教案4-不定积分new
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念与性质教学目标：1. 理解不定积分的概念；2. 掌握不定积分的性质；3. 学会计算基本的不定积分。
教学内容：1. 不定积分的定义；2. 不定积分的符号表示；3. 不定积分的性质；4. 基本不等式的积分；5. 基本三角函数的积分。
教学活动：1. 引入不定积分的概念，引导学生理解不定积分表示的是一个函数的积累效果；2. 讲解不定积分的符号表示，让学生熟悉积分符号；3. 通过示例演示不定积分的性质，如线性函数的积分是线性函数的常数倍，指数函数的积分是指数函数的倒数等；4. 引导学生掌握基本不等式的积分公式，如\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)；（n ≠-1）；5. 教授基本三角函数的积分公式，如\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \) 等；6. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习计算基本不等式的积分；2. 练习计算基本三角函数的积分；3. 完成课后习题。
第二章：换元积分法教学目标：1. 理解换元积分法的概念；2. 掌握换元积分法的步骤；3. 学会运用换元积分法计算不定积分。
教学内容：1. 换元积分法的定义；2. 换元积分法的步骤；3. 常用换元积分法；4. 换元积分法的应用。
教学活动：1. 引入换元积分法，让学生理解通过变量替换简化积分过程；2. 讲解换元积分法的步骤，如选择合适的换元变量，构造新的函数等；3. 介绍常用的换元积分法，如代数换元法、三角换元法等；4. 通过示例演示换元积分法的应用，如计算\( \int \sqrt{1+x^2} dx \) 等；5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习运用换元积分法计算不定积分；2. 完成课后习题。
第三章：分部积分法教学目标：1. 理解分部积分法的概念；2. 掌握分部积分法的步骤；3. 学会运用分部积分法计算不定积分。
高等数学教案-不定积分
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握换元积分法
教 学 基 本 内 容
1.定理：（第一换元积分法）设 有原函数 ，且 是可导函数，则 ，该公式称为第一换元公式．
2.几种常用的凑微分求解的积分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
3.若 是 在区间 上的一个原函数，即 = ，则 也是 在区间 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 是 在区间 上的一个原函数，那么 在区间 上的任意一个原函数可以表示为 ，其中 是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果 是 在区间 上的一个原函数，则 在区间 上带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的不定积分，记作 ，即 = ，其中， 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，任意常数 称为积分常数．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8求 ．
例9.建立递推公式 .
高等数学教案-不定积分
du
2
f
(
u )d(
u );
（5）
f
(1) u
1 u2
du
f
(1 )d( u
1 ); u
（6）
f
(ln u)
1 u
du
Байду номын сангаас
f
(ln u)d(ln
u);
（7） f (sin u) cos udu f (sin u)d(sin u);
（8） f (cos u) sin udu f (cos u)d(cos u); （9） f (tan u) sec2 udu f (tan u)d(tan u);
f (u)
二．第二换元积分法
1.定理：（第二换元积分法）设 x (t) 是单调的可导函数，且 (t) 0 ，又设 f [ (t)] (t) 的一个原
函数为 (t) ，则 f (x)dx = [ 1(x)] C ,该公式称为第二换元公式．
2.常用的第二换元积分法：
（1）含有根式 n ax b 时，令 n ax b t ；
新知识课
黑板多媒体结合
作业布置 课后习题
教 学 基本内容
一．分部积分法
1．定理：设 u u(x), v v(x) 在区间 I 上都有连续的导数，则有 u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx ，
简记为 uvdx uv uv dx ，或 udv uv v du ，称为分部积分公式．
数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 f (x) 在区间 I 上的任意一个原函数可以表示 为 F (x) C ，其中 C 是任意常数．
教案4-不定积分new
第四章 不定积分§4.1 不定积分概念微分学的基本问题是:已知一个函数，求它的导数。
但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数,求原来的函数，由此产生了积分学. “积分"是“微分”的逆运算。
一、 原函数1、 原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时,路程随时间t 变化的规律为()s s t =，那么，在任意时刻t 物体运动的速度为()()v t s t '=.现在提出相反的问题： 例1已知某物体运动的速度随时间t 变化的规律为()v v t =，要求该物体运动的路程随时间 变化的规律()s s t =。
显然，这个问题就是在关系式()()v t s t '=中，当()v t 为已知时， 要求()s t 的问题。
例2已知曲线()y f x =上任意点(,)x y 处的切线的斜率为2x ，要求此曲线方程，这个问题 就是要根据关系式2y x '=，求出曲线()y f x =。
从数学的角度来说,这类问题是在关系式()()F x f x '=中，当函数()f x 已知时，求出函数()F x 。
由此引出原函数的概念。
定义4.1 ： 设)(x f 是定义在某区间I 内的已知函数，如果存在一个函数)(x F ，对于每一点x I ∈，都有：()()F x f x '= 或 dx x f x dF ⋅=)()(则称函数)(x F 为已知函数)(x f 在区间I 内的一个原函数。
例如，由于(sin )cos x x '=，所以在(,)-∞+∞内,sin x 是cos x 的一个原函数；又因为(sin 2)cos x x '+=，所以在(,)-∞+∞内,sin 2x +是cos x 的一个原函数；更进一步，对任意常数C ，有(sin )cos x C x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin x C +都是cos x 的原函数.2、 原函数性质（1）如果函数)(x f 在区间I 内连续，则)(x f 在区间I 内一定有原函数； （2）若)()(x f x F ='，则对于任意常数C ,C x F +)(都是)(x f 的原函数.即如果()f x 在I 上有原函数,则它有无穷多个原函数；（3)若)(x F 和)(x G 都是)(x f 的原函数，则C x G x F =-)()(,（C 为任意常数).即任意两个原函数只相差一个常数。
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
不定积分教案范文
不定积分教案范文一、教学目标：1.熟练掌握不定积分的概念和性质。
2.能够运用基本积分公式求不定积分。
3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。
4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。
二、教学内容：1.不定积分的基本概念和性质。
2.基本积分公式及其运用。
3.换元法求不定积分。
4.分部积分法求不定积分。
5.有理函数积分法求不定积分。
6.不定积分的应用。
三、教学过程：1.不定积分的基本概念和性质：不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函数集合。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分具有以下性质：（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x)=f(x)；（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。
2.基本积分公式及其运用：（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。
（4）三角函数积分：a. ∫sinxdx=-cosx+C；b. ∫cosxdx=sinx+C。
（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
高等数学第四章不定积分教案
第四章 不定积分知识结构图： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧分部积分法第二换元积分法第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质几何意义定义不定积分原函数教学目的要求：1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。
2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。
3．了解不定积分在经济问题中的应用。
教学重点：1．原函数与不定积分的概念2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点：1．不定积分的几何意义2．凑微分法、分部积分法求不定积分第一节 不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。
直接积分法求函数的不定积分。
【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。
【教学重点】1．；；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。
【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。
【教学时数】2学时 【教学进程】一、原函数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。
②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。
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第四章 不定积分§4.1 不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。
但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。
“积分”是“微分”的逆运算。
一、 原函数1、原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t 变化的规律为()s s t =，那么，在任意时刻t 物体运动的速度为()()v t s t '=。
现在提出相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间t 变化的规律为()v v t =，要求该物体运动的路程随时间变化的规律()s s t =。
显然，这个问题就是在关系式()()v t s t '=中，当()v t 为已知时， 要求()s t 的问题。
例2 已知曲线()y f x =上任意点(,)x y 处的切线的斜率为2x ，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式2y x '=，求出曲线()y f x =。
从数学的角度来说，这类问题是在关系式()()F x f x '=中，当函数()f x 已知时，求出函数()F x 。
由此引出原函数的概念。
定义4.1 : 设)(x f 是定义在某区间I 内的已知函数，如果存在一个函数)(x F ，对于每一点x I ∈，都有：()()F x f x '= 或 dx x f x dF ⋅=)()(则称函数)(x F 为已知函数)(x f 在区间I 内的一个原函数。
例如，由于(sin )cos x x '=，所以在(,)-∞+∞内，sin x 是cos x 的一个原函数；又因为(sin 2)cos x x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin 2x +是cos x 的一个原函数；更进一步，对任意常数C ，有(sin )cos x C x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin x C +都是cos x 的原函数。
2、 原函数性质（1）如果函数)(x f 在区间I 内连续，则)(x f 在区间I 内一定有原函数； （2）若)()(x f x F ='，则对于任意常数C ，C x F +)(都是)(x f 的原函数。
即如果()f x 在I 上有原函数，则它有无穷多个原函数；（3）若)(x F 和)(x G 都是)(x f 的原函数，则C x G x F =-)()(，（C 为任意常数）。
即任意两个原函数只相差一个常数。
二、 不定积分1、不定积分定义定义4.2 : 若)(x F 是)(x f 在区间I 内的一个原函数，则称()F x C +(C 为任意常数)为)(x f 在区间I 内的不定积分，记为()d f x x ⎰，即()d ()f x x F x C =+⎰。
其中：⎰——为积分号，)(x f ——被积函数， ()d f x x ——被积表达式， x ——积分变量，C ——积分常数。
由不定积分的定义可知，计算一个函数的不定积分时，就归结为“求出被积函数的一个原函数再加上任意的常数”即可。
例1 计算下列不定积分。
（1）2d x x ⎰；（2）sin d x x ⎰；（3）e d xx ⎰。
解 （1）因为x x '=2()2，所以x 2是x 2的一个原函数，由不定积分的定义知：x x x C =+⎰22d 。
（2）因为(cos )sin x x '-=，所以cos x -是sin x 的一个原函数，由不定积分的定义知sin cos x x x C =-+⎰d 。
（3）因为(e )e xx'=，所以e x 是e x的一个原函数，由不定积分的定义知x xx C =+⎰e d e。
例2 求dx x ⎰1。
解：① 当0>x 时， ∵()x x 1ln ='，即x ln 是x1的一个原函数 ∴C x dx x +=⎰ln 1②当0<x 时， ∵[]xx x 11)ln(=--=-， ∴C x dx x +-=⎰)ln(1两式合并，当0≠x 时，有： C x dx x+=⎰ln 1。
由上述例题可以看出，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，这个“全体”就体现在任意常数C 上,因此,求不定积分时,积分常数C 不能丢。
由于“积分”和“微分”互为逆运算，故检验一个积分结果是否正确，只须对积分结果求导，看他是否等于被积函数。
2、 不定积分性质由不定积分的定义，有：性质⑴ ：先积分后微分，两种互逆运算相抵消。
[])()(x f dx x f ='⎰ ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰或； 性质⑵ ： 先微分后积分，两种互逆运算抵消后，相差常数C 。
()()F x dx F x C '=+⎰ 或 ()()dF x F x C =+⎰。
此处绘图图4-1由此可见，微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
例3 利用性质求下列不定积分。
（1）[]'⎰xdx sin ； （2）()⎰'dx x sin 。
解 （1）利用“先积后微，结果等于被积函数”得：[]x xdx sin sin ='⎰（2）利用“先微后积，结果等于被积函数+C ”得：()c x dx x +='⎰sin sin3、 不定积分几何意义不定积分的图形是由C x F +)(所表示的 无穷多条积分曲线所组成的“积分曲线簇”。
（如图5-1所示）每一条积分曲线对应于同一横坐标0x x =处的切线互相平行。
不定积分几何意义：不定积分C x F +)(表示)(x f 的一簇积分曲线，而)(x f 正是积分曲线的切线的斜率。
例4 求过点()3,1，且其切线的斜率为x 2的曲线方程。
解：由xdx x C =+⎰22得： c x y +=2的曲线簇将3,1==y x 代入得： 2=c∴ 22+=x y 为过点()3,1且其切线的斜率为x 2的曲线方程。
由图5-2可以看出： c x y +=2表示无穷多条抛物线，这些抛物线就构成一条关于x 2的积分曲线簇。
簇中每一条曲线对应于同一横坐标1=x 处有相同的斜率22)1(1=='=x xf 。
故对应1=x 处，这簇曲线的切线互相平行，任两条曲线的纵坐标之间相差一个常数C 。
故确定一条曲线22+=x y ，其它各曲线便可由22+=x y 沿y 轴方向上、下移动而得到。
§4.2 基本积分公式一、 基本积分公式（背！）由不定积分的定义，从导数公式可得到相应的积分公式。
为了计算方便，下面列出基本积分公式：这些基本积分公式是求不定积分时常用的公式，同学们必须熟练地掌握！二、 不定积分运算法则法则⑴ ： 函数代数和的积分等于函数积分的代数和。
[()()]f x g x x ±=⎰d ()()f x x g x x ±⎰⎰d d ；推广：[]⎰⎰⎰⎰±±=±±dx x v dx x g dx x f dx x v x g x f )()()()()()(法则⑵ ： 被积函数中的常数因子可以移到积分号的外面。
（1）⎰=C dx 0； （2）⎰+=C x dx ； （3）)1(,11-≠++=⎰+n C n x dx x n n； （4）1d ln x x C x =+⎰；（5）d ln xxaa x C a=+⎰； （6）e d e x x x C =+⎰； （7）sin d cos x x x C =-+⎰； （8）cos d sin x x x C =+⎰；（9）2sec d tan x x x C =+⎰；（10）2csc d cot x x x C =-+⎰；（11）sec tan d sec x x x x C =+⎰； （12）csc cot d csc x x x x C =-+⎰；（13）21d arcsin 1x x C x=+-⎰C arccos +-=x ；（14）21d arctan 1x x C x =++⎰C cot +-=x arc 。
()kf x x =⎰d ()k f x x ⎰d （0≠k ）。
现在利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些函数的不定积分。
例1 计算下列不定积分：（1）2d xx x ⎰；（2）22(1)d x x x -⎰； （3）d x x x ⎰；（4）3e d x x x ⎰。
解 （1）572222d d 7xx x x x x C ==+⎰⎰；（2）22222(1)1212d d +1d x x x x x x x x x x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰21d 2d d x x x x x -=-+⎰⎰⎰ 2112ln ||1(2)x x x C -+=-+++-12ln ||x x C x=--++；（3）337144414d d 3714x x x x xxC x C +==+=++⎰⎰。
（4）(3e)3e 3e (3e)ln(3e)1ln 3x x xxxxdx dx C C ==+=++⎰⎰。
注意： 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。
三、 直接积分法所谓直接积分法，就是利用不定积分的基本积分公式和法则，来求一些简单函数的不定积分。
例2 计算下列不定积分。
（1）()xdx x ⎰-2；（2）xdx ⎰2tan ；（3）dx x x ⎰⋅22cos sin 1；（4）221d (1)x x x +⎰。
解：（1）()dx x xdx dx xxdx xdx x ⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-2323222C x x C x x +-=++-⋅=+25223123252122；（2）C x x dx xdx dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰⎰tan sec )1(sec tan 222；（3）dx x dx x dx x x x x dx xx ⎰⎰⎰⎰+=+=⋅22222222sin 1cos 1cos sin cos sin cos sin 1 C x x +-=cot tan ；（4）221d (1)x x x +⎰22221111d d d 11x x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰1arctan x C x =--+。
注意： 当被积函数不能直接用公式时，需先进行一些恒等变形或拆分，将其化为积分基本公式的形式，再求积分即可。
例3 计算下列不定积分： （1）dx x x⎰2sin 2cos ；（2）2cosd 2x x ⎰； （3）dx x2sin 2⎰； 解 （1）2222cos 212sin d d (csc 2)d sin sin x x x x x x x x-==-⎰⎰⎰cot 2x x C =--+； （利用三角恒等变形：x x x x x 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=）（2）21cos 11cosd d d cos d 2222x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰sin 22x x C =++。