基本不等式(很全面)

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2≥+ （2）若R b a ∈,，则2

22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,R b a ∈，则

ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22??

? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2

)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2

211122b a b a ab b a +≤+≤≤+

6、柯西不等式

（1）若,,,a b c d R ∈，则22222

()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有

22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112

+

题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a

++>++222

题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥

题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---

题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118??????---≥

?????

题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

题型二：利用不等式求函数值域

题目1、求下列函数的值域

（1）22213x x y +

= （2）)4(x x y -=

（3）)0(1>+

=x x x y （4）)0(1<+=x x x y

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）

1、已知2>x ，求函数42442-+

-=x x y 的最小值；

变式1：已知2>x ，求函数4

242-+

=x x y 的最小值；

变式2：已知2

=x x y 的最大值；

变式3：已知2

-的最大值；

练习：1、已知54x >

，求函数14245y x x =-+-的最小值；

题目2、已知54x <

，求函数14245y x x =-+-的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）

题目1、当

时，求(82)y x x =-的最大值；

变式1：当

时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

30<

题目2、若02<

-()63的最大值；

变式：若40<

的最大值；

题目3、求函数)2

521(2512<<-+-=x x x y 的最大值；

变式：求函数)4

1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

题目1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b

=

+11的最小值；

变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b =

+11的最小值；

变式2：已知28,0,

1x y x y >+=，求xy 的最小值；

变式3：已知0,>y x ，且

119x y +=，求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且

194x y +=，求x y +的最小值；

变式5：

（1）若0,>y x 且12=+

y x ，求11x y +的最小值； （2）若+∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +的最小值；

变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求

n

m 41+的最小值；

变式7：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是（ ）

A.245

B.285

C ．5

D ．6

变式8：设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则

的最小值为 （ ）． A ．

14 B ．1 C ．4 D ．8

变式9：已知0a b >>，且2a b +=，则

213a b a b

++-的最小值为

变式10：已知01x <<，0a >，0b >，求22

1a b y x x

=+-的最小值.

变式11：求

183(0)2322x x x +<<-的最小值

变式12：已知(0,

)2πθ∈，求函数2214()sin cos f θθθ

=+的最小值 变式13：设正实数b a , 满足b

a a

b a 81,2+=+则

的最小值为 ．

变式14：【2013天津理】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,

1||2||a a b

+取得最小值.

变式15：设0,1a b >> 满足2a b +=，则

11a b a +-的最小值为 ．

变式16：已知,a b R +∈且21a b +=，则

2214a b

+的最小值是 .

题型六：分离换元法求最值（了解） 题目1、求函数)1(1

1072-≠+++=x x x x y 的值域；

变式：求函数)1(1

82>-+=x x x y 的值域；

题目2、求函数522++=

x x y 的最大值；

变式：求函数9

41++=

x x y 的最大值；

题型七：基本不等式的综合应用

题目1、已知1log log 22≥+b a ，求b a 93+的最小值

题目2、已知0,>b a ，求ab b

a 211++的最小值；

变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式)

(112b a a ab a -++

的最小值；

变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求n m 24+的最小值；

变式3：【2017天津】若,,0a b R ab ∈>，则4441a b ab

++的最小值为

题目3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；

变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；

变式2：已知0,>y x ，

3

12121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）

变式3：已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；

题目4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当

z xy 取得最大值时,z y x 212-+的最大值为（ ）

（ ） A ．0 B ．1 C ．

4

9 D ．3

变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xz

y 2

的最小值；

题型八：利用基本不等式求参数范围

题目1、已知0,>y x ，且9)1)(

(≥++y

a x y x 恒成立，求正实数a 的最小值；

2、已知0>>>z y x 且z x n

z y y x -≥-+-1

1

恒成立，如果+∈N n ，求n 的最大值；（参考：4）

变式：已知0,>b a 满则24

1

=+b a ，若c b a ≥+恒成立，求c 的取值范围；

题型九：利用柯西不等式求最值

1、二维柯西不等式

),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d b

c a R

d c b a ==∈若,,,a b c d R ∈，

则

22222()()()a b c d ac bd ++≥+

2、二维形式的柯西不等式的变式

bd ac d c b a +≥+?+2222)1(

),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d b

c a

R d c b a ==∈

bd ac d c b a +≥+?+2222)2( ),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d b

c a R

d c b a ==∈

),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d

b c a d c b a ==≥ 3、二维形式的柯西不等式的向量形式

≤

),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→

→→→==ββk a k

4、三维柯西不等式

若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

),,(3

32211时等号成立当且仅当b a b a b a R b a i i ==∈ 5、一般n 维柯西不等式

设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有:

22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+

),,(2211时等号成立当且仅当

n

n i i b a b a b a R b a ΛΛ==∈ 【题型归纳】 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值

题目1、设,,x y z R ∈，若222

4x y z ++=，则z y x 22+-的最小值为 时，=),,(z y x 析：]2)2(1)[()22(2222222+-+++≤+-z y x z y x 3694=?=

∴z y x 22+-最小值为6- 此时3

22)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=

x ，34=y ，3

4-=z 题目2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求222

x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。 Ans ：)3

4,32,34(),,(;4--==z y x m

题目3、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求2

22)1(z y x +-+之最小值为 ，此时=y （析：0)1(32332=+--?=+-z y x z y x ）

题目4、已知,,,236,a b c a b c ∈++=则22249a b c ++的最小值是 (12:Ans )

题目5、设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=求z y x ++的值；

题目6、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最大值与最小值。（Ans ：最大值为22，最小值为 -22）

析：令→a = (2sin θ，3cos θ，- cos θ)，→b = (1，sin φ，cos φ)