高等数学第四章不定积分课后习题详解

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高数微4章不定积分1-4

例3 在 (−∞,+∞) 上，已知函数 f ( x) = 2 x 。
问下面圆括号中填什么函数，使等式成立：
(
)′ = 2 x
根据前面的定义， F ( x ) = x 2 是 f ( x ) = 2 x 的一个原函数。
(原函数）x 2 ↔ 2 x (导数）
2 同理， x 2 + 2 ， x 2 − 2 也都是 F ( x) = x 的原函数。
14
例2
求不定积分
∫ 1 + x 2 dx
2
x4
解
x4 1+ x
2
=
x4 −1+1 1+ x
2
=
( x 2 + 1)( x 2 − 1) + 1 1+ x2
= x −1+ 原式 =
1 1+ x2
∫
1 2 x −1+ dx = 2 1+ x
∫x
2
dx − dx +
∫
∫1+ x2
3
例4
在区间 [0, T ] 上，已知函数 v = gt （ g 是常数）。
问下面圆括号中填什么函数，使等式成立：
(
)′ = gt
根据前面的定义， S (t ) = 数。
对于同一运动过程，
1 2 gt 是 v(t ) = gt 的一个原函 2
速度函数是路程函数的导数
（反之）
路程函数是速度函数的原函数，
（1） 0dx = c
由
′ xα +1 = xα α + 1
下面两式，也应该作为公式记住：
∫
1 dx = − + c ， x x2

2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习

（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .

4-1 不定积分的概念与性质(高等数学)

第4章不定积分§4.1 不定积分的概念与性质教学内容：一．原函数1.定义：设)(),(x f x F 是定义在区间I 上的函数，若对任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='，或x x f x F d )()(d =，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数()f x 在区间I 上连续，则在该区间上一定存在可导函数()F x ，使得对任意x I ∈都有()()F x f x '=，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，即)('x F =)(x f ，则C x F +)(也是)(x f 在区间I 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()f x 在区间I 上的任意一个原函数可以表示为()F x C +，其中C 是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则()f x 在区间I 上带有任意常数的原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰，即()d f x x ⎰=C x F +)(，其中，⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，任意常数C 称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数C ，()F x C +表示坐标平面上一条确定的曲线；当C 取不同的值时，C x F +)(表示一簇曲线．由()()f x dx F x C =+⎰可知，()f x 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1. (1)[()d ]f x x ' ⎰=)(x f ，或 d[()d ]f x x ⎰=()d f x x ；(2) ⎰+='C x F x x F )(d )(，或⎰+=C x F x F )()(d .性质2.⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(（k 为非零常数）.性质3.⎰⎰⎰±=±x x fx x f x x f x f d )(d )(d )]()([2121.五．基本积分公式表1．d k x kx C =+⎰（k 为常数）； 2．11d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）；3．1d ln ||x x C x =+⎰； 4．d ln x xa a x C a =+⎰；5．e d e x x x C =+⎰； 6．sin d cos x x x C =-+⎰；7．cos d sin x x x C =+⎰； 8．2sec d tan x x x C =+⎰；9．2csc d cot x x x C =-+⎰； 10．sec tan d sec x x x x C =+⎰；11．csc cot d csc x x x x C =-+⎰； 12．21d arctan arccot 1x x C x C x =+=-++⎰；13．d arcsin arccos x x C x C =+=-+.六．例题讲解例1.求不定积分 (1)2d x x ⎰；（2）1d x x ⎰．例2.若池塘结冰的速度由d d yt=给出，其中y 是自结冰起到时刻t 冰的厚度，k 是正常数，求结冰厚度y 关于时间t 的函数．例3.已知某曲线经过点(0,1)，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面0x 处，一质点以初速度0v 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．例5.求e 5d x xx -⎰．例6.求x xx d 1⎰．例7.求23)d x x - ．例8.求2(1)d x x x - ⎰．例9.求221d (1)x x x x x ++ +⎰．例10.求22d 1x x x +⎰．例11.求42d 1x x x +⎰. 例12.求2tan d x x ⎰．例13.求2sin d 2x x ⎰．例14.求22d sin cos x x x ⎰．例15.求221d .sin cos22x x x ⎰例16.设()2||3f x x '=+，且(2)15f =，求()f x .。

《高等数学》第四章不定积分(电子讲稿)

140 第四章不定积分一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数()f x 的导数或微分，能否求出()f x ？这是我们这一章要讨论的问题.第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任意x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数.例如，因为,x R ∀∈(sin )cosx x '=，所以sin x 是cos x 的一个原函数；(1,1)x ∀∈-，(arcsin )x '=arcsin x(1,1)-内的一个原函数.由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数()F x '，求原函数()F x .事实上，研究原函数需要解决下面两个问题：(1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答.(原函数存在定理）如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x ∈I ，有()()F x f x '=.将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=,则[()]()F x C f x '+=，其中C 是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个.不妨假设()F x 与()G x 是函数()f x 的任意两个原函数, 则有()()F x f x '=，()()G x f x '=.从而有(()())0F x G x '-=，即()()F x G x C -=.因此，()f x 的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说()f x 的原函数的全体可表示为()F x C +,其中C 为任意常数.据此，我们给出下述定义.在区间I 上，()f x 的带有任意常数项的原函数，称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰.其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义，如果()F x 为()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰ （C 为任意常数）.●●例1 因为 32()3x x '=，所以233d x x x C =+⎰.141●●例2 因为当0x >时，1(ln )x x '=；当0x <时，11[ln()]()x x x x ''-=-=-，所以1(ln ||)x x'=，因此有1d ln ||x x C x=+⎰.●●例3 设曲线过点2(e ,3)，且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的方程.解设所求曲线方程为()y f x =，其上任一点(,)x y 处切线的斜率为d 1d y x x=，从而 1d ln ||y x x C x==+⎰,由2(e )3f =，得1C =，因此所求曲线方程为ln ||1y x =+.在直角坐标系中，()f x 的任意一个原函数()F x 的图形我们称为()f x 的一条积分曲线，不定积分()d f x x ⎰在几何上表示一簇积分曲线，这些积分曲线可由某一条积分曲线沿y 轴方向平移得到，它们在横坐标相同点处的切线有相同的斜率，因而切线相互平行.●●例4 一物体由静止开始作直线运动,t 秒末的速度是23t （m /s ）,问：(1)在3s 末,物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完216m 需多少时间？解设物体的位置函数为()s s t =，则d ()d s v t t =，即2d 3d st t=，从而23d s t t =⎰=3t C +，由(0)0s =，得0C =，于是有3s t =.当3t =时,物体与出发点之间的距离3(3)27s t ==(m)；当216s =时，6t =(s).由原函数与不定积分的概念可得：d()d ()d f x x f x x =⎰或 d ()d ()d f x x f x x =⎰； ()d ()F x x F x C '=+⎰ 或 d ()()F x F x C =+⎰.由此可见，微分运算与不定积分运算互为逆运算，对函数()f x 先积分再微分，作用互相抵消；对函数()F x 先微分再积分，其结果只差一个常数.二、基本积分表因为不定积分运算是导数运算的逆运算，所以不难从导数公式得到相应的积分公式．现将一些基本积分公式罗列如下，通常称之为基本积分公式表.(1) d k x kx C =+⎰ (k 为常数),(2) 1d 1x x x C μμμ+=++⎰ (1μ≠-), (3) d ln ||xx C x =+⎰, (4) 2d arctan 1xx C x =++⎰,(5) arcsin x C =+, (6) cos d sin x x x C =+⎰, (7) sin d cos x x x C =-+⎰, (8) 22d sec d tan cos x x x x C x ==+⎰⎰, (9) 22d csc d cot sin xx x x C x==-+⎰⎰, (10)sec tan d sec x x x x C =+⎰,142 (11) csc cot d csc x x x x C =-+⎰, (12)e d e x x x C =+⎰, (13) d ln xxa a x C a=+⎰,(14)sh d ch x x x C =+⎰,(15) ch d sh x x x C =+⎰.以上公式可以联系求导公式记忆，且要求能够灵活运用.三、不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到下列性质. 性质1 设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.证因为([()()]d )()()f x g x x f x g x '±=±⎰，[()d ()d ]f x x g x x '±=⎰⎰[()d ][()d ]f x x g x x ''±⎰⎰=()()f x g x ±.由不定积分及原函数的定义，性质1得证.性质1可以推广到有限个函数的情形.性质2 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰. 证与性质1的证明类似，从略.利用基本积分表和不定积分的两个性质，通过对被积函数作恒等变形，可以求出一些简单的不定积分，这种求积分的方法通常叫直接积分法.●●例5求解4133d 3x x xC C --=-+=+⎰.●●例6求5)d x x .解3225)d (5)d x x x x x =-⎰322d 5d x x x x =-⎰⎰532123x x C =-+3123x x C =-. 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的.●●例7 求32(1)d x x x +⎰. 解 33222(1)331d d x x x x x x x x ++++=⎰⎰2313d x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ 211d 3d 3d d x x x x x x x=+++⎰⎰⎰⎰21133ln ||2x x x C x =++-+. ●●例8 求221d (1)x x x x x -++⎰.143解 22221(1)d d (1)(1)x x x x x x x x x x -++-=++⎰⎰211d d 1x x x x =-+⎰⎰ln||arctan x x C =-+. ●●例9 求23e d x x x ⎰.解 23e d xxx =⎰9e d xxx ⎰(9e)d xx =⎰(9e)ln(9e)x C =+23e 12ln3x xC =++. ●●例10 求2cot d x x ⎰.解 22cot d (csc 1)d x x x x =-⎰⎰2csc d d x x x =-⎰⎰cot x x C =--+.●●例11 求2cos d 2xx ⎰.解 2cos d 2x x ⎰1cos d 2x x +=⎰11d cos d 22x x x =+⎰⎰1(sin )2x x C =++.●●例12 设 1,1,()1,2,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩求()d f x x ⎰.解因为当1x ≤时，()1f x x =+，即21()d ;2x f x x x C =++⎰当1x >时，()2f x x =，此时22()d f x x x C =+⎰.又因为()f x 的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以211lim 2x x x C -→⎛⎫++= ⎪⎝⎭221lim()x x C +→+ 从而有121112C C ++=+，即1212C C +=.记1C C =，则 22,1,2()d 1, 1.2x x C x f x x x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰由例12可知，当被积函数是一个分段连续函数时，它的原函数必定为连续函数，可以先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系，注意不定积分中只含有一个任意的常数.习题 4-11.求下列不定积分：(1) 5d x -⎰； (2) 2(23)d x x x +⎰；(3) 221d (1)x x x x x +++⎰；(4) 2cot d x x ⎛⎫⎪⎭⎰；(5) 3102d x x x ⎰；(6) 2sin d 2xx ⎰；144 (7) cos2d cos sin xx x x+⎰；(8) 22cos2d cos sin xx x x⎰；(9) sec (sec tan )d x x x x -⎰； (10){}max ||,1d x x ⎰. 2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程.3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1cos 24x -是某同一函数的原函数.第二节换元积分法应用不定积分的性质和基本积分公式只能计算出一些简单的函数的不定积分，对计算较复杂的函数的不定积分，根据函数的不同形式，需要一定的计算技巧.本节与下节所讲的换元积分法和分部积分法是计算不定积分最基本、最常用的两种方法.一、第一类换元积分法设函数()F u 为函数()f u 的原函数，即()()F u f u '=或()d ()f u u F u C =+⎰.如果()u x ϕ=，且()x ϕ可微，则d[()]()()()()[()]()d F x F u x f u x f x x xϕϕϕϕϕ''''===. 即[()]F x ϕ为[()]()f x x ϕϕ'的原函数，从而()()[()]()d [()][()][()d ]u x u x f x x x F x C F u C f u u ϕϕϕϕϕ=='=+=+=⎰⎰.因此有如下定理：设()f u 存在原函数，()u x ϕ=可微，则()[()]()d [()d ]u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰ (1) 公式(1)称为第一类换元积分公式.由此定理可见，被积表达式中的d x 也可以当作变量x 的微分来看待.如何应用公式(1)来求不定积分呢？为了求不定积分()d g x x ⎰，把它凑成如下的形式[()]()d f x x x ϕϕ'⎰，作代换()u x ϕ=，于是得()d f u u ⎰，若()d f u u ⎰=()F u C +，再代回原来的变量x ，就求得积分()d [()]g x x F x C ϕ=+⎰.由于在积分过程中，将()x ϕ'与d x 凑成d ()x ϕ，所以第一类换元积分法也叫凑微分法.●●例1 求2sin 2d x x ⎰. 解令2u x =，有2sin 2d sin 2(2)d sin d cos x x x x x u u u C '===-+⎰⎰⎰，将2u x =回代，得2sin 2d x x ⎰cos 2x C =-+.●●例2 求1d 12x x-⎰.145解 11111d (2)d (12)d 12212212x x x x x x x '=--=-----⎰⎰⎰11d(12)212x x=---⎰，令12u x =-，得1d 12x x =-⎰111d ln ||22u u C u -=-+⎰1ln |12|2x C --+＝. ●●例3求x . 解x =2)d x x '--2)x =-- 令21u x =-，则xu =-1122d 2u u u C -=-=-+=-⎰1222(1)x C -+. 对换元法熟练后，可直接凑微分，省去换元、还原中间变量步骤. ●●例4 求22e d x x x ⎰.解 22e d x x x ⎰=22e ()d x x x '⎰222e d()e x x x C ==+⎰. ●●例5 求tan d x x ⎰.解 tan d x x ⎰=sin 1d d(cos )ln |cos |cos cos x x x x C x x=-=-+⎰⎰. 类似可求得cot d x x =⎰ln |sin |x C +. ●●例6 求221d (0)x a a x ≠+⎰.解 22222111111d d d arctan 11x x x x C a x a a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．类似地可求得arcsin xC a =+ (0)a >． ●●例7 求221d (0)x a x a ≠-⎰. 解 221111d d 2x x x a a x a x a ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111[d()d()]2x a x a a x a x a=--+-+⎰⎰ 1[ln ||ln ||]2x a x a C a =--++ 1ln ||x a C x a -=++. ●●例8求x . 解xx =⎰2=⎰C =-.●●例9 求x .146 解xarcsin x x =⎰21arcsin d(arcsin )(arcsin )2x x x C ==+⎰.●●例10求x .解x1221d (arctan )d(arctan )1x x x x ==+⎰322(arctan )3x C =+. ●●例11 求2ed 1e x xx +⎰. 解 2e d 1exx x +⎰21e d 1e xx x =⋅+⎰21d(e )1(e )x x =+⎰arctan(e )x C =+. ●●例12 求1d ln x x x ⎰.解 1d ln x x x ⎰111d d(ln )ln |ln |ln ln x x x C x x x=⋅==+⎰⎰.下面积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.●●例13 求csc d x x ⎰.解 11csc d d d sin 2sin cos 22x x x x x x x ==⎰⎰⎰=21d 2tan cos 22x x x ⎰1d tan 2tan 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰=ln |tan |2x C +，因为tan 2x =2sin 2sin 1cos 22csc cot sin sin cos 2x x x x x x x -===-，所以 csc d x x =⎰ln |csc cot |x x C -+.●●例14 求sec d x x ⎰.解 sec d x x ⎰ππcsc()d()22x x =++⎰ππln csc()cot()22x x C =+-++ln |sec tan |x x C =++.●●例15 求5cos d x x ⎰.解 5cos d x x ⎰=4cos cos d x x x ⋅=⎰4cos d(sin )x x =⎰22(1sin )d(sin )x x -⎰=24(12sin sin )d(sin )x x x -+⎰=3521sin sin sin 35x x x C -++.●●例16 求33tan sec d x x x ⎰.解 33tan sec d x x x ⎰22tan sec tan sec d x x x x x =⋅⎰22tan sec d(sec )x x x =⎰22(sec 1)sec d(sec )x x x =-⎰42(sec sec )d(sec )x x x =-⎰5311sec sec 53x x C =-+.147●●例17 求2cos d x x ⎰.解 21cos21cos d d [d cos2d ]22x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰ 11cos2d(2)sin 22424x x x x x C =+=++⎰. ●●例18 求4sec d x x ⎰. 解 4sec d x x ⎰=2222sec sec d sec d(tan )(tan 1)d(tan )x x x x x x x ⋅==+⎰⎰⎰31tan tan 3x x C =++. ●●例19 求24tan sec d x x x ⎰.解 24tan sec d x x x ⎰=222tan sec sec d x x x x ⋅⎰22tan sec d(tan )x x x =⎰22tan (tan 1)d(tan )x x x =+⎰42(tan tan )d(tan )x x x =+⎰5311tan tan 53x x C =++. ●●例20 求sin sin3d x x x ⎰.解利用积化和差公式：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--，sin sin3d x x x ⎰1[cos4cos(2)]d 2x x x =---⎰11cos4d cos2d 22x x x x =-+⎰⎰ 11cos4d(4)cos2d(2)84x x x x =-+⎰⎰ 11sin 4sin 284x x C =-++. 二、第二类换元积分法有些积分采用前面所学的积分方法来计算很困难甚至无法计算，而要采用下面将要介绍的所谓第二类换元积分法来求积分.设()x t ϕ=是单调的可导函数，且()0t ϕ'≠.又设[()]()f t t ϕϕ'具有原函数，则有换元公式()d f x x ⎰1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰， (2) 其中1()t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.证设[()]()f t t ϕϕ'的原函数为()t Φ，记1[()]()x F x ϕ-Φ=，利用复合函数及反函数的求导法则，得d d ()d d tF x t xΦ'=⋅=1[()]()()f t t t ϕϕϕ'⋅'[()]()f t f x ϕ==，即()F x 是()f x 的一个原函数.所以有()d ()f x x F x C =+=⎰1[()]x C ϕ-Φ+1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰公式(2)称为第二类换元积分公式. ●●例21求x (0)a >.148 解令sin x a t =，ππ()22t -<<cos a t =，d cos d x a t t =，因此有cos cos d x a t a t t =⎰22cos d a t t =⎰21cos2d 2t a t +=⎰22sin 224a a t t C =++22sin cos 22a a t t t C =++ . 因为sin x a t =，ππ()22t -<<，所以sin x t a=，arcsin ,xt a =cos t =于是x21arcsin 22a x C a =+.●●例22求 (0)a >.解令tan x a t =，ππ22t -<<sec a t =，2d sec d x a t t =，因此有2111sec d sec d sec ln |sec tan |a t t t t a txt t C C a===++=+⎰⎰ln |x C =+其中1ln C C a =-.为了把新变量t 还原为x 的函数，可以根据tan xt a=作辅助三角形，俗称小三角形还原法，如图4-1所示.●●例23求（0a >）.解被积函数的定义域为x a >和x a <-两个区间，故在两个区间分别求不定积分.(1) 当x a >时，设πsec (0)2x a t t =<<，则tan a t ,且d sec tan d x a t t t =.故sec tan d sec d tan a t tt t ta t==⎰⎰ln(sec tan ).t t C =++为了把sec t 及tan t 换成x 的函数，依据sec xt a=作辅助三角形(图4-2)，得tan t =，所以，1ln x C a ⎛=+ ⎝⎭ln(,x C =+其中1ln .C C a =- (2)当x a <-时，令x u =-,那么u a >，由以上分析有(1ln u C=-=-++1ln(x C=--+1C=+(ln x C=-+，其中12ln.C C a=-综合以上(1)与(2)两种分析情况，把以上两个结果合起来，可写成ln|x C=+.sinx a t=去根号；当被积时，作代换secx a t=换tanx a t=去根号.时，为了去根号，还可用公式22ch sh1t t-=，采用双曲代换sh,chx a t x a t==来去根号.如例22中，可设shx a t=，==cha t，即可去根号.有些积分的计算可采用所谓的倒代换.●●例24求.解设1,xt=那么21d dx tt=-，于是21d t-==-(arcsin)t C=-±+1arcsin||Cx=-+.在本节的几个例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以它们也常被当作公式来使用，现罗列如下：（16）tan d ln|cos|x x x C=-+⎰, （17）cot d ln|sin|x x x C=+⎰, （18）sec d ln|sec tan|x x x x C=++⎰, （19）csc d ln|csc cot|x x x x C=-+⎰,（20）22d1arctanx xCa x a a=++⎰, （21）22d1ln2x x aCx a a x a-=+-+⎰, （22）arcsinxCa=+, （23）ln(x C=++, （24）ln x C=+.●●例25 求2d23xx x++⎰.解22d1d23212xxx x x x=+++++⎰⎰1)x=+，利用公式（20）便得2d23xCx x=++⎰.149150 ●●例26求解==利用公式（23）便得ln(1x C =+++ln(1x C =++.●●例27求解1d x ⎛⎫- ⎪=利用公式（22）便得21arcsin 3x C -=+. 习题 4-21.填空：(1) 21d d()x x=;(2) 1d d()x x=;(3) e d d()x x =; (4) 2sec d d()x x =; (5) sin d d()x x =;(6) cos d d()x x =;d()x =;d()x =; (9) tan sec d d()x x x =;(10) 21d d()1x x =+;d()x =;(12) d d()x x =.2.求下列不定积分：(1) x ; (2)4ln d x x x⎰;(3) 12ed xx x ⎰;(4)23(e 2e 2)e d x x x x ++⎰;(5) ;(6)21ln d (ln )xx x x +⎰;(7) 1d ln lnln x x x x ⎰;(8)1d e ex xx -+⎰;(9) x ; (10) 32d 3x x x+⎰;151(11) x ;(12) 21d 2x x x --⎰;(13) 2sin ()d t t ωϕ+⎰;(14) x ;(15) ln cot d sin 2xx x⎰;(16) x ;(17) 4cos d x x ⎰;(18)x ; (19)3cos d x x ⎰(20)arccos xx ;(21)x(22)x ; (23)35sin cos d x x x ⎰ (24)35tan sec d x x x ⎰; (25)cos5sin 4d x x x ⎰; (26)34tan sec d x x x ⎰;(27)x; (28)x(29)；(30)x ;(31)2x ; (32)21d 323x x x ++⎰(33)x ;(34)x第三节分部积分法前面一节我们利用复合函数的求导法则得到了换元积分法，利用它可以求出一些函数的积分，但是对于形如e d x x x ⎰、ln d x x x ⎰、sin d x x x ⎰等的积分，用直接积分法或换元积分法都无法计算. 这些积分的被积函数都有共同的特点，即都是两种不同类型函数的乘积，这就启发我们把两个函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.设函数()u u x =、()v v x =具有连续导数，则有[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+，两端求不定积分，得()()()()d ()()d u x v x u x v x x u x v x x ''=+⎰⎰，移项得 ()()d ()()()()d u x v x x u x v x u x v x x ''=-⎰⎰，或()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，152 为方便起见，简记为d d u v x u v vu x ''=-⎰⎰ (1) 或d d u v u v v u =-⎰⎰ (2) 公式(1)或(2)称为不定积分的分部积分公式.当()()d u x v x x '⎰不容易积分，但()()d u x v x x '⎰容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的()()d u x v x x '⎰计算出来. ●●例1 求sin d x x x ⎰.解令u x =，sin (cos )v x x ''==-，代入分部积分公式得sin d d(cos )x x x x x =-⎰⎰cos cos d x x x x =---⎰cos sin x x x C =-++.值得注意，如在例1中，若是令sin u x =，22x v x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭，代入分部积分公式得2sin d sin d()2x x x x x =⎰⎰22sin d(sin )22x x x x =-⎰22sin cos d 22x x x x x =-⎰.上式最后一个积分比原来的积分还复杂，由此可知，若u v 、的选取不当，可能使积分计算很复杂甚至计算不出来. ●●例2 求2e d x x x ⎰.解 22222e d d(e )e e d()e 2e d x x x x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰22e 2de e 2(e e d )x x x x x x x x x x =-=--⎰⎰2e 2e 2e .x x x x x C =-++从例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）函数乘积或是幂函数与指数函数乘积，分部积分时，取幂函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例3 求ln d x x x ⎰.解 22211ln d ln d()ln d(ln )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰()22222111ln d ln 22211ln .24x x x x x x x C x x x C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=-+⎰ ●●例4 求arctan d x x x ⎰.解 22211arctan d arctan d()arctan d(arctan )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰ 222221arctan d 2111arctan 1d 21x x x x x x x x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰153()21arctan arctan 2x x x x C =-++. 从例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，分部积分时，取对数函数或反三角函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例5 求arcsin d x x ⎰.解 arcsin d x x ⎰arcsin d(arcsin )x x x x =-⎰arcsin x x x =-21arcsin )2x x x =+-arcsin x x C =.●●例6 求ln d x x ⎰.解 ln d x x ⎰ln d(ln )x x x x =-⎰1ln d x x x x x=-⋅⎰ln d x x x =-⎰ln x x x C =-+.从例5和例6可以看出，当某些被积函数（如对数函数、反三角函数）是单个函数时，可选v x =直接用分部积分法求积分. ●●例7 求e sin d x x x ⎰.解 e sin d sin de e sin e d(sin )x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin e cos d e sin cos d(e )e sin [e cos e d(cos )]e sin e cos e sin d ,x x x x xxxx x x x x x x x x x x x x x x =-=-=--=--⎰⎰⎰⎰因此得 1e sin d e (sin cos )2x x x x x x C =-+⎰.●●例8 求3sec d x x ⎰.解 3sec d sec d tan sec tan tan d(sec )x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2233s e c t a n t a n s e c d s e c t a n (s e c 1)s e c d s e c t a n s e c ds e c ds e c t a n l n |s e ct a n |s e cd ,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-=--=-+=++-⎰⎰⎰⎰⎰因此得()31sec d sec tan ln |sec tan |2x x x x x x C =+++⎰ ●●例9 求22d ()n nxI x a =+⎰（n 为正整数）.解用分部积分法，当1n >时，有154 222122122d 2(1)d ()()()n n n x x x n x x a x a x a --=+-+++⎰⎰22212212212(1)d ()()()n n n x a n x x a x a x a --⎛⎫=+-- ⎪+++⎝⎭⎰，即2112212(1)()()n n n n xI n I a I x a ---=+--+, 于是122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤=+-⎢⎥-+⎣⎦. 以此作递推公式，并由11arctan xI C a a=+，即可得n I .在积分过程中，有时分部积分法与其他方法结合使用，会更加容易积分. ●●例10求x ⎰.解令t =，则 2x t =，d 2d x t t =，因此e 2d 2e d 2de 2(e e )t t t t t x t t t t t t C ====-+⎰⎰⎰⎰1)C =+.习题 4-3求下列积分：（1） sin 2d x x x ⎰；（2） e d x x x -⎰；（3） 2ln d x x x ⎰；（4） arccos d x x ⎰；（5） 2cos d x x x ⎰；（6） e sin 2d x x x -⎰；（7） 2arctan d x x x ⎰；（8） 2cos d x x x ⎰；（9）x ；（10）23e d x x x ⎰；（11）cosln d x x ⎰；（12）()d xf x x ''⎰.第四节几种特殊类型函数的积分我们已知道，任何一个初等函数的导数仍为初等函数，而相当多的初等函数虽然也存在原函数，但它们的原函数却不是初等函数，也就是通常说的“这个不定积分积不出来”.例如，sin d x x x ⎰， 2sin d x x ⎰，2e d x x -⎰.这些不定积分都积不出来.下面再举几个著名的积不出来的不定积分：x ，2d (1sin )x k x +⎰(01)k <<.155分别称为第一、二、三种椭圆积分.它们是在计算椭圆弧长时碰到的，故由此而得名.法国数学家刘维尔(Liouville)曾证明了它们的积分不能用初等函数表示，故积不出来.下面介绍几类特殊类型函数的不定积分.一、有理函数的积分形如10111011()()n n n nm m m ma x a x a x a P x Q xb x b x b x b ----++++=++++ （1）的函数称为有理函数.其中012,,,,n a a a a 及012,,,,m b b b b 为常数，且00a ≠，00b ≠.如果（1）式中多项式()P x 的次数n 小于多项式()Q x 的次数m ，则称此分式为真分式；如果多项式()P x 的次数n 大于或等于多项式()Q x 的次数m ，称分式为假分式.利用综合除法（带余除法）可得，任意一个假分式可转化为多项式与真分式之和.例如：422212111x x x x x x +++=-+++, 因此，我们只需研究真分式的积分.根据多项式理论，任一多项式()Q x 在实数范围内能分解为一次质因式和二次质因式的乘积，即220()()()()()Q x b x a x b x px q x rx s αβλμ=--++++(2)其中2240,,40p q r s -<-<.如果(1)的分母多项式分解为(2)式，则(1)式可分解为如下部分分式之和：121211()()()()()()()()B A A A B B P x Q x x a x a x a x b x b x b βαααββ--=+++++++++------11222212()()()M x N M x N M x N x p x q x p x q x p x qλλλλ-++++++++++++++ 11222212()()()R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s μμμμ-+++++++++++++(3)其中,,,,,i i i i i A B M N ,R 及i S 均为常数.例如 22221(1)(1)(1)x x x x x ++++1A x =+21A x +32(1)A x +++1121M x N x ++2221M x N x x ++++3322(1)M x N x x ++++. 把真分式写成部分分式的代数和时，每个k 重因子（一次或二次）一定要有k 项；每个一次因子所对应的部分分式分子是常数，每个二次质因式所对应的分式的分子是一次因式，含两个常数，分式中的常数可以用“待定系数法”或“赋值法”来确定.我们用具体例子来说明.●●例1 将真分式232(1)(2)x x x ++-分解为最简分式.解设 231213232(1)(2)1(1)(1)2A A AB x x x x x x x +=++++-+++-,通分整理后，有156 ********(2)(1)(2)(1)(2)(1)x A x A x x A x x B x +=-++-++-++(4)3211213211()(3)(33)A B x A B x A A A B x =++++--+3211(222)A A A B +---+比较两端同类项系数，得方程组1121321132110313302222A B A B A A A B A A A B +=⎧⎪+=⎪⎨--+=⎪⎪---+=⎩解得 129A =-, 213A =, 31A =-, 129B =.或者在（4）式中应用赋值法，更简单些. 令1x =-，得 333A =-，31A =-.令2x =, 得 1627B =，129B =.令0x =, 得 32112222A A A B =---+.(5) 令1x =, 得 32113248A A A B =---+.(6)联立(5)与(6)式, 得129A =-，213A =，于是232322112(1)(2)9(1)3(1)(1)9(2)x x x x x x x +=-+-++-+++-.●●例2 求22d 23x x x x -++⎰.解由于分母已为二次质因式，而且分子可写为12(22)32x x -=+-21(23)32x x '=++-，于是22222221(22)322d d 23231(23)d d 3223231d(23) 3223x x x xx x x x x x xx x x x x x x x x +--=++++'++=-++++++=-++⎰⎰⎰⎰⎰21ln(23)2x x C =+++. ●●例3 求44d 1x x -⎰.解因为4241121111x x x x =----++，所以 424112d d 1111x x x x x x =----++⎰⎰2112d d d 111x x x x x x=---++⎰⎰⎰1572112d(1)d(1)d 111x x x x x x=--+--++⎰⎰⎰1ln 2arctan 1x x C x -=-++. 由上面的例子可知，把真分式分解为部分分式的代数和，并用待定系数法或赋值法求出分解式中的常数后，求有理函数的不定积分，可归结为求下列部分分式的不定积分A x a -，()kA x a -，2()k Mx N x px q +++ 前两类函数的不定积分我们都能求.关键是第三类函数的不定积分，下面讨论它的计算.把分母中的二次质因式配方，得22224p p x px q x q ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭，令2p x t +=，则d d x t =，并记222x px q t a ++=+，Mx N Mt b +=+，其中224p a q =-，2Mpb N =-，于是有 22222d d d ()()()n n n Mx N Mt t b tx x px q t a t a +=+++++⎰⎰⎰，当1n =时，有222222d d d 2ln()arctan .2Mx N Mt t b tx xpx q t a t a px M bx px q C aa +=++++++=++++⎰⎰⎰ 当1n >时，有222122d d ()2(1)()()n n n Mx N M tx b x px q n t a t a -+=-+++-++⎰⎰，上式最后一个积分的求法见本章第三节例9.总之，有理函数的积分，理论上总可以积出来，它的原函数是初等函数，即有理函数的积分是初等函数.●●例4 求2221d (22)x x x x +-+⎰. 解在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为2222221(22)(21)(22)(22)x x x x x x x x +-++-=-+-+222121.22(22)x x x x x -=+-+-+ 现分别计算部分分式的不定积分如下：122d d(1)arctan(1).22(1)1x x x C x x x -==-+-+-+⎰⎰158222221(22)1d d (22)(22)x x x x x x x x --+=-+-+⎰⎰222d(22)(22)x x x x -+=+-+⎰22d(1)(1)1x x -⎡⎤-+⎣⎦⎰2221d(1)22(1)1x x x x --=+-+⎡⎤-+⎣⎦⎰，令1x t -=, 由递推公式,求得22d(1)(1)1x x -=⎡⎤-+⎣⎦⎰2222d 1d (1)2(1)21t t t t t t =++++⎰⎰ 2211arctan(1).2(22)2x x C x x -=+-+-+ 于是得到2222133d arctan(1)(22)2(22)2x x x x C x x x x +-=+-+-+-+⎰，其中12C C C =+. 二、可化为有理函数的积分举例由函数()u x 、()v x 及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于()u x 、()v x 的有理式，并用((),())R u x v x 来表示. 例如，(sin ,cos )d R x x x ⎰是关于sin x 、cos x 的有理式的不定积分.通过代换tan 2xu =（ππx -<<），可把这种类型的积分化为以u 为变量的有理函数的积分，因为22222sin cos 2tan2222sin 2sin cos ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x x x x u ====+++ 2222222222cos sin 1tan 1222cos cos sin ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x u ---=-===+++22d d(2arctan )d 1x u u u==+. 所以 2222212d (sin ,cos )d (,)111u u uR x x x R u u u -=+++⎰⎰. ●●例5 求1sin d sin (1cos )xx x x ++⎰. 解作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+，159因此得22222211sin 2111d d (2)d sin (1cos )1221111ux u x u u u x x uu u u u u +++=⋅=++++⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰ 21(2ln ||)22u u u C =+++211tan tan ln |tan |42222x x xC =+++.●●例6 求cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+，因此得2221cot 22d d 21sin cos 11111u x u x u u u x x u u u -=⋅-+++++++⎰⎰1111d (d d )(ln ||)222u u u u u u C u u -==-=-+⎰⎰⎰1(ln tan tan )222x xC =-+. 一些简单的无理函数的积分可以通过变量代换化为有理函数的积分. ●●例7求解u =，得 32x u =-，2d 3d x u u =，代入得2223111d 3d 31d 111 3(ln |1|)2u u u u u u u u u uu u C-+⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭=-+++⎰⎰⎰3ln |1C =+. ●●例8 求.解令16t x =，得5d 6d x t t =，代入得2563226d 1116d 6d ()1t t t t t tt t t t t t ⋅⎛⎫===-⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰6[ln ln(1)]ln 1)t t C x C =-++=-+.●●例9 求x .解 t =，则2211t x t-=+,224d d (1)t x t t -=+；代入得160 x 2224d (1)(1)t t t t -=-+⎰2222d 11t t t ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭⎰1ln2arctan 1t t C t -=+++C =+.例8、例9式为u ，这样的变换具有反函数，且反函数为有理函数，从而可将原积分化为有理函数的积分.习题 4-4求下列不定积分：（1）3d 1x x x -⎰；（2）5438d x x x x x +--⎰；（3）2222213d (2)(1)x x x x x ++-+⎰；（4）226114d (1)x x x x x -+-⎰；（5）32d 1xx x x x -+-⎰；（6）2dx⎰；（7）x ；（8）x . 第五节积分表的使用通过前面的讨论可以看出，积分的计算要比导数的计算显得更加灵活、复杂，我们会遇到更多不同类型的不定积分的计算问题，为了应用上的方便，把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的，求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果. 本书末附录4是一份简单的积分表，可供查阅.●●例1 求2d (1)xx x +⎰. 解被积函数含有a bx +，在积分表（二）中查得公式（4）()221d ln x a x a bx C b a bxa bx ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭+⎰，现在1a =，1b =，于是21d ln 1(1)1x x x C x x =+++++⎰.●●例2求.解这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换.令2x u=2ux=，dd2ux=，于是1d2u==⎰34）1Ca=-+，现在2a=，x相当于u，于是有12C=-，再把2u x=代入，最后得到12C=.●●例3 求4sin d x x⎰.解在积分表（八）中查到公式（50）12sin cos1sin d sin dnn nx x nx x x xn n---=-+⎰⎰，现在4n=，于是有342sin cos3sin d sin d44x xx x x x=-+⎰⎰，对积分2sin d x x⎰，利用公式（48），得21sin d sin224xx x x C=-+⎰，从而所求积分为34sin cos31sin d sin24424x x xx x x C⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭⎰.一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间，但只有掌握了前面学习过的基本积分公式才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本积分法来计算比查表更快些，例如23sin cos dx x x⎰，用变换sinu x=很快就可得到结果，所以求积分时，究竟是直接计算，还是查表，或两者结合使用，应该具体问题具体分析，从而选择一个更快捷的方式.习题4-5利用积分表计算下列不定积分：（1）；（2）3ln d x x⎰；（3）221d(1)xx+⎰；（4）；161162 （5）x x ⎰；（6）（7） 6cos d x x ⎰；（8）2e sin3d x x x -⎰.第六节数学模型●●例 (石油的消耗量)近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07. 1970年初，消耗率大约为每年161亿桶.设()R t 表示从1970年起第t 年的石油消耗率，则0.07()161e t R t =(亿桶).试用此式估算从1970年到1990年间石油消耗的总量.解设()T t 表示从1970年起(0t =)直到第t 年的石油消耗总量.我们要求从1970年到1990间石油消耗的总量，即求(20)T .由于()T t 是石油消耗的总量，所以()T t '就是石油消耗率()R t ,即()()T t R t '=，那么()T t 就是()R t 的一个原函数.0.070.070.07161()()d 161e d e 2 300e 0.07t tt T t R t t t C C ===+=+⎰⎰. 因为 (0)0T =，所以， 2 300C =-，得 0.07() 2 300(e 1)t T t =-.从1970年到1990年间石油的消耗总量为：0.0720(20) 2 300(e 1)7 027T ⨯=-≈（亿桶）.第七节数学实验利用Matlab 软件中的函数int 可以对不定积分进行符号计算，其调用格式和功能如下说明：在初等函数范围内，不定积分有时是不存在的，也就是说，即使()f x 是初等函数，但是不定积分()d f x x ⎰却不一定是初等函数.例如，2e x -，sin xx ，e x x，1log a x 是初等函数，而2ed x x -⎰，sin d x x x ⎰，e d xx x⎰，1d log a x x ⎰却不能用初等函数表示出来.比如，输入程序： >> syms x>> F=int(sin(x)/x) 运行后屏幕显示：F =sinint(x)其中sinint(x)是非初等函数，称作积分正弦函数.在使用int 函数求不定积分时，读者要注意这种情况.●●例1 求2sin dx x x⎰.解用符号积分命令int计算此积分，Matlab程序为>> syms x；>> int(x^2*sin(x))结果为ans =-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x) 如果用微分命令diff验证积分正确性，Matlab程序为>> diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))结果为ans =x^2*sin(x)●●例2 求下列函数的一个原函数：（1）；（2）sec(sec tan)x x x-；（3）11cos2x+；（4（5）2arctanx x；（6）223310xx x++-解（1）相应的Matlab程序为>> clear all；>> syms x；>> f=x*sqrt(x)；>> int(f,x)结果为ans =2/5*x^(5/2)；（2）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=sec(x)*(sec(x)-tan(x))；>> int(f,x)结果为ans =sin(x)/cos(x)-1/cos(x)；（3）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=1/(1+cos(2*x))；>> int(f,x)结果为ans =1/2*tan(x)；（4）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=log(x+1)/sqrt(x+1)；>> int(f,x)结果为ans =2*log(x+1)*(x+1)^(1/2)-4*(x+1)^(1/2)；（5）相应的Matlab程序为163164 >> clear all >> syms x ；>> f=x^2*atan(x)； >> int(f,x)结果为ans =1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)；（6）相应的Matlab 程序为 >> clear all >> syms x ；>> f=(2*x+3)/(x^2+3*x-10)； >> int(f,x)结果为ans =log(x^2+3*x-10).●●例3 设曲线通过点(1,2)，且其切线的斜率为2329x x +-，求此曲线的方程并绘制其图像.解设所求的曲线方程为()y f x =，根据题意，2329y x x '=+-，所以2d (329)d y y x x x x '==+-⎰⎰相应的Matlab 程序为 >> syms x C ；>> f=3*x^2+2*x-9； >> F=int(f)+C ； >> y=simple(F)结果为y =x^3+x^2-9*x+C.即斜率为2329x x +-的曲线方程为329y x x x C =+-+.又因为曲线通过点(1,2)，代入曲线方程，得9C =.于是，所求曲线方程为3299y x x x =+-+. 作曲线图，输入程序 >> clear>> x=-5:0.1:5； f=3*x.^2+2*x-9；y=x.^2+x.^3-9*x+9； >> x0=1；y0=2；>> plot(x0,y0,'ro',x,f,'g*',x,y,'b-') >> grid>> legend('点(1,2)','函数f=3x^2+2x-9的曲线','函数f=3x^2+2x-9过点(1,2)的积分曲线')运行结果如图4-3.函数2329f x x =+-过点(1,2)的积分曲线图4-3165本章复习题A一、填空1. 已知()F x 是sin xx的一个原函数，则2d[()]F x = . 2. 已知函数()y f x =的导数为2y x '=，且1x =时2y =，则此函数为 . 3. 如果()d ln f x x x x C =+⎰，则()f x = .4.已知()d sin f x x x x C =++⎰，则e (e 1)d xxf x +⎰= . 5.如果 2(sin )cos d sin f x x x x C =+⎰，则()f x = .二、求下列不定积分1. 21cos d 1cos2x x x ++⎰；2.d 1e xx+⎰； 3.2352d 4x xx x ⋅-⋅⎰；4.2(arcsin )d x x ⎰；5.；6.322d (1)x x x +⎰；7.8.x ； 9.54tan sec d x x x ⎰；10.；11.23e d x x x ⎰；12.ln ln d x x x⎰.三、设 1,0,()1,01,1,2,x f x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()d f x x ⎰.四、若I tan d ,n n x x =⎰,,3,2 =n 证明121I tan I 1n n n x n --=--. 本章复习题B一、填空1.已知()F x 是2e x -= . 2.若22(sin )cos f x x '=，则()f x = .3.设()f x '=，则(1)d f x x -⎰= .4.已知()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '⎰= . 二、求下列不定积分1.2arctan e d e xxx ⎰；2.d sin 22sin xx x+⎰；。

高职课件《高等数学》第四章不定积分课件

解法一 sin3xcosxdx sin3xdsinx 1 sin4x C 4
解法二
sin3xcosxdx sin2xcosxdcosx cos3x cosx dcosx
1 cos4x 1 cos2x C
4
2
例4.2.12 求 cos4xdx 。
解
cos4
x
1
ln 1
x'
1 ，于是有 1 x
1
1
x
dx
ln
1
x'
dx
ln
1
x
C
思考：当x 1 时，结果如何呢？
例4.1.5 求 x2 dx
1 x
x 1 。
解
x2
1 x
dx
x2 11 1 x
dx
x
1
1 1
x
dx
1 x2 x ln 1 x C 2
例4.1.6 求
1 dx 。 x
解
1 x
解
tanx
dx
sinx cosx
dx
d cosx
cosx
ln
cosx
C
类似地可得
cotxdx ln sinx C
以上这两个结果是常用的积分公式，请读者熟记。
例4.2.6 求
1
1 e
x
dx
。
解法一利用 ex ' ex 的特点，在被积函数的分子中增、减项，即
1
1 e
x
dx
1 ex ex 1 ex dx
由于 x2 ' x2 2 ' x2 35 ' 2x ，所以 x2、x2 2、x2 35
都为2x的原函数。那么2x 的原函数有多少个呢？

应用高等数学第4章4-1不定积分27页PPT

一、运算法则二、进一步的练习
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解（1）因为（ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理）如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理）如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常数.
.
（2）因为 (arcsxin)

上交大微积分教学课件第四章不定积分

3.原函数定理
定理1 若函数 f (x) 在区间D上连续，则 f (x) 在区间D上一定存在原函数 F(x) ．
定理2 如果函数F(x) 是 f (x)在区间D上的原函数，则
(1) F (x) C 也是 f (x) 在区间D上的原函
数，其中C是任意常数； (2) f (x) 在区间D上的任意两个原函数之间只相差一个常数．
❖ ④ 若被积函数中含有 x2 a2 (a 0) ，可令 x a sect ．
第三节分部积分法
当被积函数是两类基本初等函数的乘积的形式时，这种类型的积分用换元法一般不能求出．例
如： xcos xd x 和 xex d x 等.为此，我们再探讨一种
新的积分法—分部积分法，它是与导数(微分)运算中乘积的导数(微分)公式相对应的积分方法．
换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，
这就是第二类换元积分法的思想 .
定理2 (第二类换元积分法) 若 x (t)单调可微且 (t) 0，如果
f (x) d x f (t)(t) d t (t) C [ (x)] C
即 f (x) d x [ (x)] C 其中，t (x) 是 x (t)
当被积函数为幂函数与指数函数或三角函数乘积时，选幂函数为 u(x) ；当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数乘积时，选幂函数为v(x) ；当被积函数为三角函数与指数函数乘积时，u(x) 可以任意选取．
❖ 例1 求 xcos xd x ．
❖ 分析因被积函数是幂函数与三角函数的乘积．把“cos x ”凑f [(x)](x) ．
因此 f (x)(x)d x f (u)du
．
❖ 注意：
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．

第四章不定积分

被积函数中存在复合关系先换元再说.
被积函数中含抽象函数 f ( x) 时，设法求 f ( x)的表达式.
对三角函数的积分，化为同角同名. 被积函数中含有导数的积分—分部积分
被积函数中出现 x与x,则 x( x)2
二、基本问题及解法
问题(一) 与原函数有关的命题
运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、不定积分与微分的关系。
例 3. 已f知 (x)g(x), 则(有 )
(A)(f(x)d)x(g(x)d)x; (B)f(x)dx g(t)d;t
x
x
(C)d(fx)d(gx); (D)a f(x)dx ag(x)dx
分析 :(A)的结论f说 (x)明 g(x),显然不, 成立
根据拉格朗日的中推值论定知理应为
f(x)g(x)c.
(2)不为零的常数因子可提到积分号外
k(fx)d xkf(x)dx
（3）和的积分等于积分的和
[f (x)g(x)]dx f (x)dxg(x) [f1(x) f2(x) fn(x)] f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx
5.基本积分公式表
(1) x k dx 1 x k 1 C (k 1)
而 f(x)dx与 g(t)dt表示两个不同变量
的函数 ,不相等 ;而(C),(D)均表示两个相同积分函数的积分,故相 (C)等(D)均成立 .
例4. f(x)dxx2c, 则 xf(1x2)dx______
分析： x(1 fx 2)d x 1f(1x 2)d (1x 2)
(8) f (cos x ) sin xdx f (cos x )d (cos x ); (9) f (tan x ) sec 2 xdx f (tan x )d (tan x ); (10 ) f (cot x ) csc 2 xdx f (cot x )d (cot x )

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. . 第4章不定积分内容概要名称主要内容

不定积分

不定积分的概念

设()fx， xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有 ()()Fxfx 或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。 ()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC

注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性质性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）

设()fu的原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：

(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC 第二类换元积分法

设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，

则 1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC 分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux

有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

课后习题全解

习题4-1 . . 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)2

xx

思路: 被积函数 5221xxx，由积分表中的公式（2）可解。

解：5322223dxxdxxCxx ★(2)31()xdxx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：11411133322213()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x ★(3)22xxdx（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（） ★(4)(3)xxdx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxCx

★★(5)4223311xxdxx



思路:观察到422223311311xxxxx后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积

分。 . . 解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx ★★(6)221xdxx



思路:注意到222221111111xxxxx，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan.11x

dxdxdxxxCxx



注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分

解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)xdxxxx34134（-+-）

思路:分项积分。

解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）2 223134ln||.423xxxxC

★(8)22

32()11dxxx





思路:分项积分。

解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx

★★(9)xxxdx 思路:xxx？看到11172488xxxxx，直接积分。

解：715888.15xxxdxxdxxC

★★(10)22

(1)dxxx

思路:裂项分项积分。 . . 解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx

★(11)211xxedxe



解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee ★★(12)3xxedx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然33xxxee（）。

解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（） ★★(13)2cotxdx

思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”。

解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC

★★(14)23523xxxdx

思路:被积函数 235222533xxxx（），积分没困难。

解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（）） ★★(15)2cos2xdx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：21cos11cossin.2222xxddxxxC ★★(16)11cos2dxx

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx . . ★(17)cos2cossinxdx

xx

思路:不难，关键知道“22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx”。

解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx ★(18)22

cos2cossinxdx

xx

思路:同上题方法，应用“22cos2cossinxxx”，分项积分。

解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx





22cscseccottan.xdxxdxxxC

★★(19)11()11xxdxxx



思路:注意到被积函数 2221111211111xxxxxxxxx，应用公式(5)即可。

解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx ★★(20)21cos1cos2xdxx



思路:注意到被积函数 22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx，则积分易得。

解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx ★2、设()arccosxfxdxxC，求()fx。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()dfxdxfxdx即可。解：等式两边对x求导数得：

2211(),()11xfxfxxxx

