任意三角形的三角函数
16三角函数,三角变换,解三角形
16三角函数 三角变换 解三角形角 ： 正角 负角 零角 象限角 轴线角 终边相同的角（α+2k π）(求角在第几象限) 弧度：l=|α|²r任意角的三角函数：sin α cos α tan α cot α sec α csc α※1 sin(α+2k π)=sin α (终边相同的角的三角函数相同)※2 sin 2α+cos 2α=1 (已知sin α-cos α和α的范围，求sin α、cos α) ※3 tan α=sin α/cos α※4 sin(-α)= -sin α cos(-α)=cos α sin(90°-α)=cos α※5 π±α，90°±α角的三角函数(奇变偶不变，符号看象限)※6 三角函数图像和性质（标准三角函数,结合诱导公式进行理解）※7 y=A ²sin(ωx+ϕ)+t 的图像（周期、频率、相位、初相、最值、单调区间）（A ωϕt 对y=sinx 图像的影响）两角和差的三角函数※8 sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β用诱导公式，易得sin （α—β） cos(α±β) tan(α±β)※9 积化和差 sin αcos β=)]sin()[sin(21βαβα-++ 用诱导公式，易得 cos αsin β cos αcos β sin αsin β※10和差化积 sin α+sin β=2sin 2βα+cos 2βα-也可由积化和差演变而来；其他可由诱导公式得出。
※二倍角公式、半角公式反三角函数解三角形 正弦定理：三角形的边长与其对角正弦值的比为定值，等于其外接圆直径的长。
余弦定理：。
2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
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THANKS
感谢观看
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周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
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常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
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解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
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错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
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7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x,y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o ,位置无关。
2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+L i+ ——L+ _ - + ------ ■——+ -■sin ： cos ： tan ：3. 同角三角函数的基本关系式:4.三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2…形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系：tan-E屮一、cos 。
（用于切化弦） （1）平方关系: 2 2 2sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1cos 2:※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“ 1”的代换si …y,cos 」那么r三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点5. 特殊角的三角函数值度 0s30cA45“A60“90 120cA135“150s 180c 270° 360弧31JIJI2n3兀 5兀 JI3兀 2兀度64323462si n 。
01 竝迈1旦1 01222222cosa亦11念力12_112 2222号看象限）sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanxsin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan（-x ） - - tanxm ）|sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一sin （— -〉）= cos ..zsin （㊁：）=cos ：V ）-?） = sin :6. 三角函数的图像及性质7.函数厂Asi n( X J图象的画法：n 5m —兀-2兀①“五点法” __设X-x…•，令X = 0, 2,，2，求出相应的X 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
三角函数
注：正切函数、余切函数曾被写作、现已不用这种写法变化规律正弦值在随角度增大（减小）而增大（减小），在随角度增大（减小）而减小（增大）；余弦值在随角度增大（减小）而增大（减小），在随角度增大（减小）而减小（增大）；正切值在随角度增大（减小）而增大（减小）；余切值在随角度增大（减小）而减小（增大）；正割值在随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余割值在随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：任意角三角函数定义在平面直角坐标系xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，令∠β=∠α，则：单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在和弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的方程是：对于圆上的任意点。
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。
这个交点的和坐标分别等于和。
图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有和。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于或小于等于的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为的周期函数：对于任何角度和任何整数。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π 弧度或180°。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
三角函数的正弦定理
三角函数的正弦定理正文：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边或角的重要工具之一。
它是基于三角形中的正弦关系而推导得出的定理。
在本文中，我们将介绍三角函数的正弦定理的原理、公式及其应用。
1. 定理原理正弦定理的原理基于三角形中的正弦关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
根据正弦关系，我们可以得到以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c2. 定理公式根据正弦定理的原理，我们可以推导出三角形的任意一边与其对应角的关系。
具体地，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC或者写成等价的形式：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，a、b、c分别代表三角形ABC的边长，A、B、C分别代表对应的内角。
3. 定理应用正弦定理在解决三角形中未知边或角的问题上起到了重要的作用。
通过运用正弦定理，我们可以根据已知条件求解未知量。
以下是几个应用正弦定理的例子：例一：已知三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60度，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin60 = 8/sin(180-60-60)解方程得到x ≈ 6.93cm，因此第三边长度约为6.93cm。
例二：已知三角形的两边长度分别为9cm和12cm，夹角为45度，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin45 = 12/sin(180-45-90)解方程得到x ≈ 9.9cm，因此第三边长度约为9.9cm。
通过以上例子，我们可以看到正弦定理在求解未知边长时的应用。
对于更复杂的问题，我们可以通过将已知条件代入公式进行计算。
总结：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边长或角度的重要工具。
通过使用该定理，我们可以通过已知条件求解未知量。
在实际应用中，我们可以运用正弦定理解决各种三角形相关的问题。
因此，熟练掌握正弦定理对于解题非常重要。
任意三角函数的定义PPT课件
情感目标：培养合作交流、独立思考等良好的个性品质；
这里没以及有打用破成“规使、敢学于生创新掌的科握学…精神…。”、 教学“重使点：学任生意角学的会正弦…、…余弦”等、正通切的常定字义。眼，保 教学障难了点：学用生单位的圆主中的体有地向线位段，表示反三角映函了数值教。法
与学法的结合，尽量体现新教材新 理念。
加强。
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二. 教法分析
（二）教学方法
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上， 在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应， 使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指 出，学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、 情、意、行的” 和谐统一。结合本节课的具体内 容，确立讨论法和启发引导法为主要教学方法。
y
T
y
P
P
O MA
A
MO
y T
M
OA
P
T y
这几条与单位圆有关的有向线段 MP,OM,AT叫做角 的正弦线,余弦线, 正切线
MA
O
P
思考:当角 的终边在x轴上或在y 轴上时这些线有何特点?
T
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技能演练
演－－提供范例，规范解题格式； 演－－设置平台，促进讨论交流； 演－－学法指导，提炼求解步骤.
示例 理解
实质
理解
直观理解侧重数学符号、图形等，培养思维的具体和简 约，体现数形结合的思想；程序理解揭示内在联系，并 为后继学习三角函数的图象和性质奠定基础；示例理解 呼应引入，强化认识；归纳理解关注归纳思维，提升综 合能力；实质理解揭示了任意角的三角函数的内涵。
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(3)三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将从三角函数的定义、基本性质以及一些常见的应用方面进行探讨。
一、三角函数的定义三角函数是指以角度为自变量，以正弦、余弦、正切等函数为主体的一类函数。
在直角三角形中，我们可以定义正弦、余弦、正切三个基本三角函数。
正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，即对于任意角度θ，sin(θ+2π) = sinθ，cos(θ+2π) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。
这意味着三角函数的值在每个周期内重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
这意味着正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称，正切函数关于原点对称。
3. 互余关系：正弦函数和余弦函数具有互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
这意味着正弦函数和余弦函数的图像是相互关于直线y = x的镜像。
4. 三角恒等式：三角函数之间还存在一系列的恒等式，如sin²θ + cos²θ = 1，1+ tan²θ = sec²θ等。
这些恒等式在解三角方程、化简三角式等问题中起到重要作用。
三、三角函数的应用1. 几何应用：三角函数在几何中有广泛的应用，例如计算三角形的面积、判断三角形的形状等。
利用正弦定理和余弦定理，我们可以计算任意三角形的边长、角度等信息。
三角函数
直角三角形中当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）h=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sine sin a/h ∠A的对边比斜边余弦函数cosine cos b/h ∠A的邻边比斜边正切函数Tangent tan a/b ∠A的对边比邻边余切函数Cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边正割函数Secant sec h/b ∠A的斜边比邻边余割函数Cosecant csc h/a ∠A的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
变化情况正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：函数名与常见函数转化关系正矢函数versin余矢函数半正矢函数半余矢函数外正割函数外余割函数任意角三角函数定义：如图：在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r.sinα=y/r cosα=x/rcscα=r/y secα=r/xtanα=y/x cotα=x/y单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，三角函数单位圆的方程是：对于圆上的任意点(x,y)，x²+y²=1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
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任意三角形的三角函数
任意三角形的三角函数关系如下：
1、正弦定理：在任意角三角形中，各个角的正弦与它所对的边的比相等，并且等于外接圆的直径。
2、余弦定理：在任意角三角形中，任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边的乘积的两倍与它们的夹角的余弦的积。
在直角坐标系中，⊙O的半径为1，任意角α的三角函数定义如下:
3、正弦
∠α与单位圆的交点A的纵坐标与圆半径的比值叫做正弦，表示为：sinα=Ay/OA=Ay；其中Ay 叫做正弦线。
4、余弦
∠α与单位圆的交点A的横坐标与圆半径的比值叫做余弦，表示为：cosα=Ax/OA=Ax；其中Ax 叫做余弦线。
正切: ∠α与单位圆的交点A的纵坐标与横坐标的比值叫做正切，表示为：tanα=Ay/Ax；
5、余切
∠α与单位圆的交点A的横坐标与纵坐标的比值叫做余切，表示为：cotα=Ax/Ay；
6、正割
圆半径和∠α与单位圆的交点A的横坐标的比值叫做正割，表示为：secα=OA/Ax=1/Ax；
7余割
圆半径和∠α与单位圆的交点A的纵坐标的比值叫做余割，表示为：cscα=OA/Ay=1/Ay。