连续介质力学

一、引论

连续介质力学研究物体的宏观力学微观粒子性质.在宏观现象中,物体变化的最小特征尺度远大于原子的尺度,虽然物理上物体是物质点的集合,质量连续性假设对物休的宏观力学过程的研究却是合理的,在连续介质力学中可以对物体进行无限的分割,也就是说,可以用场的观点来描述物体的内部变化和作用过程.

质量连续性假设要求物体连续地充满它所占据的空间,即可以用三维欧氏空间的一个开集表示物体的客观存在、指示其位置.开集中的一点表征占据该位置点的一个微小介质团,这样的介质团我们称之为物体单元,开集中所有点表征的物体单元组成了物体.若要用严格的数学理性推演连续介质力学,必须知道物体单元在数学上的确切涵义,即要回答: 表征物体单元的点是开集还是闭集?若是闭集,则物体单元表现为数学上离散的点,物体是连续点的集合,可以用构形(物体在空间所占的区域)表示;若是开集,则物体单元表现为数学上点的无穷小邻域,物体是作为拓扑基的所有点邻域的并集,可以用微分流形(容许拓扑结构改变的物体表示空间)表示.

从逻辑上看,目前的连续介质力学是从经典质点力学类推得出的,它一方面把物体看作连续的质点系,物体单元具有离散特征,一方面又以场的观点看待物体的内部变化和受力,物体单元变化特征要求是连续的.在质量连续性假设下,物体单元虽然宏观意义上可以看作无穷小,但总还是有尺度内涵的,即具有连续性适用的典型尺度,而经典力学中的质点却没有尺度内涵,德冈辰雄指出,“连续介质无论怎样分割也不会成为质点,质点无论怎样连续也不是连续介质”.我们知道,经典力学中的质点在数学上表现为三维欧氏家间中的一点(闭集),把表征物体单元的数学上的点看作闭集,无异于沿用质点力学的观点,抹杀连续介质与质点系的区别,这样导出的连续介质力学(简称为质点观点的连续介质力学)是质点观点和场观点的大杂烩,这样的一种结合虽然使连续介质力学在其发展过程中可以同时借鉴经典力学和场论的一些成果,却妨碍了连续介质力学的现代发展,比如运用场论的现代发展—规范理论于连续介质时就显得不伦不类.实际上,质点观点在赋予物体变化连续性的同!讨,对物体的表示空间强加了过分的约束.限制了场的观点的发挥,使连续介质力学在描述物体复杂宏观力学过程时困难重重.为了使连续介质力学摆脱质点观点的限制,.采用与现代场论一致的基本观点,物体单元用数学上的开集表示是必须的,这时连续性可以用邻域而不是距离定义从而与拓扑学的概念一致,称之为拓扑观点.我们知道,拓扑学是现代微分几何的概念基础,现代微分几何是规范场论的数学基础,因此,拓扑观点的连续介质力学是连续介质的纯粹的场理论,它可以容许物体空间拓扑结构的改变,能够刻划物休的复杂变化过程.可见,物体单元的开集表示与场的现代观点是同气共枝的,由此导出的理论保证了数学概念上的连贯、逻辑上的统一,并且能接纳耗散结构作为物体复杂变化的物理基础.

二、流动与变形

物体的流动由物沐单元的运动组合而成,物体的变形由物件单元的变形组合而成.物体单元不同于质点:物体单元的开集表达隐含着单元具有尺度内涵,作为开集的点不仅有平移特征,还有方向特征和尺度特征,从而可以独立地体现介质的变形和转动.物体单元的这些特征预示着单元的变形和单元的运动是两个不同的变化过程,物体单元的变形表现为点(及其邻域)的特征的改变,包括尺度的改变和方向的改变,物体单元的运动则表现为点(及其邻域)的平移(空问位置的改变)和转动(方向的改变),可见,单元的变形与其空间位置无关,单元的运动与其尺度特征无关.与此不同,作为闭集的点不具备尺度特征和方向特征,不能独立地体现介质的变形和转动,介质的变形是通过介质点之间距离及相对方位的改变体现的,介质的转动也是通过不同介质点之间的方位关系体现的,这就客观上对物体表示空间提出了要求,难以刻划复杂的变形过程,而单元的运动由于缺乏方向性,对物休单元具有曲线运动的流运过程就无法准确把握.

三、局部与整体

物体的局部变化是指组成物休的各个单元的变化,物体的整体变化是指物体整体特征或性质的变化.物体单元的变化除了运动和变形外,还有该单元的相邻其它单元的物质交换,这种交换可能是微观的(分子级的),也可能是细观的(源于结构的变化并具有耗散结构尺度的),一般物体单元的转动不均匀性会严重影响这种交换过程;物体的整体变化不仅包括组成物体的各单元的变化,还包括物体表示空间的拓扑结构的变化,后者可以用单元问的变化联络关系表达.一般来说,物体的整体变化不能用其局部变化的直和表示.质收观点的连续介质力学限制了物体空间性质的改变,各个变化阶段的物体的表示空问要求是拓扑等价的,物体单元变化的直和等价于物体的整体变化,因此客观上要求:l)单元间的物质交换与方一向无关;2)单元的尺度变化与方向无关,也就是说,物体单元的变化是各向同性的,这相当于平直层流和均匀变形或者转动影响可忽略的微小变形的情况.在大多数宏观现象中,物体实际变化状态不满足上述要求,质点观点的连续介质力学不再适用,必须用拓扑观点考察物体单元间的变化联络关系的影响,全面研究物体的整体变化过程.

四、内应力

物体的变形使物体的各部分之间存在相互作用,物体这种反抗变形的内部作用称为内应力,包括应力和应力偶.具体而言,在各物件单元的表面作用有应力和应力偶,这种作用不仅与该单元的纯变形有关,还与该单元的相对转动(净转动)有关,这样,质点观点的连续介质力学中的应力原理必须修正,而非极性物体内应力偶的存在成为可能的了.拓扑观点的连续介质力学给出的非均匀有限变形理论更合理和先进,可统一壳体等转动(方向性)占优的变形理论,并且在这一新观点下,加深了对物体塑性的理解。

五、粘性力

物体的流动即物体的各部分存在相对运动,也会在物体内部产生相互作用,物体这种反抗流动的内部作用称为内摩擦力,或粘性力.如同流动与变形是不同的变化过程,粘性力与内应力也是不同性质的作用力,虽然它也是作用在物体单元的表面上,但与单元的变形无关,而是由粘合单元的运动不均匀度引起的.在质点观点的连续介质力学中,由于物体单元不具有方向特征,转动影响无法正确处理,所导出的粘性力在转动坐标系中不具有协征变性,也无法考虑转动对单元间相互作用的影响.严格地说质点观点的流体力学只适用于平直层流,在复杂流动问题中,必须考虑物体单元的方向特征及其对单元间相互作用的影响,应该说这是物体空间拓扑结构改变的主导因素,使得物体单元必须在四维时空流形中取得定义,即物体流动要用四维微分流形刻划,由此导出的流动理论可望彻底解决湍流问题.

六、耗散结构论

物体作为连续介质具有反抗任何使物体分离(裂)的外部作用的能力即耗散机制,这种机制使物体最大限度地保持为连续体.依埃·普利高津的理论,当外部作用的强度达到一定的极限时,物体作为一个具有耗散机制的开放的宏观系统可能形成耗散结构,加速能量的散布和消耗,这时,物体的内部变化呈现出结构化的特征,强烈地改变着物体的空间拓扑结构.一般来说,耗散结构的尺度(由耗散机制决定)大于连续性假设成立的典型尺度,但宏观上仍可以作无穷小处理,即可以用耗散结构的尺度作为物件单元的参考尺度而不会影响前述理论的合理性和严密性.但是,结构化的变化特征将使物体单元间的变化联络关系成为具有独立意义的物理量,要完整地描述物体的变化,还必须建立这些结构变量的动力方程,从而使拓扑观点的连续介质力学成为能够描述容许耗散结构存在的物体复杂变化过程的完整理论.