四不定积分

第四章 不定积分讲授内容：§4-1不定积分地概念与性质教学目地与要求：1、 理解不定积分地概念,理解不定积分与微分之间地关系.2、 掌握不定积分地性质,会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分.3、 熟练掌握常用积分公式.教学重难点：重点——理解地概念与性质;熟练掌握常用积分公式. 难点——不定积分地公式熟练掌握. 教学方法：讲授法 教学建议：1、 加深对原函数、不定积分地理解.2、 对15个积分公式要进行大量练习.3、 求不定积分一定注意不能漏C . 学时：2学时 教学过程：第二章我们研究了如何求一个函数地导函数问题,本章将讨论它地反问题,即要寻求一个可导函数,使它地导函数等于已知函数.这是积分学地基本问题之一. 一 原函数与不定积分地概念1. 定义： 如果在区间I 上,∃函数F (x )和f (x ),使得：称F (x )为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上地原函数. 如：(sin )cos x x '=,则cos x 是sin x 地一个原函数.1(l n)x x '=,1x 是ln x 地一个原函数,问ln 2x 是否是1x地原函数.2. 定理（原函数地存在定理）：连续函数必有原函数.即:如果f (x )在I 上连续,则在I 上必有F (x ),使得:F ′(x )=f (x ).∀x ∈I .注：①初等函数在定义区间上必有原函数,但原函数并非都是初等函数. ②函数在区间上连续只是在区间上有原函数地充分条件,不连续地函数也可能有原函数.3. 两个原函数地关系如果F (x )为f (x )在区间I 上地一个原函数,则F (x )+C 为f (x )地原函数.因为 [F (x )+C ]′=f (x ),如果F (x )和G (x )为f (x )地两个原函数,则有F (x )=G (x )+C .因为 [F (x )-G (x )]′=0 ⇒ F (x )=G (x )+C .4. 定义：在区间I 上,函数f (x )地带有任意常数项地原函数称为f (x ) (或f (x )dx )在I 上地不定积分,记为：⎰x x f d )(.即其中∫为积分符号,f (x )为被积函数,f (x )dx 为被积表达式,x 为积分变量. 注：①不定积分∫f (x )dx 可以表示f (x )地任意一个原函数. ②C 不能去掉5. 函数f (x )地原函数F (x )地图形称为f (x )地积分曲线.6. 微分与积分地关系:1)[])(d )(x f x x f ='⎰或 x x f x x f d )(]d )([d =⎰.2)C x F x x F +='⎰)(d )(或 d ()()F x F x C =+⎰.例1． 求2x dx ⎰解：C x dx x x x +=⇒='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰333223例2． 求dx x ⎰1解：当x >0时,由于[ln(x )]′=1/x ⇒∫(1/x )dx =ln x +C . 当x <0时,由于[ln(-x )]′=1/x ⇒ ∫(1/x )dx =ln(-x )+C .因此 ∫f (x )dx =ln|x |+C (x ≠0)例3． 设曲线通过点(1,2),且其上任意一点处地切线地斜率等于这点横坐标地两倍,求此曲线方程.解：设所求曲线方程为y =y (x ),由题义有：y ′(x )=2x , y (1)=2. y ′(x )=2x ⇒ y =x 2+C .代y (1)=2 得C =1. 所以y =x 2+1二、 基本积分表见书本P 186注：①11d 1x x x C μμμ+=++⎰其中1μ≠- ②1d ln x x C x =+⎰例4． 求下列积分：1) ∫x -3dx解： ∫x -3dx=1313+-+-x +C =-221x +C2) ∫x 2x dx解：∫x2x dx=∫25x dx =125125++x +C =2772x +C注：用分式或根式表示地幂函数应化为μx 地形式,然后用公式三、 不定积分地性质性质1. []⎰⎰⎰+=+dx x g x x f x x g x f )(d )(d )()( 性质2.⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k ≠0,k 为常数)注：性质说明不定积分具有线性性（可以推广到所有地积分）例5． 求下列不定积分1）∫x (x 2-5)dx =∫(21255x x -)dx=732221073x x -+c;2）∫(a x-3cos x )dx =∫a xdx -3∫cos xdx =aa xln -3sin x+c .3) ∫2x e xdx=∫(2e )xdx=)2ln()2(e e x+c=2ln 1)2(+x e +c4) ∫tan 2xdx=∫(sec 2x -1)dx=tan x -x+c5) ∫22)1(x x -dx=∫(2121x x +-)dx=x-2ln|x |-x 1+c6) ∫)1(122x x x x +++dx=∫ (x 1+211x +)dx=ln |x|+arctan x+c 7) ∫241x x +dx=∫24111x x ++-dx=∫22211)1)(1(x x x ++-+dx=∫(x 2-1+211x +)dx=33x -x+arctan x+c 8)∫2sin 2x dx=∫21(1-cos x )dx=21(x-sin x )+c 9)∫2cos 2sin 122x x dx=∫2)2sin (1x dx=24csc d x x ⎰=-4cot x+c例6． 设f ′(ln x )=x +1,求f (x ); 解：设t =ln x ,则 f ′(t )=e t +1,从而f (t )=∫(e t +1)dt=e t +t +C ⇒ f (x )=e x +x+c例7． 设⎰x x f xd )(= arctan x +C ,求⎰x x f d )( 解：将d arctan ()x x x C f x =+⎰两边求导,可得211)(xx f x +=, 所以)1()(2x x x f +=,从而C x x dx x f ++=⎰42)(42. 故有()d ()f x x F x C=+⎰ 作业： 高等数学练习册（C 类）习题十九 教学后记：参考书： 《高等数学》同济五版《高等数学》（全真课堂）北大数学科学学院编 《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题：证明,xxe shx e chx 都是地xe chx shx-原函数 .讲授内容: §4-2换元积分法（1）教学目地与要求：1、理解第一换元积分法.2、熟练掌握各种形式地“凑微分”.教学方法：讲授法 重难点：重点—— 各种形式地“凑微分”地方法.难点——灵活地使用“凑微分”法.. 教学建议：常用地凑微分地公式和方法要求学生牢记. 学时：2学时 教学过程：将复合函数地微分法用于求不定积分,利用中间变量地代换,得到求复合函数地不定积分地方法,称为换元积分法 一、第一类换元法定理1：设函数f (u )具有原函数F (u ),u =φ(x )可导,则有换元公式：∫f [φ(x )]φ′(x )dx =∫f (u )du =F (u )+C =F [φ(x )]+C证明：由复合函数地微分法有{F [φ(x )]+C }′= F ′[φ(x )]φ′(x )= f [φ(x )]φ′(x )注：关键是找u =φ(x )例1. 求下列积分:1) ∫2cos2xdx =∫cos2xd (2x )= sin2x +C .[u =2x ]2)∫x 231+dx =21∫x x d 23)23(++=21ln|3+2x |+C .[u =3+2x ]3)cx x d dx xx +--=--=-⎰-⎰-31.32)31(31311)31(21[u =1-3x ]注：1. 形如f (ax +b ),总可作u =ax +b ,把它化为f (u )2. 不要忘记变量还原,熟练后中间变量可不用设出4) ∫2x 2x e dx =∫2x e d (x 2)=2x e +C .[u =2x ]5) ∫x 21x -dx =-21∫21x -d (1-x 2) =-31(1-x 2)3/2+C . [u =1-x 2] 注：11()d ()()n n n n nf ax b x x f ax b d ax b a -+=++⎰⎰1,0≥≠n a6) ∫tan xdx =∫x x cos sin dx =-∫xx d cos )(cos =-ln|cos x |+C [u =cos x ]7) ∫221x a +dx =∫])(1[)(2ax a a xd +=a 1arctan a x +C[u =ax ] 8)∫221x a -dx=a 21∫(x a -1+a x +1)dx=a 21[∫x a -1dx +∫ax +1dx ] =a 21[∫a x +1d (x+a )-∫x a -1d (a-x )]=||ln 21ax ax a -++C (a >0) 注：对21d x ax bx c ++⎰若240b ac ∆=-≥,则用法8） 若240b ac ∆=-<,则用法7）如：①221d d 232(1)x x C x x x ==++++⎰⎰ ②2d d 1d d 11ln 23(1)(3)41343x x x x x C x x x x x x x -⎡⎤==-=+⎢⎥+--+-++⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 9) ∫cha x dx =a ∫ch a x d a x = a sh ax+C [u =ax]10) ∫22xa dx -=∫2)(1)(axa x d -=arcsin a x +C 11) ∫)ln 21(x x dx+=∫x x d ln 21ln +=21∫xx d ln 21)ln 21(++=21ln|1+2ln x |+C12) ∫xe x3dx =2∫x d e x 3=32∫x d e x 33=32x e 3+C 13) ∫1012)1(-x x dx =∫1012)1(11-+-x x dx=∫(101)1()1)(1(-+-x x x +101)1(1-x )dx =∫(100)1(21-+-x x +101)1(1-x )dx=∫(99)1(1-x +100)1(2-x +101)1(1-x )dx =-(98)1(981-x +99)1(992-x +100)1(1001-x )+c另一解法：另1t x =-,则原式298100101101(1)d (2)d t t t tt t t---+==++⎰⎰ 14)∫sin 3xdx =-∫(1-cos 2x )d cos x =-cos x +31cos 3x +C 15)∫sin 2x cos 5xdx =∫sin 2x (1-sin 2x )2d sin x=∫[sin 2x -2sin 4x +sin x 6]d sin x=31sin 3x -52sin 5x +71sin 7x +C 16)∫cos 2xdx =∫[(1+cos2x )/2]dx =x /2+sin2x /4+C 17)∫cos 4xdx =∫(22cos 1x +)2dx =41∫(1+2cos2x +cos 22x )dx=41∫(1+2cos2x + 24cos 1x +)dx=41∫(23+2cos2x + 24cos x )dx =83x +41sin2x +321sin4x +C 18)∫csc xdx =∫xdxsin =∫2cos2sin 2xx dx=∫2cos 2tan 22x x x d=∫2tan 2tanx xd =ln|2tan x |+C =ln|csc x -cot x |+C 注：2tanx =xxsin 2sin 22=x x sin cos 1-=csc x -cot x19) ∫sec xdx =∫xdxcos =∫)2sin()2(ππ++x x d =ln|csc(2π+x )-cot(2π+x )|+C=ln|sec x +tan x |+C20) ∫sec 6x d x =∫(1+tan 2x )2dtan x=∫[1+2tan 2x+tan 4x ]dtan x= tan x +32tan 3x +51tan 5x +C 21) ∫tan 5x sec 3xdx = ∫tan 4x sec 2xd sec x =∫(sec 2x -1)2sec 2xd sec x=71sec 7x -52sec 5x +31sec 3x +C 注：被积函数中含三角函数2secx ,经常将它化为正切22) c x x x d x x xdx x dx +=+=+=+⎰⎰⎰)tan 2arctan(22tan 21tan tan sec sec sin 12222223) ∫cos3x cos2xdx =21∫(cos x +cos5x )dx =21sin x +101sin5x +C . 24）11d d d d 111x x xx x xe e e x x x x e e e +-==-+++⎰⎰⎰⎰ 1d(1)ln(1)1x xxx e x e C e =-+=-+++⎰ 25）665666114111d d d d (4)4(4)444x x x x x x x x x x x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ 611ln ln 4424x x C =-++ 26)3222211))22x x x =+=+312222211)(1)(1)23x x x c =+=+-++⎰ 注：1) 将代数式进行恒等变形、分子分母同乘一个式子、利用确定数中恒等关系、三角公式都是凑微分地常用方法.2) 常用地公式：a d x =d(ax +b ) n n dx dx nx=-1(1+ln x )d x =d(x ln x ) x x x tan d d sec 2=)(arcsin d d 122a xx x a =-作业：高等数学练习册（C 类）习题二十（1、2 （1）-（14）） 教学后记：参考书： 《高等数学》同济五版；《高等数学》（全真课堂）北大数学科学学院编；《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题：计算：⎰++dx xx x 2211tan讲授内容： §4-2换元积分法（2）教学目地与要求：1、 理解第二类换元积分法地原理.2、 熟练掌握第二类换元积分法中地几种常用地换元方法及第二类换元积分法所适用地类型.教学方法：讲授法重难点：重点——第二类换元积分法中地几种常用地换元法. 难点——如何熟练应用第二类换元法. 教学建议：熟悉常用变量代换. 学时：2学时 教学过程：定理：设x =ψ(t )单调可导,且ψ′(t )≠0. 又设f [ψ(t )]ψ′(t )有原函数F (t ),则有：∫f (x )dx =∫f [ψ(t )]ψ′(t )dt =F (t )+C =F [ψ--1(x )]+C .证明：由复合函数和反函数地求导法则有：{ F [ψ-1(x )]+C }′= F ′(t )•t x =f [ψ(t )]ψ′(t )•[1/ψ′(t )]=f [ψ(t )]=f (x ).1．三角代换例1 求下列积分：1）∫22x a -dx t a x sin =a 2∫cos 2tdt =22a t +22a sin t cos t +C=22a arcsin a x +21x 22x a -+C(a >0)2）∫22xa dx +t a x tan =∫sec tdt =ln|sec t +tan t |+C=ln(x +22a x +)+C (a >0)3）∫22ax dx -当x >a 时,设x =a sec t , (0<t <π/2) 则∫sec tdt = ln|sec t +tan t |+C = ln(x +22a x -)+C ；当x <-a 时,令x =-u ,那么u >a ,则u +22a u -)+C= - ln(-x -22a x -)+C所以∀x ≠a , 有∫22a x dx -= ln|x +22a x -|+C4）tx sin =cos sin cos tt t +⎰dt=21cos sin cos sin [ + ]dt sin cos sin cos t t t t t t t t-+++⎰ =21[t +ln|sin t +cos t | ]+C =21[arcsin x +ln|x +21x -|]+C . 5)tan x t =22sin arctan(sin )1sin d tt c t===++⎰c=+注：f x⎰一般令sinx a t=f x⎰一般令tanx a t=f x⎰一般令secx a t=2．倒数代换例2 求下列积分：1）44221/d(1)1dx tx t tx x t=-++⎰⎰=221(1)d1t tt⎡⎤--+⎢⎥+⎣⎦⎰=-t3/3+t-arctan t+C=-231x+x1-arctanx1+C.2）211)arcsindt ct x=-=-+0x<结果一样3）∫4211xx++dx=21∫42221)1()1(xxxx++--+dx=21∫42211xxx+++dx-21∫42211xxx++-dx=21∫1111222+++xxx dx-21∫1111222++-xxx dx=21∫3)1()1(2+--xxxxd-21∫1)1()1(2-++xxxxd=321arctan31x x --41ln 1111++-+xx x x +C4）∫4211xx x ++dx =∫41xx +dx +∫411xx +dx=21∫222)(1x dx ++∫43111x x +dx=21ln(x 2+41x +)-21∫222)1(1)1(xx d +=21ln(x 2+41x +)-21ln(21x+4111x +)+C3．万能代换例3 求积分⎰+x dx cos 3解：设2tanx t = ⎰+x dx cos 3=c xdtt+=+⎰)2tan 21arctan(21224．整体代换例4 求积分⎰+exdx1解：设1,ln(1)xe t x t +==- dt t dx 11-=1x dx e +⎰=11()ln (1)11xx dt e dt c t t t t e =-=+--+⎰⎰5．根式代换例5 求下列积分⎰+xdx 21解：设x t 2=⎰+xdx 21c x x c t t dt tt++-=++-=+=⎰)21ln(2)1ln(1 注：关于第二类换元法非常灵活,除上面几种常用代换外,经常二类换元同时应用作业：高等数学练习册（C 类）习题二十（2 （15）-（28）） 教学后记：参考书： 《高等数学》同济五版《高等数学》（全真课堂）北大数学科学学院编 《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题：计算：3讲授内容：§4-3分部积分法教学目地与要求：1、 熟练掌握分部积分法公式.2、 会灵活应用分部积分法求一些函数地积分. 教学方法：讲授法重难点：重点——恰当选取u 和v . 难点——恰当选取u 和v . 教学建议：1、 选取原则 （1）v 易求；（2）⎰vdu 要比⎰udv 简单.2、 用分部积分法有时会出现复原地情况 学时：2学时 教学过程： 一、 分部积分法设u (x )和v (x )具有连续导数,则(uv )′=u ′v +uv ′, 于是有分部积分法公式：∫udv =uv -∫vdu .二、 分部积分法常见地几种用法1．降幂（降低被积函数中幂函数地次幂） 例1求下列积分：1) ∫x cos xdx =∫xd sin x =x sin x -∫sin xdx =x sin x +cos x +C ;2) ∫x 2e x dx =∫x 2de x =x 2e x -2∫xe x dx =x 2e x -2xe x +2e x =e x (x 2-2x +2)+C注：当被积函数为幂函数、三角函数、指数函数时,一般将幂函数视为u ,将三角函数、指数函数凑微分.2．化难为易（降低被积函数中幂函数地次幂）利用分部积分法将被积函数中地难积函数,如对称函数、反三角函数消除掉.例2 求下列积分：1）∫x ln xdx =21∫ln xdx 2=21[x 2ln x -∫xdx ]=21x 2ln x -41x 2+C 2）arctan xdx = x arctan x -∫21x x +dx = x arctan x -21ln(1+x 2)+C 3）∫x arcsin xdx =∫arcsin xdx 2=x 2arcsin x -∫221xx -dx= x 2arcsin x +∫22111xx ---dx = x 2arcsin x +∫[21x --211x-]dx=(x 2-1)arcsin x +21arcsin x -21x 21x -+C =(x 2-21)arcsin x -21x 21x -+C 注：当被积函数为幂函数与反三角函数、对称函数乘积时,一般将反三角函数、对称函数视为u ,将幂函数凑微3．循环积分（用分部积分公式后,原来积分又重新出现） 例3 1）∫e x sin xdx =∫sin xde x =e x sin x -∫e x cos xdx = e x sin x -∫cos xde x= e x sin x -e x cos x -∫e x sin x =21e x(sin x -cos x )+C 2）sec 3xdx =∫sec xd tan x =sec x tan x -∫tan 2x sec xdx=sec x tan x -∫sec 3xdx +∫sec xdx =21(sec x tan x +ln|sec x +tan x |)+C 注：当被积函数为指数函数与三角函数乘积时,将其中之一视为u,用两次分部积分法会出现循环.4．递推例4 求积分sin d nx x ⎰（导出递推公式）解：1si nnn I x-==⎰⎰12cos sin cos (1)sin cos d n n x x x n x x x --=---⋅-⋅⎰122c o ss i n (1)s i n (1s i n)dn n x x n x x x --=-+-⋅-⎰12c o s s i n (1)(1)n n n x x n I n I --=---+- 12c o s s i n (1)n n n nI x x n I --=-⋅+-所以 1211cos sin n n n n I x x I n n---=-⋅+三、 两种积分法地同时运用 例5 求下列积分： 1）∫xedxt x = 2∫e t tdt =2e t (t -1)+C =2xe(x -1)+C2）∫x sin x cos xdx =21∫sin2xdx =-41∫xd (cos2x )=-41x cos2x +41∫cos2xdx =-41x cos2x +81∫d (sin2x )=-41x cos2x +81sin2x +C . 3）∫23ln x x dx =∫ln 3xd (-x 1)=－x x 3ln +3∫22ln x x dx =-xx 3ln +3∫ln 2xd (-x 1)=-x x 3ln -x x 2ln 3+6∫2ln x x dx =-x x 3ln -x x2ln 3+6∫ln xd (－x 1)=-x x 3ln -xx 2ln 3-x xln 6+6∫21x dx =－x 1(ln 3x +3ln 2x +6ln x +6)+C . 或∫23ln xxdx t x /1=∫ln 3tdt =t ln 3t -3∫ln 2tdt =t ln 3t -3t ln 2t +6∫ln tdt= t ln 3t -3t ln 2t +6t ln t -6t +C =t (ln 3t -3ln 2t +6ln t -6)+C=x 1( ln 3x 1-3ln 2x 1+6ln x 1-6)+C =-x1( ln 3x +3ln 2x +6ln x +6)+C 4）∫cosln xdx =x cosln x +∫x sinln x ·x1dx =x cosln x +x sinln x －∫x cosln x ·x1dx=x cosln x +x sinln x －∫cosln xdx =21x (sinln x +cosln x )+C 5）∫e x sin 2xdx =∫e x22cos 1x -dx =21e x －21∫e x cos2xdx (1)=21[e x －21∫e x d sin2x ]=2x e －41[e x sin2x －∫e x sin2xdx ] =2x e －4x e sin2x －81∫e x d (cos2x )=2x e －4x e sin2x －8xe cos2x +81∫e x cos2xdx (2)∫e xcos2xdx =58•4x e (sin2x +21cos2x )+C 1,原式=2xe －5xe (sin2x +21cos2x )+C =e x (21－101cos2x －51sin2x )+C . 6） x 2cos 22x dx =∫x 22cos 1x +=21∫(x 2+x 2cos x )dx =21[31x 3+∫x 2d sin x ] =61x 3+21x 2sin x －21∫2x sin xdx =63x +22x sin x +∫xd (cos x ) = 63x +22x sin x +x cos x －sin x +C .例6 求I n =∫na x dx)(22+,其中n 为正整数. 解：当n >1时,有:I n -1=∫122)(-+n a x dx =122)(-+n a x x +2(n -1) ∫na x x )(222+dx =122)(-+n a x x +2(n -1) ∫[122)(1-+n a x -n a x a )(222+]dx =122)(-+n a x x+2(n -1)(I n -1-a 2I n ).于是I n =)1(212-n a [122)(-+n a x x+(2n -3)I n -1].其中I 1=a 1arctan ax +C . 作业：高等数学练习册（C 类）习题二十一 教学后记：参考书： 《高等数学》同济五版《高等数学》（全真课堂）北大数学科学学院编 《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题：计算：⎰dx x )cos(ln讲授内容：§4-4 有理函数地不定积分教学目地与要求：熟练掌握几种特殊类型函数公式.重难点：重点——有理函数地积分; 三角函数有理式地积分. 难点——无理函数地积分. 教学方法：讲授法 教学建议：1、 有理函数必可积,但不一定是最简单.2、 三角函数有理式地积分和简单无理函数地积分通常是运用变量代换 学时： 2学时 教学过程：一、 有理函数地积分称)()(x Q x P =mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 为有理函数.…………(1) 其中m 和n 为非负整数；a 0, a 1,…,a n , b 0, b 1,…,b m , 为实数a 0≠0, b 0≠0 .以下总假设P (x )和Q (x )没有公因子.当n <m 时,称(1)为真分式,当n ≥m 时,称(1)为假分式.对假分式总可以利用多项式地除法将其变为一个多项式与一个真分式地和.真分式划为部分分式地和:设(1)为一个真分式,且Q (x )在实数范围内可分解为一次因式和二次因式地乘积：Q (x )=b 0(x -a )α…(x -b )β(x 2+px +q )λ…(x 2+rx +s )μ. 其中p 2-4q <0,…,r 2-4s <0. 则)()(x Q x P =)(1a x A -+12)(--a x A +…+a x A -α+β)(1b x B -+12)(--βb x B +…+b x B -β+λ)(211q px x N x M ++++1222)(-+++λq px x N x M +…+qpx x N x M +++2λλ +μ)(211s rx x S x R ++++1222)(-+++μs rx x S x R +…+s rx x S x R +++2μμ其中A 1,…A α, B 1,…B β, M 1,…M λ, N 1,…N λ, R 1,…R μ, S 1,…S μ为待定常数. 有理分式函数地积分只有三种形式：多项式函数, 分式函数n a x A)(- 和 nq px x N Mx )(2+++ 但前两个函数地积分较简单,主要是第三个积分.对∫nq px x NMx )(2+++dx ,可以用配方法：x 2+px +q =(x +2p )2+q -22p ,设t =x +2p , a 2=q -22p , b =N -2Mp 则有∫n q px x N Mx )(2+++dx =∫n a t Mtdt )(22++∫na t bdt)(22+例1. 将真分式6532+-+x x x 分解为部分分式.解：设6532+-+x x x =)3)(2(3--+x x x =32-+-x B x A方法一：两边去分母:x +3=A (x -3)+B (x -2) (2)比较同次幂地系数有:A +B =1,-3A -2B =3,解得A =-5,B =6.方法二：在(2)中代特殊值:令x =2,得A =-5,令x =3,得B =6.例2. 将真分式)1()1(22x x x++分解为部分分式.解：设)1()1(22x x x ++=x A +1+2)1(x B ++21x D Cx ++去分母 得 x =A (1+x )(1+x 2)+B (1+x 2)+(Cx +D )(1+x )2………(3) 即 x =(A +B +D )+(A +C +2D )x +(A +B +2C +D )x 2+(A +C )x 3于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++=++=++02020C A D C B A D C A D B A 解得：A =0, B =-21,C =0, D =21.即有)1()1(22x x x ++=21[211x +-2)1(1x +]. 例3. 求下列积分:1) ∫6532+-+x x x dx =∫[36-x -25-x ]dx =6ln|x -3|-5ln|x -2|+C2) ∫)1()1(22x x x ++dx =21∫[211x +-2)1(1x +]dx =21 [arctan x +x +11]+C3) ∫3222++-x x x dx =21∫326222++-+x x x dx =21∫32)32(22++++x x x x d dx -3∫22)2()1()1(+++x x d =21ln(x 2+2x +3)-23 arctan 21+x +C4) ∫x x x x --+3458dx =∫[x 2+x +1+)1)(1(82+--+x x x x x ]dx=31x 3+21x 2+x +∫[14138+---x x x ]dx=31x 3+21x 2+x +8ln|x |-3ln|x -1|-4ln|x +1|+C . 5) ∫411x +dx =21∫422111x x x +-++dx =21[∫222111x x x ++dx -∫222111xx x +-dx ] =21[∫22)2()1()1(+--x x x x d -∫22)2()1()1(-++xx x x d ]=21[21x x -arctan 21x x --221ln 2121++-+xx x x ]+C=42arctan x x 212--82ln 121222+++-x x x x +C . 注：本题也可用1+x 4=(1+x 2)2-2x 2=(x 2-2x +1)(x 2+2x +1)此法比较困难.二、 三角函数有理式地积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成地函数. 即 R (sin x ,cos x ), 其中R (u ,v )为两个变量地有理式.设tan2x =u ,则dx =212u +du sin x =2sin2x cos 2x =2sin 22x tan 2x =22sec 2tan 2x x =212u u + cos x =cos 22x -sin 22x =2sec 2tan 122x x -=2211u u +- 例4. 求下列积分1) ∫)cos 1(sin sin 1x x x ++dx =∫)111(121212222u u u u u u+-++++212u +du=21∫(u +2+1/u )du =21[u 2/2+2u +ln|u |]+C =41tan 22x +tan 2x +21ln|tan 2x |+C 或 =∫)cos 1(sin )cos 1)(sin 1(2x x x x --+dx =∫x x x x x 3sin sin cos cos sin 1--+dx=∫csc 3xdx +∫csc 2xdx -∫x x 3sin cos dx -∫xx2sin cos dx =x 2sin 21+x sin 1-cot x -21csc x cot x +21ln|csc x -cot x |+C2) ∫5cos sin 2+-x x dx=∫62cos 22cos 2sin 42+-x x x dx=∫)12sec 32tan 2(2cos 222-+x x x dx=∫)22tan 22tan 3(2tan2++x x xd =31∫95)312(tan )312(tan 2+++x x d =51arctan 512tan3+x+C . 注：1、对三角函数有理式地积分可通过利用万能公式,并令tan2xu=可将原积分化为u 地有理式地积分. 2、此法较繁,尽量避免.三、 简单无理函数地积分求R (x ,n b ax +)和R (x ,ndcx bax ++)地积分.例5. 求下列积分1) ∫xx 1-dx t x =-12∫221t t +dt =2(t -arctan t )+C=2(1-x -arctan1-x )+C2) ∫xx dx ）（31+6t x =6∫221t t +=6 (t -arctan t )+C =6(6x -arctan 6x )+C3) ∫xxx +11dx x x t +=1-2∫122-t t dt =-2t -ln|11+-t t |+C=-2t +2ln(t +1)-ln|t 2-1|+C=-2x x +1+2ln(xx+1+1)+ln|x |+C .注：对d f x ⎰可令t =将无理式地积分化为t 地有理函数地积分.最后我们要指出：a) 前面我们介绍了求不定积分地常用方法,有了这些方法,我们必须通过大量地练习来熟练掌握,才能做到灵活应用.b) 对初等函数来说,在其定义区间上,它地原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数.如：2d x ex -⎰,sin d x xx ⎰,1d ln x x ⎰,x 等等就都不是初等函数.作业：高等数学练习册（C 类）习题二十二 参考书： 《高等数学》同济五版《高等数学》（全真课堂）北大数学科学学院编 《高等数学典型题精解》陈兰祥编教学后记：思考题：计算：⎰+3xx dx讲授内容：第四章 习题课教学目地与要求：1、 复习巩固本章各节地内容,以保证各节要求地完成.2、 通过一些例题,使学生进一步掌握两大积分法,并能灵活运用两大积分法求不定积分.教学方法：讲授与练习相结合 教学重难点：重点——§4-2 §4-3.难点——积分法地灵活运用.教学建议：在掌握基本积分法地同时,可让学生掌握一些不定积分中地常用技巧. 学时： 2学时 四、 回顾本章内容a) 基本积分公式b) 第一类换元积分法、第二类换元积分法 c) 分部积分法 教学过程：例1 已知()f x 为单值连续函数,()x ϕ为其反函数且()d ()f x x F x c =+⎰,求证：()d ()(())x x x x F x c ϕϕϕ=-+⎰. 证明：(()[()])(())([()])x x F x x x F x ϕϕϕϕ'''-=-()()[()]()()()[()]()()()()()x x x F x x x x x f x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'''=+-''=+-''=+-=故有 ()d ()(())x x x x F x c ϕϕϕ=-+⎰例2 设()y f x =与()x y ϕ=互为反函数,()0f x '>,求证：x y =⎰⎰思路：两边均为不定积分,故可通过两边求导来证明,但应注意等式右边.错解：两边求导后：左=右=正解：右边实际为一中间变量为y 地复合函数,两边应是同时对x 求导.证明：d ()d x x =d d d (d ))d )d d d yy y x y x=1()()()()()y y f x f x f x f x ϕ'''''==='故有x y =⎰.例3 证明：11sin cos d ln sin cos sin cos a x b xx Ax B a x b x c a x b x +=++++⎰,其中1122aa bb A a b +=+ 1122ab ba B a b-=+ 22(0)a b +≠ 注：若题目改为计算怎样做？证明：两边求导即可若求11sin cos d sin cos a x b x xa xb x ++⎰,可令1s i n d si n c osx x I a x b x =+⎰,2cos d sin cos xx I a x b x =+⎰12sin cos d d sin cos a x b xaI bI x x x a x b x ++===+⎰⎰…………①12sin cos d(sin cos )d sin cos sin cos b x a x a x b x bI aI x a x b x a x b x -++-+==++⎰⎰ln |sin cos |a x b x =+ …………②由①②可得：[]1221ln |sin cos |I ax b a x b x a b =-++[]2221ln |sin cos |I bx a a x b x a b =+++而111112sin cos d sin cos a x b xx a I b I a x b x +=++⎰11112222ln |sin cos |aa bb ab a bx a x b x c a b a b++=+++++ 例4 求1cos d sin xx x x ++⎰思路：观察被积函数分子与分母之间地关系,分子恰为分母地导数.解：1cos d(sin )d ln(sin )sin sin x x x x x x c x x x x ++==++++⎰⎰ 例5 求sin d 1cos x xx x ++⎰思路：被积函数中分母1cos x +一般用倍角公式变形.解：22sinsin sin 12d d sec d d 1cos 222cos cos22xx x x x x x x x x x x x x ++==++⎰⎰⎰⎰ d tantan d 22x x x x =+⎰⎰t a n t a n d t a n d 222x xxx x x =-+⎰⎰t a n 2x x c =+例6 求x思路：无理分式函数通过第二类换元法化无理函数地积分为有理函数地积分是常用地方法.解：2563266d d ()(1)t t x t t t t t t t t =++⎰令116()d 6ln ||11tt c t t t=-=+++⎰6l |c =+例7 求3sin 2cos sin d cos xx x x ex x-⎰思路：被积函数中出现指数函数与三角函数乘积时,一般须采用分部积分法.解：3sin sin sin 22cos sin sin d cos d d cos cos xx x x x x x ex xe x x e x xx -=-⎰⎰⎰sin sin sin sin sin sin sin 1d d()cos 11d cos d cos cos (sec )x x xx x x x x e e xxee x e e x x x xe x x c =-=--+=-+⎰⎰⎰⎰ 例8 求sin cos d sin cos x x x x x +⎰思路：被积函数中出现三角函数时,注意利用三角函数相互间地关系和一些恒等变形.解：2sin cos 1(sin cos )1d d sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x+-=++⎰⎰ 111(sin cos )d d 22sin cos x x x x x x=+-+⎰⎰11(cos sin )22x x x =-+-421(cos sin)csc()d21(cos sin)||2xx x x xx x cπ=-+-+=-+-+例9求2ln(dx x⎡⎤+⎣⎦⎰思路：当积分无从下手时尝试用分部积分法.解：222ln(d ln(d ln(x x x x x x⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰2ln((1x x x⎡⎤=-⎣⎦⎰2222ln(ln(2ln(ln(ln(2ln(ln(2x x xx x xx x x xx x x x c⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-+++⎣⎦⎡⎤=-+++⎣⎦⎰例10求3421x xx xe edxe e+-+⎰思路：当被积函数中出现指数函数但指数不相同时,尽量将指数化为一致.解：将被积函数分子分母同除2xe可得：34242211()1x x x x x xx x x x x xe e e e e edx dx dxe e e e e e----+++==-+-+-+⎰⎰⎰21d()()1arctan()x xx xx xe ee ee e c---=--+=-+⎰例11 已知10()xxf xe x≥⎧'=⎨<⎩,(0)0f=,求()f x解：0x ≥时1()d d f x x x x c '==+⎰⎰0x <时 2()d d x x f x x e x e c '==+⎰⎰而()d f x x '⎰为连续函数,则有1201cc +=+,即121c c =+令10()0xx x F x ex +≥⎧=⎨<⎩ 易证()()F x f x '= 则2()()d ()f x f x x F x c '==+⎰又(0)0f =,可求得：21c =-故 0()10xxx f x e x ≥⎧=⎨-<⎩作业：高等数学教材（C 类）： P241 2（5-10） P254 2（15-20）参考书： 《高等数学》同济五版《高等数学》（全真课堂）北大数学科学学院编 《高等数学典型题精解》陈兰祥编教学后记：思考题：计算：⎰--dx x x x2)ln (ln 1。