两条直线垂直的充要条件及其应用
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2008 年第 3 期
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两条直线垂直的充要条件及其应用
徐万镒
( 宁夏回族自治区教育厅教研室 ,750001)
( 本讲适合高中) 平面几何中证明两条直线垂直的基础知 识很多 ,本文介绍两条直线垂直的一个充要 条件 ,即等差幂线定理 . 如图 1 ,若直线 PM ⊥AB 于 N ,则 2 2 2 A P - AN = PN , 2 2 2 AM - AN = MN . 以上两式相减得 2 2 A P - AM 2 2 = PN - MN . ① 图1 同理 , 2 2 2 2 B P - BM = PN - MN . ② 由式 ①、 ② 得 2 2 2 2 A P - AM = B P - BM . ③ 反之 ,若式 ③ 成立 ,设 ∠AN P = α. 则 ∠BN P =π - α. 2 2 故 A P - AM 2 2 = AN + PN - 2 AN ・ PN cos α+ 2 2 2 AN ・ MN cos α- AN - MN 2 2 = PN - MN - 2 AN ・ PN cos α + 2 AN ・ MN cos α, 2 2 B P - BM 2 2 π- α ) = PN + BN - 2 PN ・ BN cos ( 2 2 π- α ) MN - BN + 2 MN ・ BN cos ( 2 2 = PN - MN + 2 PN ・ BN cos α 2 MN ・ BN cos α. 由式 ③ 得 - 2 AN ・ PN cos α + 2 AN ・ MN cos α = 2 PN ・ BN cos α - 2 MN ・ BN cos α , 即 MN ( AN + BN ) cos α = PN ( AN + BN ) cos α. 从而 , ( PN - MN) cos α= 0 ,即 PMcos α= 0. 因此 ,cos α= 0.
2 = A E ( EH + HP) + EH・ PH・ PE , 2 2
图6
( 2001 ,全国高中数学联赛) 讲解 : ( 1) 因为 A 、 C、 D、 F 四点共圆 ,则 ∠BDF = ∠BAC . 1 又 ∠OBC = ( 180° - ∠BOC) 2
即 A E ・ PH + A P ・ EH 2 2 = AE ・ EH + A E ・ HP + EH・ PH・ PE . 2 2 从而 , A P = A E + PH・ PE. ① 在 △CFP 中 ,点 G 在 PF 上 ,同理 , 2 2 CP = CF + PG・ PF . ② 注意到 2 2 2 PH・ PE = PG・ PF , CF = CO - OF , 2 2 2 A E = AO - OE , OE = OF . ②- ① 得
Q 是 ⊙O2 上 BD ( 不包含点 C) 的中点 . 证明 :
2
PQ ⊥CD . ( 2006 ,波兰数学奥林匹克) 讲 解: 如 图 5 , 设 AD 、PC 交 于 点 E , BD 、 QC 交于点 F. 在 ⊙O1 中 , 由 PA = PD ,知 ∠PDE = ∠PAD = ∠PCD .
; 2 2 2- d ①+ ③ 得 OE = . 2 若取 QE = EF ,则 2 2 QF = d , OF = 1 - d .
将式 ⑥ 代入 2 2 2 2 2 2 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B1 C - CA1 = 0 , 得 MB - MA = BC1 - C1 A . 故 MC1 ⊥AB . 从而 ,点 M 在由点 C1 向 AB 所引的垂线 上 ,即过点 A 1 、 B1 、 C1 分别向 BC 、 CA 、 AB 所 引的三条垂线共点 . 例2 如图 3 ,在 △ABC 中 , AB = AC , D 是 BC 的中点 , DE ⊥AC , F 是 DE 的中 点 . 证明 : A F ⊥B E . 讲 解 : 设 AB = 图3 a , ∠ABC = α. 则 ∠ADF = ∠ADE = α. 于是 , AD = a sin α, BD = acos α, 2 A E = AD sin α = a sin α , 1 1 DF = FE = DE = DCsin α 2 2 1 = a sin α ・ cos α. 2 在 △BDF 中 ,有 2 2 2 ). B F = BD + DF - 2 BD・ DFcos (90° +α 2 2 故 B F - FE 1 2 2 ) = a cos α- 2 acos α ・ a sin α・ cos α( - sin α 2 2 2 2 ). = a cos α( 1 + sin α ① 2 2 又 AB - A E 2 2 4 2 4 ) = a - a sin α= a ( 1 - sin α 2 2 2 ) ( 1 + sin α ) = a (1 - sin α 2 2 2 ). = a cos α( 1 + sin α ② 由式 ①、 ② 得 2 2 2 2 AB - A E = B F - EF . 故 A F ⊥B E . 例3 已知 Q 是以 AB 为直径的圆上的 一点 , Q ≠A 、 B , Q 在 AB 上的投影为 H. 以
收稿日期 :2007 - 04 - 16 修回日期 :2007 - 11 - 13
又 0 < α<π ,所以 ,α=
π . 2
故 PM ⊥AB . 由此 ,可得如下两个定理 : 等差幂线轨迹定理 已知 A 、 B 两点 , 2 2 则满足 A P - B P = k ( k 为常数 ) 的点 P 的 轨迹是垂直于 AB 的一条直线 . 等差幂线定理 PM ⊥AB 的充要条件是 2 2 2 2 A P - AM = B P - BM . 下面 结 合 例 题 , 介 绍 等 差 幂 线 定 理 的 应用 . 例1 已知 △ABC ,由点 A 1 、 B1 、 C1 分别 向三边 BC 、 CA 、 AB 所引的垂线共点的充要 条件是 2 2 2 2 2 2 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B 1 C - CA1 = 0. 讲解 : 必要性 . 如图 2, 设自点 A1 、 B1 、 C1 分 别 向 边 BC 、 CA 、 AB 所引 的 垂 线交于一点 M , 垂足分 别为 H1 、 H2 、 H3 . 由等 差 幂 线 定 理 图2 得 2 2 A 1 B - BM 2 2 = A 1 C - CM , 2 2 2 2 即 A 1 B - A 1 C = BM - CM . ① 2 2 2 2 同理 , B 1 C - B 1 A = CM - AM , ② 2 2 2 2 C1 A - C1 B = AM - BM . ③ ①+ ②+ ③ 得 2 2 2 2 2 2 A1 B - A1 C + B1 C - B1 A + C1 A - C1 B = 0 , 2 2 2 2 2 2 即 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B 1 C - CA1 = 0. 充分性 . 设点 M 是由点 A 1 、 B 1 分别向 BC 、 AC 所 引垂线的交点 . 则 2 2 2 2 MB - MC = A 1 B - A 1 C , ④ 2 2 2 2 MC - MA = B 1 C - B 1 A . ⑤
2
来自百度文库② ③ ④
①- ③ 得 2 2 PD - QD = PC・ PE - QC・ QF = PC ( PC - CE) - QC ( QC - CF) 2 2 = PC - QC + QC・ CF - PC・ CE . 将式 ②、 ④ 代入上式得 2 2 PD - QD 2 2 = PC - QC + CB ・ CD - CA ・ CD . 由 CB = CA ,得 2 2 2 2 PD - QD = PC - QC . 故 PQ ⊥CD . 例5 如图 6 ,在 △ABC 中 , O 为外心 ,三 条高 AD 、 B E、 CF 交于点 H , 直线 ED 、 FD 分 别和 AB 、 AC 交于点 M 、 N . 证明 : ( 1) OB ⊥DF , OC ⊥DE ; ( 2) OH ⊥MN .
图5
2008 年第 3 期
7
又 ∠DPE = ∠CPD ,所以 , △PDE ∽ △PCD . 故
PD PE = ,即 PC PD
2
① 因为 ∠ACP = ∠DCE , ∠CPA = ∠CDE , 所以 , △CPA ∽ △CDE . 故
CA CP = ,即 CE CD
PD = PC・ PE.
PC・ CE = CA ・ CD . 同理 ,在 ⊙O2 中 , QD = QC・ QF , QC・ CF = CB ・ CD .
6
中 等 数 学
④+ ⑤ 得 2 2 MB - MA 2 2 2 2 = A1 B - A1 C + B 1 C - B 1 A .
( 2006 ,土耳其国家队选拔考试)
⑥
讲解 : 如图 4 ,设 OQ = 1 , QH = d ≤ 1. 因为 OQ 是 ⊙O 与 ⊙Q 的连心线 ,所以 , OQ ⊥CD . 从而 , OE ⅹ+ EQ 图4 =1 , ① 2 2 2 2 2 OE - EQ = OD - DQ = 1 - d . 由式 ①、 ② 得 2 OE - EQ = 1 - d .
BC 、 CD 、 DA 上的 切 点 分 别 为 E、 F 、G 、H , 直 线 HE 与 FG 交于点 P . 证明 : 图7 OP ⊥AC . 讲解 1 : 如图 7 , 联结 PA 、 PC . 在 △A EP 中 ,点 H 在 PE 上 ,由斯特瓦尔特定理得 2 2 2 AE ・ PH + AP ・ EH = AH ・ EP + EH・ PH・ EP. 又 A E = AH , PE = EH + HP ,则 AE ・ PH + A P ・ EH
= 90° - ∠BAC , 即 ∠OBD = 90° - ∠BDF . 所以 , OB ⊥DF . 同理 , OC ⊥DE . ( 2) 要证 OH ⊥MN , 由等差幂线定理知 , 2 2 2 2 只要证明 MO - MH = NO - NH . 注意到 CF ⊥MA , B E ⊥NA , DA ⊥BC , OB ⊥DF , OC ⊥DE , 2 2 2 2 有 MC - MH = AC - AH , ① 2 2 2 2 NB - NH = AB - AH , ② 2 2 2 2 BD - CD = BA - AC , ③ 2 2 2 2 BN - BD = ON - OD , ④ 2 2 2 2 CM - CD = OM - OD . ⑤ ①- ②+ ③+ ④- ⑤ 得 2 2 2 2 NH - MH = ON - OM . 2 2 2 2 从而 , MO - MH = NO - NH . 故 OH ⊥MN . 例 6 如 图 7 , 四 边 形 ABCD 外切于 ⊙O , AB 、
Q 为圆心 、 QH 为半径的圆与以 AB 为直径的 圆交于点 C 、 D . 证明 : CD 平分线段 QH.
2 2 2 2
② ③
①- ③ 得 EQ =
d
2
注意到 OH = 1 - d ,又 2 2 4 2 2 2 QF - OF = d - ( 1 - d ) = 2 d - 1 , 2 2 2 2 2 QH - OH = d - ( 1 - d ) = 2 d - 1 , 2 2 2 2 故 QF - OF = QH - OH . 所以 , HF ⊥QO . 设 CD 、 QH 交于点 K ,则 HF ∥KE. 又 QE = EF ,即 EK 为 △QFH 的中位线 , 所以 , QK = KH. 故 CD 平分 QH. 例 4 已知 C 是线段 AB 的中点 , 过点 A、 C 的 ⊙O1 与过点 B 、 C 的 ⊙O2 交于 C 、 D 两点 , P 是 ⊙O1 上 AD ( 不包含点 C) 的中点 ,
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两条直线垂直的充要条件及其应用
徐万镒
( 宁夏回族自治区教育厅教研室 ,750001)
( 本讲适合高中) 平面几何中证明两条直线垂直的基础知 识很多 ,本文介绍两条直线垂直的一个充要 条件 ,即等差幂线定理 . 如图 1 ,若直线 PM ⊥AB 于 N ,则 2 2 2 A P - AN = PN , 2 2 2 AM - AN = MN . 以上两式相减得 2 2 A P - AM 2 2 = PN - MN . ① 图1 同理 , 2 2 2 2 B P - BM = PN - MN . ② 由式 ①、 ② 得 2 2 2 2 A P - AM = B P - BM . ③ 反之 ,若式 ③ 成立 ,设 ∠AN P = α. 则 ∠BN P =π - α. 2 2 故 A P - AM 2 2 = AN + PN - 2 AN ・ PN cos α+ 2 2 2 AN ・ MN cos α- AN - MN 2 2 = PN - MN - 2 AN ・ PN cos α + 2 AN ・ MN cos α, 2 2 B P - BM 2 2 π- α ) = PN + BN - 2 PN ・ BN cos ( 2 2 π- α ) MN - BN + 2 MN ・ BN cos ( 2 2 = PN - MN + 2 PN ・ BN cos α 2 MN ・ BN cos α. 由式 ③ 得 - 2 AN ・ PN cos α + 2 AN ・ MN cos α = 2 PN ・ BN cos α - 2 MN ・ BN cos α , 即 MN ( AN + BN ) cos α = PN ( AN + BN ) cos α. 从而 , ( PN - MN) cos α= 0 ,即 PMcos α= 0. 因此 ,cos α= 0.
2 = A E ( EH + HP) + EH・ PH・ PE , 2 2
图6
( 2001 ,全国高中数学联赛) 讲解 : ( 1) 因为 A 、 C、 D、 F 四点共圆 ,则 ∠BDF = ∠BAC . 1 又 ∠OBC = ( 180° - ∠BOC) 2
即 A E ・ PH + A P ・ EH 2 2 = AE ・ EH + A E ・ HP + EH・ PH・ PE . 2 2 从而 , A P = A E + PH・ PE. ① 在 △CFP 中 ,点 G 在 PF 上 ,同理 , 2 2 CP = CF + PG・ PF . ② 注意到 2 2 2 PH・ PE = PG・ PF , CF = CO - OF , 2 2 2 A E = AO - OE , OE = OF . ②- ① 得
Q 是 ⊙O2 上 BD ( 不包含点 C) 的中点 . 证明 :
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PQ ⊥CD . ( 2006 ,波兰数学奥林匹克) 讲 解: 如 图 5 , 设 AD 、PC 交 于 点 E , BD 、 QC 交于点 F. 在 ⊙O1 中 , 由 PA = PD ,知 ∠PDE = ∠PAD = ∠PCD .
; 2 2 2- d ①+ ③ 得 OE = . 2 若取 QE = EF ,则 2 2 QF = d , OF = 1 - d .
将式 ⑥ 代入 2 2 2 2 2 2 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B1 C - CA1 = 0 , 得 MB - MA = BC1 - C1 A . 故 MC1 ⊥AB . 从而 ,点 M 在由点 C1 向 AB 所引的垂线 上 ,即过点 A 1 、 B1 、 C1 分别向 BC 、 CA 、 AB 所 引的三条垂线共点 . 例2 如图 3 ,在 △ABC 中 , AB = AC , D 是 BC 的中点 , DE ⊥AC , F 是 DE 的中 点 . 证明 : A F ⊥B E . 讲 解 : 设 AB = 图3 a , ∠ABC = α. 则 ∠ADF = ∠ADE = α. 于是 , AD = a sin α, BD = acos α, 2 A E = AD sin α = a sin α , 1 1 DF = FE = DE = DCsin α 2 2 1 = a sin α ・ cos α. 2 在 △BDF 中 ,有 2 2 2 ). B F = BD + DF - 2 BD・ DFcos (90° +α 2 2 故 B F - FE 1 2 2 ) = a cos α- 2 acos α ・ a sin α・ cos α( - sin α 2 2 2 2 ). = a cos α( 1 + sin α ① 2 2 又 AB - A E 2 2 4 2 4 ) = a - a sin α= a ( 1 - sin α 2 2 2 ) ( 1 + sin α ) = a (1 - sin α 2 2 2 ). = a cos α( 1 + sin α ② 由式 ①、 ② 得 2 2 2 2 AB - A E = B F - EF . 故 A F ⊥B E . 例3 已知 Q 是以 AB 为直径的圆上的 一点 , Q ≠A 、 B , Q 在 AB 上的投影为 H. 以
收稿日期 :2007 - 04 - 16 修回日期 :2007 - 11 - 13
又 0 < α<π ,所以 ,α=
π . 2
故 PM ⊥AB . 由此 ,可得如下两个定理 : 等差幂线轨迹定理 已知 A 、 B 两点 , 2 2 则满足 A P - B P = k ( k 为常数 ) 的点 P 的 轨迹是垂直于 AB 的一条直线 . 等差幂线定理 PM ⊥AB 的充要条件是 2 2 2 2 A P - AM = B P - BM . 下面 结 合 例 题 , 介 绍 等 差 幂 线 定 理 的 应用 . 例1 已知 △ABC ,由点 A 1 、 B1 、 C1 分别 向三边 BC 、 CA 、 AB 所引的垂线共点的充要 条件是 2 2 2 2 2 2 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B 1 C - CA1 = 0. 讲解 : 必要性 . 如图 2, 设自点 A1 、 B1 、 C1 分 别 向 边 BC 、 CA 、 AB 所引 的 垂 线交于一点 M , 垂足分 别为 H1 、 H2 、 H3 . 由等 差 幂 线 定 理 图2 得 2 2 A 1 B - BM 2 2 = A 1 C - CM , 2 2 2 2 即 A 1 B - A 1 C = BM - CM . ① 2 2 2 2 同理 , B 1 C - B 1 A = CM - AM , ② 2 2 2 2 C1 A - C1 B = AM - BM . ③ ①+ ②+ ③ 得 2 2 2 2 2 2 A1 B - A1 C + B1 C - B1 A + C1 A - C1 B = 0 , 2 2 2 2 2 2 即 A1 B - BC1 + C1 A - AB 1 + B 1 C - CA1 = 0. 充分性 . 设点 M 是由点 A 1 、 B 1 分别向 BC 、 AC 所 引垂线的交点 . 则 2 2 2 2 MB - MC = A 1 B - A 1 C , ④ 2 2 2 2 MC - MA = B 1 C - B 1 A . ⑤
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来自百度文库② ③ ④
①- ③ 得 2 2 PD - QD = PC・ PE - QC・ QF = PC ( PC - CE) - QC ( QC - CF) 2 2 = PC - QC + QC・ CF - PC・ CE . 将式 ②、 ④ 代入上式得 2 2 PD - QD 2 2 = PC - QC + CB ・ CD - CA ・ CD . 由 CB = CA ,得 2 2 2 2 PD - QD = PC - QC . 故 PQ ⊥CD . 例5 如图 6 ,在 △ABC 中 , O 为外心 ,三 条高 AD 、 B E、 CF 交于点 H , 直线 ED 、 FD 分 别和 AB 、 AC 交于点 M 、 N . 证明 : ( 1) OB ⊥DF , OC ⊥DE ; ( 2) OH ⊥MN .
图5
2008 年第 3 期
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又 ∠DPE = ∠CPD ,所以 , △PDE ∽ △PCD . 故
PD PE = ,即 PC PD
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① 因为 ∠ACP = ∠DCE , ∠CPA = ∠CDE , 所以 , △CPA ∽ △CDE . 故
CA CP = ,即 CE CD
PD = PC・ PE.
PC・ CE = CA ・ CD . 同理 ,在 ⊙O2 中 , QD = QC・ QF , QC・ CF = CB ・ CD .
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中 等 数 学
④+ ⑤ 得 2 2 MB - MA 2 2 2 2 = A1 B - A1 C + B 1 C - B 1 A .
( 2006 ,土耳其国家队选拔考试)
⑥
讲解 : 如图 4 ,设 OQ = 1 , QH = d ≤ 1. 因为 OQ 是 ⊙O 与 ⊙Q 的连心线 ,所以 , OQ ⊥CD . 从而 , OE ⅹ+ EQ 图4 =1 , ① 2 2 2 2 2 OE - EQ = OD - DQ = 1 - d . 由式 ①、 ② 得 2 OE - EQ = 1 - d .
BC 、 CD 、 DA 上的 切 点 分 别 为 E、 F 、G 、H , 直 线 HE 与 FG 交于点 P . 证明 : 图7 OP ⊥AC . 讲解 1 : 如图 7 , 联结 PA 、 PC . 在 △A EP 中 ,点 H 在 PE 上 ,由斯特瓦尔特定理得 2 2 2 AE ・ PH + AP ・ EH = AH ・ EP + EH・ PH・ EP. 又 A E = AH , PE = EH + HP ,则 AE ・ PH + A P ・ EH
= 90° - ∠BAC , 即 ∠OBD = 90° - ∠BDF . 所以 , OB ⊥DF . 同理 , OC ⊥DE . ( 2) 要证 OH ⊥MN , 由等差幂线定理知 , 2 2 2 2 只要证明 MO - MH = NO - NH . 注意到 CF ⊥MA , B E ⊥NA , DA ⊥BC , OB ⊥DF , OC ⊥DE , 2 2 2 2 有 MC - MH = AC - AH , ① 2 2 2 2 NB - NH = AB - AH , ② 2 2 2 2 BD - CD = BA - AC , ③ 2 2 2 2 BN - BD = ON - OD , ④ 2 2 2 2 CM - CD = OM - OD . ⑤ ①- ②+ ③+ ④- ⑤ 得 2 2 2 2 NH - MH = ON - OM . 2 2 2 2 从而 , MO - MH = NO - NH . 故 OH ⊥MN . 例 6 如 图 7 , 四 边 形 ABCD 外切于 ⊙O , AB 、
Q 为圆心 、 QH 为半径的圆与以 AB 为直径的 圆交于点 C 、 D . 证明 : CD 平分线段 QH.
2 2 2 2
② ③
①- ③ 得 EQ =
d
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注意到 OH = 1 - d ,又 2 2 4 2 2 2 QF - OF = d - ( 1 - d ) = 2 d - 1 , 2 2 2 2 2 QH - OH = d - ( 1 - d ) = 2 d - 1 , 2 2 2 2 故 QF - OF = QH - OH . 所以 , HF ⊥QO . 设 CD 、 QH 交于点 K ,则 HF ∥KE. 又 QE = EF ,即 EK 为 △QFH 的中位线 , 所以 , QK = KH. 故 CD 平分 QH. 例 4 已知 C 是线段 AB 的中点 , 过点 A、 C 的 ⊙O1 与过点 B 、 C 的 ⊙O2 交于 C 、 D 两点 , P 是 ⊙O1 上 AD ( 不包含点 C) 的中点 ,