用

一． 选择题

1. 新学期开学了，10个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手 次。

A ．9

B ．20

C ．30

D ．45

2. 从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地

经乙地到丙地可有 种走法。

A ．9

B ．15

C ．12

D ．16

3. 一个工人将子弹装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完。如果子弹一共

99颗，盒子数大于10。问大盒子有 个，小盒子有 个。

A ．11，13

B ．2，20

C ．2，30

D ．2，15

4. 观察前四个数，写出最后一个数：2，7，22，67，（ ）

A ．89

B ．202

C ．104

D ．124

5. 从1993这个数里，第一次减去它的二分之一，第二次减去剩下的三分之一，第三次再减去剩下的

四分之一，依此类推，一直到最后减去剩下的一九九三分之一，那么最后剩下的数是 。

A ．2

B ．1

C ．3

D ．4

6. 某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上每个车站发售的通往其他各

车站的火车票，他一共收集了 张。

A ．60

B ．110

C ．95

D ．55

7. 有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9分钱，有 种取法。

A ．7

B ．11

C ．20

D ．14

8. 用1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成 个奇数。

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

9. 下图中有 个三角形。 条线段。

A ．3，5

B ．6，10

C ．7，7

D ．8，12

二、 解答题 10. 两个人的年龄和是36岁，且各自的年龄数都是质数，他们们各自的年龄可能分别是多少岁？

11. 现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出20克重的物体。（1）在取出的砝码中有

3个1克的，那么3克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有几种情况呢？（设任何一种砝码至少取一个）

12. 有铅笔若干支，分配给甲、乙、丙三个学生。最初甲分得的最多，乙分得的较少，丙分得的最

少，因此重新分配。第一次分配，甲分别给乙、丙原有支数多4支；第二次分配，乙分别给甲、丙原有支数多4支；第三次分配，丙分别给甲、乙原有支数多4支。经过三次重新分配后，甲、乙、丙三人各得铅笔44支，最初甲得几支？

13. 有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有多少种分法？

14. 小刚和小李玩掷骰子游戏，共有两枚骰子，一起掷出，若两枚骰子的点数和为7，则小刚胜；若点

数和为8，则小李胜。想一想，他们两人获胜的可能性大，为什么？

15. 一只甲虫从A 点出发（如下图），要沿着某几条线段从A 点爬到F 点。在行进中，同一个点或同

一条线段只能经达一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？

16. 新任宿舍管理员拿了20把钥匙去开20个房门，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥

匙能开哪一个房门，现在要打开所有关闭的20个房门，那么他至少要试开多少次？

17. 小丽爱吃青菜、菠菜、丝瓜三种蔬菜，她准备每天吃一种，且相邻两天不能吃同一种蔬菜。如果

小丽第一天吃青菜，第五天也吃青菜，那么，这五天中她共有多少种不同的安排？

18. 从1~100的自然数中，每次取两个不同的自然数相加，使其和大于100。共有多少种不同的取法？ A

B C D E

19.奶奶有2元、1元、5角、2角、1角的钱各3张，到百货商店买4元9角的东西，怎样拿可以正好

把钱交上，不用找钱，一共有几种拿法？

20.甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢。直到决出胜负为止，共有多少种可能发生的情况？

21.下面四个图形都具有两个特点：（1）由四个连在一起同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形

至少和另一个小正方形有一条公共边，我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。如果某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同，那么这两个俄罗斯方块只能算一种，除了下面三种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。

第八单元利润和折扣

知识、规律、方法

利润和折扣是常见的一类百分数应用题。通常把一种商品的售价与成本价（或进货价）之间的差称为利润。例如某商品的进货价（也叫买入价、成本价）是100元，以130元售出，获得利润13010030

-=（元），利润÷成本=利润率。如上题中的利润率为30÷100=30%，也可以直接说利润为30%，也可以直接说利润为30%，利润通常用百分数表示。

商品减价出售时，通常叫打折出售或打折扣出售。几折就是现价是原价的百分之几十。如一台彩电打八五折出售，也就是按原价的85%出售。

有关利润和折扣，要重点理解、掌握以下几个数量关系。

1．售出价-进货价=利润率

利润÷成本（进货价）=利润率

2．卖出价=成本×（1+利润率），成本=卖出价÷（1+利润率）

3．商品的定价一般按照期望的利润率来确定：

定价=成本×（1+期望的利润率）

4．现价=原价×折扣数

例1．某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润。定价时期望的利润百分数是多少？拓展一商店以每双6.5元购进一批凉鞋，售价为7.4元。卖到还剩5双时，除成本外还获利45元。这批凉鞋共有多少双？

拓展二某商品按20%的利润定价，然后又按定价的80%出售，结果每件亏损64元。这一商品的成本是多少？

拓展三一件商品按20%的利润定价，然后按八八折出售，共得利润84元，这件商品的成本是多少元？拓展四某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？

例2．某商品按定价卖出可获利润960元，现在按定价的80%出售，则亏损832元。该商品的购入价是多少元？

拓展一有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店便宜10%。甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元。问甲店的进货价是多少元？

拓展二甲、乙两种商品成本共250元，商品甲按30%的利润来定价，商品乙按20%的利润来定价。后来应顾客要求，两种商品按定价9折出售，仍获利33.5元，问甲商品的成本是多少元？

拓展三新华书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学校到书

店购买甲、乙两种书，其中“乙种书的册数是甲种书的3

5

”，只有甲种书得到了90%的优惠，

这时，购买甲种书所付总款数是购买乙种书所付总款数的2倍，已知乙种书每本的价格是 1.5元，那么甲种书每本多少元？

检测、反馈、应用

1.一种商品，进货价400元，售价500元。这种商品所获得的利润占成本的（）

2.商店出售一种电视，原价2500元，后来打八五折出售。这种电视现在的价钱是（）。

3.商店每卖出一本挂历，可获得利润12元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率为