运筹学第七章动态规划
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
第七章 动态规划法1(算法分析与设计课件)
计算机科学与技术学院
通过应用范例学习动态规划算法设计策略。
（1）矩阵连乘问题； （2）最长公共子序列； （3）0/1背包问题； （4）流水作业调度；
第七章 动态规划法
是另一种求解最优化问题的算法设计策略 适合求解的问题(多阶段决策问题):
问题的活动过程可以分成若干个阶段,每个阶段包含一 个或多个状态，在任一阶段的决策仅依赖与该阶段的状 态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关， 这类问题的解决是多阶段的决策过程.
}
7.3 矩阵连乘
穷举法 动态规划法
分析最优解的结构 递归定义最优解的值 自底向上计算最优解的值
对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此，不同
子 在递问归题计的算个时数，最许多多只有子问题n2被 重n 复 计(n算2)。多次。这也是该问题可用动
m[4][m5][=3]m[4[4]+][m4][+5]m[5[5]+][5P]3+P5PP46P=5P56*=1100**2200=*12050=05}000
m=
0 15750 7875 9735 11875 15125
0 2625 4375 712510500
0 750 2500 5375 0 1000 3500
所以，不能在某个阶段直接做出决策
再看一例：
最优子结构：
如果ABEG是A 到G的最短路径，那 么ABE也是A到E的 最短路径。
第七章 动态规划法
例2.数塔问题:设有一个三角形数塔，求一自塔顶到塔底的 路径,且该路径上结点的值的和最大.择12方向还是选择 15方向,取决于分别从12和15出发的两 条子路径上的最大路径值，设他们分别
运筹学课件--动态规划
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益，记
vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成： 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续，将动态规划问题分为
当 k 3，f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量；
1
递推公式：f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
运筹学74动态规划应用举例
0 3
j
( j 0) ( j 1,2,,6)
(千元)
每月库存j单位产品的费用为 E( j) 0.5 j(千元) ，该厂最大库存容量为3单
位，每月最大生产能力为6单位，计划开始和计划期末库存量都是零。试制定
四个月的生产计划，在满足用户需求条件下总费用最小。假设第i+1个月的库
f3 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 12 x3* 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
当阶段k=2时，有
f2 (s2 )
x2
max
0,[ s2
/
{5
4]
x2
f3 (s3 )}
s3 s2 4x2
s2 0 1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
x2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 c2+f3 0 0 0 0 0 5+0 6 5 6 5 6 5 6 5 10 6 5+6 10 12 5+6 10
f
k
(sk
)
ma f k1(sk1)]
0 yk 1000(sk xk )
f5 (s5 ) 0
k 4,3,2,1
当k=4时
f4 (s4 )
max
0x4 s4
[17 x4 15 y4 ]
的件数，以使总价值最大？
n
max z ci (xi ) i 1
n
ai xi a i1 xi 0且为整数
(i 1,2,, n)
例1 有一辆最大货运量为10t的卡车，用以装载3种货物， 每种货物的单位重量及相应单位价值见下表，应如何装载可 使总价值最大？
10运筹学-动态规划
动态规划问题实例 动态规划的基本概念与原理 动态规划应用举例
引言
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。该方法 是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman)等人在20世纪50年代 初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许
多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。
式中opt 可根据题意取 max 或 min.
例如，例1的基本方程为：
f k ( sk ) min{d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )} k 5,4,3,2,1 uk f 6 ( s6 ) 0
最优性原理：无论过去的状态和决策如何，从眼下直到最后 的诸决策必构成最优子策略。
（1）k=5 时，状态 S5 {E1 , E2} 最短路。
它们到F 点的距离即为
f 5 ( E1 ) 4,
f5 ( E2 ) 3;
* * u5 ( E1 ) F , u5 ( E2 ) F.
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
* u5 ( E1 ) F ,
B1
D1 D2 D3
动态规划应用举例
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3
5 4
B1
D1 D2 D3
5 6
2 1
3
6
5 8 7 7
C2 C3
5
3 4 8
E1
3
4
A B2
F E2
3
C4
4
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
B1
D1 D2 D3
5 6 2 1
运筹学中的动态规划原理-教案
运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。
1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。
1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。
1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。
1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。
1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。
1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。
1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。
二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。
2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。
2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。
2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。
2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。
2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。
2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。
2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。
2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。
2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。
第七章 动态规划法2(算法分析与设计课件)
m=
0 15750 7875 9735 11875 15125
0 2625 4375 712510500
0 750 2500 5375 0 1000 3500
的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出 比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。
利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐 步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。
(2)子问题的重叠性质:每次产生的子问题并不都是新的子问题，有些子问题 被反复计算多次,这种性质称为子问题的重叠性质。
7
7.1 一般方法和基本要素
例2:多段图问题:求从s到t的一条长度最短的路径
(3)多段图的向前递推关系式
cost(k,t) 0 cost(i, j) min {c( j, p) cost(i 1, p)} 1 i k 1
jVi, pVi1 j, pE
其中,cost(i,j)是从i阶段状态j到t的最短路径的长度,i是阶段编号,j 是第i阶段的一个状态编号.
在s[i][j]中记录使得下式取得最小值的k.
m[i, j] min {m[i, k] m[k 1, j] pi pk1p j1}
ik j
7.3 矩阵连乘 A0 A1 A2 A3 A4 A5 3035 3515 155 510 1020 2025
7.3.2 动态规划法求解
动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中， 当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。
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习题七
7.1 计算如图所示的从 A 到 E 的最短路线及其长度（单位： km）：
（ 1） 用逆推解法； 2 用标号法。
3 B 1 4 D
1
4 2
3 C1 3
A 2 1 1 5 D21E
B
2
3
3
5 C2 4 2 3 5 1 B3 3 D
3
7.2 用动态规划方法求解下列问题
（ 1） max z ＝x12 x2
x33 x1＋x2＋x3 ≤6
x j≥0 （j ＝1,2,3）
（ 2）min z ＝ 3x12＋4x22 ＋ x32
x x x 9
1 2
3
≥
x
j
≥ 0 （j ＝1,2,3）
7.3
利用动态规划方法证明平均值不等式：
(x1 x2 xn )
1
xn )
n
设
i ≥ ， ＝ ， ，⋯，
n。
n
(x1 x
2
x0 i 1 2
7.4
考虑一个有 m 个产地和 n 个销地的运输问题。设
ai（i ＝1，2，⋯， m）为
产地 i 可发运的物资数， bj（j ＝1，2，⋯， n）为销地 j 所需要的物资数。又从产地
i 到销地 j 发运 xij 单位物资所需的费用为
hij（ xij ），试将此问题建立动态规划的模型。
7.5
某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入
A 或 B 项工程， 年末的回收
及其概率如下表所示。每年至多做一项投资，每次只能投入
1000 万元。求出三年
后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。
投 资 回 收 概 率
A 0 0.4
2000 0.6
B 1000 0.9
2000 0.1
7.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。每个工厂都有若干种方案可供
选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示
(单位：千万元 )。现公司有资
金 5 千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大
?
m
ij
工厂 i＝ l 工厂 i＝2 工厂 i ＝ 3
c(投资 ) R(收益 ) c(投资 ) R(收益 ) c(投资 ) R(收益 )
1 0 0 0 0 0 0
2 1 5 2 8 1 3
3 2 6 3 9
— —
4 — — 4 12
— —
7.7
某厂准备连续
3 个月生产 A 种产品，每月初开始生产。 A 的生产成本费用
为 x2，其中 x 是 A 产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为
1 元。估
计 3 个月的需求量分别为 d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货
s0 ＝0，第三个月的月末存货 s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存
货费用为最小。
7.8 设有一辆载重卡车，现有 4 种货物均可用此车运输。已知这 4 种货物的重
量、容积及价值关系如下表所示。
货物代号 重量（吨） 容积（立方米） 价值（千元）
1 2 2 3
2 3 2 4
3 4 2 5
4 5 3 6
若该卡车的最大载重为 15 吨，最大允许装载容积为 10 立方米，在许可的条件
下，每车装载每一种货物的件数不限。问应如何搭配这四种货物，才能使每车装载
货物的价值最大。
7.9 某警卫部门有 12 支巡逻队负责
4 个仓库的巡逻。 按规定对每个仓库可分别
派 2－ 4 支队伍巡逻。由于所派队伍数量上的差别，各仓库一年内预期发生事故的
次数如下表所示。试应用动态规划的方法确定派往各仓库的巡逻队数，使预期事故
的总次数为最少。
巡逻队数 预期事故次数仓库
1 2 3 4
2 18 38 14 34
3 16 36 12 31
4 12 30 11 25
7.10 （生产计划问题） 根据合同， 某厂明年每个季度末应向销售公司提供产品，
有关信息见下表。若产品过多，季末有积压，则一个季度每积压一吨产品需支付存
贮费 0.2 万元。现需找出明年的最优生产方案，使该厂能在完成合同的情况下使全
年的生产费用最低。
季度 j
生产能力 aj（吨） 生产成本 dj（万元 /吨） 需求量 bj（吨）
1 30 15.6 20
2 40 14.0 25
3 25 15.3 30
4 10 14.8 15
（ 1）请建立此问题的线性规划模型。 （提示：设第 j 季度工厂生产产品
xj 吨，
第 j 季度初存贮的产品为 yj 吨，显然 y1＝ 0）（ 2）请建立此问题的动态规划模型。 （均
不用求解）