2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三6月联考(三诊)数学(理)试题

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七校高2020级第三次诊断性考试数学（理科）试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．（綦江）已知集合{}

02|2<--=x x x A ，{}0log |2<=x x B ，则=B A （） A ．)2,1(-

B ．)1,0(

C ．)2,(-∞

D ．)1,1(-

2．（铜梁）设i

i z 312+=

,则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．（实验）命题“3210x x x ?∈-+≤R ，

”的否定是（） A ．不存在3200010x x x ∈-+≤R ，

B ．3200010x x x ?∈-+≥R ，

C ．3200010x x x ?∈-+>R ，

D ．3210x x x ?∈-+>R ，

4．（綦江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（） A ．18

B ．24

C ．48

D ．36

5．（实验）已知直线l 和两个不同的平面βα，，则下列结论正确的是（） A ．若//l α，l β⊥，则βα⊥ B ．若αβα⊥⊥l ，，则β⊥l C ．若//l α，//l β，则βα// D ．若αβα//l ，⊥，则β⊥l

6．（长寿）如图所示,给出的是求：99

1

51311+?+++

的值的 一个程序框图,判断框内应填入的条件是（）. A ．?99≤i B ．?99i

7．（大足）《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，

其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给 出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2

36

1≈它实际上是将 圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式h L V 2

112

3≈相当于将圆锥体积 公式中的π近似取为（） A ．

7

22 B ．

8

52 C ．

9

82 D ．

27

82 8．（綦江）函数x x x x f cos )sin 3()(-=在[]ππ,-上的大致图象是（）

9．（实验）已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>交于B A ,两点，以AB 为

直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ．若ABF ?的面积为24a ，则双曲线的离心率是（） A ．3

B ．2

C ．5

D ．2

10．（綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。高三

年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（） A ．240种

B ．120种

C ．188种

D ．156种

11．（大足）已知R k ∈，设函数???>+--≤+-=1

,)1(1

,22)(3

2x e e k x x k kx x x f x ，若关于x 的不等式0)(≥x f 在R x ∈上恒成立，则k 的取值范围为（） A ．

B ．

C ．

D ．

12．（实验）函数x x x f 2

cos )2sin()(++=θ，若)(x f 最大值为()G θ，最小值为)(θg ，则（）

A ．R ∈?0θ，使00()()πG g θθ+=

B ．R ∈?0θ，使π)()(00=-θθg G

C ．R ∈?0θ，使π)()(00=?θθg G

D ．R ∈?0θ，使

π)

()

(00=θθg G

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（合川）已知向量a =(1，1)，() 2b m =-，

，且a //()2a b +，则m 的值等于 .

14．（实验）()5

2

121x x ??-- ???

展开式的常数项是 ．

M

P

A B

D

C

15．（长寿）已知圆C 的方程为1)4()3(22=-+-y x ，过直线l ：053=-+ay x （0a >）上

任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为 ．

16．（綦江）已知数列{}n a 中，11a =，1(2,)n n a a n n n N +

--=≥∈，设

2

1

11+++

=

n n n a a b +

31+n a +…n

a 21，若对任意的正整数n ，当[1,2]m ∈时，不等式

21

3

n m mt b -+

>恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（实验）在ABC ?中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足

(2)cos cos b c A a C -=．

（1）求角A ；

（2）若13a =，ABC ?的面积为33，求ABC ?的周长．

18．（綦江）如图，在四棱锥ABCD P -中

ABCD PA 底面⊥，AD BC //,3

2π

=∠BAD , 2===BC AB PA ，4=AD ,点M 是棱PD 的中点.

（1）求证：//CM 平面PAB ； （2）求二面角M AC D --的大小.

19．（江津）某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.

该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：

空气质量指数 (0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] 300以上 空气质量等级

一级 (优)

二级 (良)

三级

(轻度污染) 四级

(中度污染) 五级

(重度污染) 六级

(严重污染)

质

量等级为优或良的天数；

（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进

行户外体育运动互不影响).

①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为，求

的分

布列和数学期望；

②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.

20．（铜梁）已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且

1

π

3

AFO ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 作斜率为1k ，2k （120k k ≠）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点,M N .证明：当1

211

k k k =

-时，直线MN 过定点. 21．（大足）已知函数a x x a x f +-=ln )(，b x x kx x g --=ln )(，其中R k b a ∈,,. （1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若对],1[],,1[e x e a ∈∈任意任意，不等式)()(x g x f ≥恒成立时最大的k 记为c ，当

],1[e b ∈时，c b +的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．（长寿）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y α

α=??=+?

，（α为参数），直线l 的参数

方程为132

x y t ?=????=+??（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A

的极坐标为)θ，其中

(,)2

π

θπ∈.

（1）求θ的值；

（2）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求AB 的值. 23．（长寿）选修4-5：不等式选讲

已知函数|2

3

||212|)(-++

=x a x x f . （1）当1-=a 时，解不等式x x f 3)(≤；

（2）当2=a 时，若关于x 的不等式|1|2)(4b x f -<的解集为空集，求实数b 的取值范围.

七校高2020级第三次诊断性考试

数学（理科）答案

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1-12 AACDA ACDCB DD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．—2

14．8- 15．4

3-

16．）（1,∞- ∵11a =，1n n a a n --=（2n ≥，n N ∈），当2n ≥时，1n n a a n --=，121n n a a n ---=-，…，212a a -=，并项相加，得：1132n a a n n -=+-+?++（），

∴112312n a n n n =+++?+=

+（），又∵当1n =时，11

11112

a =??+=（）也满足上式， ∴数列{}n a 的通项公式为112

n a n n =+（），∴12321111n n n n n b a a a a +++=+++?+

()()()()

()2

2

2111111212232211223221

n n n n n n n n n n n n =

+

+?+

=-+-+?+-++++++++++（）

21122

2112123123

n n n n n n n

=-==

++++++（

），令()12f x x x

=+（1x ≥）， 则()21

2f x x

'=-，∵当1x ≥时，0f x 恒成立，∴()f x 在[1x ∈+∞，）上是增函数，

故当1x =时，()()13min f x f ==，即当1n =时，()1

3

n max b =，对任意的正整数n ，

当[1

2]m ∈，时，不等式213n m mt b -+

>恒成立，则须使

()211

33n max m mt b -+>=，即20m mt ->对[12]m ?∈，恒成立，即t m <的最小值，可得1t <，∴实数t 的取值范围为

(),1-∞，故答案为

(),1-∞.

三、解答题：

17．（12分）解：（Ⅰ）因为(2)cos cos b c A a C -=，

所以(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=， ………………………………………2分

即2sin cos sin cos sin cos sin()B A A C C A A C =+=+……………………4分 由πA B C ++=，得2sin cos sin B A B =，

得1cos 2A =

，π

0π3

A A <<∴=………………………6分 （Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-?，得221

1322

b c bc =+-?．

得()2

313b c bc +-=…………………………8分

1sin 2S bc A =?==12bc =………………………………10分

所以()

2

3613b c +-=，得7b c +=

所以ABC △

周长为7a b c ++=+……………………………12分 18．（本小题12分）

（綦江中学改编）如图，在四棱锥

ABCD P -ABCD PA 底面⊥AD BC //,3

2π

=

∠BAD ,

4,2====AD BC AB PA ,点M 是棱PD 的中点。

（1）求证：CM ∥平面PAB ； （2）求二面角M AC D --的大小。 解：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM ．

∵M

是

PD

的中点，∴1

2

EM AD =

，EM ∥AD ，………………………………2分 又1

2

BC AD =

，BC ∥AD ，所以EM=BC ，EM ∥BC ， ∴四边形BCME 为平行四边形，

∴CM ∥BE ，………………………………4分 又BE ?平面PAB ，CM ?平面PAB ， ∴CM ∥平面PAB ．……………………5分

（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，

Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知

2PA AB BC ===，4AD =，23

BAD π∠=

，

可得(0,0,0),(0,2,1)A C M ，∴(3,1,0)AC =，(0,2,1)AM =，………7分 设平面MAC 的法向量为(,,)x y z =n ，

则由00

AC AM ??=???=??n n

，即020y y z +=+=??，令3y =-

，则6x z ==，

∴(3,3,6)=-n 为平面MAC 的一个法向量．…………………………………9分

∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，……………10分 ∴63

cos ,||||2

48n m n m n m ?=

==?，

∵二面角M AC D --为锐二面角 ∴二面角M AC D --的大小为

6

π

………………………………………………12分

注：使用几何法求二面角大小同样给分． 19．（12分）

解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.……………………3分

（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，

∴，

，

，

∴的分布列为

∴

.…………………………………8分

②甲不宜进行户外体育运动的概率为

，乙不宜进行户外体育运动的概率为

，

∴.………………………………12分

20．解：（1）22

143

x y +=·······3分

（2）由题不妨设:MN y kx m =+联立22

143

x y y kx m ?+

=???=+?

方程组解1122(,),(,)M x y N x y 消去y 化简得222(43)84120k x kmx m +++-=，

且21212228412

,4343km m x x x x k k -+=-=

++·········5分 1212k k k k =+ 12121212

3333

y y y y x x x x ----∴

?=+ ,i i y kx m ∴=+代入化简得

()()()

()2

212122132330k

k x x k m x x m m -+--++-+=·······8分

2

83(3)3(3)k m m -=-

1

2

3,83(m

m ≠=

m ∴=

分

直线:MN

y kx =

MN 过定点.·········12分 [][]

[][][][][][][]分

综上所述，上递增。，在令此时），当时则当使得存在唯一的实数）上递增；，在（时，当分所以上递减；在即所以时时，即当所以上递增；在即时所以又时，即当）上递增

，在（令令分

原不等式分

），减区间为（），的增区间为（时，当），没有增区间。

，的减区间为（时，当）、解析：（12................................................................................12,2)

1

,2(),1()1,1(1)(01

1-

1)(ln )(ln 1

ln 1ln 1

ln ln ln 1)()(0)(0()(0

)(),1(,0)(),,1(1ln -)(0)()1(9..........................12,1

22)()(,1)(,0)(0)(,,1,10)(2

2)1()(,1)(,0)(0)(,,11,,1.10)1(1ln )(11

)(ln )(ln )(ln ln 1)(6......................................................ln ln 1ln )ln 1(,1,,1ln )ln 1()2(4...........................................,0)(00)(0,01)(),0(ln )(1210000

000000

0000000min 0000min min 2

??????

++∈++∈+∴∈?-∈?>-=='?-=-=+=-++

=+∴+

=++-+===>'?>??∈

==∴≤'≤∈-∈≤==+?===∴≥'≥∈=∈≤≥∞+-+-=?+-='?-+-=-+-=

'?++-+=++-+≥++-+∴∈∈++-+≤?∞+>∞+≤∴∈>-=-='∴∈>--=e e c b e

e c b e x e b e x h x

x x x h x x x h x x b x x x x x x c b x x x b x x x x x g x g c x g x p e x x x p x x x p e x b x x x p e p p e e e

e b e b c b e b e g x g c e x g x g x P e x e e b e P b c b b g x g c e x g x g x P e x b e b b P b x x x P x

x P b x x x P x b

x x x g x b x x x x x g x b x x x x x b x x x x a e x e a x

b

x x x x a K a a x f a x f a R a x x

x

a x a x f R a x a x x a x f 22．解：（1）曲线C 的普通方程为22

(2)4x y +-=，

曲线C 的极坐标方程为2

2

(cos )(sin 2)4ρθρθ+-=. 化简，得4sin ρθ=.

由ρ=

sin θ=∵(

,)2π

θπ∈，

∴23

πθ=...............5分

（2）射线OA 的极坐标方程为23

πθ=

， 直线l

的普通方程为0x +-=.

∴直线l

的极坐标方程为cos sin 0ρθθ+-=.

联立23cos sin 0πθρθθ?=?

??-=?

，解得ρ=

∴B A AB ρρ=-==...............10分 23．（1）当1a =-时，不等式可化为()3f x x ≤

1413(2)()322x x x x ?<-???

?-++-≤??或3213(2)()322x x x x ?≥????+--≤??或1

342

13(2)()322x x x x ?-≤

故不等式()3f x x ≤的解集为1

{|}2

x x ≥-..........5分 （2）当2a =时，117()|2||23|(2)(23)|222

f x x x x x =+

+-≥+--= (1342x -≤≤时取等号），则不等式min 7[4()]4142f x =?=

4()2|1|f x b <-的解集为空集等价于|1|7b -≤,解得68b -≤≤

故实数b 的取值范围是[6,8]-..............10分