概率综合(讲义及答案)
n n n n n n n n n n n
n n n n n
概率综合（讲义）
? 知识点睛
一、二项式定理 1. 基本概念
（1） 二项式定理
(a + b )n = C 0 a n + C 1 a n -1b + + C k a n -k b k + + C n b n ．
（2） 通项
二项展开式中的C k a n -k b k 叫做二项展开式的通项，用T 表
n
示，即通项为展开式的第k +1 项：
k +1
T k +1 = C k a
n -k b k （ k = 0 ，1， ，n ）． （3） 二项式系数
在二项展开式中各项的系数C k （ k = 0 ，1， ，n ）叫做二项 展开式中各项的系数． 2. 性质
3. 各二项式系数的和
已知
(1+ x )n = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + + C k x k + + C n x n （ n ∈ N * ）． 令 x = 1，得C 0 + C 1 + C 2 + + C k + + C n = 2n （
n ∈ N * ）． 二、概率 古典概型：P (A )=
几何概型：P(A)= ．
1
3 x
x 2
?
? 精讲精练
1.
(2 -
1 )6
的展开式中的第四项是 ．
? 2. 在 - ? 2 2 ?6 ? ?
的二项展开式中， x 2
的系数为（ ） A ． - 15 4 B ．
15 4 C. - 3 8 D. 3 8
3. 计算下列各式的二项展开式中指定各项的系数：
（1） (x + 2)6 的展开式中 x 3 的系数是
；
（2） ? 1 ?
?5 x - 2 y ? ?
的展开式中 x 2 y 3 的系数是 ；
（3）
? x 2 - ?
2 ?5
x 3 ? 的展开式中的常数项是
．
4.
(x 2 + x + y )5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为（ ） A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
5. 计算下列各式的二项展开式中指定各项的系数：
（1） ?1+ x + 1 ?10 ? 的展开式中
x 2 项的系数是 ；
?
x 2015 ?
x
x x x （2）式子(| x | +
1
| x |
- 2)3 的展开式中的常数项是 ；
（3） (1+ 2 x )3 (1- 3 x )5 的展开式中 x 的系数是
；
（4） (1+ x + x 2
) ? x - ? 1 ?6
? ?
的展开式中的常数项是
．
6.
填空：
（1） 已知? - ?
a ?5 3
的展开式中含 x 2 的项的系数为 30， 则a = ?；
（2） 已知(1+ ax )(1+ x )5 的展开式中含 x 2 的项的系数为5 ，
则a = ?．
? a ??
1 ?5
7. 若 x + ?? 2x - ? ? ??
? 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开
式中常数项是（ ）
A ．-40
B ．-20
C ．20
D ．40
8.
已知(1+x )n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数之和为（ ）
A ． 212
B ． 211
C ． 210
D ． 29
x ? ? x
n n
n 9.
设 m 为正整数， (x + y )2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x + y )2m +1 的展开式中二项式系数的最大值为 b ，若13a =7b ，则 m 的值为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10. 若 n 为奇数，则7n + C 1 7n -1 + C 2 7n -2 + + C n -17 被 9 除得的余 数是（ ）
A ．0
B ．2
C ．7
D ．8
11. 设 a ∈Z ，且 0≤a <13，若 512012+a 能被 13 整除，则 a =（
）
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12
1
2. 某科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）．
1
3. 在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为
．
1
4. 从编号为 1，2，…，10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个， 则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为
．
1
5. 把一枚硬币向上连抛 10 次，则正、反两面交替出现的概率为
．
1
6. 将 20 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率为
．
17.将4 个编号的球放入3 个编号的盒中，对于每一个盒来说，
所放的球数k 满足0≤k≤4．在各种放法的可能性相等的条件下，求：
（1）第一个盒没有球的概率；
（2）第一个盒恰有1 个球的概率；
（3）第一个盒恰有2 个球的概率；
（4）第一个盒有1 个球，第二个盒恰有2 个球的概率．
18.一个口袋内有7 个白球和3 个黑球，分别求下列事件的的概
率：
（1）事件A：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；
（2）事件B：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；
（3）事件C：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；
（4）事件D：从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球．
【参考答案】
1． 160 x
2．C
3．（1）160；（2）-20；（3）40
4．C
5．（1）45；（2）-20；（3）2；（4）-5 6．（1）-6；（2）-1
7．D
8．D
9．B
10．C
11．D
12．119 190
13．4 5
14．
1 21
15．1 29
16．
9 19
17．（1）16
；（2）
32
；（3）
8
；（4）
4 81 81 27 27
18．（1）21
；（2）
21
；（3）
7
；（4）
7 50 100 15 30