新苏教版六年级数学下册教材分析

苏教版六年级数学下册教材分析

一、主要的调整与变化

（一）新增选择统计图的内容，删去众数和中位数

根据本套教材“统计与概率”部分教学内容的整体设计，本册教材教学扇形统计图和选择统计图。与实验教材相比，主要有两点变化：一是考虑到在用统计知识解决问题的过程中，往往要根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图，以准确、有效地表示数据。教材在扇形统计图教学之后，体会选择统计图描述数据的过程与方法，增强数据分析观念。二是由于数学课程标准不再要求学生认识众数和中位数，且学生在现阶段很难弄清平均数、众数和中位数的联系与区别，本次修订删去了实验教材中众数和中位数的内容。

（二）前移转化的策略，增设选择策略解决问题的内容

首先，转化的策略是数学学习中应用最为广泛的策略，且在六年级上册学习分数、百分数实际问题时，经常需要运用转化的策略解决问题。适当前置转化的策略，可以为学生提供更多的运用策略的机会，促使他们在解决问题的过程中更深刻地体验转化策略的实际价值，提高运用策略的自觉性。因此，本套教材把“转化的策略”安排在五年级下册教学。其次，解决问题时，一般不会单纯、机械地套用既有的经验和模式，而要根据已知信息，灵活运用已经积累起来的经验和方法，尝试把新问题转化成熟悉的问题，或把复杂问题转化成简单问题，进而找到解决问题的方法。为此，教材在六年级下册增设“选择策略解决问题”的内容，引导学生在运用策略解决问题的过程中，感受解题策略的多样性以及选择策略的灵活性，形成相应的策略意识。

（三）合理整合“综合与实践”部分的内容

本次修订，对实验教材中“综合与实践”部分的内容进行了精心筛选与重新整合。全册共安排了三次活动，分别是结合具体教学内容安排的《大树有多高》，以及在《总复习》单元安排的《制订旅游计划》和《绘制平面图》。其中，《大树有多高》由实验教材六年级上册移来，主要引导学生综合运用比例等有关知识解决问题；《制订旅游计划》由实验教材中的《旅游费用的预算》改编而成，主要引导学生综合运用“数与代数”“统计与概率”部分知识，解决旅游行程规划、旅游费用预算等问题；《绘制平面图》是新编的内容，主要引导学生通过测量和计算，绘制简单的平面图。

此外，教材还前移了实验教材中《百分数的应用》单元，安排在六年级上册；增设了“探索规律”的活动——《面积的变化》，主要引导学生探索和发现平面图形按比例放大后，面积的变化规律。

各单元教材分析

一、扇形统计图

内容：本单元主要教学扇形统计图和选择统计图，

变化：删去众数和中位数，增设选择统计图描述数据

修订的重点在选择统计图描述数据上，主要有两点变化

第一，注重以现实问题为背景，引导学生在具体的活动中体验各种统计图的不同特点，体会选择统计图的实际意义，教材呈现了一组反映同学们课外阅读兴趣和习惯的统计图（见例2）同时设计了一组富有启发性的问题，引导学生体会不同统计图的特点和作用，感受到选择合适的统计图能更有效地描述数据，更便于数据分析。数据分析时，要让学生透过现象本质，读出一些信息。

第二，引导学生在解决问题的过程中，感受选择统计图描述数据的过程和方法。教材十分重视引导学生经历用统计知识和方法解决问题的过程，并在这一过程中逐步认识到统计图的选择，既要清楚反映表示数据的特点，又要有效说明所要解决的问题，例如，教材第8页的第7题，在提出问题的同时，呈现了四项调查内容，让学生选择一项设计调查表，展开调查和统计活动。这一过程中，由于所选择的调查内容不同，收集、整理、描述数据的过程也可能不同。这就为学生自主经历数据分析的全过程提供了充裕的时间和空间，有利于学生体验选择合适的统计图表示数据的过程，感受合适的统计图在分析数据过程中的作用，发展数据分析观念。

教学建议

小学数学不要求制作扇形统计图。因为制作扇形统计图需要扇形的知识，要计算扇形的圆心角，而小学数学只简单认识扇形，不教学画扇形，所以小学生不

具备制作扇形统计图的知识与能力。

1.看懂扇形图，利用数据解决问题。

例1教材采用直接呈现的方式，引出扇形统计图，是由于两点原因：一是不教学制作扇形图，没有必要呈现扇形图的形成过程。二是学生能够看懂扇形图里的信息，不需要给予其他帮助。在呈现扇形统计图以后，教学分两步进行。

第一步，看图，交流,理解图里的信息。让学生说出图中的五个百分数，并且根据五个百分数的大小关系以及扇形统计图里五个扇形的大小，看出山地面积最大，丘陵面积最小。体会每一个百分数的意义，明白我国陆地总面积是单位“1”的数量，整个圆表示我国陆地的总面积。明白扇形统计图是分别表示每种地形的面积占总面积的百分之几。学生看到、想到并说出上述内容，就初步认识了扇形统计图。

第二步，计算、填表，体会图的特点。例题告诉学生，我国国土总面积是960万平方千米，让他们算出各类地形的面积分别是多少。计算要利用图中的各个百分数，从而体会扇形统计图表示的是各个部分数量与总数量的关系，知道它与条形、折线统计图的不同。例1的“练一练”前一个问题要分别说出扇形图给出的两个百分数的含义，属于知识范围的问题。后一个问题要感受我国以世界耕地的9.9％，供世界19.6％的人口吃饭，这是非常了不起的事情，是对世界以及全人类的贡献，属于思想性的问题。如果有可能，还可以思考其他国家的总人口占世界人口的百分之几，其他国家的耕地总面积占世界耕地的百分之几，通过

1-19.6％和1-9.9％求出两个百分数。把世界人口作为单位“1”、世界耕地作为单位“1”，体会整个扇形图所蕴含的各种信息，有利于学生深入体验扇形统计图的特点。

2·根据实际需要，选择合适的统计图。例2是六1班同学课外阅读情况统计，呈现了3幅统计图，让学生比较统计图，体会各类统计图表示数据的不同方式和特点，提高用统计图表示数据的能力，进一步发展数据分析观念。“三幅统计图分别表示什么？”这个问题要回答每一幅统计图的内容，说出每一幅统计图里的数据信息。通过这个问题，让学生看到三组数据采用了三种不同的统计图，扇形图表示各个部分数量分别占总数量的百分比，折线图和条形图都表示一组数据的各个具体数量。这就了解到各种统计图在表达数据时的特点，初步体会到三种统计图的联系和区别。

第二组问题分别指向三幅统计图里的内容，引导学生深入了解各幅统计图里的数据信息，再次体验扇形统计图表达的是“各部分占整体的份额”，折线统计图表达的是“一组数量的变化情况”，条形统计图表达的是“一组数量各有多少”。

这样，学生就能再次感悟统计图的使用是有选择的，应根据数据的内容特点，合理选用相应的统计图。

“你还能从统计图中获得哪些信息？”这个问题比较开放，要鼓励学生说出在三幅统计图里看到的、想到的信息，培养学生理解与解释数据，分析与评价数据，应用数据提出问题与解决问题的习惯和能力。

体会使用统计图是“有选择”的，应根据数据的内容特点，以及需要表达的数据信息，选择适当的统计图。三个小卡通的交流，代表学生分别说出了什么情况适合使用扇形图，什么情况适合使用折线图，什么情况适合使用条形图。

配合例2的“练一练”采用三种统计图表示李大伯家的收入情况。教学还可以作如下的延伸：一是比较条形图和扇形图，它们都表示四项收入的情况，但表示的方式不同，数据不同，从图中获取的信息既有一致的方面，也有显著的区别。二是体验条形图里的数据，适合用折线图表示吗？从条形图里的四个数据只表示“各多少”，不存在“变化”状态和趋势，得出不适合使用折线图的结论。三是折线图里的数据可以用条形图表示吗？从折线图里有六个年份的收入数量，体会也能采用条形图表示。但条形图不能像折线图这样清楚地表示出年收入的增加态势。

3.精心编排练习题，突出统计活动能力的培养

练习一第1题要求学生评价这两天的食物搭配“哪一天更合理些”。编排这道题的目的在于通过对两幅图里的数据的比较，获取扇形图传递的信息，并引发深入的思考。“哪一天合理”没有标准答案，如果从有利于身体健康角度评价，也许第一天的搭配比较合理。因为现在提倡多吃些蔬菜、水果、谷物，少吃些动物蛋白和油脂。但是，从个体的需要考虑，也许第二天的搭配更能满足。如参加高强度的体育活动或生产劳动的人，一些需要补充营养的人，应该适当多吃一些动物蛋白。第2题把“估计”引进扇形统计图。呈现的干果拼盘可以看作扇形图，不要求估计得十分准确，能说出“（各）大约占百分之几”并对自己的估计作出解释就可以了。第7题是一个简单的实践活动。要求以自己班级同学课外阅读习惯为内容，进行一次统计活动。先确定课题和设计调查方案；接着开展调查，收集信息、整理数据，制作统计图表；然后分析数据，评价自己班级同学的课外阅读习惯；最后拓宽研究课题，重新设计调查方案，开展新的统计活动。这道题可以作为一个长作业，在课内或课外完成。

本单元最后安排的“动手做”，是以“反应速度”为内容的游戏活动，是用统计思想方法解决问题的数据活动。编排这次动手做的目的，是要让学生积极、主动地参与一次数据活动，获得对数据的新体验。教材有以下三点安排。

图文结合，讲述了游戏方法——把长20厘米左右的直尺竖直按在墙上，“0”刻度在下，食指按在“0”刻度处；突然松开食指，让直尺下落，然后迅速用食指按住下落的直尺；食指按住刻度几，表示直尺下落了几厘米，随时记录这个数据。教材一方面设计了有兴趣的游戏，另一方面引导学生把注意力集中到数据上面。

组建小组，建议人数和次数——4人一组进行活动，每人轮流做6次，根据记录的数据，在方格纸上制作统计表或统计图。这样，小组内就可以比一比，看谁的反应速度最快，而且有较充分的数据来表明各人反应速度的快慢。把这些数据用统计图表呈现出来，能方便比较，容易看出小组内各人的反应速度。

提出课题，设计实验方案——为比较男、女生的反应速度，讨论活动方案。如，小组内的人数与性别如何安排？数据记录在怎样的表格里？每人做6次，用哪个数据来比较？如果每组的男、女生都不是1人，男生用什么数据与女生比？这一段应该是整个动手做的重点，讨论越充分，方案越成熟，游戏越顺利，对数据活动的体验就越丰富。

二圆柱和圆锥

内容及变化

本单元主要教学圆柱和圆锥的特征，圆柱的侧面积和表面积，圆柱和圆锥的体积。由于解决与圆柱、圆锥有关的问题时，经常会涉及一些比较复杂的计算，教材一方面通过底注说明解决问题时可以用计算器计算，另一方面，通过示例明确，可以用含有“π”的式子表示计算的过程和结果。这样安排，既可以帮助学生切实掌握相关的计算方法，又降低了计算的难度，可以有效防止学生因琐碎的计算而引起的厌学情绪。

教学建议

本单元在学生认识了圆，掌握了长方体和正方体的形状特征以及表面积与体积计算方法的基础上编排，是小学数学最后教学的形体知识。

1．按“整体—部分—整体”的线索，分别教学圆柱和圆锥的结构特点。

学生认识几何体一般先整体感知形状，再仔细研究结构与特征，在此基础上归纳描述，建立形体概念。

例1先教学圆柱的特征，再教学圆锥的特征。这是因为学生对圆柱已有直观感，学生在第一学段已经直观认识了圆柱，对圆柱的形状有了一些粗浅的感受。学习圆锥就没有这样的台阶。相对于认识圆柱来说，了解圆锥会稍难些。圆柱和圆锥的形状虽然有明显的区别，但它们都有圆形底面、弯曲的侧面。先认识圆柱，有利于认识圆锥。把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也体现了它们既是不同的几何体，也有内在联系。它们的联系，一是“都有圆形底面、弯曲的侧面”，二是“圆锥体积是等底等高圆柱的三分之一”。

·在现实的情境中初步认识圆柱和圆锥。例题在图画里呈现许多圆柱、圆锥形状的物体，让学生从中找出圆柱形状物体，告诉他们有些物体的形状是圆锥，还要回忆生活中的其他例子，体会这两种形状的物体是比较常见的，为认识圆柱和圆锥的特征搜集了丰富的材料。

·观察交流，分别描述圆柱和圆锥的结构特点。教学圆柱的形状特点，要引导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的讲解。因为圆柱的形状需要学生充分感知，有关圆柱特点的数学术语和规范表述不是他们发现创造，而是意义接受的。三个小卡通的交流，代表学生通过观察、操作，获得的有关圆柱的感性认识，也是圆柱的最主要特点。学生通常对圆柱“上下两个面是完全相同的两个圆”“有一个曲面”这两点比较关注，对圆柱“上下一样粗”容易疏忽，教学要注意这一点。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可以图文结合指出圆柱和圆锥的“底面”“侧面”和“高”。圆柱的“高”是一个数学概念，指的是圆柱两个底面之间的距离。教学应该突出的是关于圆柱高的概念，关于圆柱图形上表示高的方法，以及测量圆柱形物体的高的方法。没有必要在“几条”上纠缠不清，特别不能造成概念的含糊。

认识圆锥要引导学生把认识圆柱的学习活动经验迁移到认识圆锥上来，圆锥的高是教学难点。因为圆锥的高是圆锥内部一条线段的长。教材图文结合，指出从圆锥的顶点到底面的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出从顶点到底面圆心的线段，帮助学生理解圆锥高的含义。还暗示了测量圆锥的高的方法。

·在练习里发展空间观念。练习二第2题指出圆柱、圆锥的三视图，体会从正面、侧面看到的形状要用平面图形来表示。第3题要求利用教科书附页里的图形做一个圆柱和一个圆锥，体会圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是扇形

卷成的，经历平面变成曲面的过程。测量做出的圆柱和圆锥的底面半径与高，可以再次巩固高的概念，也能为接下来教学表面积和体积作些准备。

2．展开圆柱的侧面、表面、研究侧面积和表面积的计算方法。

例2教学圆柱的侧面积，例3教学圆柱的表面积。这样安排，符合知识间的关系，突出侧面积是认知的重点。

·指导展开圆柱侧面的方法，理解侧面展开后的形状。例2计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积，一要组织学生讨论“为什么沿着接缝剪？”弄明白沿着其他地方剪也能把商标纸展开，但得到的不一定是长方形，计算长方形的面积比计算其他图形的面积方便。还要组织学生讨论“商标纸的接缝相当于圆柱的什么？”弄明白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，而这样做才能使侧面展开成一个长方形。二要沟通长方形的长、宽和圆柱的直径、高之间的联系，为计算侧面积创造条件。三列式计算商标纸的面积，要指导他们分步计算，先算出圆柱的底面周长，再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，比列综合算式方便。还要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁琐的乘法笔算上。教材还指出“（商标纸的面积）也可以这样计算：11π×15=165π”，省略165×3.14的笔算，用165π作为最后的得数。这与中学数学是接轨的，会受到教师和学生的欢迎。

·指点方向，探索侧面积的算法。计算商标纸的面积，要指导他们分步计算，先算出圆柱的底面周长，再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，比列综合算式方便。还要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁琐的乘法笔算上。教材还指出“（商标纸的面积）也可以这样计算：11π×15=165π”，省略165×3.14的笔算，用165π作为最后的得数。这与中学数学是接轨的，会受到教师和学生的欢迎。

·画出表面展开图，研究表面积的算法。例3教学圆柱的表面积，关键在于建立表面积的概念。只要理解“求表面积”就是求什么，算法自然就产生了。而且长方体与正方体表面积的概念和算法，对教学圆柱表面积有支持作用。例题要求在方格纸上画出一个圆柱的表面展开图。要求学生看着圆柱图形和标注的底面直径与高，思考圆柱的侧面沿着高展开，得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面分别是多大的圆，并在方格纸上画出一个长方形和两个圆，即这个圆柱的表面展开图。和长方体、正方体的表面积计算一样，圆柱的表面积计算也不给出公式，让学生在理解表面积意义的基础上推理算法，以避免记忆公式的负担。

第二步计算例题呈现的圆柱的表面积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例2教学，计算两个底面圆的面积是旧知识，学生应该能独立计算圆柱的表面积。教师仍然要提醒他们列分步算式解答，通常先算出侧面积，再算出一个底面的面积，然后算侧面积与两个底面积的和。学生如果用4π表示侧面积，用2π表示两个底面圆的面积，用6π表示表面积，应该加以肯定。

·灵活应用侧面积、表面积知识，解决实际问题。练习二是圆柱侧面积、表面积的实际应用，解答问题要重视“数学化”，把实际问题抽象成计算侧面积、底面积或表面积的数学问题。如第4题求铝皮面积是计算圆柱形队鼓的侧面积，计算羊皮面积是求圆柱形队鼓的两个底面积。再如通风管是没有底面的，彩纸糊的灯笼只有下底和侧面。第10题可以用（180+32π）平方分米表示结果，也可以算出来，第11题一共有多少朵花根据实际生活情境应该保留整数，所以要算出具体结果。

3．应用转化策略，教学圆柱的体积计算公式。

（三）通过猜想——验证，探索圆柱和圆锥的体积计算公式

学生已经掌握了长方体和正方体的体积公式，而且知道它们的体积都可以用“底面积×高”来计算。事实上，不仅是长方体与正方体，求各种直柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算，圆柱的体积也是这样。

·建立“等底”“等高”概念，形成“等积”猜想。例4教学圆柱的体积。教材先呈现了长方体、正方体和圆柱这三个立体图形，涂色突出它们的底面，指出这三个几何体的底面积相等，高也相等。要求先猜想圆柱体积与等底（面积）等高的长方体、正方体体积是不是相等，再通过把圆柱“等积变形”证实猜想，推导出圆柱的体积计算公式。猜想与验证是人们解决问题经常采用的策略。教材鼓励学生猜想并验证，调动他们的积极性，使圆柱体积的教学不是被动接受，而是有意义的探索。

·割、拼圆柱，转化成长方体。，教材把圆柱转化成等底（面积）等高，体积不变的长方体，并展示转化过程。转化思路的形成，借鉴了把圆转化成长方形计算面积的经验。转化的要领是保持圆柱与长方体等底（面积）、等高、等（体）积。学生可以看教材里的插图，明白怎样把圆柱切割与改拼。如果能亲自操作学具，实践圆柱的等（体）积变形，就更好了。然后是渗透极限思想。把圆柱的底面平均分成16份，切开后拼成的只是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底

面平均分的份数越多，切开后拼成的物体越接近长方体。圆柱底面被平均分的份数足够多，就能转化成等底（面积）、等高、等（体）积的长方体。

·通过推理，得到圆柱体积计算公式。最后是推导圆柱的体积计算公式。由于圆柱与转化成的长方体体积相等，所以求圆柱的体积只要计算长方体的体积；由于长方体体积可以用底面积乘高计算，而长方体的底面积与圆柱底面积相等，长方体的高与圆柱的高相等，“底面积×高”计算的既是长方体的体积，也是圆柱的体积。由此得出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积＝底面积×高。

必须注意的是，在得出圆柱体积计算公式以后，教材安排“回顾圆柱体积公式的探索过程”，要求学生交流体会。“转化”是探索圆柱体积公式的策略，在寻求圆柱体积计算方法的过程中，“转化成长方体”是关键。教学应通过回顾，突出转化策略在这里的应用，联系实际加强策略意识。另外，用“底面积×高”涵盖长方体、正方体和圆柱的体积计算，有利于优化认知结构，这也应是回顾与反思的一个重要内容。

练习三P17第5题要求算出具体结果，P1练习三其中第7题，把一张长5

厘米、宽4厘米的长方形纸分别绕其长或宽旋转，能形成两个不同的圆柱。先估计这两个圆柱的体积，指出哪一个大，再计算它们的体积，验证前面的估计。教学这道题，要让学生体验“长方形绕其长（宽）旋转，能形成长方体”的现象。如有必要，可以动手操作，实践一下。要识别形成的圆柱的底面半径和高，把已知的长方形的长、宽转化成圆柱的有关数据。形成的两个圆柱，一个的底面小一些、高一些，另一个的底面大一些、矮一些。估计哪一个的体积比较大，其实是猜一猜哪个的体积大。猜对和猜错，都要通过计算体积来验证。

P19思考题。读题，理解水面上升与钢材放入水中有关，水面下降与钢材拉出水面有关。让学生独立思考，再交流。解法一：可以根据条件先求出8厘米钢材长的体积，也就是下降了4厘米的水的体积；再根据这个结果求出储水桶的底面积；最后根据储水桶的底面积和水面上升9厘米，求出上升部分水的体积，也就是钢材的体积。解法二根据钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米，可以知道水面每下降1厘米，对应钢材拉出水面2厘米，水面上升9厘米，对应着放入水中的钢材长18厘米，根据钢材的半径和长度就能求出钢材的体积。

练习三的后面是“动手做”，要求测量土豆的体积。土豆的形状不规则，求它的体积没有现成的计算公式。教材设计了利用圆柱形容器测量土豆体积的方法进行这项活动要注意两点，一是在圆柱容器的里面测量它的底面直径和水面高

度，并算出底面积。二是帮助学生理解水面高度变化与土豆体积的关系。教学应在适当时候组织学生反思这次测量活动，体会其中的“转化”策略：把形状不规则的土豆体积，转化成形状规则的圆柱体积，通过计算圆柱体积，得到土豆的体积。

4．“估计—验证”探索圆锥的体积公式。

就小学生现有的知识，把圆锥转化成体积相等的其他物体有些困难。因此，教学圆锥体积公式采用的方法与圆柱不同

·认识等底、等高的圆锥与圆柱，估计圆锥体积是圆柱的几分之几。例5

图示了一个圆柱和一个圆锥，指出它们的底面积相等，高也相等。从图画直观，学生能确定圆锥的体积比圆柱小，教材让学生估计这个圆锥的体积是圆柱的几分之几。这里的估计是形成一个猜想，学生不一定估计圆锥的体积是圆柱的三分之一。不过，这并不要紧，后面的实验会得出这个关系。只要形成圆锥体积与等底（面积）等高圆柱体积有关的心向，就能支持后面的操作验证。

·通过实验，发现等底等高的圆柱与圆锥的体积关系。首先准备器材，找等底等高的圆柱、圆锥容器各一个，教材图示了比较底面积和比较高的方法。然后在圆锥容器里装满沙子，倒入空的圆柱容器里，从“3次正好倒满”这个事实，证实圆柱形容器的容积是等底等高圆锥形容器的3倍，也就是圆锥形容器的容积是等底等高圆柱形容器的1/3，确认或者修正原来的估计。

·利用圆柱体积算圆锥体积，推导圆锥的体积公式。如果不考虑容器壁的厚度，圆锥容器里装满的沙子的体积可以看作圆锥的体积，圆柱容器里装满的沙子的体积可以看作圆柱的体积。从实验的结果先得出等底等高圆锥和圆柱的体积关系：圆锥的体积＝圆柱的体积×1/3；再把圆柱的体积计算方法代入关系式，得出圆锥体积计算公式：底面积×高×1/3。

教材很重视引导学生体验数学思想和积累数学活动经验，在得出圆锥体积公式以后，要求他们回顾圆锥体积公式的探索过程。要让学生说说自己的体会。整理学生的交流，应该突出两点：一是“转化”策略，圆锥体积可以转化成圆柱体积来计算，新知识可以转化成旧知识来认识。二是实现转化可以通过猜想、验证来落实，猜想圆锥体积与圆柱体积有关，并验证这种关系确实存在，就实现了圆锥体积到圆柱体积的转化。

·编排等底等高圆柱与圆锥的体积关系的专项练习。第6题根据图示的各个立体图形的底面直径与高，寻找与圆锥体积相等的圆柱，其中的推理稍有难度。可以从圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3，推理出体积相等的圆柱与圆锥，如果底面积相等，圆锥的高是圆柱的3倍圆柱的高是圆锥的1/3；如果高相等，圆锥的底面积是圆柱的3倍圆柱的底面积是圆锥的1/3。还要注意到，大圆的直径是小圆的3倍，小圆直径是大圆的1/3，大圆的面积则是小圆的9倍，小圆的面积是大圆的1/9。

过去的教学告诉我们，这一单元的计算比较繁琐，学生经常会算错。对此提出三点建议：一是营造良好的计算环境。每次作业的题量不宜过多，给学生的时间要充分，心理压力小些能减少计算错误。二是较复杂的计算可以使用计算器。通常情况是，三位数乘一位数、三位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的乘法应该用计算器算。没有必要让学生进行繁琐的四则运算，消耗时间和精力。三是指导简便运算。在半径的长度数是5、15、25，高的长度数是2、4、8时，往往可以利用乘法运算律使计算简便些。要善于发现、及时利用可以简便计算的机会。四是鼓励用含有π的式子作为计算的最后结果。

本单元的整理与练习仍然按“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践”“评价与反思”四个栏目编写。这里着重说说“探索与实践”栏目的习题。

第12题有培养推理能力的作用。学生中可能有两个水平的推理：一种水平的推理比较具体，可以假设两个容器的高都是10厘米，一个容器的底面半径1厘米，另一个容器的底面半径2厘米，就能算出这两个容器的体积分别是10π

立方厘米和40π立方厘米，由此得到它们的体积比是1∶4。另一种水平的推理较抽象，由于两个容器的高相等，所以它们的体积比决定于它们底面积的比。两个容器的底面半径的比为1∶2，底面积的比应该是1∶4，由此得到体积比是1∶4。对大多数学生而言，采用前一水平的推理比较适当，后一水平的推理，只会有少数学生适应。

第13题是实践操作题。要求任选一个圆柱形饮料罐，计算它的容积。计算圆柱容器的容积，需要哪些长度？如何测量这些长度？都由学生拿主张。算出的容积应该比饮料罐商标纸上标出的“净含量”稍大一些，否则饮料罐里装的饮料不会达到净含量。

第14题是制作实验题。“怎样卷，圆柱的体积比较大？”解决这个问题可以假设长方形纸长10厘米、宽6厘米，一种卷法形成的圆柱体积大约15.36π

（底面周长10厘米，半径1.6厘米，底面积2.56π平方厘米）；另一种卷法形成的圆柱体积大约10π（底面周长6厘米，半径1厘米，底面积π平方厘米），怎样卷体积大就很清楚了。这道题能发展空间观念。学生识别长方形的长、宽和圆柱的底面周长、高之间的对应关系，需要动手操作，用一张长方形纸卷一卷、看一看。

三、解决问题的策略

内容及变化

选择策略解决问题

把转化的策略安排在五年级下册

本单元是新编的教学内容，主要教学选择策略解决问题，重点是引导学生在解决问题的过程中，初步学会从不同的角度分析数量关系，提出不同的解题思路，并集合自身的经验和习惯，选择合适的策略解决问题，从而起到整理策略、灵活运用策略的作用，使策略得到内化，思维品质得到提升。全单元编排两道例题，例1把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样，例2 通过假设和调整解决问题，体会假设与调整可以多样。

教学建议

1.选择典型例题，为学生从不同角度分析数量关系创造条件。

亲历解决问题的过程是学生体验和感悟解决问题策略的必然途径。而选择结构典型，难度适中的实际问题，又是有效组织学生学习活动的必要前提。为此，教材精心选择能有效激活学生策略意识的实际问题作为例题，鼓励他们从不同的角度分析数量关系，为解决问题方法的多样化创造条件。

例1是一道稍复杂的分数实际问题（见图3），这样的问题，看似简单，但仅凭直觉和经验又难以找到解决问题的突破口，能自然引起学生的探索兴趣，促使他们积极、主动地寻求解决问题的方法，进而呈现解决问题方法的多样性。再如，教材的例2是“鸡兔同笼”问题的变式（见图4），由实验教材六年级上册移来。这样的问题，数量关系比较复杂，能有效激活学生在例1的学习中积累的认识和经验，促使他们积极展开探索与思考，并在不断尝试中找到解决问题的方

法。这就为学生自主选择合适的策略解决问题提供了机会，有利于学生形成相应的策略意识。

2.合理安排解题活动线索，引导学生在自主探索和比较中体验选择策略解决问题的过程。

为了让学生切实展开独立思考与合作交流，探寻解决问题的有效方法。提出问题后，两道例题都通过富有启发性的问题，引导学生尝试着分析数量关系，找到解决问题的思路。同时通过对不同思路的比较和交流，帮助学生体会不同方法间的联系，找到切合自身实际的解题思路，感受选择策略解决问题的过程。

例1启发学生“先分析题目汇中数量之间的关系，再说说准备怎样解答”，在激活旧知时，一方面通过从不同角度理解条件，分析数量关系，进一步感受“转化”，把复杂的问题通过转化变得简单，另一方面引导学生回顾已学策略，激活已有经验，促使学生解决例题时，能主动、方便地提取可用的策略，感受可以根据问题的特点应用不同策略解决问题。通过交流明确不同的解题思路：可以用画图策略，画线段图表示题意，直接看出男、女生人数各占总人数的几分之几再解答；也可以用转化的策略，把男女生人数的关系转化成用比表示，再按比例分配；还可以运用假设策略，用x表示单位“1”的量，列方程解答。“选择一种方法列式解答”是经过“问题转化”以后的“模式识别”。利用已有的模型解决转化后的问题，也就是解答原来的问题。学生采用任何一种解法都可以，但不是要求他们“一题多解”。“检验”十分重要，应把得数放到原来的问题情境里检验是否正确。即看一看得到的男、女生人数是不是一共35人，男生人数是不是相当于女生的2/3。如果得数能够同时满足这两个条件，就是原来问题的答案。否则，就不是原来问题的答案。最后进行回顾反思，体会在解决实际问题时，根据题意和数量间的联系，灵活地选用策略分析问题、能使解决问题的过程更直接、更清楚，解题方法更简单，增强策略意识。

例2的问题情境是42人正好坐满10只船，求大船和小船各有几只。这个问题的题意并不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般的分析数量关系的方法派不上用场。教材问学生“解决这个问题，你准备用什么策略”，不要求说出解题思路和算法，而是鼓励他们从已经学过的列表、画图、枚举、假设和转化策略里自主选择解题方法。正像“辣椒”卡通的画图、“萝卜”卡通的列举、“番茄”卡通的假设那样，每个学生都要有自己的选择，班集体里就会呈现策略多样化。

提出的假设（或猜想）必须检验，看10只船上是不是正好坐42人。提出的第一个假设往往不是问题的答案，船上的总人数不是比42人多，就是比42人少，需要调整大、小船的只数。教材把替换留给学生进行，一方面培养检验假设的意识，另一方面体会替换的方向与方法。替换时，如果假设的大、小船上乘坐的人数接近42人，可以一只一只地调整；如果假设的船上人数与42人相差较大，可以每几只一调。

例2没有列式计算，主要是两个原因：一是解决问题未必都要列式计算，画图和列表也是解题的方法和形式。教学应该鼓励解题形式多样，发展学生的个性和创造性。二是解答这道题的算式比较难列，算式蕴含的算理比较复杂。如果列式计算，不仅增加了教学的困难，还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。

3.精心设计问题的呈现方式，逐步提升学生解决问题的策略水平。

策略的形成是一个渐进的过程，需要有目的、有计划地进行训练和指导。教材十分注意安排一些有层次的练习，引导学生在解决问题的过程中，不断积累选择策略解决问题的经验，形成相应的策略意识。例如，配合例1的教学，教材安排了三道练习，通过“看图填空”“把线段图补充完整”等形式，由“扶”到“放”地组织学生的解题活动，第1题看图分析数量关系，分数与比相互转化；第2题画图描述问题，借助直观分析数量关系；第3题选择策略解决问题。促使他们在解决问题的过程中体会选择策略的过程，感受策略的实用价值，提升解决问题的策略水平。第5题在有序列举中发现规律，第7题是一道相遇问题，引导学生根据“货车的速度是客车的32 ”在图中画出客车和货车在相遇时行驶的路程和相遇的位置，在交流中明确：根据“货车的速度是客车的3

2 ”可以知道：货车与客车行驶的速度比是2:3，由于两车行驶的时间相同，所以货车与客车行驶的路程比是2:3。所以可以按比例分配解答，也可以用分数乘法计算，还可以根据货车路程是客车的3

2，用方程解答。通过比较发现，用分数乘法算比较方便。第8题关键在于理解第二堆的黑子与第三堆的白子同样多，让学生在图中试着画一画第二、三堆的白子和黑子，从图中可以清晰看出：第二堆的白子和第三堆的白

子合起来正好是60枚。所以先求第一堆的白子：60×3

1＝20（枚），第二、三堆的白子有60枚，所以这三堆棋子中一共有60＋20＝80（枚）。应用画图的策略，可以清楚看出直观表示的数量关系，方便找到不同的解题方法。

四、比例

内容及变化

本单元教学图形的放大和缩小，比例的意义和基本性质，解比例，比例尺及其应用

加强知识的综合应用

与实验教材相比，本单元的变化较小，教材在结合图形的放大和缩小，引导学生通过具体的活动获取知识的同时，特别注重知识的综合与应用，引导学生在解决实际问题的过程中，感受知识的内在联系，加深对所学知识的理解。例如，第47页第7题（见图5），要求学生先根据题中的路线图算出小青家到梅花山的路程，再根据小青骑车的速度，计算小青从家到梅花山所需要的时间。这样的问题，具有较强的现实性和综合性，可以帮助学生深刻认识与体验比例尺的意义及其应用价值，感受综合应用所学知识解决问题的过程，提高分析和解决问题的能力，增强应用意识。

教学建议

1．在现实情境和画图活动中，教学图形放大与缩小的含义。

数学里图形放大与缩小的含义，和生活中的放大、缩小不是完全相同的。生活中往往把图形由小变大视作放大，由大变小视作缩小。数学里的图形放大与缩小，它的每一条边都按相同的比变化，即所有边的长度都放大到原来的几倍或者缩小到原来的几分之一。所以，教学图形的放大与缩小，必须选择数学含义鲜明的素材，使学生形成正确的、图形放大与缩小的概念。

·联系“倍”和“比”的知识，揭示图形放大的含义。例1先利用给出的数据，分别研究长方形放大后与放大前长的关系、宽的关系，从“倍”的角度和“比”的角度，描述图形的变化。然后联系长方形放大的事实，揭示图形放大的含义。从教材讲述长方形放大的数学含义，可以看到概念的关键是图形变化后与变化前对应边的长度比。所以，安排学生研究两张照片的“长有什么关系”“宽有什么关系”时，要提示他们说出第二张照片的长和宽分别是第一张照片的几倍，写出第二张照片和第一张照片长的比、宽的比。不要鼓励学生把第一张照片的长度和第二张照片比，以免对新概念产生干扰。

·促进认知迁移，体会图形缩小的含义。在初步理解长方形按2︰1的比放大以后，教材提问：如果把第一幅画按1︰2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少厘米？引导学生感受图形的缩小，初步形成图形缩小的概念。教学时，可以把图形按2︰1的比放大与图形按1︰2的比缩小进行比较。突出比的

前项指变化后的图形，后项指原来的图形。2︰1的前项大于后项，表示图形放大；1︰2的前项小于后项，表示图形缩小。

·在方格纸上画图形，进一步体会图形放大与缩小。例2在方格纸上按照规定的比画出长方形放大后与缩小后的图形，教学这道例题，要把力量放在放大、缩小后图形长多少、宽多少上，让学生说说自己的思考，实现例题的编写意图。观察原来的长方形、放大后的长方形、缩小后的长方形三个图形，发现它们的大小不同，形状相同。要再次体会图形放大或缩小，所有边的长度都按相同的比变化。

2．以图形放大为素材，教学比例的意义。

在图形放大的情境中能够写出许多组对应边长度的比，这些比的比值是相同的。利用这些比教学比例，一方面使组成的比例有具体的含义，有利于理解比例的意义。另一方面通过对应边长度的比组成比例，能进一步理解图形的放大。

·分别写出各张照片长和宽的比，分析两个比的关系。例3要求分别写出放大前照片的长与宽的比，放大后照片的长与宽的比。这两个比也是相对应的，都是同一图形里两条边的长度比，而且都把长作前项，宽作后项。学生思考两个比有什么关系，有人从比值的角度发现它们的比值都是1.6，有人从化简比的角度发现它们化简后都是8︰5。上面的活动有两个作用，一是为教学比例积累素材。二是发展对图形放大的体会：长方形放大，不仅放大后与放大前长的比与宽的比相同，而且放大前长与宽的比和放大后长与宽的比也相同。

·根据比值相等写出等式，揭示比例的意义。两个比的比值都是1.6，两个比都能化简成8︰5，这些都表明两个比相等，因此可以写成等式。等式的左、右各是一个比，表示两个比相等，教材指出“表示两个比相等的式子叫做比例”，让学生在现实的情境里首次感知比例的意义。

·在常见数量关系中体验比例的意义。除了图形放大与缩小，常见的数量关系中也能找到比例。“练一练”第2题，所有商品一律八折出售，任意一件商品现价与原价的比的比值都是0.8，利用给出的四件商品的原价与现价，能够组成比例。题目要求“从中选择两组数据，组成一个比例”，应该理解“两组数据”在这里指的是什么，体会每一件商品的原价与现价就是“一组数据”，两件商品的原价与其对应的现价就是“两组数据”。正方形周长和边长的比一定能组成比例，因为比值总是4（四条同样长的边）。正方形面积和边长的比一定不能组成比例，因为两个边长不同的正方形，面积与边长的比不相等。教材联系常见的数

量关系认识比例，以丰富的素材，加强对比例的理解，也为以后教学正比例作些铺垫。

练习六的后面编排一次“动手做”。“动手做”让学生在画图实践中，深入体验图形放大、缩小的含义，深入体验图形放大、缩小是因其边的长度变化而发生的。学生能否画出放大后的三角形和四边形，关键在于能否从长方形、平行四边形的放大中习得延长图形边的操作方法。所以，观察两个长方形，应重点关注小长方形放大成大长方形，大长方形的边是怎样画的，观察两个平行四边形，要关注把小平行四边形放大成大平行四边形，边是怎样画的，并且把这些画法应用到放大三角形和四边形上。

3．在图形缩小的情境中教学比例的性质。

教学比例的性质，能够更好地理解比例的意义，还能解决有关的实际问题。

·利用三角形缩小的数据写比例，认识比例的内项与外项。例4呈现三角形缩小的情境，缩小前、后的图形里标有底、高的数据。学生根据图形缩小的含义，利用图中的数据，能够写出许多比例。每个比例都由6、4、3、2四个数组成，四个数在比例中的位置有规律，这些都为教学比例的性质创造有利条件。

教材举一反三，先在6︰3＝4︰2里讲述比例的内项与外顶，再让学生指出其他比例的内项、外项，及时巩固知识。

·在写出的比例中发现基本性质。比例的性质希望学生主动发现，因为性质比较明显。自己发现性质，认识深刻、记忆牢固、便于应用。教材要求再写出一些比例，体会规律存在于每个比例中。把比例用四个字母表示成a∶b＝c∶d，比例的两个外项的积等于两个内项的积可以写成a×d＝b×c。教材用字母式子表示这个规律，出于两点考虑：一是符号化能够提升对比例性质的概括程度。这里四个字母组成的比例代表所有的比例，字母表示的两个积相等，是所有比例的共同性质。二是有利于应用。以后解比例，都要根据比例性质写出两个外项相乘等于两个内项相乘，才能继续求解，应该让学生学会这个写法。

练习七第2题给出四组数，每组四个数。要求先判断哪几组中的四个数可以组成比例，再把组成的比例写出来。如5、7、15和21这四个数，由于5×21＝7×15，所以这四个数能够组成比例。5和21可以同时做比例的外项，7和15

同时做比例的内项；5和21也可以同时做比例的内项，7和15同时做比例的外项。一共可以写出8个不同的比例。对于每一个学生来说，只要求正确写出一个

比例，并在交流时知道还能写出其他比例就可以了，不必要求每个学生都写出8个比例。

4．结合解决实际问题教学解比例。

例5用比例知识解决实际问题，包括三点内容：根据图形放大的意义写出比例，应用比例性质求未知项，指出什么是解比例。

·根据图形放大，写出比例。例题要求写两张照片长的比与宽的比组成的比例，在这个比例里有三项是已知的，一项是未知的。因此，像列方程解决问题那样，设放大后照片的宽是x厘米，列出的比例是含有未知数的等式。

·解比例是例题的主要教学内容。教材里写出了两个内项的积等于两个外项的积这一步，让学生思考根据是什么，体会应用比例的性质能够求出比例中的未知项，并通过“试一试”“练一练”学会解比例。

·思考题。根据比例的基本性质，也就是两个数相乘的积相等的关系，把相乘的两个数同时做外项或内项，就可以写出符合条件的比例。

5．写图上距离和实际距离的比，理解比例尺的含义。

例6教学比例尺的意义，计算平面图的比例尺。

·认识图上距离和实际距离。例题给出了草坪长50米、宽30米，草坪平面图长5厘米、宽3厘米。要求学生分别写出长、宽的图上距离和实际距离的比。教材没有对图上距离、实际距离作解释，让学生在问题情境中体会、识别。

·指导统一单位。统一图上距离和实际距离的长度单位，可以把实际距离50米改写成5000厘米，也可以把图上距离3厘米改写成0.03米。只要图上距离和实际距离的长度单位相同，都能写出比。但是，写出的都不是最简单的整数比，都要化简。通过交流，体会把实际距离改写成厘米作单位的数量，写出的是整数比，化简较方便；把图上距离改写成米作单位的数量，写出的是小数比，化简较麻烦。由此得到经验，通常应使用图上距离的长度单位来组成比。

·揭示比例尺的意义。通过写图上距离与实际距离的比，学生初步感受了比例尺的内涵。在此基础上，教材指出“图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。”两个数学式子，既精炼地表示了比例尺的意义，又表达了求比例尺的方法。

·认识线段比例尺。线段比例尺是比例尺的另一种表示形式。教学线段比例尺有两点作用，一是进一步体会比例尺的意义，二是能方便地解决求图上距离或实际距离的问题。教材通过解释比例尺1︰1000的具体含义引出线段比例尺，

突出线段比例尺的特点，能直观地表示图上1厘米相当于实际若干米（千米）。线段比例尺与数值比例尺的意义是一致的，可以互相转化。

6．利用比例尺，求实际距离或图上距离。

利用已知的比例尺，可以求实际距离或者求图上距离。例7是求实际距离的问题，求图上距离的问题安排在练习里。例7鼓励解决问题的方法多样化，“萝卜”联系数值比例尺的意义解题，“蘑菇”利用线段比例尺解题。例题的重点是帮助学生列出比例式，用解比例的方法解决问题。列比例式的依据是比例尺的意义，在数量关系式“图上距离/实际距离＝比例尺”的上面，图上距离是5厘米，比例尺是1/8000。如果设实际距离为厘米，就能列出一个含有未知数的比例，通过解比例也能得到实际距离。教材编排这种解法，给学生多一次理解和应用比例尺意义的机会，多一种求实际距离的方法。教学这种解法，要注意设句里实际距离的长度单位，这个单位必须和图上距离的单位相同。

“试一试”要指导学生，根据得到的图上距离，在学校正北方向3厘米处做一个记号表示医院，并且在学校与医院之间连一条线段。学生在这次“试一试”里，能初步感受画平面图的主要工作：找到合适的比例尺、计算有关的图上距离、确定方向等，为以后制作简单的平面图作了准备。

7．安排实践活动，进一步理解图形放大、缩小的概念。

实践活动《面积的变化》探索图形放大，面积变化与边长变化的联系。第一项活动是测量长方形放大后与放大前的长、宽，按图形放大的概念分别写出长的比和宽的比，估计放大后长方形面积与放大前的比是几比几，通过计算检验估计，初步体验图形放大时边长变化的比与面积变化的比是不同的。第二项活动测量正方形、三角形、圆的有关长度并计算面积，把数据填入表格，发现面积变化与长度变化的关系。第三项活动实例验证，形成认识，在课本第112页的方格纸上画一个平行四边形，也可以画其它图形，按比例放大，算一算放大后与放大前图形的面积比，看看是不是符合上面的规律：放大后与放大前图形边长的比是n:1，面积比是n2：1。

在回顾反思的环节中，不仅要回忆规律，更要回忆如何发现规律的过程。在总结发现规律的方法中，使学生积累一定的活动经验。通过“你还能想到些什么”，引导学生联系平面图形按比例缩小后的面积变化，思考立体图形按比例放大后的体积变化。可以举例子、找数据，对照比较去研究。

五、确定位置

内容及变化

本单元主要教学用方向和距离确定位置。一方面，由于这部分内容涉及到方向、角度、比例尺等知识，综合性强，难度较大。另一方面，这部分内容的教育价值不在于为学生提供更多的应用比例尺解决问题的机会，而在于让学生了解一些用平面图刻画现实空间的不同形式，感受数学方法的多样性和知识系统的完备性。基于上述考虑，本次修订，从以下两方面对本单元教材进行了调整：一是注意从教学的实际需要出发，适当降低教学要求。例如，描述物体相对于某一观测点的位置是，通过在平面图上标注“偏东”或“偏西”的角度，画出以厘米为单位的刻度等方式，以简化操作、计算和思考的过程，达到降低难度的目的，如第53页第2题（见图6）；描述路线图时，对于运行方向，只要求学生用“北偏东”“南偏西”等方位词进行描述，不具体到偏离的角度；对于运行距离，要么不涉及距离，要么在平面图上直接标出某一段路程的实际距离，不要求根据比例尺进行计算，如第55页第9题（见图7）。二是在例1教学之后，教材引导学生讨论“以前学过哪些确定位置的方法？现在又有了哪些新的认识”，帮助他们感受不同的确定位置方法之间的联系与区别，体会确定位置方法的多样性

教学建议

本单元编排了三道例题,分别是用方向和距离表示位置的知识，在平面图上用方向和距离表示物体的位置，描述行走的路线

1．在已有方向知识的基础上，教学新的确定位置方法

生活中用方向表示物体的位置不大精确，因为东北、东南、西北、西南的范围比较宽，而且仅有方向，没有距离。用方向和距离比较准确地表示物体的位置，涉及了方位、角度、实际距离三个具体内容。

·引出新的方向词。例1联系原有经验，航海情境图上灯塔1在轮船的东北方向，灯塔2在轮船的西北方向。教材指出，东北方向叫做北偏东，西北方向叫做北偏西，引出了两个新方向词。在原有方向知识基础上认识新方向词，有助于理解词的具体含义。北偏东即正北往东偏些，北偏西即正北往西偏些。理解了北偏东、北偏西，再认识南偏东、南偏西就容易了。

·用角度准确表示方向。灯塔1在轮船的北偏东30°方向。”这里的北偏东30°方向表示了轮船为端点的一条射线，灯塔1是这条射线上的一个点。因